electrostatique - exercices de revision

PSI 08/09
ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION
1.Calculs de champs « classiques » :
Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace, pour les distributions suivantes :
Remarque : on précisera l’origine des potentiels choisie.
a) Circonférence de rayon R chargée avec une densité linéique uniforme λ ( on calculera le champ sur
l’axe de la circonférence ).
b) Droite infinie chargée avec une densité linéique uniforme λ ;
c) Cylindre infini de rayon R chargé avec une densité volumique uniforme ρ ;
d) Sphère de rayon R chargée en surface avec une densité surfacique uniforme σ ;
e) Sphère de rayon R chargée en volume avec une densité volumique uniforme ρ ;
f) Plan infini x = 0 chargé avec une densité surfacique uniforme σ ;
g) Couche infinie d’épaisseur 2a chargée avec une densité volumique uniforme ρ ;
2. Piège électronique :
On considère un champ électrostatique dérivant du potentiel :
V(x,y,z) = - V
0
( 2z
2
– x
2
– y
2
) / 4d
2
avec V
0
> 0
a) Représenter le graphe de V(z) le long de l’axe Oz.
b) Trouver les équipotentielles dans le plan Oxy et dans un plan quelconque passant par Oz.
c) Calculer le champ E.
d) Un électron est soumis à la force électrostatique exercée par ce champ. Ecrire les équations du
mouvement.
e) A quelle condition sur V
0
le mouvement axial est-il confiné dans une région limitée de l’espace ? Le
mouvement transversal est-il confiné ?
3. Capacité d’un câble coaxial ( PT 99 )
On considère une ligne coaxiale de longueur
l constituée de deux cylindres de rayons a et
b, d’axe Oz et d’épaisseur négligeable,
séparés par un diélectrique assimilé à du
vide. On a l >> a, b : la ligne peut être
assimilée à une ligne infinie.
Les conducteurs portent respectivement les
charges Q et –Q uniformément réparties sur
les surfaces des conducteurs de rayons a et b.
a) Montrer que le champ électrique est radial
et qu’il ne dépend que de r, soit r u.)r(E =E .
b) Etablir l’expression de E(r) en tout point de l’espace, en fonction de Q, ε
0
, r, l, a et b.
c) Le conducteur central est porté au potentiel V
1
, et l’autre conducteur au potentiel V
2
. Exprimer la
différence de potentiel V
2
- V
1
en fonction de Q, ε
0
, l, a et b.
d) La capacité C du condensateur formé par les deux armatures est le quotient de Q par la différence de
potentiel V
2
- V
1
; déterminer C en fonction de Q, ε
0
, l, a et b. En déduire la capacité du câble par unité de
longueur.
e) Quelle est la densité volumique d’énergie électrostatique ? En déduire l’énergie électrostatique
emmagasinée par le câble.
f) Quelle est l’énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C chargé sous une différence de
potentiel V
2
- V
1
? Retrouver l’expression de C.
l
a b
Q -Q

4. Condensateur plan
On considère un système de deux plans infinis situés en x = ± a, chargés avec les densités surfaciques
uniformes ± σ.
a) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace.
b) Un condensateur plan est formé de deux armatures planes de surface S portant les charges Q et –Q ;
on néglige les effets de bord – ce qui revient à assimiler les armatures à des plans infinis. Calculer la
différence de potentiel entre les deux armatures. En déduire la capacité du condensateur plan.
5.Charge dans le champ d’un dipôle :
a) Rappeler la définition d’un dipole électrostatique, ainsi
que le potentiel créé en un point M.
b) On considère un dipôle de moment P, au centre d’un
cercle de rayon r. Donner l’expression du potentiel et du
champ créés par ce dipôle aux points A et A’, extrémités
du diamètre parallèle à p, et aux extrémités B et B’ du
diamètre perpendiculaire à p. Représenter E en ces points.
c) Une charge q
0
est placée au point A. Quel est le travail
d’un opérateur déplaçant q
0
de A à A’ ; de A’ à B, de B à
B’ ? Exprimer ce travail en fonction de q
0
et du potentiel
V
A
en A.
6. Interaction entre molécules d’eau :
Le moment dipolaire d’une molécule d’eau a pour valeur :
p = 0,62.10
-29
C.m
On considère deux molécules dont les moments dipolaires sont alignés sur une droite D. La distance entre
les molécules est d = 10,0 nm.
Quelle est la force d’interaction qui s’exerce entre ces deux molécules ?
Réponse : f = 6p
2
/ 4 πε
0
d
4
.
7.Etude du potentiel de Yukawa :
Ce potentiel fut introduit en 1934 par le physicien japonais Hideki Yukawa pour décrire l' interaction nucléaire
forte entre un proton et un neutron. Il prédit qu'une particule devrait être associée à ce champ – 1°)Calculer le
champ électrostatique crée par cette distribution en tout point de l'espace.
On donne en coordonnées sphériques :
gradf
f
r r
f
ur
f
u = + +
∂
∂
∂
∂θ θ
∂
∂ϕ
θ ϕ
u
r
1
1
sin
2°) Calculer la charge q(r) contenue dans une sphère de rayon r et de centre O.
3°) a) Quelle est la charge contenue dans tout l'espace ?
b) Montrer qu'il existe en O une charge ponctuelle que l'on déterminera.
c) Quel système pourrait être modélisé par cette distribution de charges ?
4°) Calculer la densité volumique de charge ρ(r) en tout point de l'espace.
5°)Etudier et tracer l'allure de la densité radiale de charges
Z(r) = 4πr2 ρ(r).
Quelle est d'après vous la signification physique de l'extrémum ?
B
A »
’4’
B’
A

PSI 08/09
ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION
1.Calculs de champs « classiques » :
Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace, pour les distributions suivantes :
Remarque : on précisera l’origine des potentiels choisie.
a) Circonférence de rayon R chargée avec une densité linéique uniforme λ ( on calculera le champ sur
l’axe de la circonférence ).
b) Droite infinie chargée avec une densité linéique uniforme λ ;
c) Cylindre infini de rayon R chargé avec une densité volumique uniforme ρ ;
d) Sphère de rayon R chargée en surface avec une densité surfacique uniforme σ ;
e) Sphère de rayon R chargée en volume avec une densité volumique uniforme ρ ;
f) Plan infini x = 0 chargé avec une densité surfacique uniforme σ ;
g) Couche infinie d’épaisseur 2a chargée avec une densité volumique uniforme ρ ;
2. Piège électronique :
On considère un champ électrostatique dérivant du potentiel :
V(x,y,z) = - V
0
( 2z
2
– x
2
– y
2
) / 4d
2
avec V
0
> 0
a) Représenter le graphe de V(z) le long de l’axe Oz.
b) Trouver les équipotentielles dans le plan Oxy et dans un plan quelconque passant par Oz.
c) Calculer le champ E.
d) Un électron est soumis à la force électrostatique exercée par ce champ. Ecrire les équations du
mouvement.
e) A quelle condition sur V
0
le mouvement axial est-il confiné dans une région limitée de l’espace ? Le
mouvement transversal est-il confiné ?
3. Capacité d’un câble coaxial ( PT 99 )
On considère une ligne coaxiale de longueur
l constituée de deux cylindres de rayons a et
b, d’axe Oz et d’épaisseur négligeable,
séparés par un diélectrique assimilé à du
vide. On a l >> a, b : la ligne peut être
assimilée à une ligne infinie.
Les conducteurs portent respectivement les
charges Q et –Q uniformément réparties sur
les surfaces des conducteurs de rayons a et b.
a) Montrer que le champ électrique est radial
et qu’il ne dépend que de r, soit r u.)r(E =E .
b) Etablir l’expression de E(r) en tout point de l’espace, en fonction de Q, ε
0
, r, l, a et b.
c) Le conducteur central est porté au potentiel V
1
, et l’autre conducteur au potentiel V
2
. Exprimer la
différence de potentiel V
2
- V
1
en fonction de Q, ε
0
, l, a et b.
d) La capacité C du condensateur formé par les deux armatures est le quotient de Q par la différence de
potentiel V
2
- V
1
; déterminer C en fonction de Q, ε
0
, l, a et b. En déduire la capacité du câble par unité de
longueur.
e) Quelle est la densité volumique d’énergie électrostatique ? En déduire l’énergie électrostatique
emmagasinée par le câble.
f) Quelle est l’énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C chargé sous une différence de
potentiel V
2
- V
1
? Retrouver l’expression de C.
l
a b
Q -Q

4. Condensateur plan
On considère un système de deux plans infinis situés en x = ± a, chargés avec les densités surfaciques
uniformes ± σ.
a) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace.
b) Un condensateur plan est formé de deux armatures planes de surface S portant les charges Q et –Q ;
on néglige les effets de bord – ce qui revient à assimiler les armatures à des plans infinis. Calculer la
différence de potentiel entre les deux armatures. En déduire la capacité du condensateur plan.
5.Charge dans le champ d’un dipôle :
a) Rappeler la définition d’un dipole électrostatique, ainsi
que le potentiel créé en un point M.
b) On considère un dipôle de moment P, au centre d’un
cercle de rayon r. Donner l’expression du potentiel et du
champ créés par ce dipôle aux points A et A’, extrémités
du diamètre parallèle à p, et aux extrémités B et B’ du
diamètre perpendiculaire à p. Représenter E en ces points.
c) Une charge q
0
est placée au point A. Quel est le travail
d’un opérateur déplaçant q
0
de A à A’ ; de A’ à B, de B à
B’ ? Exprimer ce travail en fonction de q
0
et du potentiel
V
A
en A.
6. Interaction entre molécules d’eau :
Le moment dipolaire d’une molécule d’eau a pour valeur :
p = 0,62.10
-29
C.m
On considère deux molécules dont les moments dipolaires sont alignés sur une droite D. La distance entre
les molécules est d = 10,0 nm.
Quelle est la force d’interaction qui s’exerce entre ces deux molécules ?
Réponse : f = 6p
2
/ 4 πε
0
d
4
.
7.Etude du potentiel de Yukawa :
Ce potentiel fut introduit en 1934 par le physicien japonais Hideki Yukawa pour décrire l' interaction nucléaire
forte entre un proton et un neutron. Il prédit qu'une particule devrait être associée à ce champ – 1°)Calculer le
champ électrostatique crée par cette distribution en tout point de l'espace.
On donne en coordonnées sphériques :
gradf
f
r r
f
ur
f
u = + +
∂
∂
∂
∂θ θ
∂
∂ϕ
θ ϕ
u
r
1
1
sin
2°) Calculer la charge q(r) contenue dans une sphère de rayon r et de centre O.
3°) a) Quelle est la charge contenue dans tout l'espace ?
b) Montrer qu'il existe en O une charge ponctuelle que l'on déterminera.
c) Quel système pourrait être modélisé par cette distribution de charges ?
4°) Calculer la densité volumique de charge ρ(r) en tout point de l'espace.
5°)Etudier et tracer l'allure de la densité radiale de charges
Z(r) = 4πr2 ρ(r).
Quelle est d'après vous la signification physique de l'extrémum ?
B
A »
’4’
B’
A

PSI 08/09
ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION
1.Calculs de champs « classiques » :
Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace, pour les distributions suivantes :
Remarque : on précisera l’origine des potentiels choisie.
a) Circonférence de rayon R chargée avec une densité linéique uniforme λ ( on calculera le champ sur
l’axe de la circonférence ).
b) Droite infinie chargée avec une densité linéique uniforme λ ;
c) Cylindre infini de rayon R chargé avec une densité volumique uniforme ρ ;
d) Sphère de rayon R chargée en surface avec une densité surfacique uniforme σ ;
e) Sphère de rayon R chargée en volume avec une densité volumique uniforme ρ ;
f) Plan infini x = 0 chargé avec une densité surfacique uniforme σ ;
g) Couche infinie d’épaisseur 2a chargée avec une densité volumique uniforme ρ ;
2. Piège électronique :
On considère un champ électrostatique dérivant du potentiel :
V(x,y,z) = - V
0
( 2z
2
– x
2
– y
2
) / 4d
2
avec V
0
> 0
a) Représenter le graphe de V(z) le long de l’axe Oz.
b) Trouver les équipotentielles dans le plan Oxy et dans un plan quelconque passant par Oz.
c) Calculer le champ E.
d) Un électron est soumis à la force électrostatique exercée par ce champ. Ecrire les équations du
mouvement.
e) A quelle condition sur V
0
le mouvement axial est-il confiné dans une région limitée de l’espace ? Le
mouvement transversal est-il confiné ?
3. Capacité d’un câble coaxial ( PT 99 )
On considère une ligne coaxiale de longueur
l constituée de deux cylindres de rayons a et
b, d’axe Oz et d’épaisseur négligeable,
séparés par un diélectrique assimilé à du
vide. On a l >> a, b : la ligne peut être
assimilée à une ligne infinie.
Les conducteurs portent respectivement les
charges Q et –Q uniformément réparties sur
les surfaces des conducteurs de rayons a et b.
a) Montrer que le champ électrique est radial
et qu’il ne dépend que de r, soit r u.)r(E =E .
b) Etablir l’expression de E(r) en tout point de l’espace, en fonction de Q, ε
0
, r, l, a et b.
c) Le conducteur central est porté au potentiel V
1
, et l’autre conducteur au potentiel V
2
. Exprimer la
différence de potentiel V
2
- V
1
en fonction de Q, ε
0
, l, a et b.
d) La capacité C du condensateur formé par les deux armatures est le quotient de Q par la différence de
potentiel V
2
- V
1
; déterminer C en fonction de Q, ε
0
, l, a et b. En déduire la capacité du câble par unité de
longueur.
e) Quelle est la densité volumique d’énergie électrostatique ? En déduire l’énergie électrostatique
emmagasinée par le câble.
f) Quelle est l’énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C chargé sous une différence de
potentiel V
2
- V
1
? Retrouver l’expression de C.
l
a b
Q -Q