2 Opérateurs n

Opérateurs n-aires
Clément Boulonne
26 février 2010
Table des matières
1 Introduction 2
2 Opérateurs n-aires 2
2.1 Premières définitions .............................. 2
2.2 L’opérateur n-aire de somme .......................... 2
2.3 L’opérateur n-aire du produit ......................... 2
2.4 D’autres opérateurs n-aires ........................... 3
2.5 Explication sur les bornes ........................... 3
2.6 Propriétés importantes ............................. 4
3 Des exemples d’utilisation des opérations n-aires 5
3.1 Des formules pour la somme .......................... 5
3.2 Somme et produit ................................ 5
3.3 Un calcul d’intégrales .............................. 8
3.4 Suites des sommes partielles et séries ..................... 9
3.5 Partition d’un ensemble ............................ 10
4 Exercices corrigés 10
1

1 Introduction
Le but de ce cours est d’introduire une notation raccourcissant l’écriture de certaines
opérations. Cette notation, nous allons l’appeler les opérateurs n-aires. Un opération bi-
naire est l’opérateur qu’on rencontre tous les jours. Par exemple, si on veut additionner
2et 3, on note l’opération 2+3. On appelle donc opérateur binaire, l’opérateur qui sé-
pare deux objets mathématiques. Mais il arrive parfois qu’on veuille faire des opérations
plus complexes portant sur nobjets mathméatiques. Pour cela, nous n’allons pas écrire n
opéarteurs binaires mais raccourcir la notation en introduisant l’opérateur n-aire.
On rencontre ces opérations dans des cours ou des exercices qui font appel à des opéra-
tions particulières ou bornées1. On peut aussi retrouver ces notations dans divers documents
mathématiques mettant en évidence des choses particulières mais difficile à comprendre.
2 Opérateurs n-aires
2.1 Premières définitions
Pour bien poser les cadres de ce cours, nous allons définir les opérateurs n-aires.
Définition 2.1. Un opérateur n-aire est un symbole qui permet de relier nobjets mathé-
matiques identiques.
On détaille maintenant ce qu’on met sur ce symbole pour être bien compris de tous.
Définition 2.2. – En bas de ce symbole se trouve la borne inférieure de l’opération,
– en haut se trouve la borne supérieure,
– à droite, on met une expression en fonction portant « au départ » la borne inférieure.
Si ce n’est pas encore clair, voici quelques exemples.
2.2 L’opérateur n-aire de somme
On utilise la lettre grec sigma majuscule Σpour représenter la somme.
n
X
k=0
k=0+1+2+3+··· +n=n(n+ 1)
2.
2.3 L’opérateur n-aire du produit
On utilise le symbole pi Πpour représenter le produit.
n
Y
k=1
k= 1 ×2×3× ··· × n=n!.
1c’est-à-dire qui ne dépasse pas certaines bornes
2

2.4 D’autres opérateurs n-aires
Le tableau 1résume la plupart des opérateurs n-aires qu’on peut rencontrer en mathé-
matiques.
Opérateur binaire Opérateur n-aire
Somme +P
Produit ×Q
Intégrale R
Intégrale elliptique H
Union (ensemble) ∪S
Intersection (ensemble) ∩T
Somme directe ⊕L
Produit de convolution ⊗N
Tab. 1 – Opérateurs n-aires
Remarque 2.3. Vous avez sûrement remarqué qu’il n’y a pas d’opérateur binaire pour
les intégrales. Si vous savez la définition de l’intégrale alors vous savez que c’est une sorte
de somme sur un intervalle continu donc sur une infinité d’éléments.
2.5 Explication sur les bornes
Les bornes servent à délimiter l’opérateur en binaire à faire (c’est-à-dire les opérations
qu’on a l’habitude d’écrire). Prenons tout d’abord un exemple :
S=
n
X
k=1
k2.(1)
Définition 2.4. Dans l’expression (1), on appelle la variable k,variable muette de l’opé-
rateur.
Dans cet exemple, elle varie de 1ànoù nvaut un nombre naturel quelconque.
Pour revenir aux opérateurs binaires et pour traduire ce qu’est une opération n-aire,
on place tout d’abord la valeur de la borne inférieur (dans S, c’est 12= 1), on ajoute
l’opérateur binaire associé à l’opérateur n-aire2puis on incremente la variable muette
jusqu’à tant que celle-ci vaille n. Ici, l’opération en opérateur binaire est :
n
X
k=1
k2= 12+ 22+ 32+··· +n2=1+4+9+16+··· +n2.(2)
Quand la borne supérieure est une variable qui ne pore pas de valeur particulière, elle
est toujours dans l’ensemble Ndes entiers naturels.et on peut mettre « ··· » pour écourter
l’opéraion comme dans l’expression (2).
2ici, c’est une somme donc c’est un +
3

Remarque 2.5. Attention ! Quand la borne supérieure est inférieure à la borne infé-
rieure, il y a plusieurs possibiltés (qui dépend des objets mathématiques) pour le résultat
de l’opération :
→soit il vaut 0(si cela traite de nombres),
→soit c’est l’ensemble vide ∅(si cela traite des ensembles),
→soit il n’existe pas.
2.6 Propriétés importantes
Propriétés 2.6. Soient (ak)k∈Net (bk)k∈Ndes suites numériques. Alors,
(i) Pour tout 1≤p≤n,
n
X
k=1
ak=
p
X
k=1
ak+
n
X
k=p+1
(ii) Linéarité de la somme :
n
X
k=1
(ak+bk) = n
X
k=1
ak!+ n
X
k=1
bk!.
(iii) Changement de variable muette :
n
X
k=1
ak=
n
X
j=1
aj.
Remarque 2.7. Attention ! La propriété (ii) n’est plus vraie pour le produit. Il existe
tout de même une formule pour le produit de somme, c’est ce qu’on appelle produit de
Cauchy :
n
X
k=1
ak
n
X
k=1
bk=
n
X
k=1
ckavec ck=
k
X
s=0
asbk−s.
On a aussi des formules analogues pour le produit.
Propriétés 2.8. Soit (ak)k∈Net (bk)k∈Ndeux suites numériques. Alors :
(i) Pour tout 1≤p≤n,
n
Y
k=1
ak=
p
Y
k=1
ak×
n
Y
k=p+1
ak,
(ii) Linéarité pour le produit :
n
Y
k=1
(ak×bk) = n
Y
k=1
ak!· n
Y
k=1
bk!,
(iii) Changement de variable muette :
n
Y
k=1
ak=
n
Y
j=1
aj.
4

3 Des exemples d’utilisation des opérations n-aires
3.1 Des formules pour la somme
On a une formule pour la somme des npremiers entiers (proposition 3.1) et la somme
des npremiers carrés (proposition 3.2).
Proposition 3.1. Pour tout n∈N,
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2.
Démonstration. On démontre la proposition par réccurence :
Initialisation Pour n= 1, on a :
1
X
k=1
k=1=2
2.
Hérédité On suppose la propriété vraie au rang n−1et on la montre pour le rang n.
n
X
k=1
k=
n−1
X
k=1
k+n=(n−1)n
2+n
=n2−n+ 2n
2=n2+n 2=n(n+ 1) 2.
La formule est donc vraie pour tout n∈N.
Proposition 3.2. Pour tout n∈N,ona:
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
Démonstration. En exercice, on pourra procéder comme pour la démonstration de la pro-
position 3.1. Cette formule se démontre par réccurence.
3.2 Somme et produit
Exemple 3.3 (Somme).Soit à calculer la somme suivante :
5
X
k=1
k2+ 1
3(3)
On remarquera qu’en opération binaire, (3) s’écrit de la manière suivante :
12+ 1
3+22+ 1 3+32+ 1 3+42+ 1 3+52+ 1 3.
5