le cas des groupes unitaires. - IMJ-PRG

Stabilit´ e pour les repr´ esentations elliptiques de
r´ eduction unipotente; le cas des groupes unitaires.
Moeglin, Colette
CNRS, Institut de math´ematiques de JUSSIEU
mo[email protected]
1 Introduction
Soit Fun corps local p-adique et soit E/F une extension non ramifi´ee de degr´e 2. Soit encore Vun E-espace
vectoriel de dimension n. Il y a 2 classes de formes hermitiennes sur un tel espace qui sont distingu´ees par la
parit´e de la valuation du d´eterminant de la forme; si cette valuation est paire, on note < , >iso une forme de
cette classe et si cette valuation est impaire on la note < , >an. On note G]le groupe d’une telle forme, o`u
]=iso ou an suivant le contexte. On v´erifie que la multiplication de la forme par une uniformisante entraˆıne
que Giso est isomorphe `a Gan dans le cas o`u nest impaire; par contre ces groupes sont formes int´erieures l’un
de l’autre si nest paire, Giso est quasi-d´eploy´e. On note suivant la coutume OEl’anneau des entiers de Eet
$Eune uniformisante de E. Soit Lun r´eseau de V; pour ]=iso ou an, on note L∗
]le dual de Lpour la forme
< , >]. On suppose que Lest presque autodual c’est-`a-dire que $EL∗
]⊂L⊂L∗ ]et on pose:
`0:= L/$EL∗
];d0:= dimFq2`0`00 := L∗ ]/L;d00 := dimFq2`00.
Alors si ]=iso d00 est pair tandis que si ]=an,d00 est impair. C’est le moyen que nous prenons de distinguer
les 2 formes.
Une repr´esentation de niveau 0 est une repr´esentation ayant des invariant pour l’action du radical pro-p-
unipotent d’un sous-groupe parahorique stabilisant un r´eseau presque autodual au sens ci-dessus. Comme en
[10], on dit qu’une repr´esentation de niveau 0 est de r´eduction unipotente si quand on regarde l’action du
groupe parahorique dans l’espace des invariants ´evoqu´e ci-dessus, cette actions se fait par des repr´esentations
unipotentes (au sens de Lusztig) (c’est un produit de 2 groupes unitaires sur un corps fini qui op`ere).
Dans cet article, on s’int´eresse essentiellement aux s´eries discr`etes de niveau 0 et de r´eduction unipotente
pour les groupes unitaires. Le r´esultat que nous avons en vue est plutˆot technique; il s’agit de calculer en termes
de faisceaux caract`eres la repr´esentation des sous-groupes parahoriques dans l’espace des invariants pour leur
radical pro-p-unipotent. On a besoin de ce r´esultat pour compl´eter [9] qui d´ecrit les distributions temp´er´ees
stables de niveau 0 pour les groupes orthogonaux impairs. Ce r´esultat se trouve ci-dessous en 7; il est amusant
car il fait intervenir une sorte de transformation de Fourier (cf 6) qui intervenait naturellement dans [10] comme
un analogue p-adique de la transformation, d´efinie par Lusztig sur les groupes finis et permettant de calculer
les faisceaux caract`eres en terme de repr´esentations irr´eductibles. Pour les groupes unitaires et sur les groupes
finis, le faisceau caract`ere associ´e `a une repr´esentation irr´eductible du groupe sym´etrique est d´ej`a (au signe
pr`es) le caract`ere d’une repr´esentation irr´eductible du groupe unitaire sur le corps fini. Il n’´etait donc pas clair
qu’une telle transformation ait un rˆole `a jouer, bien que pour les groupes p-adiques, il n’y ait pas beaucoup de
diff´erence dans la description des param`etres des repr´esentations que ce soit pour un groupe unitaire, un groupe
symplectique ou un groupe orthogonal. Il est donc rassurant de voir qu’une telle transformation intervient aussi.
On aimerait ´evidemment en avoir d’autres applications qu’uniquement la formule technique de 7 puisque cette
application est moralement un passage de la g´eom´etrie `a la th´eorie des repr´esentations.
Une fois le r´esultat technique d´emontr´e, il est facile d’obtenir la description des combinaisons lin´eaires stables
de s´eries discr`etes de niveau 0 ainsi que leur transfert (pour npair) entre la forme anisotrope et la forme isotrope;
toutefois ici on utilise des r´esultats d’analyse harmonique qui supposent que pest grand, hypoth`ese que nous
faisons donc. La description des distributions stables `a support les repr´esentations temp´er´ees de r´eduction
unipotente est faite en 8.1 mais la d´emonstration est, en plus simple, celle de [10]. Le r´esultat est aussi simple
qu’en [10], c’est-`a-dire que c’est la somme des repr´esentations discr`etes dans un paquet qui engendre l’espace
des distritutions stables combinaisons lin´eaires de caract`eres de repr´esentations elliptiques.
Toutefois, il apparait ici un ph´enom`ene qui n’apparaissait pas en [10] mais qui ´etait pr´evu par Arthur;
consid´erons l’ensemble des repr´esentations duales des repr´esentations discr`etes de niveau z´ero, duales par la
1

dualit´e qui g´en´eralise celle d’Iwahori et Matsumoto. Cette dualit´e a ´et´e d´efinie entre autre par Aubert ([2]) et
Schneider-Sthuler ([12]); par exemple dans [2] elle est calcul´ee compl`etement explicitement en terme d’induction
restriction, il est donc clair qu’une telle transformation conserve la propri´et´e de stabilit´e pour les caract`eres
des repr´esentations, mais elle introduit un signe. Pr´ecis´ement, `a tout couple form´e d’un morphisme ψ:WF×
SL(2,C) dans le L-groupe GL(n, C)oWE/F de U(n, E/F ) qui ne se factorise par aucun Levi et d’un caract`ere,
, du centralisateur de ce morphisme, Lusztig associe une repr´esentation de U(n, E/F ) (la forme du groupe
est d´etermin´ee par ) qui est la duale (au sens de la dualit´e ci-dessus) d’une s´erie discr`ete; la s´erie discr`ete, on
la note π(ψ, ) et sa duale πunip(ψ, ). Encore plus pr´ecis´ement, notons sZl’´el´ement non trivial du centre du
L-groupe de U(n, E/F ); si (sZ) = +1, alors π(ψ, ) et πunip (ψ, ) sont des repr´esentations de U(n, E/F )iso et
sinon sont des repr´esentations de U(n, E/F )an. On ´ecrit (sZ) = ]si (sZ) = +1 quand ]=iso et −1 sinon.
Avec ces notations et en fixant le morphisme ψ, on montre donc ici qu’il existe un signe (que l’on interpr`ete
ci-dessous) δ(ψ, ), tel que les combinaisons lin´eaires, pour ]=iso ou an:
Π(], ψ) := P;(sZ)=]π(ψ, ) et Πunip(], ψ)P;(sZ)=]δ(ψ, )πunip(ψ, ) sont stables. Si nest pair, le transfert
de Π(iso, ψ) `a U(n, E/F )an est −Π(an, ψ) (idem pour Πunip). De plus l’ensemble des distributions Π(], ψ)
quand ψvarie, engendre l’espace des distributions stables combinaisons lin´eaires de caract`eres de repr´esentations
elliptiques (au sens d’Arthur).
Expliquons le signe δ(ψ, ). Le groupe dual de U(n, E/F ) n’est pas lin´eaire mais il se plonge naturellement
dans GL(2n, C); En composant ψavec ce plongement, on construit une repr´esentation de WF×SL(2,C) qui
est symplectique si nest pair et orthogonale si nest impair. On peut facilement d´ecomposer le morphisme
ψ|WFen la somme d’une repr´esentation orthogonale et d’une repr´esentation symplectique (ici on utilise le fait
que le morphisme est discret); notons morth et msymp la dimension de l’espace de ces repr´esentations, d’o`u
2n=mortho +msymp. Alors ψ(compos´e avec l’inclusion) se factorise en un morphisme de WF×SL(2,C)
dans GL(mortho,C)×GL(msymp,C). Cela induit une d´ecomposition de ψen ψortho ⊕ψsymp; attention, la
notation prˆete `a confusion car ψsymp n’est pas orthogonale c’est seulement sa restriction `a WFqui l’est, avec
la mˆeme remarque pour ψortho. La repr´esentation ψsymp restreinte `a SL(2,C) est orthogonale si nest pair et
symplectique si nest impair. On note ssymp l’´el´ement non trivial du centre de GL(nsymp,C) invariant sous
WF. On peut ´evaluer (ssymp) et c’est le signe cherch´e. C’est-`a-dire que δ(ψ, ) = (ssymp).
Pour terminer cette introduction, je voudrais remercier Anne-Marie Aubert et Jean-Loup Waldspurger pour les
discussions que nous avons eues autour de ce travail.
Convention:Soit d∈N, la notation ]= (−1)dsignifie par convention ]=iso si dest pair et ]=an si dest
impair et r´eciproquement, si ]est connu c’est la parit´e de dqui est fix´ee par cette notation et ]d= 1 si ]=iso
et (−1)dsi ]=an.
2 Param`etres discrets unipotents
2.1 D´efinition
Par d´efinition, un param`etre discret unipotent est la donn´ee d’un morphisme
ψ:WF/IF×SL2(C)→GL(n, C)oWF/IF,
o`u WFest le groupe de Weil de Fet IFson groupe de ramification et d’un caract`ere :CentGL(n,C)ψ7→ {±1},
soumis `a un nombre certain de propri´et´es. On impose d’abord les propri´et´es habituelles `a savoir que le dia-
gramme compl´et´e par les projections sur WF/IFest commutatif, que la restriction de ψ`a SL(2,C) est un
morphisme alg´ebrique (n´ecessairement `a valeurs dans GL(n, C)) et que la restriction de ψ`a WF/IFcompos´ee
avec la projection sur GL(n, C) se factorise par un quotient fini. On revient sur la d´efinition du produit semi-
direct ci-dessous; pour cela on note F rE/F un Frobenius pour l’extension Ede Fet on note wl’´el´ement de
GL(n, C) d´efini par:
w=
0··· ··· 1
0· · · −1 0
.
.
..
.
..
.
..
.
.
(−1)n+1 ··· 0 0
Alors l’action de WF/IFsur GL(n, C) se factorise par le quotient Gal(E/F ) qui est un groupe `a 2 ´el´ements,
l’´el´ement non trivial s’identifiant `a F rE/F et on a:
∀g∈GL(n, C), F rE/F .g =w−1tg−1w.
2

Le fait que l’on ait mis discret dans la d´efinition se traduit par le fait que l’image de ψne doit pas ˆetre
incluse dans le L-groupe d’un sous groupe de Levi de U(n, E/F )](cela ne d´epend pas de ]) et on impose en
plus que la restriction de `a l’´el´ement diagonal de GL(n, C) form´e uniquement de (−1) vaille +1 si ]=iso et
−1 si ]=an. Quand cette condition est r´ealis´ee, on dit que |Z=].
Pour pouvoir classifier ais´ement de tels param`etres le mieux est de d´efinir l’application
inc :GL(n, C)oWF/WE7→ GL(2n, C)
en posant
∀g∈GL(n, C), inc(g) = g0
0tg−1, inc(F rE/F ) = 0w
w−10
On remarque alors que l’on peut voir ψcomme un morphisme de WF/WE×SL(2,C) dans GL(2n, C) qui se
factorise par l’application inc.
2.2 Classification
Soit Oune orbite unipotente de GL(n, C); on note Jord(O) l’ensemble de ses blocs de Jordan, ensemble
consid´er´e avec multiplicit´es, ´eventuellement. Une application de Jord(O) dans {±1}est une application qui `a
α∈Jord(O) associe soit +1 soit −1 ind´ependamment de la multiplicit´e de αdans Jord(O); on dit ´evidemment
que Jord(O) est sans multiplicit´e si toutes les multiplicit´es sont 1.
Proposition:l’ensemble des param`etres discrets unipotents pour U(n, E/F )]vu `a conjugaison pr`es, est en
bijection avec l’ensemble des couples (O, )o`u Oest une orbite unipotente de GL(n, C)telle que Jord(O)soit
sans multiplicit´e et est une application de Jord(O)dans {±1}telle que Qα∈Jord(O)(α) = ].
Soit (ψ, ) un param`etre discret unipotent. On commence par consid´erer la restriction de ψ`a SL(2,C); comme
on travaille `a conjugaison pr`es, c’est la mˆeme chose que de se donner une orbite unipotente Ode GL(n, C). On
v´erifie que si Jord(O) n’est pas sans multiplicit´e, le param`etre n’est pas discret. Supposons donc que Jord(O)
soit sans multiplicit´e. On factorise inc ◦ψ|SL(2,C)par un produit de groupes ×α∈Jord(O)GL(2α, C) (ici, on voit
α∈Jord(O) comme un nombre); dans une telle factorisation, quitte `a conjuguer, on peut s’arranger pour
que la matrice 0w
w−10provienne du produit ×α∈Jord(O)˜
Jαo`u ˜ Jα=0Jα
J−1
α0o`u Jαest une matrice
sym´etrique si αest impair et antisym´etrique sinon, non d´eg´en´er´ee. Et `a conjugaison pr`es on peut prendre
n’importe quelle matrice v´erifiant ces conditions; la conjugaison dont il est ici question est celle qui se fait sous
GL(n, C) plong´e dans GL(2n, C) comme expliqu´e ci-dessus, c’est-`a-dire est g•tg. On utilise maintenant le fait
qu’une repr´esentation irr´eductible de SL(2,C) de dimension paire est symplectique et qu’une repr´esentation
irr´eductible de dimension impaire est orthogonale. On peut donc supposer comme nous le ferons que l’image de
ψ(SL(2,C)) commute avec Qα∈Jord(O)˜
Jαet on peut ´ecrire ψ(F rE/F ) sous la forme ×α∈Jord(O)γα0
0tγ−1
α˜
Jα.
On v´erifie que la condition de commutation avec l’image de SL(2,C) est ´equivalent `a ce que chaque γαsoit
scalaire.
Pour terminer la preuve de la proposition, il faut encore calculer le commutant de l’image de ψdans GL(n, C).
On calcule d’abord le commutant de l’image de SL(2,C) par ψdans GL(n, C) et on trouve que c’est un produit
de C∗index´e par chaque ´el´ement de Jord(O) interpr´et´e comme le centre de chaque GL(α, C). Quand on plonge
dans ×αGL(2α, C), ce commutant s’´ecrit sous la forme d’un ´el´ement diagonal, (tα, t−1
α)α∈Jord(O), o`u tαest une
matrice scalaire de taille α. Quand on impose la commutation `a la matrice ×α∈Jord(O)˜ Jαcomme ci-dessus on
trouve la condition pour tout α,tαttα= 1 c’est-`a-dire tα=±1. Ainsi le commutant l’image de ψdans GL(n, C)
est un produit de groupes {±1}index´es par les ´el´ements de Jord(O). Cela termine la preuve.
2.3 Le cas temp´er´e, versus elliptique
On aura parfois besoin de travailler avec des param`etres unipotents temp´er´es et pas seulement discrets. On
enl`eve la condition que l’image n’est pas incluse dans un Levi mais on garde le fait que ψvu comme morphisme de
WF/IF×SL(2,C) dans GL(n, C)oGal(E/F ) se factorise par le quotient Gal(E/F )×SL(2,C). Toutefois, ainsi
on a trop de param`etres car les seules repr´esentations qui nous int´eressent sont les repr´esentations elliptiques
au sens d’Arthur; ce sont des repr´esentations virtuelles bas´ees sur des repr´esentations temp´er´ees particuli`eres.
Sur les param`etres, la condition se traduit par le fait que la repr´esentation inc ◦ψde Gal(E/F )×SL(2,C)
3

est une somme de repr´esentations irr´eductibles toutes orthogonales. On appelle ces param`etres des param`etres
temp´er´es unipotents, versus elliptiques. On a dans ce cadre une g´en´eralisation imm´ediate de la proposition
pr´ec´edente:
Remarque:L’ensemble des param`etres temp´er´es unipotents, versus elliptiques, est en bijection avec l’ensemble
des couples (O, )o`u Oest une orbite unipotente de GL(n, C)et o`u est une application de Jord(O)dans
{±1}.
On reprend la d´emonstration pr´ec´edente; la restriction de ψ`a SL(2,C) est, `a conjugaison pr`es, la donn´ee d’une
orbite unipotente Ode GL(n, C). Quand on calcule le commutant de ψ(SL(2,C)) on consid`ere Jαcomme dans
cette d´emonstration mais il faut tenir compte de la multiplicit´e de αcomme bloc de Jordan, c’est-`a-dire que
Jαest dans GL(multα(Jord(O))α, C). On peut encore supposer (et nous le ferons) que Jα= (−1)α+1 tJα.
On d´efinit ensuite ˜ Jα:= 0Jα
J−1
α0. Le commutant de ψ(SL(2,C) dans inc(GL(n, C) est isomorphe au
produit semi-direct GL(multα(Jord(O)),C)n{1,˜ Jα}; pour montrer que l’orbite de ψ(F rE/F ) est uniquement
d´etermin´ee dans ce commutant, il faut utiliser l’hypoth`ese qu’elle a un repr´esentant de la forme γαJαavec γα
sym´etrique. L’orbite de γαpar h•thest alors uniquement d´etermin´ee puisque γαest de rang maximum. Pour
ce qui suit, on suppose, comme on en a le droit que γα= 1 pour tout α.
Pour interpr´eter le caract`ere , il faut calculer le commutant dans GL(n, C) de l’image de ψ. Un ´el´ement du com-
mutant est n´ecessairement de la forme ×α∈Jord(O)gαavec pour tout α∈Jord(O), gα∈GL(multα(Jord(O)),C)
et la commutation avec ψ(F rE/F ) se traduit par gαtgα= 1. Ceci indique que gαd´ecrit un groupe orthogonal,
le groupe des composantes est donc encore {±1}. Ainsi s’interpr`ete encore comme une application de Jord(O)
dans {±1}. La condition de restriction au centre est maintenant ×α∈Jord(O)(α)multα(Jord(O)) =].
Remarque: cette notation, ”versus elliptique” n’a pas vocation `a entrer dans les annales. En fait, elle n’est pas
bonne, car dans les constructions de repr´esentations elliptiques telles que faites par Arthur, les repr´esentations
temp´er´ees qui interviennent sont celles qui sont versus elliptique comme ci-dessus mais o`u en plus les multiplicit´es
sont inf´erieures ou ´egales `a 2.
2.4 Le cas temp´er´e
On ne va quand mˆeme pas laisser en suspens la classification des param`etres de Langlands temp´er´es de r´eduction
unipotente. D’abord, il faut regarder la restriction `a WF; elle fait intervenir des caract`eres non ramifi´es. On
s´epare les 2 caract`eres quadratiques des autres. Les ”autres” font intervenir une induction irr´eductible sans
myt`ere donc on s’int´eresse aux caract`eres quadratiques. On appelle ces param`etres, autoduaux pour des raisons
´evidentes.
Lemme: L’ensemble des param`etres de Langlands temp´er´es de r´eduction unipotente autoduaux, est en bijection
avec les donn´ees, nsymp, north ∈N, avec n=nsymp +north,Osymp une orbite unipotente de Sp(nsymp,C)et
Oorth une orbite unipotente de O(north,C), et des applications symp, orth de Jord(Osymp )et Jord(Oorth)dans
{±1}soumises `a la condition que δ(α) = 1 si δ=symp et αest impair ou si δ=orth et αest pair. Ceci se
traduit plus simplement en disant que δpour δ=symp et orth est un morphisme du groupe des composantes
du centralisateur d’un point de Oδdans {±1}.
Ici on retrouve la classification g´en´erale pour les groupes classiques, c’est-`a-dire la donn´ee d’un ensemble
de couples {(Oρ, ρ)}, o`u ρparcourt un ensemble des repr´esentations irr´eductibles autoduales de WF,Oρest
une orbite unipotente soit d’un groupe symplectique soit d’un groupe orthogonal (ceci ´etant d´etermin´e par
ρ) et ρest un morphisme du groupe des composantes du centralisateur d’un point de l’orbite dans {±1}.
Avec un groupe unitaire, la notion de repr´esentation de WFest un peu plus compliqu´ee car ce que l’on a est un
morphisme de WFdans GL(n, C)nWFet que c’est lui qui par d´ecomposition donne les repr´esentations ρ. C’est
l’int´erˆet de passer `a GL(2n, C) pour faire cette d´ecomposition comme expliqu´e dans les preuves pr´ec´edentes. Ce
qui diff`ere ici par rapport `a la preuve de 2.3 est, avec les notations de cette preuve, que l’on n’a pas que γαest
sym´etrique. Il faut donc d´ecomposer γαen la somme d’une matrice sym´etrique et d’une matrice antisym´etrique;
c’est le rang de chacune des matrices de cette d´ecomposition qui est l’invariant supp´ementaire pour la classe de
conjugaison. Ensuite la d´emonstration se termine de la mˆeme fa¸con.
4

3 Construction de fonctions
3.1 Faisceaux caract`eres
On note D(n) := {(d0, d00); n=d0+d00}. Fixons (d0, d00)∈D(n) et pour ]= (−1)d00 (cf la convention de
l’introduction) on fixe un r´eseau presque autodual L:= Ld0,d00 de U(n, E/F )]tel que `0:= L/$EL∗
]soit de
dimension (sur Fq2)d0et `00 := L∗
]/L soit de dimension d00. Les espaces `0et `00 h´eritent d’une forme unitaire,
et on a donc des groupes unitaires, U(`0,Fq) et U(`00,Fq) sur le corps fini Fqrelatifs `a l’extension Fq2/Fq.
On note Sd0et Sd00 les groupes sym´etriques sur d0et d00 ´el´ements respectivement. Grˆace `a Lusztig, on
sait associer `a une repr´esentation de, disons Sd0, une fonction invariante par conjugaison sur U(`0,Fq) (cf. par
exemple [4]). La propri´et´e cl´e des faisceaux caract`eres pour les groupes unitaires est qu’`a une repr´esentation
irr´eductible de Sd0correspond une fonction invariante sur U(`0,Fq) qui est la trace, `a un signe pr`es que l’on ex-
plicitera, d’une repr´esentation irr´eductible de ce dernier groupe. On note ˆ Sd0l’ensemble des classes d’isomorphie
de repr´esentations irr´eductibles de Sd0. D’o`u, en appliquant les mˆemes constructions `a 00, une application:
C[ˆ Sd0]⊗C[ˆ Sd00 ]→C[U(`0,Fq)] ⊗C[U(`00,Fq)].
On note Kd0,d00 le sous-groupe de U(n, E/F )]qui stabilise le r´eseau Ld0,d00 ; c’est un sous-groupe parahorique dont
la r´eduction modulo le radical pro-p-unipotent est pr´ecis´ement U(`0,Fq)×U(`00,Fq). On peut donc remonter les
fonctions sur ce dernier groupe en des fonctions sur Kd0,d00 de fa¸con invariante par le radical pro-p-unipotent.
On obtient ainsi une application de C[ˆ Sd0]⊗C[ˆ Sd00 ] dans l’ensemble des fonctions sur Kd0,d00 , invariantes par
conjugaison sous le groupe et par translation sous son radical pro-p-unipotent. On identifie ces fonctions, via
la trace, `a des repr´esentations semi-simples de Kd0,d00 triviales sur le radical pro-p-unipotent.
Notation: On pose C[ˆ SD(n)] := ⊗(d0,d00 )∈D(n)C[ˆ Sd0]⊗C[ˆ Sd00 ]. En sommant les constructions pr´ec´edentes, on
vient donc de d´efinir une application not´ee kde C[ˆ SD(n)]dans la somme sur les couples (d0, d00)∈D(n)des
ensembles de fonctions sur Kd0,d00 d´efinies ci-dessus.
3.2 Formules explicites
Les formules ci-dessous ont ´et´e tir´ees de [3]. Soit d∈Net U(d, Fq) un groupe unitaire pour l’extension de degr´e
2 du corps Fq. Les repr´esentations irr´eductibles unipotentes d’un tel groupe sont en bijection avec la donn´ee
d’un entier ktel que d−k(k+ 1)/2∈2Net d’une repr´esentation, ρ, irr´eductible, du groupe de Weyl de type C
de rang 1/2(d−k(k+ 1)/2), not´e W1/2(d−k(k+1)/2); en fait `a l’entier k, on associe une repr´esentation cuspidale
du groupe U(k(k+ 1)/2,Fq) et l’alg`ebre d’entrelacement de l’induite de cette repr´esentation cuspidale et du
caract`ere trivial d’un tore convenable est l’alg`ebre de Hecke de W1/2(d−k(k+1)/2). Une repr´esentation ρcomme
ci-dessus est donn´ee par un couple de partition (α1≥ · · · ≥ αt≥0; β1≥ · · · ≥ βt≥0) (test ici un entier
arbitrairement grand) v´erifiant Pi∈[1,t]αi+βi= 1/2(d−k(k+1)/2). La bijection entre les couples (k, ρ) comme
ci-dessus et les repr´esentations irr´eductibles de Sd, c’est-`a-dire les partitions de dse fait ainsi:
on fixe une partition µ:= (a1≥ ···a`≥0) de d; on suppose que `est `a la fois grand et impair et on note
P:= {ai+`−i; (−1)ai−i=−1}et I:= {ai+`−i; (−1)ai−i= +1}. On pose encore ˜ k:= |]P − ]I|; ce nombre
est impair. On distingue encore (ce qui d´efinit l’entier k)˜ k=k−1 si ]P − ]I>0 et ˜ k=ksinon. Maintenant
que l’on a d´efini k`a partir de µ, il reste `a d´efinir ρ, c’est `a dire les partitions (αi;i∈[1, t0]) et (βi;i∈[1, t0]) ce
qui est donn´e par:
{αi}={(aj−j)/2 + ˜ j+ (−1)k+1/2˜ k;aj+`−j∈ P};
{βi}={(aj−j−1)/2 + ˜ j−(−1)k+1/2˜ k;aj+`−j∈ I},
o`u dans les 2 cas ˜ jest le cardinal de {j0≤j; (−1)aj0−j0= (−1)aj−j}.
On a expliqu´e que la correspondance entre faisceaux caract`eres et repr´esentations introduisait un signe; pour µ
comme ci-dessus, on le note σµet d’apr`es [4] 9.6, σµ= (−1)n(n−1)/2+Pi∈[1,`]ai(ai−1)/2.
3.3 Filtration
Soit (d0, d00)∈D(n) comme en 3.1 et soit ρ0, ρ00 des repr´esentations irr´eductibles de Sd0et Sd00 correspondant `a
des partitions µ0et µ00 de d0et d00 respectivement. On d´efinit la partition µ:= µ0+µ00 de n, en faisant la somme
terme `a terme, c’est-`a-dire µ= (a0
1+a00 1),··· ,(a0 t+a00 t) en ayant choisi tsuffisamment grand et en ´ecrivant les
partitions comme un ensemble de nombres d´ecroissants. A une telle partition correspond une orbite unipotente
de GL(n, C) que l’on note Oµ0,µ00 .
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