La théorie de l`experience de M. Henri Bénard sur les

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’É.N.S.
HENRI VILLAT
La théorie de l’expérience de M. Henri Bénard sur les tourbillons
alternés dans une cuve limitée par deux parois fixes parallèles
Annales scientifiques de l’É.N.S. 3esérie, tome 46 (1929), p. 259-281
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LA THKOlîlE DE L'EXPElîiKiNŒ DE M. HENm lîENAîîD
SUR
LES TOURBILLONS ALTERNÉS
•DANS
UNE CUVE LIMITÉE PAR DEUX PAKiHS FIXES PARALLÈLES
PAR, M. HENRI ViLLAT •
1
Nous n'avons pas/besoin de rappeler ici l'e détail des belles, expé-
riences de M. Henri Bénard sur les tourbillons alternés qui prennent
naissance à l'arrière d'un solide cylindrique en mouvement clans un
liquide^ dans certaines conditions de vitesses- Une théorie de ces
expériences a été donnée par MM. Th. von Karman et Rubach {.Physi-
kal. ZeiUchrift^ 1912, p. 49? « Ueberden Mechanismusdes Flùssigkeits
und Luftwiderstandes »). Ces auteurs oni supposé qu'il s'agissait d'un
fluideinfini dans toutes tes directions. Or en fait, les expériences ont
été réalisées dans une cuve de très grande longueur mais d'une largeur
relativement faible (de 20 à 3o centimètres), en sorte qu'il est dési-
râblé que les circonstances puissent être examinées du point de vue
théorique précisément dans des conditions analogues.
Dans les lignes qui suivent nous avons tenté l'établissement de la
théorie dans un bassin de largeur finie.
A cet effet il est nécessaire de commencer par établir les équations
propres à représenter l'état d'un fluide enfermé entre deux murs pa-
rallèles, et dans lequel se trouveraient deux files, indéfinies dans les
deux sens, de tourbillons alternés. C'est à quoi l'on peut parvenir en
utilisant un procédé indiqué par M.. G. Jafle {Annalen der Pfrysik^ Ol,
1920, p. ï73) et pour l'emploi duquel je renverrai à mes Leçons sur la
Théoriedes Tourbillons (un volume, Gauthier-Yillars, éditeur, 1929,
Chapitre YI).
On passera facilement de là à la configuration de l'expérience
de Bénard, pour laquelle, à l'amont du corps cylindrique en mouve-

260 . HEMU VILLAT.
ment, le fluide est en repos, et, loin vers l'aval, les tourbillons alter-
nés se sont établis réguliers, dans les conditions qui ont été souvent
décrites. Sî l'on examine ce qui. se" passe très loin à l'aval, on peut ad-
mettre, sans erreur sensible, que l'état des vitesses provient des tourbil-
lons réel'le.ment existants, ne diffère que très peu de l'état des vitesses
qui serait dû à la présence de deux files tourbillonnaires indéfinies dans
les deux sens et ceci permet de faire, à partir de cette hypothèse, le
calcul de la résistance qu'éprouve le solide à son avancement, avec
la même approximation que pour le calcul de M. Karman en fluide
indéfini.
Nous avons recherché ensuite ce que devenaient nos formules
lorsqu'on faisait croître indéfiniment la largeur du canal dans lequel
on opère. Bien entendu, l*es équations qui déterminentle mouvement
des deux files des tourbillons, indéfinies dans' les deux sens^ dans le
cas du canal, deviennent à la limite les équations qui conviennent a.
deux files indéfinies en un. milieu illimité. Mais il se présente une cir-
constance curieuse, la valeur de la résistance éprouvée par le cylindre
(par unité de longueur) ne tend pas vers l'expression que donne la
théorie faite directement en fluide illimité. Nous examinons à la fin du.
présent travail les raisons de cette anomalie. Celle-ci montre que la
représentation correcte (parles méthodes théoriques approchées éta-
blies pour un fluide illimité), d'un phénomène physique réalisé en
un domaine limité, peut ne pas être sans dangers imprévus.
Les résultats du présent travail ont fait l'objet d'une Note aux
Comptes rendus (avril 1929, t. J.(S8^ p. 1129). Dans un beau Mémoire,
publié en juin 1929 (Phil. TransacL oflhe Royal Soc,, London, A.228/
p, 275), M. L. Bosenhead a étudié de son côté la configuration des
tourbillons alternés dans un canal. 11 en a déterminé les conditions de
stabilité^ ce qui constitue un progrès essentiel pour la théorie, et il
a effectué le calcul de la résistance moyenne éprouvée par l'obstacle
solide^ par une méthode différente de celle qu'on trouvera ci-dessous.
Son point de départ est à ce propos un Mémoire de M. L L. Synge
(Proc. Roy, Irùh Academy, vol. 37, A. 8, 1927) qui établit une
formule générale pour la résistance, sans faire d'approximation de
la nature de celle qui est employée ici. M. L. Rosenhead échappe
ainsi au paradoxe signalé pour le passage à la limite.

SUR LA THÉORIE DES TOURIÎÎLLONS ALTERNÉS. 1 (S 1
On trouvera dans nos Leçons sur la Théorie des Tourbillons citées,
Chap. VI, un exposé du résultat de M'. L. Rosenhead^ et de la méthode
de M. Synge*
Nous montrons en quelques lignes, en terminant le présent travail,
que l'expression adoptée ici pour le potentiel complexe se trouve spé-
cialement appropriée pour l'application de la méthode de M. Synge.
y
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os
^
—•<? 0^
6
y
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-^——
A^
0
ce.
^
A
Fig. i.
En désignant par (.0,1 la. distance des deux parois parallèle-s à
l'axe ox, et opérant dans un plan horizontal xoy, nous savons que
la vitesse complexe correspondant à deux files indéfinies de tourbil-
lons, alternés selon la configuration de Bénard., estdonnée par la formule
(i)
. dy ^ T , „ ïii . -1
2 /, 7: (. U — l i' ) == 2 / 7: ——• == >, JK ^ (, ^ — ^K ) ~ — (..•s — ^Y .) J
a,z -a—^ ' oJi
en désignant les deux parois par x= o et, x = coi, et en posant
J,.=:-.J,=:-J,=J,==J;
z .,==: œ.i-f- <x).i — a', : ûû:*4- œ.i-h a,
'.î ÛtJ i -——- (t ;
de sorte que Féquidistance/dans chaque file est -^1- En développant,
on trouve immédiatemeut • ' .
-4- a + co..) -r-
1^__( y „ iv}-=. Ç (.3 — a) ~ Ç(.= -i- a) -4- Ç(^ — ff -r- c^
^•n^a

^'>'-â ' HEiNH1! VÎLLAT.
Pour une raison qui apparaîtra. plus loin, transformons cette ex-
pression., en prenant pour axes o'^y deux axes de symétrie de la
bande (AA'), a' x' coïncidant avec o9 x. Nous poserons donc
et nous désignerons par
la demi-distance des deux fîles des tourbillons.
Les propriétés élémentaires de la fonction ^ conduisent à la formule
—— ( // — n ' ) == Ç ( ^/ -h o ) --- '^( :.' — o 4- ^ ), ) 4-- Ç (' 3/ -I- ô 4- ''-»->., ) -,
•rc^'—o—^.F-i-^Y;,-
c'est-à-dire
•i-2110
^,
( •^ ) ^ ( // •-- ^> ) =- C < ^/ -h o » -- S i ( ^ - - o ) 4- ?, ( ^/ 4- o ) - 'C, (..-/ -...--.. o ) -..-..- 11'i0.
Si l'on néglige le terme en ^-L—-dans le second membre, et si l^on
fait tendre ensuite ^ vers — ô, nous savons que nous obtiendrons ainsi
la vitesse {ït^ ^,) du tourbillon A,. On trouve ainsi
"—— l /<„ -- /(' „ » r:= ^, (1 -..> o ) ...4- Ç^ ( -^o ) — 'L-il-0 ;
c'est-à-dire
i3 ) r<."11-1 -:1- rit •>o) 41- r..( --îo)
•>,7:
4 Ïj l 0
Soit par un calcul direct, soit tout simplement en intégrant, par
rapporta. z\ l'équalion (2), nous obtiendrons Je potentiel complexe /
sous la forme
, / - ^( TT ..<7{^ 4- o ) cr, (' ; ' • s. - o ) • ^ rj, o ,
(-U ,.1 -——y •"= jo^—~———^—::——;——^- ..-,„.„„ ——L«^' .,,,|,... cuiist. .
1
.
!
à ' " '7l ( 3 •-- 0 ) CT;; ( r. 0 ) (.f^ ' '
et l'on pourra évidemment négliger la constante d'intégration ; par