_96_ cas particulier d`une trajectoire radiale

VAUDON : essai sur une extension de la transformation de LORENTZ aux référentiels accélérés
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XV
Trajectoires particulières
La relation établie entre les constantes du mouvement dans un champ de gravitation
statique à symétrie sphérique permet de remonter de manière analytique à certaines
caractéristiques du mouvement.
I – Trajectoire radiale
Nous nous intéressons dans un premier temps à un mouvement purement radial, et donc
pour lequel il n’existe pas de vitesse suivant la composante ϕ.
De la relation établie au chapitre précédent entre les constantes du mouvement :
(
)
2
2
2
2
2
t
2
2
2
r
c
r
K
c
2
1
Kc
d
dr
K−=+
Φ
+
−
τ
=−
ϕ
(XV-1)
On en déduit l’équation différentielle afférente à la dimension radiale et au temps
propre :
()
Φ
+−=
Φ
+
+−
τ
ϕ
2
2
2
2
2
2
t
2
2
c
2
1c
rc
2
1K
Kc
d
dr (XV-2)
Pour un objet en chute libre radiale, la constante K
ϕ
est nulle, et on obtient :
(
)
Φ
+−=−
τ
2
22
t
2
2
c
2
1cKc
d
dr (XV-3)
Cette expression peut être dérivée, ce qui permet d’éliminer la constante du mouvement
K
t
:

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(
)
τ
Φ
+−=
τ
τd
dr
c
2
1
dr
d
c
drd
d
dr
2
2
2
2
2
(XV-4)
soit encore :
dr
d
dr
d
c
1
c
drd
2
2
2
2
Φ
−=
Φ
−=
τ (XV-5)
Avec les notations habituelles, on remplace le potentiel gravitationnel Φ par son
expression :
(
)
22
2
r
GM
r
GM
dr
d
drd −=−−= τ (XV-6)
et nous reconnaissons la relation fondamentale de la dynamique, dans laquelle
l’accélération est évaluée par rapport au temps propre.
Pour un calcul explicite de la vitesse en chute libre, il est opportun de repartir de
l’expression (XV-3). La résolution s’obtient en posant :
(
)
(
)
Φ
+−=−
Φ
+
=−
τ
2
22
t
2
2
2
2
t
2
2
t
2
2
2
2
c
2
1cKc
c
2
1
K
dt
dr
Kc
d
dt
dt
dr (XV-7)
soit donc :
(
)
3
22
t
2
2
2
2
2
c
2
1
K
c
c
2
1c
dt
dr 
Φ
+−
Φ
+= (XV-8)
Pour un objet à vitesse nulle à l’infini, on a E = E
0
et donc K
t
= 1. On obtient ainsi :
(
)
Φ
+−
Φ
+=
3
2
2
2
2
2
c
2
1
c
2
1c
dt
dr
(XV-9)
soit une expression en tout point analogue à celle obtenue dans le cas d’un champ de
gravitation uniforme. En partant de l’infini, la vitesse augmente dans un premier temps
conformément à la relation donnée par la mécanique classique, puis des modifications
importantes apparaissent lorsqu’on s’approche du rayon de SCHWARZSCHILD.
Puisque ce dernier est défini par la relation :
0
c
2
1
2
=
Φ
+ (XV-10)
on déduit de (XV-9) que la vitesse d’un point matériel est nulle lorsqu’elle atteint le
rayon de SCHWAZSCHILD.

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A faible vitesse le mouvement est uniformément accéléré et cette vitesse passe
nécessairement par un maximum avant de décroître vers 0 à l’horizon de SCHWARZSCHILD.
Ce maximum peut être calculé en annulant la dérivée de l’expression (XV-9) par
rapport au temps :
0
c
6
1
c
2
1
c
2
c
2
1
c
6
c
2
1
c
4222
2
2222 =
Φ
+
Φ
+
Φ
−=
Φ
+
Φ
−
Φ
+
Φ (XV-11)
Cette dérivée s’annule pour deux rayons particuliers r
1
et r
2
tels que :
0
rc
GM
21
c
21 22 =−=
Φ
+ et 0
rc
GM
61
c
61 22 =−=
Φ
+ (XV-12)
soit donc :
2
1rc
GM
2r = et 2
2rc
GM
6r = (XV-13)
La première valeur est associée au rayon de SCHWARZCHILD, et correspond à une
vitesse nulle du point matériel.
La seconde valeur correspond à la vitesse maximum atteinte par le point matériel dans
son approche du centre de gravitation : son expression est obtenue pour 2Φ/c² = -1/3 :
(
)
(
)
(
)
2
32
2
2c
27
4
3
2
3
2
c
dt
dr =
−= (XV-14)
Une représentation complète de la vitesse au carré en fonction de la distance d’approche
est représentée figure (XV-1) ci-dessous, avec des valeurs numériques correspondant au soleil :
G = 6.67 E-11N.m
2
.Kg
-2
et M = 2 E30 Kg (XV-15)
0.0E+00
5.0E+15
1.0E+16
1.5E+16
2.0E+16
2.5E+16
0.0E+00 1.0E+04 2.0E+04 3.0E+04 4.0E+04 5.0E+04 6.0E+04 7.0E+04 8.0E+04 9.0E+04 1.0E+05
r (m)
Vr² = (dr/dt)²
(m/s)²
mécanique classique
Métrique de SCHWARZSCHILD
r
1
r
2
(4/27)c²

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Figure (XV-1) : Vitesse au carré en fonction de la distance d’approche pour une
trajectoire radiale avec une vitesse nulle à l’infini. La masse gravitationnelle est celle du
soleil.
Alors que la mécanique classique prévoit une vitesse qui croit indéfiniment lorsqu’on
s’approche du centre de gravitation, la métrique de SCHWARZCHILD prévoit un
comportement singulier à partir d’une distance égale à 3 fois le rayon de SCHWARZSCHILD
où elle atteint un maximum relatif :
c
27
2
V
r
= (XV-16)
On observe ensuite une décroissance rapide de cette vitesse qui devient nulle sur le
rayon de SCHWARZSCHILD, avant de tendre à nouveau vers l’infini, en valeur absolue, après
avoir franchi cette singularité.
Lorsqu’on communique une vitesse initiale au point matériel, la différence de
trajectoire n’est sensible au voisinage du rayon de SCHWARZSCHILD que si cette vitesse est
significative.
De la relation définissant la constante K
t
:
()
−
ϕ
+
−
−
−
==
2
2
2
2
2
2
2
2
0
t
rc
GM
21
dt
d
r
rc
GM
21
dt
dr
c
1
1
rc
GM
21
E
E
K
(XV-17)
on déduit que si pour r tendant vers l’infini, la vitesse initiale est égale à V
0x
, la
constante K
t
a pour valeur :
2
2
x0
t
c
V
1
1
K− =
(XV-18)
l’évolution de la vitesse radiale prend alors la forme suivante :
(
)
( )
3
2
2
x0
2
2
2
2
3
22
t
2
2
2
2
2
c
2
1Vc
c
2
1c
c
2
1
K
c
c
2
1c
dt
dr
Φ
+−−
Φ
+=
Φ
+−
Φ
+=
(XV-19)
dont une représentation graphique est donnée sur la figure (XV-2) ci-dessous.
Le photon constitue toujours un cas particulier, car le temps propre devient nul, ce qui
rend plusieurs relations singulières. Pour un photon arrivant de l’infini avec une vitesse c, la
constante K
t
est nulle est nous obtenons :

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(
)
2
2
2
2
c
2
1c
dt
dr 
Φ
+= (XV-20)
Cette relation est cohérente avec la définition du temps propre pour un objet se
déplaçant suivant une direction radiale dans un champ de gravitation :
Φ
+−
Φ
+
=τ−
2
22
2
2
22
c
2
1dtc
c
2
1
dr
dc (XV-21)
puisque dans le cas du photon, nous devons vérifier dτ = 0 en accord avec la relation
(XV-20) ci-desssus.
On obtient alors une vitesse de la lumière progressivement décroissante depuis l’infini
jusqu’à l’horizon de SCHWARZSCHILD, dont une représentation sur les derniers milliers de
kilomètres est donnée figure (XV-3).
Figure (XV-2) : Vitesse au carré en fonction de la distance d’approche pour une
trajectoire radiale avec une vitesse égale à 1
E
8 m/s pour r infini. La masse gravitationnelle est
celle du soleil.
0.0E+00
5.0E+15
1.0E+16
1.5E+16
2.0E+16
2.5E+16
3.0E+16
3.5E+16
0.0E+00 1.0E+04 2.0E+04 3.0E+04 4.0E+04 5.0E+04 6.0E+04 7.0E+04 8.0E+04 9.0E+04 1.0E+05
r (m)
Vr² = (dr/dt)² (m/s)²
mécanique classique
Métrique de SCHWARZSCHILD
r 1
(4/27)c²