_96_ cas particulier d`une trajectoire radiale

VAUDON : essai sur une extension de la transformation de LORENTZ aux référentiels accélérés
115
XV
Trajectoires particulières
La relation établie entre les constantes du mouvement dans un champ de gravitation
statique à symétrie sphérique permet de remonter de manière analytique à certaines
caractéristiques du mouvement.
I – Trajectoire radiale
Nous nous intéressons dans un premier temps à un mouvement purement radial, et donc
pour lequel il n’existe pas de vitesse suivant la composante ϕ.
De la relation établie au chapitre précédent entre les constantes du mouvement :
dr ) − c K
(
d
= τ
2
−K
2
r
2
2
t
K ϕ2
+ 2 = −c 2
r
 1 + 2Φ 

2 
c 

(XV-1)
On en déduit l’équation différentielle afférente à la dimension radiale et au temps
propre :
(ddrτ )
2

K ϕ2  1 + 2Φ
2 
c

 = −c2 1 + 2Φ 
−cK +


2
r
c2 

2
2
t
(XV-2)
Pour un objet en chute libre radiale, la constante Kϕ est nulle, et on obtient :
(ddrτ ) − c K
2
2
2
t

= −c2 1 + 2Φ
2 
c


(XV-3)
Cette expression peut être dérivée, ce qui permet d’éliminer la constante du mouvement
Kt :
115
VAUDON : essai sur une extension de la transformation de LORENTZ aux référentiels accélérés
( )
2
 dr
2 dr  d r2  = −c2 d  1 + 2Φ
2 
dτ  dτ 
dr 
c  dτ
116
(XV-4)
soit encore :
 d 2 r  = − c 2 1 dΦ = − dΦ
 2
dr
c2 dr
 dτ 
(XV-5)
Avec les notations habituelles, on remplace le potentiel gravitationnel Φ par son
expression :
)
(
d 2r = − d − GM = − GM
dr
r
dτ 2
r2
(XV-6)
et nous reconnaissons la relation fondamentale de la dynamique, dans laquelle
l’accélération est évaluée par rapport au temps propre.
Pour un calcul explicite de la vitesse en chute libre, il est opportun de repartir de
l’expression (XV-3). La résolution s’obtient en posant :
(drdt ) ddtτ
2
2
2
( )
2
K 2t
2 2
2
2Φ 
− c2K 2t = dr
2 − c K t = −c  1 +
dt 
c2 


 1 + 2Φ

c2 

(XV-7)
soit donc :
( ) = c 1 + 2cΦ 
dr
dt
2
2
2
2
3
2

− c 2  1 + 2Φ
2 
Kt 
c 
(XV-8)
Pour un objet à vitesse nulle à l’infini, on a E = E0 et donc Kt = 1. On obtient ainsi :
(drdt ) = c  1 + 2cΦ 
2
2
2
2
3
 
−  1 + 2Φ

c2  

(XV-9)
soit une expression en tout point analogue à celle obtenue dans le cas d’un champ de
gravitation uniforme. En partant de l’infini, la vitesse augmente dans un premier temps
conformément à la relation donnée par la mécanique classique, puis des modifications
importantes apparaissent lorsqu’on s’approche du rayon de SCHWARZSCHILD.
Puisque ce dernier est défini par la relation :
1 + 2Φ
=0
c2
(XV-10)
on déduit de (XV-9) que la vitesse d’un point matériel est nulle lorsqu’elle atteint le
rayon de SCHWAZSCHILD.
116
VAUDON : essai sur une extension de la transformation de LORENTZ aux référentiels accélérés
117
A faible vitesse le mouvement est uniformément accéléré et cette vitesse passe
nécessairement par un maximum avant de décroître vers 0 à l’horizon de SCHWARZSCHILD.
Ce maximum peut être calculé en annulant la dérivée de l’expression (XV-9) par
rapport au temps :
2
4Φ  1 + 2Φ  − 6Φ  1 + 2Φ  = − 2Φ  1 + 2Φ  1 + 6Φ  = 0
c2 
c2  c2 
c2 
c2 
c2 
c2 
(XV-11)
Cette dérivée s’annule pour deux rayons particuliers r1 et r2 tels que :
1 + 2 Φ2 = 1 − 2 GM
=0
c
rc2
1 + 6 Φ2 = 1 − 6 GM
=0
c
rc2
et
(XV-12)
soit donc :
r1 = 2 GM
rc2
r2 = 6 GM
rc2
et
(XV-13)
La première valeur est associée au rayon de SCHWARZCHILD, et correspond à une
vitesse nulle du point matériel.
La seconde valeur correspond à la vitesse maximum atteinte par le point matériel dans
son approche du centre de gravitation : son expression est obtenue pour 2Φ/c² = -1/3 :
(drdt ) = c  (23 ) − (23 )  = 274 c
2
2
2
3
2
(XV-14)
Une représentation complète de la vitesse au carré en fonction de la distance d’approche
est représentée figure (XV-1) ci-dessous, avec des valeurs numériques correspondant au soleil :
G = 6.67 E-11N.m2.Kg-2
et
M = 2 E30 Kg
(XV-15)
2.5E+16
Vr² = (dr/dt)² (m/s)²
mécanique classique
2.0E+16
1.5E+16
(4/27)c²
1.0E+16
5.0E+15
Métrique de SCHWARZSCHILD
r (m)
0.0E+00
r1
0.0E+00
r2
1.0E+04
2.0E+04
3.0E+04
4.0E+04
5.0E+04
6.0E+04
7.0E+04
8.0E+04
9.0E+04
1.0E+05
117
VAUDON : essai sur une extension de la transformation de LORENTZ aux référentiels accélérés
118
Figure (XV-1) : Vitesse au carré en fonction de la distance d’approche pour une
trajectoire radiale avec une vitesse nulle à l’infini. La masse gravitationnelle est celle du
soleil.
Alors que la mécanique classique prévoit une vitesse qui croit indéfiniment lorsqu’on
s’approche du centre de gravitation, la métrique de SCHWARZCHILD prévoit un
comportement singulier à partir d’une distance égale à 3 fois le rayon de SCHWARZSCHILD
où elle atteint un maximum relatif :
Vr =
2 c
27
(XV-16)
On observe ensuite une décroissance rapide de cette vitesse qui devient nulle sur le
rayon de SCHWARZSCHILD, avant de tendre à nouveau vers l’infini, en valeur absolue, après
avoir franchi cette singularité.
Lorsqu’on communique une vitesse initiale au point matériel, la différence de
trajectoire n’est sensible au voisinage du rayon de SCHWARZSCHILD que si cette vitesse est
significative.
De la relation définissant la constante Kt :
Kt = E =
E0
1 − 2 GM
rc2
(XV-17)
( )
2


2
2 dϕ 


dr
r

dt  


dt
1
1− 2
2 +
c 
 1 − 2 GM  

GM


 1 − 2 2 
rc2  

rc 

on déduit que si pour r tendant vers l’infini, la vitesse initiale est égale à V0x, la
constante Kt a pour valeur :
Kt =
1
(XV-18)
V2
1 − 02x
c
l’évolution de la vitesse radiale prend alors la forme suivante :
(drdt ) = c 1 + 2cΦ 
2
2
2
2
3
2
(
)
3
2
 = c2 1 + 2Φ  − c2 − V2  1 + 2Φ 
− c 2  1 + 2Φ




0x 
Kt 
c2 
c2 
c2 


(XV-19)
dont une représentation graphique est donnée sur la figure (XV-2) ci-dessous.
Le photon constitue toujours un cas particulier, car le temps propre devient nul, ce qui
rend plusieurs relations singulières. Pour un photon arrivant de l’infini avec une vitesse c, la
constante Kt est nulle est nous obtenons :
118
VAUDON : essai sur une extension de la transformation de LORENTZ aux référentiels accélérés
(drdt ) = c 1 + 2cΦ 
2
119
2
2
(XV-20)
2
Cette relation est cohérente avec la définition du temps propre pour un objet se
déplaçant suivant une direction radiale dans un champ de gravitation :
− c 2 dτ 2 =

dr 2
− c2dt 2 1 + 2Φ
2 
c


 1 + 2Φ 


c2 

(XV-21)
puisque dans le cas du photon, nous devons vérifier dτ = 0 en accord avec la relation
(XV-20) ci-desssus.
On obtient alors une vitesse de la lumière progressivement décroissante depuis l’infini
jusqu’à l’horizon de SCHWARZSCHILD, dont une représentation sur les derniers milliers de
kilomètres est donnée figure (XV-3).
3.5E+16
Vr² = (dr/dt)² (m/s)²
3.0E+16
mécanique classique
2.5E+16
2.0E+16
(4/27)c²
1.5E+16
1.0E+16
Métrique de SCHWARZSCHILD
5.0E+15
r (m)
0.0E+00
r1
0.0E+00
1.0E+04
2.0E+04
3.0E+04
4.0E+04
5.0E+04
6.0E+04
7.0E+04
8.0E+04
9.0E+04
1.0E+05
Figure (XV-2) : Vitesse au carré en fonction de la distance d’approche pour une
trajectoire radiale avec une vitesse égale à 1E8 m/s pour r infini. La masse gravitationnelle est
celle du soleil.
119
VAUDON : essai sur une extension de la transformation de LORENTZ aux référentiels accélérés
120
1.2E+17
Vr² = (dr/dt)² (m/s)²
mécanique classique
1.0E+17
8.0E+16
(4/27)c²
6.0E+16
4.0E+16
Métrique de SCHWARZSCHILD
2.0E+16
r (m)
0.0E+00
r1
0.0E+00
1.0E+04
2.0E+04
3.0E+04
4.0E+04
5.0E+04
6.0E+04
7.0E+04
8.0E+04
9.0E+04
1.0E+05
Figure (XV-3) : Vitesse au carré en fonction de la distance d’approche pour une
trajectoire radiale d’un photon ayant une vitesse égale à c à l’infini. La masse gravitationnelle
est celle du soleil.
II – Vitesse angulaire en fonction de la distance pour une trajectoire quelconque.
Pour un objet libre de se mouvoir dans un champ gravitationnel, la mécanique classique
prévoit que le mouvement s’effectue avec une vitesse aréolaire constante, d’où on déduit la
constante de la loi des aires :
r2
dϕ
= cte
dt
En théorie de la gravitation, cette constante est généralisée en substituant le temps
propre au temps du référentiel dans lequel la source gravitationnelle a une position fixe :
r2
dϕ
dϕ dt
= r2
= Kϕ
dτ
dt dτ
Nous pouvons extraire de cette relation la vitesse angulaire dans le référentiel du champ
de gravitation, et la comparer avec la vitesse angulaire donnée par la mécanique classique.
GM
1 + 2 Φ2
K ϕ 1 − 2 rc2
dϕ K ϕ dτ K ϕ
c
= 2
=
=
dt
Kt
Kt
r dt
r2
r2
Nous constatons que cette vitesse angulaire s’annule lorsque l’objet atteint le rayon de
SCHWARZSCHILD, après être passée par un maximum que l’on obtient à une distance telle
que :
120
VAUDON : essai sur une extension de la transformation de LORENTZ aux référentiels accélérés
121
 1 − 2 GM 
d 
rc2  = − 2 + 6 GM = 0


dr 
r2
r3
r 4c2



soit donc pour un rayon :
r = 3 GM
c2
La figure (XV-4) représente l’évolution de cette vitesse angulaire, en fonction de la
distance au centre de gravitation, pour un rapport Kϕ/Kt = 1E8.
2.0E+01
d(phi)/dt
1.5E+01
mécanique classique
1.0E+01
5.0E+00
0.0E+00
0.0E+00
5.0E+03
1.0E+04
1.5E+04
2.0E+04
2.5E+04
3.0E+04
r (m)
3.5E+04
Métrique de SCHWARZSCHILD
-5.0E+00
Figure (XV-4) : Vitesse de rotation en fonction de la distance d’approche pour un
rapport Kϕ/Kt = 1E8. La masse gravitationnelle est celle du soleil.
121