La convection dans le manteau terrestre - Seismo@School

La convection dans le manteau terrestre
La convection dans le manteau terrestre
Par Frédéric Deschamps (ETH Zürich) Résumé
La convection thermique est un mode de transfert de la chaleur par advection de matière. Elle
résulte de la croissance d’instabilités générées par des variations latérales de température. La
croissance de telles instabilités dans un fluide est contrôlée par les propriétés du fluide, la
géométrie du système, et la différence de température entre la base et le sommet du système.
Le manteau terrestre est instable vis-à-vis de la convection, ce qui, à l’échelle globale, induit la
formation de grands courants de convection. Ces mouvements sont responsables de la
Tectonique des Plaques. Au niveau des zones de subduction, ils se manifestent par le
plongement et le recyclage de croûte océanique dans le manteau profond. En première
approximation, la convection du manteau terrestre est assez bien décrite par des modèles
numériques et analogiques simples. Cependant, pour expliquer plus finement les observables
géophysiques disponibles, il est nécessaire de développer des modèles plus complexes qui
tiennent compte des variations des propriétés des roches du manteau terrestre avec la
température, la pression, et la composition. Table des matières
Un peu d’histoire Définitions et principes Un modèle simple et bien compris : la convection de
Rayleigh-Bénard
Convection dans le manteau
terrestre
Travaux dirigés Quelque
s liens utiles
Un peu d’histoire
Premières hypothèses. La théorie de la tectonique des plaques ne s’est pas imposée comme
une évidence parmi les géophysiciens et les géologues. Ses prémices furent posés en 1912
avec la dérive des continents d’Alfred Wegener, mais elle ne fut majoritairement acceptée qu’à
la fin des années 60. L’un des arguments opposés à Wegener était l’absence d’un moteur fiable
pour entretenir le mouvement des plaques. Wegener invoquait des forces dérivées de la
rotation terrestre, hypothèse peut convaincante si l’on considère la masse continentale qu’il
était nécessaire de déplacer. En 1945, Arthur Holmes propose une explication plus
satisfaisante : c’est un mouvement de convection global du manteau terrestre (c’est-à-dire
l’enveloppe située entre 50 et 2890 km de profondeur) qui permet d’entretenir le mouvement
des plaques en surface (Figure 1).
1 / 15
La convection dans le manteau terrestre
25
21
22
Figure
La
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La
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Trace
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Coupe
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Modéles
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2 / 15
La convection dans le manteau terrestre
3 / 15
La convection dans le manteau terrestre
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Back
Définitions et principes
Le phénomène de convection est généré par le développement d'instabilités dans un milieu
initialement stable, auquel on superpose à un instant donné une petite perturbation. La nature
de la perturbation n'est pas unique et conduit à différents types de convection: variations de la
vitesse angulaire de rotation (instabilité de Taylor-Couette), de la composition chimique, ou de
la température. Dans ces deux derniers cas, le moteur de la convection est la poussée
d'Archimède, c’est-à-dire des variations latérales de densité induites par les variations de
composition chimique ou de température. Il existe plusieurs freins au développement des
instabilités ainsi initiées, notamment la diffusion thermique, qui tend à homogénéiser la
température du milieu, et la viscosité du fluide, qui augmente les forces de frottement. La
capacité de la convection à surmonter ces difficultés est exprimée à l'aide de nombres sans
dimensions, eux-mêmes définis à partir des propriétés physiques et géométriques du système.
Convection thermique
. Lorsqu’elle est chauffée, une particule de fluide devient moins dense que ses voisines, ce qui
induit des variations latérales de pression et de contrainte, donc une situation instable d’un
point de vu dynamique qui conduit la particule chaude à entamer une ascension. A l’inverse,
lorsqu’elle est refroidie, une particule devient plus dense que ces voisines et va entamer une
descente. Globalement, les variations latérales de densité (ici, dues à des variations latérales
de température) induisent un mouvement d’ensemble du fluide. Dans un système chauffé à sa
base et refroidi en surface, le matériau situé à la base se charge en chaleur, remonte en
surface où il cède la chaleur qu’il a accumulé et se refroidi, avant de replonger vers la base du
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La convection dans le manteau terrestre
système (c’est par exemple ce qu’il se passe dans une casserole rempli d’eau que l’on met sur
le feu). La convection thermique constitue donc un mode de transfert de la chaleur par
advection de matière.
Une étude plus complète de la convection thermique nécessite de résoudre trois équations,
chacune étant associée à une loi de conservation : conservation de la quantité de mouvement
(pour calculer le champ de vitesse, i.e., les trajectoires des particules de fluide), conservation
de l’énergie (pour calculer la répartition de température), et conservation de la masse.
L’équation qui décrit la conservation de la quantité de mouvement (et qui n’est autre que la
relation fondamentale de la dynamique appliquée à un milieu continu) est parfois appelée
équation de Navier-Stokes. Il est d’usage de négliger l’accélération des particules de fluide, qui
est de fait très petite en comparaison des autres termes (la force de gravité, les variations de
pression, et les contraintes visqueuses). Cela simplifie énormément le problème, mais pas
suffisamment pour pouvoir le résoudre analytiquement. Dans certains cas simples (p.e., la
convection de Rayleigh-Bénard), il est possible de définir analytiquement des critères de
stabilité et des lois d’échelles pour les certaines observables (vitesse horizontale et flux de
chaleur moyens en surface). Toutefois, pour calculer l’écoulement et la distribution de
température, il est nécessaire de résoudre les équations de la convection numériquement à
l’aide d’ordinateurs.
Convection thermique vs conduction.
Pour que la particule chauffée puisse continuer son ascension (et, éventuellement, atteindre la
surface), elle ne doit pas échanger trop de chaleur avec ces voisines successives sur son trajet.
Autrement dit, la conduction thermique (un autre mode de transfert de la chaleur) ne doit pas
être trop élevée. Plus précisément, le temps caractéristique de diffusion de la chaleur doit être
est très supérieur au temps caractéristique de diffusion de la quantité de mouvement (le rapport
entre ces deux temps caractéristiques est mesuré par le nombre de Prandtl). Si tel est le cas la
particule n’aura pas le temps d’échanger de chaleur avec ses voisines, et pourra donc
conserver jusqu’en surface la chaleur qu’elle a emmagasiné. La capacité à conduire la chaleur
dépend bien sûr du matériau, certain matériaux (par exemple, les métaux) conduisant bien
mieux la chaleur que d’autre (par exemple le bois). Les roches composant le manteau terrestre
conduisent particulièrement mal la chaleur.
Epaisseur
D
2891
km
2
Accélération de la gravité
g
9.81
m/s
3
Densité
ρ
3500
kg/m
21
Viscosité
μ
5.0×10
Pa.s
-5
Expansion thermique α
3.0×10
1/K
Conductivité thermique k
3.0
W/m/K
-6
Diffusivité thermique
κ
10
m
-12
Production de chaleur
H interne par radioactivité
6.0×10
Contraste vertical de
ΔTtempérature
2500
K
Table 1. Quelques propriétés moyennes du manteau terrestre. Pour la
pluparts, ces valeurs sont des ordres de grandeurs, et restent assez mal
contraintes. L’épaisseur du manteau et l’accélération de la gravité sont très
bien connus. En revanche, le contraste de température est lui très mal
contraints, et se situe quelque part entre 2000 et 3000 K. La viscosité varie
5 / 15
W/kg
La convection dans le manteau terrestre
avec la profondeur, et l’on pense que le manteau inférieur (i.e., plus profond
que 660 km) est globalement plus visqueux que le manteau supérieur d’un
ordre de grandeur. La densité augmente régulièrement avec la profondeur,
de 3380 kg/m 3 à 25 km de profondeur à 5570 kg/m 3 à la limite
noyau-manteau (2891 km).
Nombre de Rayleigh (Ra).
Le nombre de Rayleigh est le rapport entre les forces motrices du fluide
(la force d'Archimède) et les forces de frottement. Il mesure donc la
vigueur de la convection. L'expression du nombre de Rayleigh dépend du
type de chauffage imposé, et s'exprime en fonction des grandeurs
caractéristiques du système. Pour un chauffage basal ou mixte, le nombre
de Rayleigh s’écrit
où ρ, α, κ, et μ, sont respectivement la densité, l’expansion thermique,
la diffusivité thermique et la viscosité du fluide, D est l’épaisseur de la
couche de fluide, ΔT le contraste de température à travers cette couche
de fluide, et g l’accélération de la gravité. Le nombre de Rayleigh du
manteau terrestre est très grand, de l’ordre de l’ordre de 10 6 -10 7 ,
selon les valeurs choisies pour les propriétés physiques du manteau. On
peut montrer qu’il existe un nombre de Rayleigh critique en dessous
duquel les instabilités induites par les perturbations thermiques
s'amortissent, c’est-à-dire que la convection ne peut pas s’enclencher. La
valeur du nombre de Rayleigh critique dépend des propriétés du fluide.
Nombre de Prandtl (Pr).
Le nombre de Prandtl est le rapport entre le temps caractéristique de
diffusion de la chaleur et le temps caractéristique de diffusion de la
quantité de mouvement. Il s’exprime simplement comme le rapport de la
viscosité dynamique et la diffusivité thermique du matériau,
La viscosité cinématique est reliée à la viscosité dynamique (μ, qui
apparaît dans l’expression du nombre de Rayleigh) par μ = σ/ρ. Plus le
nombre de Prandtl est élevé, plus le transfert de chaleur par convection
est dominant par rapport au transfert de chaleur par conduction. Dansle
6 / 15
La convection dans le manteau terrestre
cas du manteau terrestre il est très élevé, de l’ordre de 10
25
. Le mode de transfert de la chaleur dominant dans le manteau terrestre est
donc la convection.
Nombre de Nusselt (Nu).
Dans la convection de Rayleigh-Bénard, le bilan énergétique à une
profondeur donnée fait intervenir le flux de chaleur moyen à cette
profondeur. En l'absence de source de chaleur interne, le flux de
chaleur
moyen est constant sur toute l’épaisseur du fluide. Le nombre de
Nusselt
est défini par le rapport entre le flux convectif moyen, et le flux de chaleur
conductif (i.e., le flux qui existerait si toute la chaleur était transportée par
conduction),
Pour un milieu parfaitement conductif le nombre de Nusselt est égal à 1. Il
augmente progressivement lorsque la convection devient plus
vigoureuse. Le nombre de Nusselt mesure ainsi l'efficacité relative de la
convection dans le refroidissement du milieu. Sa valeur n'est pas
uniquement contrainte par l'intensité de la convection. Il dépend
également de la géométrie du système et des propriétés (en particulier
de la rhéologie) du fluide.
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Un modèle simple et bien compris: la convection de Rayleigh-Bénard
La convection dite de Rayleigh-Bénard correspond au cas, simple en
principe, d'un fluide compris entre deux surfaces parallèles portées à des
températures différentes. Lorsque la différence de température entre la base
et le sommet du fluide dépasse une certaine valeur, un mouvement de
matière se développe. Bien sûr, comme l’indique le nombre de Rayleigh, si
la couche de fluide est trop fine, ou si la viscosité est trop élevée, les
instabilités ne pourront pas se développer.
Un cas particulier de la convection de Rayleigh-Bénard est celui d’un fluide
homogène (c’est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes de la
position), incompressible, et de géométrie cartésienne. Ce mode de
convection est évidemment très simple, mais il a l’immense avantage de
pouvoir être étudié analytiquement. Une analyse de stabilité linéaire permet
de calculer le nombre de Rayleigh critique pour le démarrage de la
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La convection dans le manteau terrestre
convection en fonction du rapport entre la demi-longueur d’onde de
l’instabilité thermique et l’épaisseur de la boîte (ce rapport est appelé rapport
d’aspect, ra = λ/2b) : Pour un rapport d’aspect égal à 1, le nombre de
3 (plus
Rayleigh critique est de l’ordre da 10
exactement, 779.2). Mieux, une analyse de couche limite thermique permet
de des lois d’échelle pour certaine observables, en particulier pour le flux de
chaleur en surface et pour la vitesse en surface. De nouveau, les valeurs
numériques des coefficients de ces lois échelle dépendent (entre autre) du
rapport d’aspect entre l’extension latérale de l’instabilité thermique et
l’épaisseur du fluide. Pour le manteau terrestre:
Si l’on suppose que le nombre de Rayleigh du manteau terrestre est
d’environ 10 7 , les équations précédentes prédisent un flux de chaleur
2 et 7
moyen et une vitesse de surface d’environ 90 mW/m
cm/an, respectivement. Etant donné la simplicité du modèle, ces valeurs
sont étonnamment proches des valeurs observées. Le flux de chaleur
terrestre en surface varie en fonction de la localisation. Ce sont les
provinces océaniques qui dégagent le plus de chaleur, avec un flux de 80
2
mW/m
en moyenne (au niveau des dorsales, il peut atteindre 110 mW/m
2
). Les continents dégagent moins de chaleur en moyenne, de l’ordre de 55
mW/m
2
. De même, la vitesse des plaques varient d’une région à l’autre, avec un
Atlantique Nord relativement lent (2 cm/an), et une plaque Pacifique plutôt
rapide (10 cm/an). Quoiqu’il en soit, les estimations déduites des lois
d’échelle pour la convection de Rayleigh-Bénard d’un fluide homogène sont
du même ordre de grandeur que ces observations. Au premier ordre, la
convection thermique explique donc assez bien les observables de surface.
Back
Convection dans le manteau terrestre
Un modèle au premier ordre. Comme l’avait compris Arthur Holmes, le
manteau terrestre convecte. Les propriétés physico-chimiques du manteau
et des roches qui le compose indiquent que le manteau est instable vis-à-vis
de la convection thermique (nombre de Rayleigh) et que la convection est
de loin le mode de transfert de chaleur le plus efficace dans le manteau
terrestre (nombre de Prandtl). En toute première approximation, on peut se
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La convection dans le manteau terrestre
représenter la convection du manteau terrestre de la façon suivante (Figure
4) : des courants ascendants amènent des roches des profondeurs du
manteau près de la surface. Ces roches sont ensuite entraînées par un
courant horizontal du manteau asthénosphèrique (c’est-à-dire mobile). Elles
relâchent la chaleur qu’elles avaient emmagasinées, se refroidissent, et
replongent finalement dans le manteau profond le long de courant
descendants. Ce modèle explique bien la présence de dorsales océaniques
(où une petite fraction des roches amenées en surface fond et créent de la
nouvelle croûte océanique), ainsi que la Tectonique des Plaques (la
lithosphère, c’est-à-dire la croûte et le sommet rigide du manteau, est
entraînée par les courant horizontaux qui animent le manteau
asthénosphérique).
Figure 4. Un modèle simplifié de la convection dans le manteau terrestre.
Quelques complications. Cette image des ‘rouleaux’ de convection
entraînant les planchers océaniques, bien que souvent employée, est sans
doute trop simpliste. Par exemple, elle n’explique pas la présence de
volcanisme de points chauds. On pense aussi que la subduction de la
lithosphère joue un rôle moteur important, c’est-à-dire que les plaques
océaniques ne sont pas seulement entraînées par l’écoulement du manteau
9 / 15
La convection dans le manteau terrestre
asthénosphèrique, mais aussi tirées par la lithosphère subduite. Enfin, des
observations sismologiques suggèrent qu’il existe de variations chimiques à
grande échelle dans le manteau profond. Si tel est le cas, les régions
chimiquement plus denses pourraient osciller verticalement,
indépendamment du reste du manteau. Le mode de convection du manteau
terrestre est donc probablement la superposition de plusieurs mécanismes.
Les lois d’échelles déduites des modèles de Rayleigh-Bénard en géométrie
Cartésienne et à viscosité constante ont aussi leurs limites. Les propriétés
du manteau différent de beaucoup des hypothèses sous-tendues par ce
mode de convection. Tout d’abord, le manteau est une coquille sphérique.
De plus, le manteau contient des éléments radioactifs (notamment, 40 K, 232 T
h,
235
U, et
238
U) qui, en se désintégrant, libère de la chaleur et créé une source de chaleur
interne. Les propriétés thermodynamique et rhéologiques du manteau
dépendent de la pression et de la température. En particulier, la viscosité
des roches du manteau dépend fortement de la température. Les minéraux
constituant les roches du manteau sont également soumis à des transitions
de phase à certaines pressions et températures, la plus importante étant la
transformation de ringwoodite (une phase haute-pression de l’olivine) en
pérvoskite et ferro-périclase, vers 660 km de profondeur. Ces complications
modifient, parfois considérablement, la géométrie de l’écoulement et le
transfert de chaleur à travers le manteau. A titre d’exemples, de fortes
variations de la viscosité avec la température induisent la formation d’un
couvercle rigide et thermiquement conductif au sommet du système, tandis
que le taux de chauffage interne, s’il est élevé par rapport au flux de chaleur
à la base du système, inhibe la formation et la progression des panaches.
Les effets induits par ces complications font l’objet de nombreux
programmes de recherche en géophysique depuis une vingtaine d’années.
Convection et zone de subduction. Les plus puissant séismes observés à
ce jour (Chili 1960, Mw = 9.5 ; Alaska 1964, Mw = 9.2 ; Sumatra 2005, Mw =
9.1) sont associés à des zones de subduction. Cela n’a rien d’étonnant,
puisque ces régions correspondent au plongement dans le manteau de la
lithosphère sous forme de grande plaques (on utilise parfois le terme de
slab) (Figure 5). La puissance d’un séisme dépend en particulier de la
10 / 15
La convection dans le manteau terrestre
longueur de la rupture le long de la faille. Comme les zones de subduction
constituent des systèmes de faille très allongés parallèlement à la zone de
subduction, la rupture peut se propager sur une très longue distance (de
l’ordre de 1000 km dans le cas du séisme du Chili).
Figure 5. Au niveau des zones de subduction, la lithosphère (composée de
la croûte et du manteau lithosphérique) est défléchie par une portion de
lithosphère (continentale dans cet exemple) moins dense, et s’enfonce dans
le manteau asthénosphérique. Ce phénomène induit une importante activité
volcanique, et le déclenchement de puissants séismes.
Le phénomène de subduction lithosphérique fait partie intégrante de la
convection du manteau terrestre, mais il est parfois modélisé séparément,
en résolvant un ensemble d’équations sensiblement différent des équations
de Navier-Stokes (en général, ces systèmes ne résolve pas l’équation de la
conservation de l’énergie). A l’aide de méthodes numériques il est possible
de retracer l’évolution de la lithosphère subduite, comme le montre par
11 / 15
La convection dans le manteau terrestre
exemple l’animation présentée sur la Figure 6. Ces modélisations
permettent de mieux décrire certains détails propres aux zones de
subduction, comme la génération de poches de magma et le volcanisme
associé en surface, ou encore le détachement de slabs. Figure 6.
Modélisation de subduction lithosphérique, dans le cas d’une collision
continent/continent. Modélisation et animation par B. Kaus et T. Gerya (ETH
Zürich).
Back
Travaux dirigés.
On se propose ici de calculer quelques modèles de convection pour des cas
simples (2D-Cartésien) à l’aide d’un outil numérique disponible sur internet.
Cet outil est une version du code de convection Citcom, développé
notamment par L. Moresi et S. Zhong. 1. Accès au site. Aller sur l’adresse
http://anquetil.colorado.edu/szhong/
. Sélectionner ‘Virtual Earth Project’, puis ‘Thermal Convection’ et ‘Modeling’.
Créer un compte (lors de la première connexion), ou entrer sur un compte
déjà défini.
Nb. Le nombre de modèles est limité à 5, mais il est possible d’effacer les
modèles les plus anciens.2. Premier calcul. Selectionner ‘Create new
model’, et faire un calcul avec les paramètres suivants :Rayleigh Number:
4
1.0e
Internal Heating Rate:
0
Activation Energy: 0
Total Timesteps: 500
Storage Spacing: 10
Aspect Ratio 1:
1
Grid Dimensions: 33*33
Le calcul peut prendre quelques minutes. Le lien ‘View’ renvoie vers un
tableau donnant accès à une figure représentant le champ de température
(code de couleur, la température moeyenne est en blanc, et la température
augmente du bleu foncé au rouge vif) et le champ de vitesse (vecteurs, la
longueur des vecteur est proportionnel à la vitesse), et à la distribution de
surface de la vitesse horizontal, du flux de chaleur et de la topographie en
surface. En fin de calcul une animation est créée, et permet de visualiser
l’évolution des champs de température et de vitesse à partir de la solution
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La convection dans le manteau terrestre
initiale.
2.1. Lancer l’animation avec ‘Animate’. Décrire l’évolution du panache chaud
(en rouge) et du courant froid (en bleu). A partir de quelle itération le
système semble stationnaire (les champs de température et de vitesse
n’évolue plus).
2.2. Copier le fichier flux de chaleur (‘Heatflux’). La première colonne
représente la coordonnée horizontal adimensionnée (entre 0 et 1), la
seconde le flux de chaleur adimensionné en surface (Nu
top ), et la
troisième le flux de chaleur adimensionné à la base (Nu
bot
). Calculer le flux de chaleur adimensionné moyen en surface et à la base.
2.3. Comparer Nu top et Nu bot . Comment interpréter ce résultat ?
2.4. Refaire le calcul sur une grille 65*65 pour une meilleure précision. Cela
prend bien sûr plus de temps. Faut-il plus ou moins d’itérations pour obtenir
une solution convergée ?
3. Loi d’échelle.
3.1. Choisir un résolution, et déterminer le flux de chaleur adimensionné
moyen en surface (ou nombre de Nusselt, Nu
top ) pour des nombres de
4 et
Rayleigh entre 1.0e
1.0e
6
(p.e., 1.0e
4
, 1.0e
5
, 3.2e
5
, et 1.0e
6
). Si vous pensez que l’état stationnaire n’a pas été atteint, recommencer
l’expérience avec un plus grand nombre d’itérations. Un autre critère de
convergence consiste à comparer Nu
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La convection dans le manteau terrestre
top
et Nu
bot
(lorsque l’état stationnaire est atteint, Nu
top
= Nu
bot
).
3.2. Représenter le flux moyen en surface en fonction du nombre de
Rayleigh dans un diagramme log-log. Comment se répartissent les points ?
3.3. Déduire de la question précédente que le nombre de Nusselt est une loi
de puissance du nombre de Rayleigh, i.e. qu’il est bien décrit par Nu = aRa
b
. Déterminer les valeurs de a et b.
3.4. Pour un rapport d’aspect de 1, l’analyse de stabilité linéaire prédit Nu =
1/3 . Tracer cette fonction et la loi déduites de vos calculs sur un
0.294Ra
même diagramme log-log. L’accord entre vos résultats et la théorie vous
satisfait-il ? Quelles peuvent-être les sources possibles des différences entre
la théorie et les calculs numériques ?
4. Rôle du chauffage interne. Choisir un nombre de Rayleigh, et faire un
calcul pour un chauffage interne nul (Internal Heating Rate = h = 0), et un
autre imposer un taux de
chauffage interne adimensionné égal à 5 (Internal Heating Rate = h = 5).
Comparer les champs de température et de vitesse. Que se passe-t-il ?
Dans le cas h = 5, calculer le flux de chaleur adimensionné moyen en
surface et à la base (Nu top et Nu bot ). Quelle relation existe-t-il entre Nu top et
Nu
b
ot
et h ? Comment expliquer ce résultat ?
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Quelques liens utiles:
- Manteau terrestre : http://fr.wikipedia.org/wiki/Manteau_(géologie)
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La convection dans le manteau terrestre
- Volcanisme intraplaque : http://www2.ggl.ulaval.ca/personnel/bourque/
s1/volcans.html
- Lithosphère : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lithosph%C3%A8re
- Asthénosphère : http://fr.wikipedia.org/wiki/Asth%C3%A9nosph%C3%
A8re
- Convection de Rayleigh-Bénard, détails et équations : http://home.iitk.
ac.in/~sghorai/NOTES/benard/benard.html
- Mantle convection: http://www.mantleplumes.org/Convection.html
- Mantle convection simulations and movies : http://www.gps.caltech.ed
u/~gurnis/Movies/movies-more.html
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