Loi normale

Loi normale
Pondichéry, 16 avril 2013
Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie
de grippe.
• Un salarié malade est absent
• La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
• Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à
0, 04.
• Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0, 24.
On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par En l’Événement « le salarié est absent pour
cause de maladie la n ième semaine ». On note p n la probabilité de l’Événement En .
On a ainsi : p 1 = 0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0 É p n < 1.
1.a) Déterminer la valeur de p 3 à l’aide d’un arbre
de probabilité.
est une suite géométrique dont on donnera le
premier terme et la raison r .
b) Sachant que le salarié a été absent pour cause
de maladie la troisième semaine, déterminer la
probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause
de maladie la deuxième semaine.
En déduire l’expression de u n puis de p n en
fonction de n et r .
¡ ¢
d) En déduire la limite de la suite p n .
¡ ¢
e) On admet dans cette question que la suite p n
est croissante. On considère l’algorithme suivant :
2.a) Recopier sur la copie et compléter l’arbre de
probabilité donné ci-dessous
pn
···
En+1
···
En+1
Variables
K et J sont des
entiers naturels, P
est un nombre réel
Initialisation
P prend la valeur 0
En
.
···
···
En
···
J prend la valeur 1
En+1
En+1
Entrée
Saisir la valeur de K
Traitement
Tant que P < 0, 05 − 10−K
P prend la valeur
0, 2 × P + 0, 04
b) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,
J prend la valeur J +
1
p n+1 = 0, 2p n + 0, 04
Fin tant que
Sortie
c) Montrer que la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par
Afficher J
À quoi correspond l’affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?
u n = p n − 0, 05
3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit
malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale à p = 0, 05.
1
On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l’espérance mathématique µ et l’écart type σ de la variable aléatoire X.
X−µ
b) On admet que l’on peut approcher la loi de la variable aléatoire
σ
par la loi normale centrée réduite c’est-à-dire de paramètres 0 et 1.
On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
Le tableau suivant donne les probabilités de l’Événement Z < x pour quelques valeurs du nombre réel
x.
x
−1, 55
−1, 24
−0, 93
−0, 62
−0, 31
0,00
0,31
0,62
0,93
1,24
P(Z < x)
0,061
0,108
0,177
0,268
0,379
0,500
0,621
0,732
0,823
0,892
1,55
0,939
−2
Calculer, au moyen de l’approximation proposée en question b., une valeur approchée à 10 près de
la probabilité de l’Événement : « le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine
donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».
Amérique du Nord, 30 mai 2013
Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne
400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la
masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est
supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.
La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi
normale d’espérance µ = 400 et d’écart-type σ = 11.
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche
Partie A
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
x
380
385
390
395
400
405
410
415
420
p(X É x)
0,035
0,086
0,182
0,325
0,5
0,675
0,818
0,914
0,965
1. Calculer p(390 É X É 410).
2. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin
de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ.
Pour quelle valeur de σ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira
le résultat au dixième.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 0 et d’écart-type 1, on a p(Z É −1, 751) ≈ 0, 040.
Partie B, (voir plus tard)
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir 96 % de pains commercialisables.
Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains
fabriqués.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300.
M. F RECHET
2
2. Parmi les 300 pains de l’échantillon, 283 sont commercialisables.
Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l’objectif a été atteint ?
Partie C
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de
cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0, 913. En
déduire la valeur de λ arrondie au millième.
Dans toute la suite on prendra λ = 0, 003.
2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours,
sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que
la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
Liban, 28 mai 2013
L’entreprise F RUCTIDOUX fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ».
La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit
comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F1 et F2 .
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment
Partie A
La chaîne de production F2 semble plus fiable que la chaîne de production F1 . Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F1 et 30 % de la chaîne F2 .
La chaîne F1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F2 en produit 1 %.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les événements :
E : « Le petit pot provient de la chaîne F2 »
C : « Le petit pot est conforme. »
1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2. Calculer la probabilité de l’Événement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production
F1 . »
3. Déterminer la probabilité de l’événement C.
4. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité de l’Événement E sachant que l’événement C est réalisé.
Partie B
1. On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F1 , associe
sa teneur en sucre.
On suppose que X suit la loi normale d’espérance m 1 = 0, 17 et d’écart-type σ1 = 0, 006.
Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
M. F RECHET
3
α
β
P(α É X É β)
0,13
0,15
0,000 4
0,14
0,16
0,047 8
0,15
0,17
0,499 6
0,16
0,18
0,904 4
0,17
0,19
0,499 6
0,18
0,20
0,047 8
0,19
0,21
0,000 4
Donner une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F1 soit conforme.
2. On note Y la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F2 , associe
sa teneur en sucre.
On suppose que Y suit la loi normale d’espérance m 2 = 0, 17 et d’écart-type σ2 .
On suppose de plus que la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne
F2 soit conforme est égale à 0, 99.
Y − m2
.
Soit Z la variable aléatoire définie par Z =
σ2
a) Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle ?
b) Déterminer, en fonction de σ2 l’intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient à l’intervalle [0, 16 ; 0, 18].
c) En déduire une valeur approchée à 10−3 près de σ2 .
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire Z suit la loi normale
d’espérance 0 et d’écart-type 1.
β
P(−β É Z É β)
2,432 4
0,985
2,457 3
0,986
2,483 8
0,987
2,512 1
0,988
2,542 7
0,989
2,575 8
0,990
2,612 1
0,991
2,652 1
0,992
2,696 8
0,993
Antilles – Guyane, septembre 2013
Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au
hasard, on appelle X la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et Y la variable aléatoire qui
lui associe son diamètre en millimètre.
On suppose que X suit la loi normale de moyenne µ1 = 36 et d’écart-type σ1 = 0, 2 et que Y suit la loi normale
de moyenne µ2 = 6 et d’écart-type σ2 = 0, 05.
1. Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre µ1 − 3σ1 et µ1 + 3σ1 .
Quelle est une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité p 1 pour qu’une pièce prélevée au hasard
soit conforme pour la longueur ?
M. F RECHET
4
2. Une pièce est dite conforme pour le diamètre
si son diamètre est compris entre 5,88 mm et
6,12 mm. Le tableau donné ci-contre a été obtenu
à l’aide d’un tableur. Il indique pour chacune des
valeurs de k, la probabilité que Y soit inférieure
ou égal à cette valeur.
Déterminer à 10−3 près la probabilité p 2 pour
qu’une pièce prélevée au hasard soit conforme
pour le diamètre (on pourra s’aider du tableau cicontre).
3. On prélève une pièce au hasard. On appelle L
l’événement « la pièce est conforme pour la longueur » et D l’événement « la pièce est conforme
pour le diamètre ». On suppose que les événements L et D sont indépendants.
a) Une pièce est acceptée si elle est conforme pour
la longueur et pour le diamètre.
Déterminer la probabilité pour qu’une pièce
prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à 10−2 ).
b) Justifier que la probabilité qu’elle soit conforme
pour le diamètre sachant qu’elle n’est pas
conforme pour la longueur, est égale à p 2 .
k
p(Y É k)
5, 8
3,167 12E − 05
5, 82
0,000 159 109
5, 84
0,000 687 138
5, 86
0,002 555 13
5, 88
0,008 197 536
5, 9
0,022 750 132
5, 92
0,054 799 292
5, 94
0,115 069 67
5, 96
0,211 855 399
5, 98
0,344 578 258
6
0,5
6, 02
0,655 421 742
6, 04
0,788 144 601
6, 06
0,884 930 33
6, 08
0,945 200 708
6, 1
0,977 249 868
6, 12
0,991 802 464
6, 14
0,997 444 87
6, 16
0,999 312 862
6, 18
0,999 840 891
6, 2
0,999 968 329
Nouvelle-Calédonie, 14 novembre 2013
Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.
Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
Partie A
1. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son
diamètre exprimé en mm.
On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 10 et d’écart-type 0, 4.
Montrer qu’une valeur approchée à 0,000 1 près de la probabilité qu’une bille soit hors norme est 0,012 4.
On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.
2. On met en place un contrôle de production tel que 98 % des billes hors norme sont écartés et 99 % des
billes correctes sont conservées.
On choisit une bille au hasard dans la production. On note N l’événement : « la bille choisie est aux normes »,
A l’événement : « la bille choisie est acceptée à l’issue du contrôle ».
a) Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé.
b) Calculer la probabilité de l’événement A.
c) Quelle est la probabilité pour qu’une bille acceptée soit hors norme ?
M. F RECHET
5
Partie B
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l’entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les
billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes.
On considère que la probabilité qu’une bille soit hors norme est de 0,012 4.
On admettra que prendre au hasard un sac de 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de 100 billes
dans l’ensemble des billes fabriquées.
On appelle Y la variable aléatoire qui à tout sac de 100 billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.
1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Y ?
2. Quels sont l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire Y ?
3. Quelle est la probabilité pour qu’un sac de 100 billes contienne exactement deux billes hors norme ?
4. Quelle est la probabilité pour qu’un sac de 100 billes contienne au plus une bille hors norme ?
Annexe
A
B
1
d
P(X < d )
2
0
3,06E-138
3
1
2,08E-112
4
2
2,75E-89
5
3
7,16E-69
6
4
3,67E-51
7
5
3,73E-36
8
6
7,62E-24
9
7
3,19E-14
10
8
2,87E-07
11
9
0,00620967
12
10
0,5
13
11
0,99379034
14
12
0,99999971
15
13
1
16
14
1
17
15
1
18
16
1
19
17
1
20
18
1
21
19
1
22
20
1
23
21
1
24
22
1
25
Copie d’écran d’une feuille de calcul
M. F RECHET
6
Nouvelle-Calédonie, 7 mars 2014
Les parties A, B et C sont indépendantes
Partie A, Restitution organisée des connaissances
L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
Théorème
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α appartenant à
¡
¢
l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif χα tel que P −χα É X É χα = 1 − α.
Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels
R par
t2
1
f (t ) = p e− 2
2π
Soit H la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par
Z
H(x) = P(−x É X É x) =
x
f (t ) dt
−x
1. Que représente la fonction f pour la loi normale centrée réduite ?
2. Préciser H(0) et la limite de H(x) quand x tend vers +∞.
x
Z
3. À l’aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif x, H(x) = 2
f (t ) dt .
0
4. En déduire que la dérivée H0 de la fonction H sur [0 ; +∞[ est la fonction 2 f et dresser le tableau de variations de H sur [0 ; +∞[.
5. Démontrer alors le théorème énoncé.
Partie B
Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B.
60 % des pipettes viennent de l’entreprise A et 4,6 % des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut.
Dans le stock total du laboratoire, 5 % des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans
le stock du laboratoire et on note :
A l’événement : « La pipette est fournie par l’entreprise A » ;
B l’événement : « La pipette est fournie par l’entreprise B » ;
D l’événement : « La pipette a un défaut ».
1. La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu’elle vienne de l’entreprise A ?
2. Montrer que p(B ∩ D) = 0,022 4.
3. Parmi les pipettes venant de l’entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un défaut ?
Partie C
Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102 mL.
Soit X la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d’un laboratoire associe sa contenance (en millilitres).
On admet que X suit une loi normale de moyenne µ et écart type σ tels que µ = 100 et σ2 = 1,042 4.
1. Quelle est alors la probabilité, à 10−4 près, pour qu’une pipette prise au hasard soit conforme ? On pourra
s’aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice.
M. F RECHET
7
Contenance x
(en mL)
95
96
97
98
99
P(X
É
x)
¡
¢
arrondi à 10−5
0,000 00
0,000 04
0,001 65
0,025 06
0,163 68
Contenance x
(en mL)
100
101
102
103
104
P(X
É
x)
¡
¢
arrondi à 10−5
0,5
0,836 32
0,974 94
0,998 35
0,999 96
Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu’une pipette soit non-conforme est p = 0, 05.
2. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où n est un entier naturel
supérieur ou égal à 100. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme
indépendants.
Soit Yn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de pipettes non-conformes
de l’échantillon.
a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Yn ?
b) Vérifier que n Ê 30, np Ê 5 et n(1 − p) Ê 5.
c) Donner en fonction de n l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des
pipettes non-conformes dans un échantillon.
M. F RECHET
8
Correction exercices loi normale
Pondichéry, 16 avril 2013
1. Loi binomiale
a) Valeur de p 3 à l’aide d’un arbre de probabilité :
E1
0
0, 04
.
1
0, 24
E3
0, 76
E3
0, 04
E3
0, 96
E3
E2
E1
0, 96
E2
Théorème des probabilités totales : E3 = (E2 ∩ E3 ) ∪ (E2 ∩ E3 ) (union d’événements disjoints)
p 3 = p(E3 ) = p(E2 ) × p E2 (E3 ) + p(E2 ) × p E2 (E3 ) = 0, 04 × 0, 24 + 0, 96 × 0, 04 = 0, 048
b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, probabilité qu’il ait été
aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine :
p E3 (E2 ) =
p(E2 ∩ E3 ) 0, 04 × 0, 24 1
=
= = 0, 2
p(E3 )
0, 048
5
2. Suites
a) Arbre :
0, 24
En+1
0, 76
En+1
0, 04
En+1
0, 96
En+1
En
pn
.
1−p
En
b) En appliquant le théorème des probabilités totales :
En+1 = En ∩ En+1 ∪ En ∩ En+1 (union d’évènements disjoints)
p n+1 = 0, 24p n + 0, 04(1 − p n ) = (0, 24 − 0, 04)p n + 0, 04 = 0, 2p n + 0, 04
c) Pour tout n ∈
N∗,
u n+1 = p n+1 − 0, 05 = 0, 2p n + 0, 04 − 0, 05 = 0, 2p n − 0, 01 = 0, 2(p n − 0, 05) = 0, 2u n
donc (u n ) est la suite géométrique de premier terme u 1 = −0, 05 et la raison r = 0, 2.
Donc, pour tout n ∈
N∗ :
u n = u 1 × r n−1 = −0, 05 × 0, 2n−1
et donc :
p n = u n + 0, 05 = 0, 05(1 − 0, 2n−1 )
M. F RECHET
9
¡ ¢
d) Limite de la suite p n :
Comme |0, 2| < 1 alors : lim (0, 2)n−1 = 0 et donc lim p n = 0, 05.
n→+∞
n→+∞
e) Le nombre J qui est affiché en sortie d’algorithme est le rang du premier terme de la suite (p n ) qui s’approche de la limite 0,05 à 10−K près, où K est un entier fixé au départ.
La convergence de l’algorithme est assurée par l’existence de la limite vue en (d).
3. Loi normale
a) • Une semaine donnée, on peut définir une épreuve de B ERNOULLI, où le succès est l’événement E « un
salarié est absent pour maladie. »
• L’état de chaque salarié étant supposé indépendant de l’état des autres, on obtient donc un Schéma
de B ERNOULLI sur les 220 salariés de l’entreprise.
• La variable aléatoire X qui donne le nombre de succès dans ce schéma de B ERNOULLI suit la loi binomiale B(220 ; 0, 05).
D’après le cours :
p
p
µ = E(X) = np = 220 × 0, 05 = 11 et σ = np(1 − p) = 220 × 0, 05 × 0, 95 ' 3, 23
b) On a bien n Ê 30, np = 11 Ê 5 et n(1−p) = 209 Ê 5, donc la loi de X peut être approchée par la loi normale
¡
¢
X−µ
peut être approchée par une loi normale N (0 ; 1).
N ( µ, σ2 . Donc la loi de
σ
La probabilité de l’événement : « le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine
donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 » se note p(7 É X É 15).

7 − µ 7 − 11

=
' −1, 238 


σ
3, 23

donc p(7 É X É 15) ≈ p(−1, 24 < Z < 1, 24)



15 − µ 15 − 11

=
' 1, 238 
σ
3, 23
À l’aide de la densité de probabilité :
1
p(7 É X É 15) ≈ p(−1, 24 < Z < 1, 24) = p
2π
Z
1,24
−1,24
x2
e− 2 dx ' 0, 785024 ' 0, 785
Au moyen de la table fournie : Il y a une erreur d’arrondi dans la table !
x
−1, 55
−1, 24
−0, 93
−0, 62
−0, 31
0,00
0,31
0,62
0,93
1,24
1,55
φ(x) = P(Z < x)
0,061
0,108
0,177
0,268
0,379
0,500
0,621
0,732
0,823
0,893
0,939
p(−1, 24 < Z < 1, 24) = φ(1, 24) − φ(−1, 24) = p(Z < 1, 24) − p(Z < −1, 24) = 0, 893 − 0, 108 = 0, 785
Au moyen d’un tableur :
=LOI.NORMALE.STANDARD(1,24) et =LOI.NORMALE.STANDARD(-1,24)
À 10−2 près, on a donc p(7 É X É 15) ' 0, 785024.
Au moyen de geogebra :
M. F RECHET
10
Amérique du Nord, 30 mai 2013
Partie A, lois normales
x
380
385
390
395
400
405
410
415
420
P(X É x)
0,035
0,086
0,182
0,325
0,5
0,675
0,818
0,914
0,965
1. P(390 É X É 410) = P(X É 410) − P(X < 390) = 0, 818 − 0, 182 = 0, 636.
2. Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si « X Ê 385 ».
« X Ê 385 »est l’événement contraire de « X < 385 ».
On a donc p(X Ê 385) = 1 − p(X < 385) = 1 − 0, 086 = 0, 914.
3. Soit Y la variable aléatoire de paramètres µ = 400 et σ, on a :
p(X Ê 385) = 0.96 ⇔ 1 − p(Y < 385) = 0, 96 ⇔ p(Y < 385) = 0, 04
X − 400
suit une loi normale centrée
σ
µ
¶
µ
¶
µ
¶
385 − 400
−15
−15
p(Y < 385) = 0, 04 ⇐⇒ p Z É
=p ZÉ
=φ
' 0, 04
σ
σ
σ
Si Y suit une loi normale de paramètres µ = 400 et σ, on sait que Z =
réduite et
R
La fonction de répartition φ est continue et strictement croissante sur ; 0, 04 possède donc un unique
antécédent.
−15
15
Or P(Z É −1, 751) = φ(−1, 751) ≈ 0, 040 ; donc :
= −1.751 ⇐⇒ σ =
= 8, 6.
σ
1.751
Pour σ = 8, 6, au dixième près ; la probabilité qu’un pain soit commercialisable est de 1 − 0, 04 = 0, 96, soit
96% .
Partie B, (voir plus tard)
Partie C, loi exponentielle
Variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1. Probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours : p(T Ê 30) = 0, 913.
On a :
30
Z
p(T É 30) =
0
h
i30
λe−λx d x = −e−λx
= 1 − e−30λ
0
On en déduit :
p(T Ê 30) = 1 − p(T É 30) = e−30λ = 0, 913 ⇐⇒ −30λ = ln(0, 913) ⇐⇒ λ = 0, 003
Dans toute la suite on prendra λ = 0, 003.
2. Calculons p TÊ60 (T Ê 90).
On a :
p TÊ60 (T Ê 90) =
p((T Ê 60) ∩ (T Ê 90)) p(T Ê 90)
1 − p(T É 90) e−90λ
=
)=
=
= e−30λ
p(T Ê 60)
p(T Ê 60
1 − p(T É 90) e−60λ
Avec λ = 0, 003., on a donc p TÊ60 (T Ê 90) = p(T Ê 30) = 0, 913
La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant
qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours est 0,913 (loi à durée de vie sans vieillissement !)
M. F RECHET
11
3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que
la balance ne se dérègle pas avant un an. Calculons la durée maximale t max pour laquelle la probabilité
que la balance dérègle est inférieure à 0,5.
t max
Z
p(T É t max ) É 0, 5 ⇐⇒=
0
0
⇐⇒ 1 − e
Avec λ = 0, 003, on trouve t max É
h
itmax
λe−λx d x É 0, 5 ⇐⇒ −e−λx
É 0, 5
−λt max
É 0, 5 ⇔ e
−λt max
Ê 0, 5 ⇐⇒ −λt max Ê ln 0, 5 ' −0, 6931
−0, 6931
' 231 < 365. Le vendeur avait donc tort.
−0, 003
Liban, 28 mai 2013
Partie A
1. Arbre de probabilité :
0, 95
C
0, 05
C
0, 99
C
0, 01
C
E
0, 7
.
0, 3
E
³ ´
2. On cherche p(C ∩ E) = PE (C) × P E = 0, 95 × 0, 70 = 0, 665
3. D’après la formule des probabilités totales :
´
³
P(C) = P C ∩ E + P(C ∩ E) = 0, 665 + 0, 99 × 0, 30 = 0, 962
4. PC (E) =
P(E ∩ C) 0, 99 × 0, 30
=
≈ 0, 309 à 10−3 près
P(C)
0, 962
Partie B
¡
¢
1. X suit la loi normale N 0, 17 ; 0, 0062 .
La probabilité que le pot soit conforme, soit p(0, 16 É X É 0, 18) est égale à 0,904 4 d’après le tableau 1 :
Tableau 2
Tableau 1
α
β
P(α É X É β)
β
P(−β É Z É β)
0,13
0,15
0,000 4
2,432 4
0,985
0,14
0,16
0,047 8
2,457 3
0,986
0,15
0,17
0,499 6
2,483 8
0,987
0,16
0,18
0,904 4
2,512 1
0,988
0,17
0,19
0,499 6
2,542 7
0,989
0,18
0,20
0,047 8
2,575 8
0,990
0,19
0,21
0,000 4
2,612 1
0,991
À l’aide de la densité de probabilité :
¶
µ
¶
Z 1
0,6
x2
0, 16 − 0, 17
0, 18 − 0, 17
1
1
1
<Z<
=p −
<Z<
=p
e− 2 dx ' 0, 9044
p(0, 16 É X É 0, 18) = p
1
0, 006
0, 006
0, 6
0, 6
2π − 0,6
µ
M. F RECHET
12
2. La probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F2 soit conforme est égale
à 0, 990.
¡
¢
Y − m2
suit la loi normale centrée
a) D’après le cours, comme Y suit une loi normale N m 2 ; σ22 , alors Z =
σ2
réduite N (0 , 1).
b)
0, 16 − 0, 17 Y − 0, 17 0, 18 − 0, 17
0, 01
0, 01
É
É
=⇒ −
= −β É Z É β =
σ2
σ2
σ2
σ2
σ2
0, 16 É Y É 0, 18 ⇐⇒
c) On sait que cette probabilité doit être égale à 0, 990, le tableau 2 permet d’obtenir :
β = 2,575 8
d’où
0, 01
= 2,575 8 ⇐⇒ σ2 = 0,003 85
σ2
En conclusion, à 10−3 près, σ ≈ 0, 004.
Antilles – Guyane, septembre 2013
1. Si X suit la loi normale de moyenne µ1 et d’écart-type σ1 , alors
X − µ1
X1 =
suit la loi normale standard.
σ1
µ1 − 3σ1 É X É µ1 + 3σ1 ⇐⇒ −3σ1 É X − µ1 É 3σ1
⇐⇒ −3 É X 1 =
X − µ1
É3
σ1
À l’aide de la densité de probabilité :
1
p(−3 < Z < 3) = p
2π
3
Z
e
− x2
dx ' 0, 785024 ' 0, 9973
Remarque
¡
¢
p µ1 − 3σ1 É X É µ1 + 3σ1 = p(−3 É X 1 É 3) = 0, 997 est
une capacité attendue du programme !
2. En utilisant le tableau, on obtient :
p 2 = p(5, 88 É Y É 6, 12) = p(Y É 6, 12) − p(Y É 5, 88) ' 0, 984
3. Probabilité « classique »
a) Les deux événements D et L étant indépendants, la probabilité que la pièce soit acceptée est :
P(L ∩ D) = P(L) × P(D) = p 1 × p 2 ' 0, 981
La probabilité qu’une pièce ne soit pas acceptée est donc
1 − 0, 981 ' 0, 02 arrondi à 10−2 .
b) D et L sont indépendants donc D et L le sont aussi.
On a donc :
PL (D) =
M. F RECHET
p(L)
p(Y É k)
5, 8
3,167 12E − 05
5, 82
0,000 159 109
5, 84
0,000 687 138
5, 86
0,002 555 13
5, 88
0,008 197 536
5, 9
0,022 750 132
5, 92
0,054 799 292
5, 94
0,115 069 67
5, 96
0,211 855 399
5, 98
0,344 578 258
6
0,5
6, 02
0,655 421 742
6, 04
0,788 144 601
6, 06
0,884 930 33
6, 08
0,945 200 708
6, 1
0,977 249 868
6, 12
0,991 802 464
6, 14
0,997 444 87
6, 16
0,999 312 862
6, 18
0,999 840 891
6, 2
0,999 968 329
2
−3
p(L ∩ D)
k
=
p(L) × p(D)
p(L)
= P(D) = p 2
13
Nouvelle-Calédonie, 7 mars 2013
Partie A, Restitution organisée des connaissances
1. La fonction f représente la fonction de densité de probabilité pour la loi normale centrée réduite.
Z 0
f (t )dt = 0 ; et d’après le cours lim H(x) = 1.
2. H(0) =
x→+∞
0
3. D’après la relation de Chasles :
Z
x
−x
Z
0
Z
f (t )dt =
−x
x
Z
f (t )dt +
f (t )dt
0
0
f (t )dt est l’aire du domaine hachuré 1 sur la figure ci-dessous,
Mais la fonction f est positive donc
−x
Z x
tandis que
f (t )dt est l’aire du domaine hachuré 2 .
0
y
1
2
x
−x
x
De plus la fonction f est paire, donc ces deux aires sont égales.
Enfin H(x) est l’aire du domaine situé sous la courbe représentant f hachuré en rouge et en bleu sur la
figure.
Donc
x
Z
H(x) =
−x
Z
f (t )dt =
0
−x
x
Z
f (t )dt +
0
x
Z
f (t )dt = 2
f (t )dt
0
x
Z
f (t )dt a pour dérivée la fonction f ;
Z x
f (t )dt a pour dérivée la fonction 2 f .
donc la fonction H définie par H(x) = 2
4. On sait que la fonction x 7−→
0
0
R
1
t2
Or f (t ) = p e− 2 > 0 sur ; comme H0 = 2 f , H0 (x) > 0 pour tout réel x, et donc la fonction H est stricte2π
ment croissante sur [0 ; +∞[.
5. En prenant α dans l’intervalle ]0 ; 1[, on a aussi 1 − α dans l’intervalle ]0 ; 1[ ; on complète le tableau de
variations de H :
x
χα
0
H0 (x)
+∞
+
1
H(x)
1−α
0
¡ ¢
D’après le tableau de variations, il existe un réel strictement positif unique noté χα tel que H χα = 1 − α,
¡
¢
donc tel que P −χα É X É χα = 1 − α.
M. F RECHET
14
Partie B
1. La pipette choisie au hasard présente un défaut ; la probabilité qu’elle vienne de l’entreprise A est p D (A).
p D (A) =
p(A ∩ D) P(A) × p A (D) 0, 6 × 0, 046
=
=
= 0, 552
p(D)
p(D)
0, 05
2. D’après la formule des probabilités totales :
p(D) = p(A ∩ D) + p(B ∩ D) ⇐⇒ 0, 05 = 0, 6 × 0, 046 + p(B ∩ D) ⇐⇒ 0, 05 − 0,027 6 = p(B ∩ D) = 0,022 4
3. Parmi les pipettes venant de l’entreprise B, la probabilité qu’une pipette présente un défaut est p B (D).
Or p(B) = 1 − p(A) = 1 − 0, 6 = 0, 4.
p B (D) =
p(B ∩ D) 0,022 4
=
= 0, 056
p(B)
0, 4
Parmi les pipettes venant de l’entreprise B, le pourcentage de pipettes présentant un défaut est donc de
5, 6 %.
Partie C
1. On cherche la probabilité qu’une pipette prise au hasard soit conforme, soit P(98 < X < 102), en sachant
que X suit la loi normale de paramètres µ = 100 et σ2 = 1,042 4 ⇐⇒ σ ' 1,021.
En utilisant la table fournie :
p(98 < X < 102) = p(X < 102) − p(X É 98) ' 0,974 94 − 0,025 06 ' 0,949 88
À l’aide de la densité de probabilité :
µ
¶
µ
¶
Z 2
1,021
x2
98 − 100
102 − 100
2
2
1
p(98 É X É 102) = p
e− 2 dx ' 0, 949871
<Z<
=p −
<Z<
=p
2
1, 021
1, 021
1, 021
1, 021
2π − 1,021
Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu’une pipette soit non-conforme est p = 0, 05.
2. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où n est un entier naturel
supérieur ou égal à 100 et on suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme
indépendants.
Soit Yn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de pipettes non-conformes
de l’échantillon.
a) Comme on peut supposer que les tirages sont indépendants, la variable aléatoire Yn suit une loi binomiale de paramètres n Ê 100 et p = 0, 05.
b) On sait que n Ê 100 donc n Ê 30.
n Ê 100 et p = 0, 05 donc np Ê 100 × 0, 05 ⇐⇒ np Ê 5
p = 0, 05 donc 1 − p = 0, 95 ; n(1 − p) Ê 100 × 0, 95 ⇐⇒ n(1 − p) Ê 95 et donc n(1 − p) Ê 5.
Les trois conditions sont vérifiées.
c) (Voir plus tard)
Contenance x
(en mL)
95
96
97
98
99
P(X
É
x)
¢
¡
−5
arrondi à 10
0,000 00
0,000 04
0,001 65
0,025 06
0,163 68
Contenance x
(en mL)
100
101
102
103
104
P(X
É
x)
¡
¢
arrondi à 10−5
0,5
0,836 32
0,974 94
0,998 35
0,999 96
M. F RECHET
15
Nouvelle-Calédonie, 14 novembre 2013
Partie A
1. Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm ; donc la probabilité qu’elle soit aux
normes est
9 − 10
X − 10 11 − 10
9 É X É 11 ⇐⇒
ÉZ=
É
0, 4
0, 4
0, 4
D’où :
1
p(9 É X É 11) = p(−2, 5 É Z É 2, 5) = p
2π
Z
2,5
−2.5
x2
e− 2 dx ' 0,987 580 67 à la calculatrice
La probabilité que la bille soit hors norme est donc :
1 − (p(9 É X É 11) ' 1 − 0,987 580 67 = 0,012 419 33
donc une valeur approchée à 0,000 1 de la probabilité qu’une bille soit hors norme est 0,012 4.
2.a) On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé :
0, 9876
0, 99
A
0, 01
A
0, 02
A
0, 98
A
N
.
0, 0124
N
b) D’après la formule des probabilités totales :
p(A) = p(N ∩ A) + p(N ∩ A) = p(N) × p N (A) + p(N) × p N (A)
= 0,987 6 × 0, 99 + 0,012 4 × 0, 02 = 0,977 724 + 0,000 248 = 0,977 972
≈ 0,978 0
La probabilité de A est 0,978 0 (arrondie au dix-millième).
p(A ∩ N) 0,000 248
=
≈ 0,000 3
p(A)
0,977 972
La probabilité qu’une bille acceptée soit hors norme est 0,000 3 (arrondie au dix-millième).
c) On cherche : p A (N) =
Partie B
1. La probabilité qu’une bille soit hors norme est 0,012 4 : on admet que prendre au hasard un sac de 100
billes revient à effectuer un tirage avec remise de 100 billes dans l’ensemble des billes fabriquées.
Donc la variable aléatoire Y qui, à tout sac de 100 billes, associe le nombre de billes hors norme, suit une
loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,012 4.
2. L’espérance mathématique et l’écart type d’une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres
p
n et p sont respectivement np et np(1 − p) .
Donc E(Y) = np = 100 × 0,012 4 = 1, 24
p
p
et σ(Y) = np(1 − p) = 100 × 0,012 4 × 0,987 6 ≈ 1,106 6.
3. La probabilité pour qu’un sac de 100 billes contienne exactement deux billes hors norme est p(Y = 2).
à !
Ã
!
n 2
100
p(Y = 2) =
p (1 − p)n−2 =
× 0,012 42 × 0,987 6 98 ≈ 0,022 41
2
2
M. F RECHET
16
4. Un sac de billes contient au plus une bille hors norme est l’événement (Y É 1).
Ã
!
Ã
!
100
100
0
100
p(Y É 1) = p(Y = 0) + p(Y = 1) =
× 0, 0124 × 0,987 6
+
× 0,012 41 × 0,987 6 99
0
1
≈ 0,287 1 + 0,360 5 ≈ 0,647 6
Amérique du Nord, 30 mai 2013
Partie B, (Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%)
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir 96 % de pains commercialisables.
Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains
fabriqués.
Le contrôle de qualité suit une loi binomiale de paramètre n = 300 Ê 30 et p = 0, 96. np = 288 Ê 5 et n(1 − p) =
12 Ê 5.
1. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans
un échantillon de taille 300 :
p
p
¸
·
0, 96 × 0, 04
0, 96 × 0, 04
I = 0, 96 − 1, 96
' [0.9378 ; 0, 9822]
; 0, 96 + 1, 96
p
p
300
300
2. Parmi les 300 pains de l’échantillon, 283 sont commercialisables. Donc f =
283
' 0, 9433 ∈ I
300
L’objectif a été atteint au seuil de 95%.
Nouvelle-Calédonie, 7 mars 2014
Donner en fonction de n l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des pipettes
non-conformes dans un échantillon.
Pour une proportion p et un échantillon de taille n, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
est :

q ¡
q ¡
¢
¢
p
1
−
p
p
1
−
p


; p + 1, 96
p
p
p − 1, 96

n
n
Donc l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des pipettes non conformes dans
un échantillon est :
p
p
p
p
·
¸ ·
¸
0, 05 (1 − 0, 05)
0, 05 (1 − 0, 05)
0, 0475
, 0475
0, 05 − 1, 96
; 0, 05 + 1, 96
= 0, 05 − 1, 96 p
; 0, 05 + 1, 96 p
p
p
n
n
n
n
M. F RECHET
17