P5-Exercices theorie de Maxwell

MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 4
THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Exercices
1. Le rail de Laplace

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2. Aimant se déplaçant sur l’axe d’une spire
On considère une spire conductrice circulaire
C
indéformable et fixe, de centre O et de rayon
ρ
, de résistance électrique R.
Un petit aimant permanent, que l’on assimilera
à un dipôle de moment magnétique
m
, se
déplace sur l’axe Oz de la spire, animé d’un
mouvement rectiligne uniforme de vitesse
0
v
.
Dans la phase d’approche de la spire, l’aimant
se présente le pôle nord en avant, comme
indiqué sur le schéma ci-contre.
ρ
P
O
(
)
i t
z
z
C
0
v
sud
nord

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1- Qu’appelle-t-on « pôle nord » et « pôle sud » d’un aimant ? Comment est dirigé le moment
magnétique de l’aimant ?
2- S’agit-il ici d’un phénomène d’induction de Neumann ou de Lorentz ?
3- Décrire qualitativement l’ensemble des phénomènes physiques qui seront observés dans cette
expérience : apparaît-il un courant
(
)
i t
dans la spire ? Quel est le signe de ce courant ? L’aimant est-
il soumis à une force ? La spire est-elle soumise à une force ?
4- Le champ magnétique en M de l’aimant placé en un point P de l’espace dérive du potentiel vecteur
( )
03
PM
M
4 PM
m
Aµ∧ =π . Exprimer le champ électromoteur en tout point de la spire et en déduire les
variation du courant
(
)
i t
. On prendra pour origine des temps l’instant où l’aimant passe au centre de
la spire.
5- Calculer le flux
(
)
t
φ
du champ magnétique de l’aimant à travers la spire. Retrouver l’expression de
(
)
i t
par application de la loi de Faraday.
6- Exprimer la force
( )
F t
que doit subir l’aimant pour se déplacer ainsi sur l’axe de la spire.
7- Le problème est-il différent si l’aimant est fixe et que la spire se déplace ?
3. Bilan énergétique d’un solénoïde en régime variable
On considère un solénoïde idéal infini d’axe O z , de rayon R , comportant n spires par unité de longueur.
Le solénoïde est parcouru par un courant « lentement » variable d’intensité
( )
0
t
i t i e
−
τ
=
1- Que signifie l’expression « lentement » variable ? Dans ce cadre d’hypothèse mieux défini, quelle est
l’expression du champ d’induction magnétique
B
à l’intérieur du solénoïde ?
2- Montrer que, d’après l’équation de Maxwell-Faraday, il apparaît un champ électrique
E
orthoradial à
l’intérieur du solénoïde, de la forme
(
)
(
)
(
)
, , , E r t E r t e
θ θ
θ = θ
.
3- Exprimer la circulation du champ
E
le long d’un parcours circulaire de rayon r
(
)
r R
<
d’axe O z et
orienté dans le sens direct. En déduire l’expression de
(
)
,
E r t
.
4- Montrer que dans le cas présent d’un régime « lentement » variable, la densité volumique d’énergie
électrique est négligeable devant la densité volumique d’énergie magnétique.
5- Montrer que le vecteur de Poynting
Π
est radial et déterminer son expression de la forme
(
)
(
)
(
)
, , ,
r r
r t r t e
Π θ = Π θ
.
6- On démontre qu’en coordonnées cylindriques
(
)
2
r
div re
=
. Le théorème de Poynting est-il vérifié ?
7- Faire le bilan d’énergie pour un morceau de solénoïde de longueur
ℓ
entre l’instant 0 où le courant
électrique a une valeur initiale
0
i
et un temps « infini » au bout duquel le courant s’est annulé.
Commenter ce bilan d’énergie.
4. condensateur en régime haute fréquence

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5. Étude électromagnétique d’un condensateur sphérique
Un condensateur sphérique est constitué de deux armatures métalliques parfaitement conductrices,
sphériques, concentriques, de centre O et de rayons a et b > a. L’espace compris entre ces armatures est
empli d’un milieu conducteur de conductivité γ. On cherche pour ce système un champ électromagnétique
variable, respectant la symétrie sphérique : E = E(r, t) e
r
à l’exclusion de toute composante statique. On
suppose aussi qu’à l’instant t = 0, le condensateur était chargé de la charge Q
0
.
1. Montrer que le champ magnétique est nul pour des raisons de symétrie.
2. Établir et résoudre les équations vérifiées par le champ électromagnétique.
3. Définir et calculer la constante de temps  du système.
4. Montrer qu’aucune puissance électromagnétique n’est rayonnée par ce système. Établir le bilan local
des puissances pour ce système. Quelle est la constante de temps pour les puissances ?
5. Établir l’expression de l’énergie emmagasinée dans le condensateur pour une date t quelconque.
6. En déduire l’expression de la puissance dissipée par effet Joule entre t = 0 et t = ∞.