2 Opérateurs n

Opérateurs n-aires
Clément Boulonne
26 février 2010
Table des matières
1 Introduction
2
2 Opérateurs n-aires
2.1 Premières définitions . . . . .
2.2 L’opérateur n-aire de somme .
2.3 L’opérateur n-aire du produit
2.4 D’autres opérateurs n-aires . .
2.5 Explication sur les bornes . .
2.6 Propriétés importantes . . . .
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2
2
2
2
3
3
4
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5
5
5
8
9
10
3 Des
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
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exemples d’utilisation des opérations n-aires
Des formules pour la somme . . . . . . . . . . . .
Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites des sommes partielles et séries . . . . . . .
Partition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . .
4 Exercices corrigés
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10
1
1
Introduction
Le but de ce cours est d’introduire une notation raccourcissant l’écriture de certaines
opérations. Cette notation, nous allons l’appeler les opérateurs n-aires. Un opération binaire est l’opérateur qu’on rencontre tous les jours. Par exemple, si on veut additionner
2 et 3, on note l’opération 2 + 3. On appelle donc opérateur binaire, l’opérateur qui sépare deux objets mathématiques. Mais il arrive parfois qu’on veuille faire des opérations
plus complexes portant sur n objets mathméatiques. Pour cela, nous n’allons pas écrire n
opéarteurs binaires mais raccourcir la notation en introduisant l’opérateur n-aire.
On rencontre ces opérations dans des cours ou des exercices qui font appel à des opérations particulières ou bornées 1 . On peut aussi retrouver ces notations dans divers documents
mathématiques mettant en évidence des choses particulières mais difficile à comprendre.
Opérateurs n-aires
2
2.1
Premières définitions
Pour bien poser les cadres de ce cours, nous allons définir les opérateurs n-aires.
Définition 2.1. Un opérateur n-aire est un symbole qui permet de relier n objets mathématiques identiques.
On détaille maintenant ce qu’on met sur ce symbole pour être bien compris de tous.
Définition 2.2.
– En bas de ce symbole se trouve la borne inférieure de l’opération,
– en haut se trouve la borne supérieure,
– à droite, on met une expression en fonction portant « au départ » la borne inférieure.
Si ce n’est pas encore clair, voici quelques exemples.
2.2
L’opérateur n-aire de somme
On utilise la lettre grec sigma majuscule Σ pour représenter la somme.
n
X
k = 0 + 1 + 2 + 3 + ··· + n =
k=0
2.3
n(n + 1)
.
2
L’opérateur n-aire du produit
On utilise le symbole pi Π pour représenter le produit.
n
Y
k = 1 × 2 × 3 × · · · × n = n!.
k=1
1
c’est-à-dire qui ne dépasse pas certaines bornes
2
2.4
D’autres opérateurs n-aires
Le tableau 1 résume la plupart des opérateurs n-aires qu’on peut rencontrer en mathématiques.
Somme
Produit
Intégrale
Intégrale elliptique
Union (ensemble)
Intersection (ensemble)
Somme directe
Produit de convolution
Opérateur binaire
+
×
Opérateur n-aire
∪
∩
⊕
⊗
S
T
L
N
P
Q
R
H
Tab. 1 – Opérateurs n-aires
Remarque 2.3. Vous avez sûrement remarqué qu’il n’y a pas d’opérateur binaire pour
les intégrales. Si vous savez la définition de l’intégrale alors vous savez que c’est une sorte
de somme sur un intervalle continu donc sur une infinité d’éléments.
2.5
Explication sur les bornes
Les bornes servent à délimiter l’opérateur en binaire à faire (c’est-à-dire les opérations
qu’on a l’habitude d’écrire). Prenons tout d’abord un exemple :
S=
n
X
k2.
(1)
k=1
Définition 2.4. Dans l’expression (1), on appelle la variable k, variable muette de l’opérateur.
Dans cet exemple, elle varie de 1 à n où n vaut un nombre naturel quelconque.
Pour revenir aux opérateurs binaires et pour traduire ce qu’est une opération n-aire,
on place tout d’abord la valeur de la borne inférieur (dans S, c’est 12 = 1), on ajoute
l’opérateur binaire associé à l’opérateur n-aire2 puis on incremente la variable muette
jusqu’à tant que celle-ci vaille n. Ici, l’opération en opérateur binaire est :
n
X
k 2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = 1 + 4 + 9 + 16 + · · · + n2 .
(2)
k=1
Quand la borne supérieure est une variable qui ne pore pas de valeur particulière, elle
est toujours dans l’ensemble N des entiers naturels.et on peut mettre « · · · » pour écourter
l’opéraion comme dans l’expression (2).
2
ici, c’est une somme donc c’est un +
3
Remarque 2.5. Attention ! Quand la borne supérieure est inférieure à la borne inférieure, il y a plusieurs possibiltés (qui dépend des objets mathématiques) pour le résultat
de l’opération :
→ soit il vaut 0 (si cela traite de nombres),
→ soit c’est l’ensemble vide ∅ (si cela traite des ensembles),
→ soit il n’existe pas.
2.6
Propriétés importantes
Propriétés 2.6. Soient (ak )k∈N et (bk )k∈N des suites numériques. Alors,
(i) Pour tout 1 ≤ p ≤ n,
n
X
ak =
k=1
p
X
n
X
ak +
k=1
k=p+1
(ii) Linéarité de la somme :
n
X
n
X
(ak + bk ) =
k=1
n
X
!
ak +
k=1
!
bk .
k=1
(iii) Changement de variable muette :
n
X
ak =
n
X
aj .
j=1
k=1
Remarque 2.7. Attention ! La propriété (ii) n’est plus vraie pour le produit. Il existe
tout de même une formule pour le produit de somme, c’est ce qu’on appelle produit de
Cauchy :
n
X
k=1
ak
n
X
bk =
n
X
avec ck =
ck
as bk−s .
s=0
k=1
k=1
k
X
On a aussi des formules analogues pour le produit.
Propriétés 2.8. Soit (ak )k∈N et (bk )k∈N deux suites numériques. Alors :
(i) Pour tout 1 ≤ p ≤ n,
n
Y
ak =
k=1
p
Y
ak ×
k=1
n
Y
ak ,
k=p+1
(ii) Linéarité pour le produit :
n
Y
(ak × bk ) =
k=1
n
Y
!
ak ·
k=1
k=1
(iii) Changement de variable muette :
n
Y
ak =
n
Y
j=1
k=1
4
n
Y
aj .
!
bk ,
3
3.1
Des exemples d’utilisation des opérations n-aires
Des formules pour la somme
On a une formule pour la somme des n premiers entiers (proposition 3.1) et la somme
des n premiers carrés (proposition 3.2).
Proposition 3.1. Pour tout n ∈ N,
n
X
k=
k=1
n(n + 1)
.
2
Démonstration. On démontre la proposition par réccurence :
Initialisation Pour n = 1, on a :
1
X
2
k=1= .
2
k=1
Hérédité On suppose la propriété vraie au rang n − 1 et on la montre pour le rang n.
n
X
k=
n−1
X
k+n=
k=1
2
k=1
=
(n − 1)n
+n
2
n − n + 2n
n2 + n
n(n + 1)
=
=
.
2
2
2
La formule est donc vraie pour tout n ∈ N.
Proposition 3.2. Pour tout n ∈ N, on a :
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Démonstration. En exercice, on pourra procéder comme pour la démonstration de la proposition 3.1. Cette formule se démontre par réccurence.
3.2
Somme et produit
Exemple 3.3 (Somme). Soit à calculer la somme suivante :
5
X
k2 + 1
3
k=1
On remarquera qu’en opération binaire, (3) s’écrit de la manière suivante :
12 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + 1
+
+
+
+
.
3
3
3
3
3
5
(3)
Mais, comme vous le voyez, cette écriture est très pénible à écrire et manque de chance, il
faut passer par celle-ci pour calculer le résultat de la somme. Ainsi,
5
X
k2 + 1
2 5 10 17 26
60
= + +
+
+
=
= 20.
3
3 3
3
3
3
3
k=1
Remarque 3.4. Dans l’exemple 3.3, on remarque que le dénominateur n’affecte en rien
sur le résultat final de la somme. On peut réécrire (3) :
5
X
P5
k2 + 1
=
3
k=1
k=1 (k
2
+ 1)
(4)
.
3
Ensuite, on utilise la linéarité de la somme :
P5
k=1 (k
2
P
+ 1)
5
k=1
=
3
P
5
k=1
k2 +
1
3
.
La somme 5k=1 1 est assez particulière car elle ne fait pas intervenir la variable muette.
Donc c’est un peu qu’on multipliait 1 par 5. Pour ce qui est de la première somme, on
utilise la proposition 3.2 pour en déduire que
P
5
X
k2 =
k=1
5 × 6 × 11
= 5 × 11 = 55.
6
Ainsi,
P
5
k=1
k2 +
P
5
k=1
1
=
3
55 + 5
60
=
= 20.
3
3
Remarque 3.5. Une autre façon de retrouver le résultat. Partons de (4) et remarquons
que :
k 2 + 1 = (k + 1)2 − 2k.
De là, on a alors :
P
5
k=1 (k
(4) =
+ 1)2 −
P
5
k=1
2k
.
3
On fait le changement de variables suivant pour la première somme :
k + 1 = j ⇐⇒ j − 1 = k.
La somme se transforme donc :
5
X
2
(k + 1) =
k=1
j−1=5
X
j−1=1
6
2
j =
6
X
j=2
j2
et là, on est embêté car la somme commence pour j = 2 et non pour j = 1. Mais, pas de
problème, il suffit de ruser un peu :
6
X

=
j=2
6
X

j 2  − 1.
j=1
Finalement, on invoque encore la formule de la proposition 3.2 pour avoir le résultat suivant :


6
X
6 × 7 × 13

− 1 = 7 × 13 − 1 = 91 − 1 = 90.
j 2 − 1 =
6
j=1
Pour la deuxième somme, on remarque que :
5
X
2k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 2
k=1
5
X
k.
k=1
Donc,
5
X
5
X
2k = 2
k=1
k=2
k=1
5×6
= 30.
2
Au final, on trouve bien le résultat attendu (car
90−30
3
=
60
3
= 20. . .).
Bon, finalement, toutes ces remarques pour trouver le même résultat. Avouez que c’est
un peu se creuser la tête pour pas grand chose.
Voici un autre exemple d’opérations n-aires mais cette fois-ci, avec des produits. Mais
avant cela, on introduit la notation de la factorielle pour faciliter l’écriture du produit des
n premiers entiers.
Définition 3.6. On appelle la factorielle d’un entier naturel n, qu’on note n!, le produit
des nombres entiers strictement positifs naturels ou égaux à n. C’est-à-dire,
n
Y
k = 1 × 2 × · · · × n = n!.
k=1
Exemple 3.7. Soit à calculer
P =
4
Y
k+1
.
k
k=1
(5)
Tout d’abord, on utilise la propriété bien connue de multiplication de fractions, c’est-à-dire :
a×b
a b
= × .
c×d
c d
Donc,
4
Y
k+1
P =
=
k
k=1
Q4
k=1 (k +
Q4
k=1 k
1)
.
Et maintenant, on utilise la notation introduite à la définition 3.6, c’est-à-dire :
Q4
P =
k=1 (k +
Q4
k=1 k
1)
=
5!
2×3×4×5
=
= 5.
4!
1×2×3×4
7
Remarque 3.8. Il ne faut tomber dans le piège. Si un des termes du produit est nul alors
le produit est nul. Il faut donc bien regarder l’intervalle d’incrémentation de la variable
muette. On a bien :
n
Y
k = n!
k=1
mais
n
Y
k = 0.
k=0
Proposition 3.9. De l’exemple 3.7, on peut tirer une formule. Pour tout n ∈ N,
n
Y
k+1
= n + 1.
k
k=1
Démonstration. C’est une simple réccurence. . .
Exercice 3.10. Soit p ∈ N fixé. Que peut-on dire du produit suivant, pour tout n ∈ N
n
Y
n+p
?
n
k=1
3.3
Un calcul d’intégrales
Exemple 3.11. Soit à calculer :
I=
Z 1X
n
xk .
0 k=0
Tout d’abord, on peut « sortir » le symbole somme du signe intégrale grâce à la propriété
de l’intégrale :
I=
Z 1X
n
xk =
0 k=0
=
n Z 1
X
xk =
k=0 0
n
k+1
X
k=0
n
X
k=0
1
xk k + 1 0
1
0k+1
−
k+1 k+1
!
=
n
X
n+1
X1
1
=
j=1 j
k=0 k + 1
Pour la dernière égalité, on n’a juste fait un changement de variables j = k + 1. On peut,
peut-être, détailler la procédure :
n
X
1
k=0 k + 1
j:=k+1
=
j−1=n
X
j−1=0
X 1
1 j=n+1
=
.
j
j=1 j
Exercice 3.12. Bien sûr, dans l’exemple précédent, nous n’avons pas fixé de valeur à n.
Voici un petit exercice pour vous, alors. . .
1. Que vaut I pour n = 4 ?
2. Étudier la convergence de I (Indication : pour cela, vous pourrez vous aider de [1]).
8
3.4
Suites des sommes partielles et séries
Définition 3.13. Soit (un )n∈N une suite numérique. On définit la suite de ses sommes
partielles, la suite (Sn )n∈N , la suite suivante :
Sn =
n
X
un .
k=0
L’étude de ces suites se font en classe de première, et surtout en terminale. Mais l’étude
de la convergence de ce genre de suites se voit un peu plus tard.
Définition 3.14. Soit (un )n∈N une suite numérique et (Sn )n∈N , la suite des sommes partielles de (un )n∈N . On appelle série associée à la suite (un )n∈N , la limite de la suite (Sn )n∈N .
C’est-à-dire :
S = lim Sn =
n→+∞
+∞
X
un .
n=0
Remarque 3.15. Attention ! La notation utilisée dans la définition 3.14 est un peu
abusive car on ne sait pas a priori si la série existe (c’est-à-dire si la limit existe ou non).
Si la suite (un ) est arithmétique ou géométrique, on a quelques résultats très intéressant
en ce qui concerne la série. Mais avant cela, on définit ce qu’est une suite arithmétique et
géométrique.
Définition 3.16 (Suite arithmétique). On dit qu’une suite (un )n∈N est arithmétique de
raison p, si, pour tout n ∈ N, le terme un s’écrit :
un = u0 + np.
Définition 3.17. On dit qu’une suite (un )n∈N est géométrique de raison q si, pour tout
n ∈ N, le terme un s’écrit :
un = u0 q n .
Ainsi, on en déduit les propositions suivantes :
Proposition 3.18. Pour (un )n∈N arithémtique de raison p :
Sn =
n
X
up =
p=0
n(p + 1) + 1
(n + 1)
(u0 + un ) = u0 +
.
2
2
Proposition 3.19. Pour (un )n∈N géométrique de raison q 6= 1,
Sn =
p=n
X
p=m
up =
1 − q n+1−m
um − un+1
= u0 q m
.
1−q
1−q
9
3.5
Partition d’un ensemble
Définition 3.20 (Sous-ensemble d’un ensemble E). Soit E un ensemble. On dit que F est
un sous-ensemble de E si pour tout élément de F , ils sont dans E.
Ainsi, on définit la notion de partition d’un ensemble en une famille de sous-ensembles.
Définition 3.21 (Partition d’un ensemble). Soit E un ensemble et (Fi )i∈I une famille de
sous-ensembles. ON dit que les sous-ensembles Fi réalisent une partition de E si l’intersection des sous-ensembles Fi est vide et que leur réunion soit E tout entier.
On peut traduire cette définition en symboles mathématiques :
T
1. i∈I Fi = ∅,
S
2. i∈I Fi = E.
Passons maintenant aux exercices. . .
4
Exercices corrigés
Exercice 4.1. Calculer :
5
X
(k + 1)3
k=0
6
X
(6)
k3
(7)
p+3
p
p=3
(8)
k=1
7
X
Solution. On remarque que les sommes (6) et (7) sont les mêmes à changement de variables
près. Donc :
5
X
(k + 1)3 =
k=0
6
X
k 3 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
k=1
= 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 = 441.
Le calcul de la somme (8) se fait de la manière suivante. Tout d’abord, on détaille l’opérateur 4-aire en opérateur binaire :
7
X
p+3
3+3 4+3 5+3 6+3 7+3
6 7 8 9 10
=
+
+
+
+
= + + + +
p
3
4
5
6
7
3 4 5 6
7
p=3
Maintenant, on fait les simplifications nécessaires pour obtenir le résultat final
=2+
7 8 3 10
21 8 10
1 159
+ + +
=
+ +
=
.
4 5 2
7
4
5
7
140
10
Exercice 4.2. Calculer :
1
Y
(k + 1)
(9)
k=0
5
Y
(k + 1)
(10)
k=1
3
Y
k2 + 1
3
k=1
(11)
Solution. Par un changement de variables et par la proposition 3.2, on peut aisément
calculer les sommes 9 et 10,
1
Y
(k + 1)
j:=k+1
=
j=
j−1=0
k=0
5
Y
j−1=1
Y
(k + 1)
`:=k+1
=
k=1
`−1=5
Y
2
Y
j = 2,
j=1
`=
`−1=1
6
Y
` = 6! = 720.
`=2
Pour le dernier produit, on utilise la formule de multiplication des fractions. Ainsi,
3
Y
k2 + 1
=
3
k=1
Q3
2
k=1 (k
Q3
k=1
+ 1)
2
=
3
3
5
3
100
10
=
.
3
27
Exercice 4.3. Trouver les racines des polynômes suivants :
P (X) =
Q(X) =
4
Y
(3(k − 1) − x),
k=3
3
Y
(kx + 2).
(12)
(13)
k=1
Solution. Trouver les racines d’un polynôme U est équivalent à résoudre l’équation U (X) =
0. On développe les opérateurs en opérateur binaire.
P (X) =
Q(X) =
4
Y
(3(k − 1) − x) = (3 × 2 − x)(3 × 3 − x) = (6 − x)(9 − x),
k=3
3
Y
(kx + 2) = (x + 2)(2x + 2)(3x + 2).
k=1
On résoud les équations :
P (X) = 0 ⇐⇒ (6 − x)(9 − x) = 0 ⇐⇒ 6 − x = 0 ou 9 − x = 0 ⇐⇒ x = 6 ou x = 9,
Q(X) = 0 ⇐⇒ (x + 2)(2x + 2)(3x + 2) = 0 ⇐⇒ x = −2 ou 2x = −2 ou 3x = −2
2
⇐⇒ x = −2 ou x = −1 ou x = − .
3
11
Exercice 4.4. Étudier la convergence des séries suivantes :
√
+∞
X n
,
2
n=1 n
+∞
X
ln(n)e−n n2 .
(14)
(15)
n=1
√
1/2
Solution. Pour la série (14), on peut remarquer que n = n1/2 et donc que nn2 = n1/2−2 =
P
n−3/2 . On utilise [1, p 13, exemple 1.5.3] pour conclure que la série n−3/2 converge.
Pour la série (15), il faut utiliser le critère de D’Alembert. . .
Exercice 4.5. À propos de partition d’ensemble en sous-ensembles, quelle
√ est la partition
la plus naturelle de N ? Montrer que la famille d’ensembles En = {x, x < n}, pour n ∈ N,
ne forment pas une partition de R.
Solution. On considère la famille d’ensembles (Fi )i∈N tel que Fi = {i}. On peut montrer que
cette famille d’ensembles forme une partition de l’ensemble N. Pour tout i 6= j, Fi ∩ Fj = ∅
car i 6= j et il est clair que la réunion de tous les Fi forme N. En exercice, vous pouvez
aussi montrer que l’ensemble des nombres
pairs et impairs forment une partition de N.
√
Par contre, les En = {x, x < n} ne forment pas une partition de R. On a bien que
la réunion des En forment R mais par contre, E1 ∩ E2 6= ∅ car 0 ∈ E1 et 0 ∈ E2 (ou plus
généralement, l’intervalle ] − ∞,0[ est dans l’intersection de tous les En ).
Références
[1] Clément Boulonne, Notes de cours M203 : Compléments de calcul intégral, disponible
sur son site personnel : http://clementboulonne.new.fr, L2 Mathématiques, 2007—
2008.
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