La théorie de l`experience de M. Henri Bénard sur les

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L’É.N.S.
H ENRI V ILLAT
La théorie de l’expérience de M. Henri Bénard sur les tourbillons
alternés dans une cuve limitée par deux parois fixes parallèles
Annales scientifiques de l’É.N.S. 3e série, tome 46 (1929), p. 259-281
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LA THKOlîlE DE L'EXPElîiKiNŒ DE M. HENm l î E N A î î D
SUR
LES T O U R B I L L O N S A L T E R N É S
•DANS
UNE CUVE LIMITÉE PAR DEUX PAKiHS FIXES PARALLÈLES
PAR, M. HENRI ViLLAT
•
1
Nous n'avons pas/besoin de rappeler ici l'e détail des belles, expériences de M. Henri Bénard sur les tourbillons alternés qui prennent
naissance à l'arrière d'un solide c y l i n d r i q u e en mouvement clans un
liquide^ dans certaines conditions de vitesses- Une théorie de ces
expériences a été donnée par MM. Th. von Karman et Rubach {.Physikal. ZeiUchrift^ 1912, p. 49? « Ueberden Mechanismusdes Flùssigkeits
und Luftwiderstandes »). Ces auteurs oni supposé qu'il s'agissait d'un
fluideinfini dans toutes tes directions. Or en fait, les expériences ont
été réalisées dans une cuve de très grande longueur mais d'une largeur
relativement faible (de 20 à 3o centimètres), en sorte qu'il est désirâblé que les circonstances puissent être examinées du point de vue
théorique précisément dans des conditions analogues.
Dans les lignes qui suivent nous avons tenté l'établissement de la
théorie dans un bassin de largeur finie.
A cet effet il est nécessaire de commencer par établir les équations
propres à représenter l'état d'un fluide enfermé entre deux murs parallèles, et dans lequel se trouveraient deux files, indéfinies dans les
deux sens, de tourbillons alternés. C'est à quoi l'on peut parvenir en
utilisant un procédé indiqué par M.. G. Jafle {Annalen der Pfrysik^ O l ,
1920, p. ï73) et pour l'emploi duquel je renverrai à mes Leçons sur la
Théoriedes Tourbillons (un volume, Gauthier-Yillars, éditeur, 1929,
Chapitre YI).
On passera facilement de là à la configuration de l'expérience
de Bénard, pour laquelle, à l'amont du corps cylindrique en mouve-
260
.
HEMU V I L L A T .
ment, le fluide est en repos, et, loin vers l'aval, les tourbillons alternés se sont établis réguliers, dans les conditions qui ont été souvent
décrites. Sî l'on examine ce qui. se" passe très loin à l'aval, on peut admettre, sans erreur sensible, que l'état des vitesses provient des tourbillons réel'le.ment existants, ne diffère que très peu de l'état des vitesses
qui serait dû à la présence de deux files tourbillonnaires indéfinies dans
les deux sens et ceci permet de faire, à partir de cette hypothèse, le
calcul de la résistance qu'éprouve le solide à son avancement, avec
la même approximation que pour le calcul de M. Karman en fluide
indéfini.
Nous avons recherché ensuite ce que devenaient nos formules
lorsqu'on faisait croître indéfiniment la largeur du canal dans lequel
on opère. Bien entendu, l*es équations qui déterminentle mouvement
des deux files des tourbillons, indéfinies dans' les d e u x sens^ dans le
cas du canal, deviennent à la limite les équations qui conviennent a.
deux files indéfinies en un. milieu illimité. Mais il se présente une circonstance curieuse, la valeur de la résistance éprouvée par le cylindre
(par unité de longueur) ne tend pas vers l'expression que donne la
théorie faite directement en fluide illimité. Nous examinons à la fin du.
présent travail les raisons de cette anomalie. Celle-ci montre que la
représentation correcte (parles méthodes théoriques approchées établies pour un fluide illimité), d'un phénomène physique réalisé en
un domaine limité, peut ne pas être sans dangers imprévus.
Les résultats du présent travail ont fait l'objet d'une Note aux
Comptes rendus (avril 1929, t. J.(S8^ p. 1129). Dans un beau Mémoire,
publié en juin 1929 (Phil. TransacL oflhe Royal Soc,, London, A.228/
p, 275), M. L. Bosenhead a étudié de son côté la configuration des
tourbillons alternés dans un canal. 11 en a déterminé les conditions de
stabilité^ ce qui constitue un progrès essentiel pour la théorie, et il
a effectué le calcul de la résistance moyenne éprouvée par l'obstacle
solide^ par une méthode différente de celle qu'on trouvera ci-dessous.
Son point de départ est à ce propos un Mémoire de M. L L. Synge
(Proc. Roy, Irùh Academy, vol. 37, A. 8, 1927) qui établit une
formule générale pour la résistance, sans faire d'approximation de
la nature de celle qui est employée ici. M. L. Rosenhead échappe
ainsi au paradoxe signalé pour le passage à la limite.
SUR LA THÉORIE DES TOURIÎÎLLONS A L T E R N É S .
1(S 1
On trouvera dans nos Leçons sur la Théorie des Tourbillons citées,
Chap. VI, un exposé du résultat de M'. L. Rosenhead^ et de la méthode
de M. Synge*
Nous montrons en quelques lignes, en terminant le présent travail,
que l'expression adoptée ici pour le potentiel complexe se trouve spécialement appropriée pour l'application de la méthode de M. Synge.
y
asQ
—ê-y
^
os
Afy
-^——
A^
—•<? 0^
6
^
ce.
0
A
Fig. i.
En désignant par (.0,1 la. distance des deux parois parallèle-s à
l'axe ox, et opérant dans un plan horizontal xoy, nous savons que
la vitesse complexe correspondant à deux files indéfinies de tourbillons, alternés selon la configuration de Bénard., estdonnée par la formule
(i)
.
dy
a,z
^ T ,„
-a—^
'
ïii .
oJi
-1
2 /, 7: (. U — l i' ) == 2 / 7: ——• == > , J K ^ (, ^ — ^K ) ~ — (..•s — ^Y .) J
en désignant les deux parois par x= o et, x = coi, et en posant
J,.=:-.J,=:-J,=J,==J;
z .,==: œ.i-f- <x).i — a',
'.î ÛtJ i -——- (t ;
: ûû:*4- œ.i-h a,
de sorte que Féquidistance/dans chaque file est -^1- En développant,
on trouve immédiatemeut • '
.
1^__( y „ iv}-=. Ç (.3 — a) ~ Ç(.= -i- a) -4- Ç(^ — ff -r- c^
-4- a + co..) -r-
^•n^a
^'>'-â
'
HEiNH1!
VÎLLAT.
Pour u n e raison qui apparaîtra. plus loin, transformons cette expression., en p r e n a n t pour axes o ' ^ y deux axes de symétrie de la
bande (AA'), a' x ' coïncidant avec o9 x. Nous poserons donc
et nous désignerons par
la demi-distance des deux fîles des t o u r b i l l o n s .
Les propriétés élémentaires de la fonction ^ c o n d u i s e n t à la f o r m u l e
—— ( // — n ' ) == Ç ( ^ / -h o ) --- '^( :.' — o 4- ^ ), ) 4-- Ç (' 3 / -I- ô 4- ' -»->., ) -,
•rc^'—o—^.F-i-^Y;,c'est-à-dire
( •^ )
•i-2110
^,
^ ( // •-- ^> ) =- C < ^ / -h o » -- S i ( ^ - - o ) 4- ?, ( ^ / 4- o ) - 'C, (..-/ -...--.. o ) -..-..- 11'i0.
Si l'on néglige le terme en ^-L—-dans le second membre, et si l^on
fait tendre ensuite ^ vers — ô, nous savons que nous obtiendrons ainsi
la vitesse {ït^ ^,) du t o u r b i l l o n A , . On trouve ainsi
"—— l /<„ -- /(' „ » r:= ^, ( 1 -..> o ) ...4- Ç^ ( -^o ) — 'L-il-0 ;
c'est-à-dire
r<." 1 1 - 1 - :1 •>,7:
i3 )
r i t • > o ) 41- r..( - - î o )
4 Ïj l 0
Soit par un calcul direct, soit tout s i m p l e m e n t en intégrant, par
rapporta. z\ l'équalion ( 2 ) , nous o b t i e n d r o n s Je potentiel complexe /
sous la forme
, / (-U
,. 1
^( TT
..<7{^ 4- o ) cr, (' ; ' • s. - o )
• ^ rj, o ,
-——y •"= jo^—~———^—::——;——^- ..-,„.„„ ——L«^' .,,,|,... cuiist.
à
'
" '7l ( 3 •-- 0 ) CT;; ( r.
0)
(.f^
'
.
1
'
.
!
et l'on pourra évidemment négliger la constante d'intégration ; par
SUR LA THÉOSUE DES TOURBILLONS ALTERISÉS.
suite la fonction de courant 'b sera donnée par
'^TT
0" ( ,3 ' + 0 ) (7., ( .3 " -+- 0 )
0" ( r. — Q ) 0':; ( ,S — 0 )
Nous allons aisément démontrer le résultat suivant :
THÉORÈME. — Quel qne soif y , la différence
H^^f^,r')-^|
-•> v
est nulle,
On a effet
o - ^ _-i -4- / » ' 4- o s-2 ( — -^ ly -4-
ç3
j°"i t — "7 •+- 0/ "~ 0 /
cr:;
\ "m
== — 4'^i 0 + \Q^
/ r-«» 1
-r- rr — 0
.
•N
ç.,i
-4-. /<)'
)- —
î7;i .-_
-— ~i— o
0
"\ ^
0-
— — -i- IV -i- 0
0-,. i •"1-
Posons
et par suite
il vient
,7(oî+ /.)-) o-.^(a + (r1) 0-1(0 — n')cr;;(a — n')cr(a -— n")
— —— I-î =-~\ Ti i 0 -1- - 1<,)^
X o-y ( a — ir ) cr,, (' a -4" ^ï'}^^ 'Jl_^' ])__ ___
"^n~^a"::i:::^^^
+ ^ i ) ^( n " -1- a — w i )
x cr.,( n' -i- a — ^i) (7i (' — (r -— c/. -i- o»i )
^ ^ ( —^y—^^-(^^^^(a—- / ) • — C i ) i )rj.\ry.---ir—Cx}.^)
Or on a ( c / \ TAN^EI^Y et MOLK, Fonctions elliptique^ fonn.XlI)
a- ( if ± c,.)i ) — ± e^^" cro), o-i / / .
.,
'7 .,(>), 0-.;Q»,
ÎT 1 ( //, -|- 0), ) = — ^ nl // ——^——— 0- « .
<7a f II — W i ) ==
f?""711
7..; ( /,/ -I- ^), ) --=
ril
^'
//
0"2 fl} i ':7:;// l
" ^i ^\ ^2 ^ ;
moyennant quoi la quantité sous le signe log devient
i
fj .,€<.), cr;;aii j .
^i'/'n '''h— •^i0
(O-^û)i î7:;0)i )''
264
ÎÎENRI VIL LA T.
Mais on sait que.
C^QJi (7., G), ==: ^ I t 1 0
il reste donc
- 4^1 Ô 4 ~ - lo^e^ 0 ) == o
ce que nous voulions prouver.
Cela étant, nous allons examiner, dans les circonstances où
s'établirait la configuration des tourbillons alternés de M. Bénard,
quelle est en moyenne la valeur de la résistance éprouvée par l'unité
de longueur du cylindre en mouvement dans le fluide. Nous supposons
D
C
D'
C*
<-—"^^
«»
y
y'
^.
of
0
se*
«
«
A
B
«
^
®
"B'
A'
«
A7
Fig. a
donc que, dans notre plan x ' o ' y (normal au cylindre), la base de ce
cylindre— symétrique par rapport à la droite o y ' — se déplace dans
le sens o ' y ' avec la vitesse constante V.
A l'arrière du corps les tourbillons alternés se détachent (c'est un fait
SUR LA THÉORIE DES TOURBILLONS ALTE'RNÉS.
260
d'expérience), et à une distance suffisante du corps, leur vitesse de
déplacement absolu sera désignée par i\,; à l'avant du corps, aux
grandes distances, le fluide est au repos. Au bout du temps T défini par
(6)
'
T(V—^'):
*2?j.)3
/
— où ^ représente la vitesse d'échappement des tourbillons — la
configuration relative au corps a repris un aspect identique à l'aspect
initial (fait d'expérience).
Dans .ces c o n d i t i o n s , en considérant le moïi\'em.ent relatif Au fluide
par rapport aux axes o ' x y ' liés aux tourbillons (et se déplaçant par
suite avec la vitesse <\,), appliquons le. théorème des quantités de
mouvement à la masse fluide enfermée à chaque instant entre les
parois A, A', d'une part, et d'autre part une]droite AB parallèle à o ' ^
à l'arrière du corps, à. u n e distance notable, et traversant la bande
précisément entre deux t o u r b i l l o n s consécutifs; et enfin unedroiteCD,
loin vers l'avant, parallèle également à o 1 'oc'. Et appliquons notre théorème depuis l'instant T jusqu'à l'instant " 4- T.
En désignant par W la résistance (projetée sur o y ) qu'éprouve
l'unité de longueur du cylindre, et par p la pression qui s'exerce sur
un p o i n t de contour, on aura l'égalité
^4-T
( .7 )
AQ -+- M=:—
t-/-^
/.T-4-Ï
W dt -h |
•'-• T
?
dt f ^
p dx1.
" \J contour
Ad premier membre AQ représente la différence des quantités de
mouvement 'présentes dans le rectangle AD CD entre les deux instants
^ et T - { - T et M est la quantité du mouvement sortie du rectangle
pendant le temps T.
Or, au bout du temps T, le corps a avancé, dans son mouvement
relatif, de la longueur ( V — ^ ) T = /; et par suite la configuration dans
le rectangle ABCD à l'instant T -+- T est identique à la configuration qui
existait, à l'instant -, dans le rectangle A^CYD obtenu en décalant
ABCD de la distance /.
La différence des quantités de mouvement présentes entre les deux
instants considérés est donc égale à la quantité de mouvement du
Àim. Éc. Norm., ( 3 ) , XL VI. — SEPTEMBRE 1929.
34
^6(:) .
HENRI VîLLAT.
rectangle ABA/B', diminuée de celle du rectangle DCD'C^ au même
instant T. Oi\ à l'avant, on a pour la vitesse relative
et a l'arrière
^
6?^
U=^
.
,
(^
.^-^-.,.
^ étant la fonction de courant donnée par l'équation (5).
A titre de vérification, nous constaterons que ces valeurs des vitesses
nous fournissent, bien, comme le bon sens l'exigeait, la même valeur
pour le débit relatif, en amont et en aval. Car, en amont, là quantité de
liquide qui traverse une section du canal pendant l'unité de temps est
,-l!ll
*
j
— ^d.r'-=—^^-^
J
-
f»>i
et en aval la quantité analogue sera
r»)t
r"
/
<
-
7
ù>,
uï
/
à^
,\ , /
.
Tr/^i
\ \i
.A~\
l - ^ - ^») dx = - OJ • ^ " ? ( 7 ? r ) - ^ ( ~ T ' >:) ; | ?
'•,
'
''
-
'
'
quantité égale à la précédente, à cause de la propriété essentielle de la
fonction 'L, traduit par l'équation B == o.
La différence des quantités de m o u v e m e n t présentes dans ABCD est
donc
o f f ' ( . . , ^ -..-,. c, ) ^ ^ / ) ' / - . - . - . - o f r
1
^
«AlSA'lt' -
"^
"
^^l.r1^
(
-'CDC'D'
[
- - ' f / ' ^-//^ =-?/'[+('î,..•')-+(-?-••)]-/•
^AHÀ'lt'
^(f
/
-
s
-*
Elle est donc nulle^ d'après le théorème démontré p l u s h a u t .
L'équation (7) devient donc, en désignant par W/// la valeur
moyenne de W pendant le temps T
,.
/
,'^
^-T
( 8 ) T.W,/- /
»y —
^
^
.
.// ^/>^
«-/ i f
'
1
1
.
!
!
!
,
!
' .
1
,
!
^
.-
/
!
,!
!
.
!
.- <^iiaiïtité du î\\ou\^meni entrée dans ABGD pencinnt le lempsT,
SUR LA T H É O R I E DES TOIHUîîLLONS ALTEHiNÉS.
267
Evaluons m a i n t e n a n t le second membre de cette équation ( 8 ) , en
adoptant le même ordre d'approximation que l'on utilise dans la
méthode classique concernant le fluide indéfini.
Nous savons que, si nous désignons p a r a , ^ les cosinus directeurs
de la normale extérieure à un contour fermé, la quantité du mouvement
qui sort p e n d a n t l'unité dç, tempe est, en projection sur o'y\
•"*
r*
/
CM n'(y. 4-- r 3 ) rW.s':=o | r'( t t ' d } ' 1 — r^/ ),
l
J^ 1"
;
J^-
(o)
"
ii' ^ v ' étant la vitesse relative aux tourbillons.
D'autre part, a cause de la permanence du m o u v e m e n t relatif, ^/*r
grandie distances ^ nous pourrons ydéfinir la pression p par l'équation
i)=.C— ^ c / / ^ - r ^ )
1
9-
avec uue approximation sans doute suffisante, et la c o n t r i b u t i o n de la
pression au second membre de (8) sera par suite
T / .,„.„.,.. £ (• (^ -4-- r^ ) f/.r'z=: T^ I ( n 1 ' 1 -\- (' / ' 2 ) //a'1'.
J,-t
^ '
^J<:-'
Au total nous trouvons donc
W^:~= 0- I
do)
( {/lî
- i'^)//./-'-!- ^ n ' ^ ' d y ' ,
l'inlé^ration étant effectuée sur ABCD.
Il est aisé de s'assurer que, en revenant aux vitesses absolue!! V^r)
par les formiiles
les termes en ^ et eu \\ disparaissent dans (10), et qu'il reste
(il)
. _
"NV/^-- 1 !- ^ / ( / / • î - - - r ' ; ) ^ r ' - h 2 / / ^ ^ ( r \
-
Mais si l'on a
' •
r/y
!
•
l e t
!
1
"
:
1
^
^
!
.
- 1 - /1 ' ^:r // --- l\ '
//^ '
•
!
.,
.
. \
dz -— dx -r- < ^/t'';
!
!
:
,
!
'
.
! 11 1
'
.
!
. •
!
!
lli
'
!
.
-
,
•
!
'
2ÔS
.
,
^ HENRI .VILLÀT.
il vient
^-^.iB)'^
"2)
1
<-'
•
!
.
Maintenant, sur AD et BC, // est nul, {—é) est réel, • / ( - — ^ ^
est imaginaire pure. On peut donc négliger les côtés verticaux AI) et
BC dans l'intégrale qui figure au second membre de (12). On peut
aussi y négliger la portion concernant DC puisque dans cette région //
el <' sont nuls : ce n'est que loin à l'arrière, que les formules (2) et
(5) sont valables (elles le sont sur AB). De sorte que dans (12) il ne
reste à considérer que la portion AB du contour, —' s'y trouvant
définie par les formules (i) et (2).
Dans ces conditions nous voyons qu'il viendra
w.=-£..ff^y^.
^.uA^/
2
A cause de la périodicité de la fonction définie par (i) et (2), et à
cause du choix de AB, il revient au même de faire le calcul sur la droite
et tout est donc amené au calcul de l'intégrale
rtï(
r~w\/T-'
j_^
w <L •
et l'on aura enfin
(iS)
f»)i
' w^^J^^ JÇ " s^^.
-^
avec
04)
s^ç(^^^+ô)~-ç^^^^^)+^(^+^
.-_Ç./^^,_a)_illL 0 .
\ ^
/
^1
.
^
1
,
. .
Tout revient donc au calcul de l'intégrale d'une certaine fonction
elliptique.
SUR LA. THÉORIE DES TOUR'BÎLLONS ALTERNÉS.
269
2
Faisons la décomposition de S en éléments simples, 'en opérant
avec la variable ^4- -^ ==^\ pour ne pas compliquer inutilement.
Les pôles (doubles) sont z^ = -— o, o -—- co,, — o — co^, o + c»j:i dans le
rectangle principal des périodes:, construit sur les sommets —eu,,, co,i,
co, + 2ço;s5 — coi+ 2co:; (légèrement décalé vers le bas).
Posant z ' === — o + ^? et
( i5 )
P == ç,( ^ ô ) -4- ^(^ ô) - -t^-^
on trouve immédiatement
I.
2?
. .
..
.
,
b 12 ^^ —1 .-}- — — série entière en n.
fi'
II
. De mêm-e,, pour ^ = o — coi + A/, il vient
•
!
•
'
•
' Ls-- /I2 -'' p ^r - • 1 1
'~^ •
/,' ' - ' "
•
!
^
'
P o u r ^ = - o — co,+^.
^_
i + ^.-i.
2P
^
._^
Pour^/==(-o;,+^+//w,
I
p
S.'
^ -Fi- ' ^ -"....
On peut donc écrire
(1.6) ' S 2 = : p ( ^ ' + ô ) 4 - J ^ ( . 3 / — ô + ^ 1 ) ^ - 4 - p ( , 3 ' + ô + ^ ^ - r - j ^ ^ ' — ô - — û ^ O
-i- 2 P i S (.^-h- 6 ) — Ç ( - 3 ' — Ô + ^ , ) 4- Ç (.3'+ Ô -4- ^ ) — Ç (^ ' — 0 — M:ji -h Q.
en désignant par Q une constante, dont on trouvera la valeur en donnant
à ^ une valeur quelconque, par exemple ^ = o, dans le rectangle des
périodes. Cette substitution donne immédiatement
( 1 7 ) KO 4-1, o -r- ^" o -\~ r:;ô — ^-^ ) •==- p o 4- p (• ^, — ô ) 4- p (>) ^ 4- ô } 4- p ( ^, 4- 5 ;
4- 2 P [ Ç o 4 ~ £.1,0 4- ^o 4- Ï:s 0 — ' ^ i ] 4 - Q.
Mais la formule bien connue (Tannery et Molk, XI, 3)
<7 (' 0, 0 ) =: 2 <7 Ô 0" ; Q 0^ 0 CT:i 0
donne
et
4 p ( 2 0 ) = = p o 4-' p ( o 4- o-> i ) 4- p (, ô 4- ^2 J -i- P ( ° "+-1 ^;i ) i
270
HENi'U
VÎLUT.
de sorte que la relation ( 1 7 ) devient
(.8)
0 - . l i Ç(.Ô>-1^'
N:C20) — - ^ l
II nous faut m a i n t e n a n t calculer l'intégrale
?i>,
î.== /
S^/.r',
' ^'î i
ou, ce qui revient au même,
(î0) •
,L:= ^
S^^'x^',
S'^-s^) étant la fonction de ^ / définie par( iG), et P e( Qayantles valeurs
( i 5 ) et(i8 ). L'intégrale indéfinie fournira les (rois éléments suivants :
a == -- Ç ( .r/' 4- o ) — Ç ( ^ — o -1- ^), > --1- Ç ( ^' — o + ^)ï
o- ( r.1' + ô ) (7 ( ^ / -4- ô -4- ^ )
^=:2P
10^
y=Q..
et par suite rintégrale L sera la sonnne
[w)
/
0-(' ^ ^ ^ ^-- r,), ) ç"( r.' — 0 — r,);; ) ( '
L=a; 4" (3,4- y,
des trois quantités suivantes :
SlîR LA T H É O R I E DES TOURBÎLLONS ALTERNES.
2^1
Or en posant
'
^rt^ 4- o = /
2
"t
"
^ „....-._ r,).,
i
———^———-i-0=^.
vient
(si]
^-ai=:—r/.~r-^+ri/.— îi^.— •^i.
Nous nous préoccupons, en vue de de Inéquation ( "i3"), uniquement
de Ici partie réelle de l'intégrale L, donc des parties réelles a,, ^,
'Y,, de a,, fl,, y,'. Il est clair, puisque À et [-/. sont deux imaginaires
conjuguées, que l'on a d'après (2?) :
( 9.2 )
a j ==: — .4 Tt i.
lîxaiilinons maintenant |3i, et transformons-en l'expression en y faisant également apparaître les nombres A et ;^. 11 vient aisément
P]
aP
,
——-rrrioû'
/
o-Acr(^--(,»,)
\2
——-—•————<—————-————
==\ cr ( /. — G.) i ) o- ( p. -— '2 G.) j ) /
iofi-
/'çrl o-, |J- /. ^ , . (L, .,,„
V^
—— — L L - ^ i l ' ^ ^ - î • - - - î < l > ^ l
\ o" ^- o-, A
/
Comme les quotients î 7 -,' 71 — ont pour module l'unité, la partie
réelle de fl< est fournie par l'égalité
|3 \ = 4 P (, A + fJ. — -'$ ^), ) r^.
ou bien
( '^3 )
•
j3't == 4 P r;i ( ^ o -- ^ï i ),
Enfin, comme le coefficient Q est réel,
/,:=Q^.
Par sdite. il vient en définitive
cK(L):=a,4-^4-/,
ou en réduisant
f^) ^(L)^ic,), 1(.. ^(^o)- ^ir
^i .s _
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Ç, ( ^ ô ) •^ Ç..( (: '.>. ô } — —ij—
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+ 8-ni
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272
HENRI
VÎLLAT.
Après quoi nous aurons, p a r ( i 3 \
(>6)
W=^^(L).
Examen du cas limite où F on opère dans une bande de largeur indéfinie. — Le cas limite où la largeur de là bande est infinie est celui où
l'on opère en fluide illimité/c'est celui qui a été examiné dans le calcul
de Karman. Voyons d'un peu près à quel résultat nous serons amenés :
il nous faut pour cela supposer que coi devient infini, la distance 20
des deux files tourbillonnaires restant finie, ainsi que Féquidis.
1
203.,
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i
Dansées conditions il. est bien connu que l'on a (Tannery et Molk^
CXXII)
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Si l'on transporte ces résultats dans l'expression (23) de (R.(L), on
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trouve —^- / — cotb.' — •J^• ———
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y
y
^
^
mation n"'est pas suffisante pour les fonctions G et j); il faut utiliser
des développements plus étendus. A cet effet, puisque nous sommes
T:(»);}
,
,
dans le cas où le module q == e uùi tend vers i, il est opportun de
passer, des fonctions elliptiques construites sur les derni-périôdes coi
et 0)3, aux fonctions construites sur
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W^-zzz—
'
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et
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r,)^ === Kx.),i..
SUR LA THÉORIE DES TOURBILLONS ALTERNÉS.
2"?3
Les formules d'homogénéité bien connues nous donneront alors
^ ( i l t \ /GO ( . /O.),; ) = — / ^ (_ u \ (,.), ^:; ),
? ( 1 U | / O ) , . /QJ;; ) == —.
p ( (f | (,..) ^ €»,):; ).
On aura donc, en marquant de l'accent les éléments relatifs aux
fonctions construites sur a/ , co'.,
r^ == i Y];; ,
y^ ^=z— / - 0 1 ,
puis
:x
-.'i ? /C0| j =.~L Ç f /a -+- -^
^l ( lu
z'c,j,. ^ G ) ^ J — /y^;
= — /Ç ( <'/ — ^3 I ^^ GJ^ ) — ir^
== —— l [ Ç;( ( // | GJ ( (.,);; ) —— 7^ ] —— /Ti^ == — /^ ( /Z j GL»I ^^ ),
d'où les trois formules semblables :
S., ( iu \ lu i. / G.);; ) ==: — /^; (^ ;,< j GJ ; co;; ").
Ç.3 ( iu \ ifi}^. (' w.^ ) == — /'Ç.» (' u | a), c»j:; ),
Ç:{ ( /'//. j î fï) ) , /€»,);( ) == — /Ç.i ( II j G), G,);; ).
—
7:(ù
^
Enfin q ' = e i(t^ tendra maintenant vers zéro.
Utilisons maintenant les formules cvi, 2 et 3, de TANNEKY et MOLK,
il viendra immédiatement :
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-,
,
'-2^1 ô
-2 ôr/,
C ( '->. 0 • ^)| Q).; ) —— ————— ==—— —————
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On trouvera de même
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Ànn. Éc. i\orm., ( 3 ) , XLVL — SEPTEMBRE 1929.
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35
2,7^[i
liEMU V Î L L A T .
Portons ces résultats dans 1{(L), en y remplaçant et), outre -/p
par/r^ ou bien par /—t—^ 4- —r; et en utiiisant encore l'expression
classique
,
!;» ( •> 0 \ <<) i QL; ) == —- J:) ( •-> / 0 j G)^ '»4 ) 'r:- '
r'
'"''sl,^0
Cr) ,
^i;,-17^
On écrira sans peine le résultai de cette t r a n s c r i p t i o n . Il y figurera des
ternies en -—5 qui tendront vers zéro à la limite puisque c'est, mainten a n t co^ qui devient, infini ; on aura aussi des termes de la forme A//" (XL,
r
ou encore A -^—
tendront également
vers zéro. Le terme en ro."
KTCO);'; qui
1
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a u ra p o u r co effi c i e n t
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,,0
„
ou encore zéro. Ceci est le résultat déjà rencontré plus h a u t .
Enfin il reste le terme indépendant de col; et ne contenant a u c u n e
puissance de (f en facteur; ce terme se présente immédiatement sous
la forme
T: '
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7 : ô / — •z.^-,...,....,.;,....i
or/, ^. .-..—ec'yi^i
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......,.-...^,.... / „.-„..„„(.(>((»
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SUK LA THÉOHiE S'»ES TOURBILLONS ALTERNÉS.
2^5
En sorte que la formule (26) nous d o n n e à la l i m i t e
•w.
oaF 2 ih, —
r o .— -^—.
^J 2
\V == r
i n n viW == -^—~,
.
En revenant aux notations deM. K a r m a n , et désignant, par / r é q u i distance •-^7 par À la distance 20 des deux files de .tourbillons, cette
formule prend en d é f i n i t i v e la forme
.-w.^(,-^,
Cette formule ne coïncide pas avec la formule de Karman. (CH. v.
KARMAN et H. BUBACH {Pîfynkalùche Zei^chrift, 1912, p. 4(), « Ueber
den Mechanismus des Flûssi^keits u n d Luftwidersiandes »"). Elle en
ditîere du i e r m e — ^ " q u i , dans le r a i s o n n e m e n t de Karman, provenait
de la dilïerence de la q u a n l i l e de m o u v e m e n t dans les deux régions
ABA/B'., et•C.DC / D / envisagées dans le fluide où l'on avait isolé d'abord
un rectangle ABCD de grande largeur AB.
, •
Dans nos hypothèses actuelles, nous avons constate que/cette différence était nulle^ et elle le restera tant qu'il y aura des parois solides
AD et BC, même si ce.Des-ci sont très éloignées.
Cependant notre fonction 6 définie par l'équation ( 5 ) deviendra
bien, à la l i m i t e , la fonction de courant qui c o n v i e n t a u x tourbillons
de Bénard. Cela est facile à vérifîer en u t i l i s a n t les fonmiles suivantes
(cf, ÏANNERY et MOLK, Foncl. elliptiques^ f. CXXII, î i") c o n c e r n a n t le
cas où coi est i n f i n i :
YH
——
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:
r^ ————^ ,
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1 1
2^6
HENRI
VÏLSLAT.
En appelant d/ ce qui devient (^à une constante près) la fonction 'i,
on trouve ainsi
/ r : [ c. — o )
cil •———————
•w
Or dans le calcul concernant les tourbillons de Bénard en llu'ide
0
^^o
JO
®
Fig. 3.
indéfini, et avec les axes de la figure ci-dessus, on avait la fonction de
courant
S 1 1 1 y ( r , -——^)
'y^
—io,
• , •--171
s in / , CG—^I,')
En posant s^== — == io, :^==—io — -, il vient
i ii
.
* i
^n
cos-. ( z -i- / o )
i
^ | . 7i .
.^
| s iû . ( ,s — 10 )
Si enfin nous faisons la transformation z'= iz qui correspond à une
rotation de la figure, d'un angle droit, nous retomberons, à une constante près, sur ^ / .
Il y a donc raccord à la limite^ entre les deux fonctions de courante ce
qui du reste n'est pas très surprenant. Mais, tandis que là fonction d/'
fournit dans la résistance le terme —^ la fonction ^ concernant le
fluide limité, dans un canal même très large, ne pouvait nous conduire
à ce terme.
Il est clair que la vitesse V de déplacement du cylindre, qui n'intervient pas explicitementy figure implicitement dans ces formules, car
c'est elle qui régit les conditions d'établissement du phénomène, et de
SUR LA THEORIE DES T O U R B I L L O N S A L T E R N É S .
cette vitesse dépendent évidemment les quantités o, 003, et par suite ^.
II est assez vraisemblable que la non-concordance de la formule
l i m i t e , avec la formule classique, dépend du fait que dans la méthode
suivie l'approximation, signalée plus haut pour le calcul qui concerne p , est sans doute devenue insuffisante alors que celte même
méthode était entièrement suffisante dans le cas du fluide indéfini.
Et, en effet, cette vue se confirme par le travail de M. L. Rosenhead
que nous signalons à la fin de notre Introduction.
Il est facile de voir que l'expression trouvée ci-dessus pour la fonction ^(.^ / ) est spécialement -appropriée à l'application du théorème
de M. Synge dont fait usage M. Bosenhead.
M. J.-L. Synge (Proc. Roy. frish Acad., t. XXXVII, A, 1927, p. 93}
a démontré qu'en désignant par (X/^ Y/,,) les composantes de la résistance moyenne éprouvée par l'unité de longueur d'un cylindreimmergé
avec production de tourbillons alternés en régime bien périodique, on
a la formule
( 27)
T(X/,- /¥„)==- p I [©],'«/¥ + /./x )- ^ f1 dt. Ç\
djL.
D
Y
<|——
0
X
^
/
-J
®J
A
-^
B
Fig. ^
Les axesOXY sont ici des axes liés au corps ; w== u — n' représente la
vitesse complexe par rapport à ces axes, et ç est le potentiel (y, le
2^8
HEMU V1LLAT.
potenliel. complexe) dans le même mouvement relatif. Enfin y représente ici le contour ABCI) formé d'une section du canal, loin en aval
(passant entre deux. tourbillons consécutifs, par exemple à mi-distance
verticale de ceux-ci), de deux bords BC et DA du canal, et de la section Cl) loin en amont.
On a donc, pour les vitesses //, <•', les valeurs o, -11- V, à l'amont, et
()-L „.. ^
M ....... \
^,
a l'a val.
On a aussi, à l'amont, w === i V , et à l'aval
( '>.8 )
U' rrr. n' --;-- / \ .
Cela étant, on tire de la formule (27)
(^9)
Tï///=-:? f
joj^/X-i-
^ \iî » ci»
p
^ (
''
^ n
( i l j ir\/Z.
«^T
Pour le premier terme qui (i^ure à droite dans la formule (2<) ), tout
revient à calculer l'intégrale
( l^l. 1 ^^
'Ait
ou encore
puisque
o:=04-"-/V\.
A cet efïet, iVI. L. Rosenhead remarque qu'il suffit de s'occuper individuellement des deux. liles tourbillonnaires, en remplaçant l'existence
des parois du canal par des files doubles en n o m b r e i n f i n i , obtenues
par des", symétries successives relativement à ces parois. Bien que
l'intégration soit faite sur AB, c'est-à-dire sur un domcdne fîm, il n'est
pas évident que l'erreur commise en considérant les fîles tourbillonnaires comme indéiinies dans les deux sens tende vers zérolorsque AB
s'éloigne à l'infini. 11 en est cependant ainsi, car au moyen d'un raisonnement élémentaire, on voit que les tourbillons fictifs ob'tenus par
tes images indiquées produisent le même effet que si l'on ne tenait
compte que des tourbillons réellement existant dans le canal, mais
en intégrant sur une largeur infinie (dans les deux sens) au lieu de se
SUR
LÀ THÉOîHî'; DES TOURIïîLLO'NS ALTERNES»
2^q
contenter de la largeur A..B. Ors peut. alors conclure, comme dans nos
Leçons sur la Théorie des Tourbillons^ ('Chap. V.I\ p. i5o'),que dans ces
c o n d i t i o n s -on p e u t remplacer la portion de [o]J q u i correspond à
une file où l ' i n t e n s i t é est J , ' p a r
( 3o )
— ô r a r^' s Z — Z/, ).
— so
Mais coninie, dans le temps qui s'écoule de 0 à T, chaque tourbillon
s'est trouvé exactement décalé d'un ran^ vers le bas, on voit immé, .
.
.
^ \
°
^j
d i a t e m e n t que la contribution (3o) est égale a-^"? £ étant égal a ± ï
suivant que le p o i n t Z se trouve à droite ou à gauche de la file envisagée. De même, p o u r ' u n e tlle où PintensUé est — J , la contribution
analogue sera la même, mais changée de signe, — ^-•1
On, voit donc que ce q u i proviendra, s u r A B , des doubles liles fictives
à,gauche ou à. droite du canal sera nul; et il ne restera à envisager que
les deux files réellement existant à l'intérieur du canal. Elles fourniront du reste au total zeroy sauf si le point Z est entre 1rs deux files,
auquel cas on obtiendra
A
Le premier terme à'droite dans (29) sera donc égal 1 à 2 p J o et,
fournira pour Y/^, la portion '——? ou encore, en appelant //. la. distance
des deux files de tourbillons',^—• (fest là justement le terme de la formule de Karmem qui n'était pas obtenu par la première méthode.
Il ne reste plus qu'à examiner le second terme de la formule (29)
et à constater qu'il nous fournit la même expression que celle que
nous avons obtenue dans la première partie de ce travail.
Sur BC et DA, w étant imaginaire pure, la portion correspondante
de f w (17. ne fournira aucune contribution à Y//,. Sur CD, on a
•
et
;, ,
,
ir^/V
^
/
ir^7Z=—/
.
,
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^
.
,
( —\^)dX==:w,\\
!
,
^
:
280
H E N R I VILLAT.
Sur A B , o n a
!
• JVBf ^ / z ^^r^2 Lf-\-+./v^-..Y
^y]./x.
^ \^7 j
C» ) )
== ~ \' 2 ^ i -i-- 2 / V [ y ] ^ — -2 \ ['y]
^ -h j
n -' </X,
et par suite, à cause de la propriété essentielle démontrée pour la
fonction ^,
rl)
!
2
^ ( ^ dZ== — \ " r.,i 4- cPv /
( d^ }\/X.
J^
J ^ V^7
Le dernier terme de la formule (29 ) se réduit donc, en définitive, à
^
(3.)
^1
2
^>
t
cuÇ
~ (Wd^
J ^ V77^ .
A cause de la formule (2) qui donne u—i^ == H-S c'est-à-dire —*?
l'expression à intégrer par rapport à X n'est autre, à un facteur constant
près, que l'intégrale
ri),
-r- -;••
(
/
-
Ç(.^+ 0 ^ _ _
<.»<
ç, ( Z
„ 0^1-
^(
^+ â ) _ _ _
^(
4^5'
ij?l° I 2 ^
,^ _ _ _ 3 ) . _ _ _
-
^l
û ï ^
J
effectuée à une certaine section droite Hi du canal. Or, la partie
réelle
r»)i
2
•
un,=^ r ^;(,. +o)--...-- 4 ^TA• /
^
^
.^
^
G)
L
!
J
1;
!
!
est indépendante de la section sur laquelle on aura intégré.
On a en effet, en intégrant la fonction
, S^f^.^ô)-...-^!0?,
1
0)i
»
,
281
SUR LA T H E O R I E DES T O U R B I L L O N S ALTERNES.
le long du contour abcd de la ligure,
f
S^'^a/Tr^.Bésidi.is,
"-••' u i.ic</
les résidus étant ceux de la fonction S^ dans le rectangle abcd.
ci
—^
Comme S est imaginaire pure sur les parois du canal (où // == o),
les quantités
/ S'1/</}''
et
*-'/u-
f S'/^/r
^'la
sont imaginaires pures, et l'on a
Lin —-.Uji^rrr— •2 T. 3 -S Résidus de S 2 .
Or nous avons constaté, dans un calcul antérieur, que les résidus
de S2 étaient réels et éçaux à
J"^(^)+^(aô)_i^l0].
0>
L
11 en résulte donc
"
' -I
LJ^=: (j^
et par suite l'expression ( 3 r ) se réduira à
T
r
pi^/
' \ dv{ x'
_L-
c'est-à-dire l'expression — TW,« de notre première méthode, ce" qui
achève la vérification annoncée.
Ann.. Éc. Norm., ( 3 ) . X L V I . — SEPTEMBRE 1929.
36