La physique au petit déjeuner

La physique au
petit déjeuner
Héléna LACROIX
Marion DERIOT
Sous la direction de Hervé IDDA
Lycée Gustave Eiffel
Dijon
Académie de Dijon
2007 - 2008
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Sommaire
Introduction
I. Mise en place de l’expérience sur les tourbillons
1. Vous préférez cacao ou noix de coco ?!
2. Le travail en volume
3. Mise en mouvement de l’objet et enregistrement
4. Constatations
II. Mesures et exploitation
1. Technique de mesure
2. Les résultats expérimentaux
3. Interprétation des résultats
4. Petit point « d’histoire »
III. Vérification de nos mesures
1. Les nombres de Reynolds et de Strouhal
2. Mesure de la densité
3. Mesure de la viscosité h
IV. Applications
1. Aussi dans la nature
2. Résonance d’un fil
3. L’incroyable histoire du pont de Tacoma
Bibliographie
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Introduction
Au petit déjeuner tout le monde a déjà eu l’occasion de tourner une centaine de fois sa cuillère
dans sa tasse, pourtant on ne prête jamais attention aux tourbillons qui se forment alors derrière
notre cuillère !
C’est le début d’une aventure au cours de laquelle nous mettrons en place un protocole
expérimental permettant d’analyser ces fameux tourbillons.
Par la suite, la lecture de thèses de recherche nous permettra de mieux comprendre et de
confirmer nos résultats à l’aide de quelques expériences supplémentaires.
Pour finir, nous avons découvert quelques applications inattendues de ces phénomènes. Mais
pour toutes les découvrir, il faut patienter encore un peu . . .
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I. Mise en place de l’expérience sur les tourbillons
1. Vous préférez cacao ou noix de coco ?!
Pour mettre en place notre expérience et reproduire ces tourbillons observés dans la tasse du petit
déjeuner il a d’abord fallu trouver une poudre permettant la reproduction des tourbillons de façon
relativement précise, nous avons donc essayé plusieurs substances :
Poudre de cacao
Poudre de liège
Nous sommes passés par le cacao, la
poudre de noix de coco, ainsi que le liège
et bien d’autres ! Or, à
chaque fois deux problèmes se sont posés
:
- la présence de grumeaux empêchant la
représentation des tourbillons
- le sillage avec la formation d’une vague
devant l’obstacle
Formation et propagation de la vague
lors d’un essai avec de la poudre de
craie
(Vue de dessus ; images obtenues par
rétro projection sur un tableau)
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Toutefois un essai avec la poudre d’aluminium a retenu notre attention puisque cette poudre fine
avait une bonne dispersion, mais un autre problème s’est posé :
- Les particules ne restaient pas en suspension et se déposaient au fond de la cuve
De plus, le problème de la vague n’était pas réglé.
Poudre d’aluminium (vue de dessus)
Et c’est en pratiquant plusieurs essais avec cette poudre que nous est venue l’idée de la vision en
volume.
2. Le travail en volume
En effet, au cours des tests avec la poudre d’aluminium, on a pu observer des tourbillons se
former dans tout le volume de notre récipient.
Nos problèmes de grumeaux et de vague sont ainsi résolus, mais, à peine un problème est résolu
qu’un autre se pose !
Comment observer les tourbillons dans un seul plan et pas dans tout le volume ?
Le laser s’est vite imposé comme la bonne solution, mais il nous le fallait en plan. C’est avec une
tige en verre accrochée devant le faisceau que nous avons obtenu la dispersion de la lumière en
un plan rectiligne.
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Mais il fallait trouver une solution au problème de suspension des particules.
Nous avons donc ajouté au mélange de la glycérine permettant de rendre le mélange plus
visqueux et donc de ralentir la chute de la poudre d’aluminium au fond de la cuve.
La solution que nous utiliserons dans toute la suite de cette étude est faite avec 480 mL de
glycérine et 570 mL d’eau.
3. Mise en mouvement de l’objet et enregistrement
Pour pouvoir s’appuyer sur nos résultats d’expérience nous devions pouvoir reproduire
l’expérience à l’identique, or en faisant bouger l’objet à la main il était impossible de reproduire
le mouvement de translation rectiligne uniforme de la tige en verre.
Pour automatiser cette manipulation nous avons choisi de construire un chariot en lego alimenté
avec une alimentation réglable.
Après nous avons cherché le meilleur moyen de capturer notre expérience, il y avait plusieurs
solutions :
- L’appareil photo numérique
- La webcam
- La caméra numérique (en mode infrarouge et normal)
Après plusieurs essais pas toujours réussis et représentatifs du travail, nous avons gardé les
séquences vidéos réalisées avec la caméra, qui étaient les mieux exploitables.
Après nous avons cherché le meilleur moyen de capturer notre expérience, il y avait plusieurs
solutions :
- L’appareil photo numérique
- La webcam
- La caméra numérique (en mode infrarouge et normal)
Après plusieurs essais pas toujours réussis et représentatifs du travail, nous avons gardé les
séquences vidéos réalisées avec la caméra, qui étaient les mieux exploitables.
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En résumé, voici le schéma de notre montage
Ici, avec quelques photos :
Chariot lego en hauteur par rapport à la cuve et Chariot lego vu de dessus et trépied de caméra
alimentation variable
Vue de dessus de la fixation entre la tige de
verre et le chariot
Vue du dessus observée sur les films
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Nous avons réalisé les enregistrements dans le noir pour avoir un maximum de contraste.
Exemple de photos extraites d’un des enregistrements avec un cylindre en verre de
diamètre 6.1 mm (en fausse couleur) :
4. Constatations
Au fil de nos enregistrements nous avons fait deux constatations :
- Si la vitesse est trop faible alors il n’y a pas de tourbillons à l’arrière du cylindre.
- Si la vitesse est supérieure à une vitesse de seuil alors des tourbillons se forment derrière le
cylindre.
A partir de ces constatations nous nous sommes posés deux questions :
- A partir de quelle vitesse de seuil (Vseuil ) se forment les tourbillons ?
- Quelle est la fréquence d’apparition de ces tourbillons ?
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II. Mesures et exploitation
1. Technique de mesure
Nous avons ensuite exploité les films pris à différentes vitesses pour détecter à quel moment
apparaissent les tourbillons, ainsi que leur fréquence, ceci en trois étapes :
1- Mesure de l’échelle à partir de la première image du film qui représente une règle :
Échelle
390 pixel pour 10 cm
E = 39 pixel / cm
2- Détermination de la vitesse du cylindre :
A partir de deux images différentes (à raison de 25 images/seconde soit Δt = 40 ms entre 2
images) :
On en déduit la vitesse V par la relation :
Avec :
- E : l’échelle en pixel / cm
- X1 et XN les pointages de la position du tube sur l’image 1 et l’image N
- Δt : le temps entre 2 images successive (soit 40 ms pour nos film)
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3 – Détermination de la fréquence des tourbillons :
On mesure sur une image la distance λ entre deux tourbillons successifs et connaissant la vitesse
du cylindre, on en déduit la fréquence d’apparition des tourbillons par la relation :
Avec :
- E : l’échelle en pixel / cm
- λ la distance entre deux tourbillons (en pixel)
- V : la vitesse du cylindre en cm/s
Pour donner une petite idée de la quantité d’image à exploiter (un peu plus de 2 secondes de film
en fausse couleur)
Au total, il y a plusieurs Giga-octets de données vidéo…
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2. Les résultats expérimentaux
Nos résultats pour trois diamètres différents :
En rouge : vitesse de seuil vérifiée
expérimentalement (au dessus de cette vitesse,
il y a apparition de
tourbillons derrière la tige)
Fréquence d’apparition des tourbillons en
fonction
de la vitesse pour un cylindre de diamètre 6.1
mm.
Remarque : la mesure de la fréquence des
tourbillons quand la vitesse est juste au dessus
de Vseuil est une
mesure très difficile.
Fréquence d’apparition des tourbillons en
fonction
de la vitesse pour un cylindre de diamètre
8.0 mm.
Fréquence d’apparition des tourbillons en
fonction
de la vitesse pour un cylindre de diamètre 9.7
mm.
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3. Interprétation des résultats
Au vu des résultats, trois grandes constatations peuvent être faites :
1 - Pour un diamètre donné, plus la vitesse augmente et plus la fréquence des tourbillons
augmente.
2 - Si le diamètre du tube augmente, alors la vitesse de seuil diminue.
3 - À vitesse constante, quand le diamètre augmente, la fréquence de formation des tourbillons
diminue.
Avec ces résultats, on peut alors se demander :
- Pourquoi les tourbillons ne se forment qu’à partir d’une certaine vitesse (Vseuil )?
- Pourquoi la taille de l’objet influe-t-elle aussi sur ce phénomène ?
C’est grâce à Internet et à une longue recherche bibliographique que le voile va peu à peu se lever
pour nous.
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4. Petit point « d’histoire »
Pour faire un bref résumé de nos découvertes :
1- Phénomène de tourbillon bien connu :
Instabilité de Bénard Von-Karman
2- Existence de différents types d’écoulement dépendant d’un nombre sans dimension dit le
nombre de Reynolds e R .
- régime stationnaire décollé pour 5 ≤ Rt ≤ 46. On observe un décollement de chaque côté du
cylindre.
L’écoulement est stable et reste stationnaire et symétrique par rapport à l’axe longitudinal.
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-
régime instationnaire 2D pour 47 Rt ≤ 189 . L’écoulement devient instationnaire. Les
différentes perturbations possibles ne peuvent plus être amorties et une instabilité se
déclenche. Les deux tourbillons perdent leur symétrie par rapport à l’axe longitudinal du
cylindre. On observe un décollement de chaque côté du cylindre alternativement pour
former l’allée tourbillonnaire de Von Karman Cette instabilité absolue est de nature
bidimensionnelle et est caractérisée par une périodicité fortement prononcée.
La fréquence du lâcher tourbillonnaire est
liée à la vitesse de l’écoulement et au
diamètre du cylindre par un nombre sans
dimension appelé nombre de Strouhal :
- régime instationnaire 3D pour Rt ≤ 189 . L’écoulement reste instationnaire. La situation se
complique un peu en étant maintenant à 3D.
Concernant le nombre de Strouhal, voici quelques données trouvées dans ces thèses :
Conclusion : La fréquence d’apparition
dépend donc d’un nombre (sans
dimension) nommé nombre de Strouhal
(St) qui dépend un peu du nombre de
Reynolds mais dont la valeur reste
proche de 0,2. Soit :
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III. Vérification de nos mesures
1. Les nombres de Reynolds et de Strouhal
Pour comparer nos mesures nous avons établi le tableau ci-dessous à l’aide du tableur Excel:
Nos résultats sont très cohérents avec les données recueillies.
De plus, nos constatations expérimentales trouvent ainsi une justification.
En effet, à partir du nombre de Strouhal, l’expression de la fréquence est :
On remarque que si V augmente alors f augmente et que si D augmente alors f diminue. Ce qui
est cohérent avec nos constatations expérimentales.
1- A diamètre constant; f augmente avec v
3- A v constante, f diminue
quand le diamètre augmente
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Toujours d’après la littérature, les tourbillons apparaissent à partir de
Le produit Vseuil x D doit donc être constant.
Celui semble constant (à 10%) avec une valeur
On retrouve logiquement la dépendance entre la vitesse de seuil et le diamètre du tube. Celle-ci
diminue quand le diamètre augmente.
À partir de ce résultat, il est aussi possible d’obtenir un ordre de grandeur de la viscosité de notre
fluide si l’on connaît la masse volumique ρ de la solution car :
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2. Mesure de la densité ρ
Après mesure de ρ avec un densimètre on peu en déduire la viscosité théorique de notre mélange,
soit :
Une question se pose alors :
Ce résultat est-il cohérent avec la viscosité réelle de notre solution ?
3. Mesure de la viscosité h
Notre méthode consiste à mesurer le débit volumique D V d’un écoulement à travers un tube
capillaire (viscosimètre d’Ostwald).
Ensuite, par comparaison avec la viscosité de l’eau, on en déduit η.
La loi de Poiseuille dans le capillaire est :
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Voici dans un tableau la viscosité de quelques fluides :
Donc notre résultat 4,3.10^3 Pl semble cohérent car supérieur à celui de l’eau pure (rappelons
que nous avons utilisé un mélange d’eau et de glycérine.
De plus, celui-ci conforte le résultat trouvé dans la partie précédente à partir de la vitesse de seuil
et du nombre de Reynolds, à savoir η théorique est 4.10^3 Pl
Il est maintenant possible de déterminer le nombre de Reynolds de chacun de nos résultats afin de
vérifier que l’on se trouve bien dans un type de régime instationnaire Rt > 47quand il y a des
tourbillons derrière le cylindre.
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IV. Applications
1. Aussi dans la nature
2. Résonance d’un fil
On a pu constater que dans les ports, quand le
vent souffle
de façon régulière les cordes des bateaux «
sifflent » ceci
indique que ces cordes sont en résonance.
Rappelons que la fréquence propre de
vibration d’une corde de longueur L, de
masse linéique ʎ et de tension T
est :
Donc, si cette corde de diamètre D se trouve dans un écoulement à la vitesse V pour un fluide de
viscosité η, celle-ci peut entrer en résonance si :
Remarque : si les fréquences ne sont pas identiques, la corde se met à vibrer tout de même.
3. L’incroyable histoire du pont de
Tacoma
Durant la formation des tourbillons, le fluide
exerce une force transversale sur le cylindre.
Cette force est perpendiculaire à l’écoulement
et à l’axe du cylindre.
Le sens des tourbillons étant alterné, la force
est alternative et permet de mettre en
résonance la corde.
C’est précisément ce qui s’est passé sur le pont
surplombant le détroit de Tacoma, dans la ville
de l'État de Washington du même nom (USA)
en 1940.
Les câbles se mettant à vibrer avec le vent,
ceux-ci ont entraîné tout le pont dans cette
résonance jusqu’à sa destruction et ceux en
présence de vents de 65 km à l'heure seulement
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Bibliographie
Thèses :
Contribution à la modélisation et à la prise en compte informatique de niveaux de descriptions
multiples.
Pierrick TRANOUEZ (2005) ; Université du Havre ; p 103-104
Analyse physique et modélisation d’écoulements incompressibles instationnaires turbulents
autour d’un
cylindre circulaire à grand nombre de Reynolds.
Rodolphe PERRIN (2005) ; Institut National Polytechnique de Toulouse ; p 6-7
Méthodes particulaires pour la simulation des sillages tridimensionnels
Philippe PONCET (2001) ; Université de Grenoble I – Joseph FOURIER ; p117-139
Adresses Internet :
wwww2.fsg.ulaval.ca/opus/physique534/complements/sonsVib.shtml
www.nrc-cnrc.gc.ca/highlights/2003/0306tacoma_f.html
www.imaginascience.com/articles/sciencesphysiques/mecanique/resonance/resonance5.php
www.onera.fr/cahierdelabo/french/hqvid.htm
www.math.rug.nl/~veldman/cfd-gallery.html
www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/Tp-phys/Term/TP- fluid/visco-eau.htm
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