TD Diffraction

Nom du cours :
OPTIQUE PHYSIQUE 1A
Titre du document :
TD Diffraction
Cursus/option :
ESO 1A
Date de mise à jour : septembre 2011
Année scolaire
: 2011-2012
Auteurs :
V. Josse / A. Dobroc / E. Bimbard / J. Pellegrino
Optique Physique 1A – 2011-2012
1
TD8 : Diffraction…de Fresnel à Fraunhofer
On s’intéresse à la diffraction unidimensionnelle d’un élément diffractant Sd (plan Ox)
éclairé par une onde plane d’amplitude Ai se propageant suivant l’axe z. Nous étudions
l’évolution du champ diffracté dans le plan O’x’ d’un écran à distance D de l’objet Sd.
On étudiera l’évolution du profil d’intensité diffractée dans un cas simple en régime de
diffraction de Fresnel puis de diffraction à l’infini appelé diffraction de Fraunhofer.
x
x’
P
M
O
A
D
O’
z
Diffraction de Fresnel
L’amplitude du champ diffracté d’un point M du plan (Ox) en un point P du plan (O’x’)
à une distance z = D de O s’écrit :
1. Ecrire cette amplitude dans le cas de la diffraction de Fresnel (diffraction à
distance finie dans le cas paraxial D>>x’, taille de l’objet).
On suppose que Sd est un objet déphasant d’une quantité ϕ(x) entre –a/2 et +a/2.
2. Ecrire l’amplitude du champ juste après l’obstacle. On pourra l’écrire comme la
somme d’une onde perturbée et de l’onde plane initiale (amplitude Ai).
3. Ecrire l’amplitude du champ à la distance D comme la somme du terme perturbé
après diffraction Adiff(x’) et de l’onde plane initiale (à un terme de phase près dû à
la propagation)
On simplifie encore le problème en supposant que le déphasage est constant entre -a/2 et
+a/2.
Optique Physique 1A – 2011-2012
2
4. Réécrire le champ perturbé Adiff(x’) en faisant intervenir l’intégrale de Fresnel :
.
5. Montrer que pour le nombre de Fresnel
retrouve l’image géométrique de l’obstacle.
très grand devant 1, on
La représentation de l’intégrale de Fresnel dans le plan complexe donne le graphe
suivant, que l’on nomme spirale de Cornu (attention, il existe des définitions différentes
d’un ouvrage à l’autre, toutefois le résultat final reste le même).
6. A partir de la spirale de Cornu, déterminer l’allure du champ diffracté en fonction
de la distance D pour la position x’ = 0. Interpréter les minima et maxima
d’amplitude en terme des zone de Fresnel.
7. De même, donner l’allure du champ pour x’ = ± a/2 et x’ > ± a/2.
B
Diffraction de Fraunhofer
Ce régime de diffraction correspond au régime de diffraction à l’infini.
1. Que cela implique t-il pour le paramètre NF ?
2. Effectuer la simplification de l’amplitude du champ pour D>>1. Qu’en déduisez
vous.
3. Quelle est la solution pour observer ce régime dans de bonnes conditions
d’intensité.
Optique Physique 1A – 2011-2012
3
TD 9 : Apodisation - filtrage spatial
Le but de ce TD est d’étudier l’influence de la diffraction sur un dispositif d’imagerie.
Nous verrons en quoi la diffraction pose une limite fondamentale à la résolution d’un
système optique. Toutefois la diffraction peut être mise à profit pour effectuer le filtrage
des images.
A. Etude du montage 4f.
On s’intéresse ici au lien entre optique géométrique et propagation des fronts d’onde
pour le montage 4f représenté ci-dessus. L’objet, situé dans le plan (OX) et caractérisé
par la transmission tobj(X), est éclairé par une onde plane incidente d’amplitude A0.
Au foyer de la lentille L1 (le plan O’x’), on peut disposer différents masques de
transmission tm(x’). Enfin on regarde l’image, caractérisée par l’amplitude Aim(X’),
formée sur un écran dans le plan focal de la lentille L2.
On s’intéressera ici uniquement au problème suivant x, en supposant que les différentes
transmissions sont invariantes suivant y. On négligera en outre l’effet de taille finie des
lentilles.
1. Que vaut l’amplitude Aobj(X) juste après l’objet ? En déduire l’amplitude APF(x’) dans
le plan focal de L1. Justifier le nom de « plan de Fourier ».
2. Dans le cas où l’on ne place aucun masque dans le plan de Fourier (tm(x’)=1). Quelle
est l’amplitude Aim(X’) formée sur un écran dans le plan focal de la lentille L2 ?
Comparez avec l’optique géométrique. Que se passerait-il si les focales des lentilles L1 et
L2 étaient différentes ?
Pour étudier l’effet de la taille de la pupille, on place maintenant un diaphragme de
diamètre a dans le plan de Fourier : tm(x’)=Rect(x’/a).
3. Si l’objet est maintenant une fente infiniment fine (tobj(X)=δ(X)), a quoi correspond
l’amplitude dans le plan de Fourier, juste avant le masque tm(x’). Donner l’amplitude
Aim(X’) puis l’intensité Iim(X’) dans le plan image. Retrouve-t-on l’image géométrique ?
Optique Physique 1A – 2011-2012
B. Apodisation
4
tm(x’)
La figure de diffraction trouvée à la question A.3) contient
des pics secondaires, inévitables et parfois très gênants.
Toutefois il est possible de diminuer fortement l'intensité
de ces pics en utilisant un masque approprié. On considère
un masque dont la transmission tm(x’) est donnée par la
fonction triangle ci-contre.
1. Déterminer l’amplitude et l’intensité dans le plan image, toujours pour un objet
ponctuel (tobj(X)=δ(X)).
Indication : on pourra remarquer que la fonction tm(x’) peut être simplement obtenue par
une convolution de deux fonctions simples.
2. Comparer avec le résultat de la question A.3). Donner une interprétation physique.
Pouvez vous proposer un profil encore plus adapté ?
3. A quoi peut servir un tel système ?
C. Détramage
Le phénomène de diffraction peut être mis à profit pour modifier les propriétés d’une
image, en particulier éliminer la trame d’une image. On s’intéresse ici à une telle trame,
modélisée par une mire sinusoïdale : tobj(x)=1+m cos(2πx/p). Donner l’amplitude dans le
plan de Fourier.
2. Comment choisir un masque pour éliminer la modulation d’intensité ?
3. Que se passe-t-il si on place un cache infiniment fin en x’=0 ? Donner une
interprétation physique.
x’
Optique Physique 1A – 2011-2012
5
TD10 : strioscopie et contraste de phase
Les objets de phase (i.e. transparents et uniquement caractérisés par les défauts de phase
qu’ils introduisent) ne peuvent pas être visualisés avec les techniques d’imagerie
standard. En utilisant les méthodes de strioscopie ou de contraste de phase (inventée en
1930 par Zernike), il est néanmoins possible de réaliser des images contrastées et de
grande précision. Ces méthodes sont utilisées aussi bien pour visualiser des écoulements
gazeux, les défauts de polissage de surfaces optiques et surtout pour imager les cellules
vivantes en biologie (contraste de phase). Pour ces techniques d’imagerie, Zernike obtint
le prix Nobel en 1953.
Image des défauts d’une lentille
en contraste de phase (défauts ~ qq nm)
Oeil de mouche en contraste de phase
Nous rappelons le schéma du montage 4f, vu au TD 9:
L’objet, situé dans le plan (OX) et caractérisé par la transmission tObj(X), est éclairé par
une onde plane incidente d’amplitude A0. On appelle APF(x’), l’amplitude dans le plan de
Fourier (au foyer de L1) et Aim(X’) dans le plan image (au foyer de L2).
On s’intéressera ici uniquement au problème suivant x, en supposant que les différentes
transmissions sont invariantes suivant y. On négligera la diffraction due à la taille limitée
des lentilles L1 et L2.
L’objet de phase que l’on considère est parfaitement transparent, mais comporte,
sur une fente de largeur a, un déphasage φ constant par rapport à l’onde traversant
le reste de la lame.
Optique Physique 1A – 2011-2012
6
A. Calcul de l'image obtenue sans filtrage
1. Donner l’expression de tObj(X) en faisant intervenir la fonction rect(x/a). Montrer que
l’on peut décomposer l’onde sortant de l’objet (A+Obj(X)) en une onde plane A1 (qu’on
aurait eu en l’absence de déphasage) et une onde perturbée A2, diaphragmée sur une
largeur a.
2. Calculer la répartition d’amplitude APF(x’) dans le plan de Fourier (au foyer de L1).
Faire apparaître un schéma les contributions de l’onde directe A1 et de l’onde perturbée
A2?
3. Déterminer la répartition d’intensité Iim(X’) dans le plan image. Est-on capable de voir
le défaut d’épaisseur de l’objet ?
4. Si on considère un petit déphasage (φ<<1), montrer que l’on peut interpréter l’intensité
Iim(X’) comme l’interférence des deux ondes A1 et A2, où l’amplitude A2 est
proportionnelle à φ et déphasée de π/2 par rapport à A1. En déduire une interprétation
physique simple du fait que l’on ne peut pas visualiser l’objet de phase.
B. Strioscopie
On considère toujours ici des objets tels que φ<<1. On place dans le plan de Fourier un
cache opaque, infiniment fin en x’=0 (on coupe l’ordre zéro).
1. Calculer la répartition APF+(x’) juste après le masque dans le plan de Fourier. On
simplifiera le problème en supposant que l’onde A2 n’est pas affectée par le masque.
2. Représenter l’intensité Iim(X’) dans le plan image. Décrire ce que l’on observe sur
l’écran. On appellera Isignal l’intensité correspondant à l’image géométrique de la fente de
diamètre a et Ifond l’intensité en dehors.
3. Donner l’expression du contraste définit ici par Γ = (Isignal - Ifond)/Isignal.
4. Quel est l’intérêt de ce montage de strioscopie par rapport au montage sans filtrage ?
Quel est la caractéristique de cette imagerie? Quel est son défaut?
C. Contraste de phase
On considère toujours ici des objets tels que φ<<1. On remplace maintenant le masque
opaque en x’=0 (sur l’ordre zéro) par une lame de phase, toujours infiniment fine, qui
provoque un déphasage de λ/4.
1. Refaire les calculs de APF+(x’), Iim(X’) et du contraste Γ pour cette méthode. En donner
les avantages et les inconvénients par rapport à la strioscopie. A partir de la question A.4)
donner une interprétation physique simple du procédé de contraste de phase.
2. Pour améliorer le contraste, on s’arrange pour que la lame de phase soit de plus
partiellement absorbante (transmission α en amplitude). Représenter la nouvelle
répartition Iim(X’) et calculer le nouveau contraste en supposant φ<<α.
3. En supposant que l’on discerne nettement les défauts pour Γ > 20%, quel est le
déphasage minimal φmin auquel on a accès par cette méthode (On prendra α = 5.10-2). Si
l’objet est un défaut de surface sur une lame de verre, quelle est l’épaisseur minimale que
l’on pourra détecter ?
Optique Physique 1A – 2011-2012
7
TD11 : Diffraction à l’infini des réseaux
A. Généralités sur les réseaux. Diffraction à l’infini
On éclaire, par une onde plane monochromatique en incidence normale, un réseau 1D
constitué par la répétition périodique, de période a, d’un motif caractérisé par sa fonction
de transmission M(x) (en amplitude et en phase) (M(x)=0 sur ]-∞,a/2[ et ]a/2,+ ∞ [). Il
s’étend sur une distance finie L=Na, où N est le nombre de répétition du motif.
1. Ecrire la transmission du réseau t(x) en utilisant un produit de convolution et la
fonction rect(x/L).
2. Ecrire l’amplitude de l’onde diffractée à l’infini dans la direction θ. Représenter
l’allure de l’intensité en fonction de l’angle θ. On précisera le rôle joué par les différentes
grandeurs caractéristiques L, a et ε (où ε est la taille caractéristique de variation du motif
M comme indiqué sur la figure). On rappelle que
3. Interpréter physiquement les directions θk des maxima d’intensité diffractée.
4. Donner l’ordre de grandeur du nombre de pics diffractés (d’intensité non négligeable)
en fonction de ε et a.
B. Réseau d’amplitude de N fentes de largeur finie
On considère maintenant un réseau constitué
de N fentes infinies suivant Oy, de largeur ε et
de périodicité a.
1. Ecrire la transmission du motif M(x).
Optique Physique 1A – 2011-2012
8
2. Représenter l’intensité de l’onde diffractée à l’infini dans la direction θ. Donner la
valeur (normalisée à celle du pic d’ordre 0) de l’intensité maximale diffractée dans
l’ordre k.
3. Que se passe-t-il pour le cas de fentes infiniment fines (ε<<a<<L) ? Pour une mire de
Foucault (ε=a/2<<L ) ?
4. En utilisant le critère de Rayleigh, déterminer l’écart minimal δλ (entre deux longueurs
d’onde voisines) pour pouvoir différencier leurs pics de diffractions dans l’ordre k. En
déduire le pouvoir de résolution λ/δλ pour cet ordre.
C. Réseau de phase de N prismes (réseau échelette)
On remplace le réseau précédent par un réseau de phase en transmission de même
période a, mais dont le motif élémentaire est une bande parallèle, transparente d’indice n
et de section prismatique d’angle faible γ :
On suppose que ces bandes sont infinies suivant Oy et que le réseau comporte un nombre
N de motifs (largeur du réseau en x: L = Na).
On éclaire toujours par une onde plane monochromatique en incidence normale par
rapport au plan du réseau.
1) Déterminer la nouvelle transmission du motif M(x). On mettra M(x) sous la
forme du produit d’une fonction ei (x) par une fonction rectangle à préciser. On
exprimera ϕ(x) et la largeur de la fonction rectangle en fonction de n, γ, a et λ
(γ<<1).
N.B. : comme le prisme est ici très mince (γ <<1), on admettra que l’on peut
négliger la déflexion géométrique des rayons pour calculer le déphasage introduit
par les prismes.
ϕ
2) Représenter l’intensité diffractée à l’infini dans la direction θ. On notera θg,
l’angle autour duquel est centrée la TF du motif. Relier cet angle à la direction du
rayon réfracté par un prisme.
3) Montrer qu’on peut choisir γ pour que le maximum d’intensité diffractée se fasse
dans l’ordre k et que les autres ordres soient nuls. Quel est l’intérêt de ce
système ?