n° 1 - Département de Mathématiques

Universit´e de Caen UFR des Sciences 1
Master 1 IMM mention Ing´enierie M´ecanique (M1)
Transferts de chaleur et de masse
Exemples - s´eries 1
Exercice 1 : Une longue barre cylindrique de diam`etre D= 20 mm, et fabriqu´ee du
naphtal`ene (ou naphtaline) solide (un antimite courant), est expos´ee `a un courant d’air
d’un coefficient de transfert de masse ¯ hm= 0,05 m/s. La concentration molaire de la
vapeur de naphtal`ene `a la surface de barre est 5 ×10−6kmol/m3, et la masse molaire est
128 kg/kmol.
D´eterminer le taux de sublimation par unit´e de longueur de la barre.
Solution :
Donn´ees :
La concentration de vapeur du naphtal`ene CA,s = 5 ×10−6kmol/m3et le coefficient de
transfert de masse ¯ hm= 0,05 m/s.
Le probl`eme :
D´eterminer le taux de sublimation par unit´e de longueur n′
A(kg/s.m)
Hypoth`eses :
•R´egime invariable.
•Concentration n´egligeable au courant libre.
Analyse :
Le naphtal`ene est transport´e par l’air par convection. Le taux de transfert de barre est
NA=¯ hm×(πDL)×(CA,s −CA,∞)
Avec CA,∞= 0 et N′
A=NA/L, il vient :
N′
A= (πD)¯
hmCA,s =π×0,02 m ×0,05 m/s ×5×10−6kmol/m3
D’o`u
N′
A= 1,57 ×10−8kmol/m3
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Le taux de sublimation de la masse est alors :
n′
A=MAN′ A= 128 kg/kmol ×1,57 ×10−8kmol/m3
n′
A= 2,01 ×10−6kg/s.m
Exercice 2 : La pression partielle de la vapeur d’eau est mesur´e `a une location donn´ee
par rapport `a la surface libre de l’eau dans une casserole. Les r´esultats sont donn´es en fonc-
tion de la distance ymesur´ee de la surface dans tableau suivant : D´eterminer le coefficient
y(mm) 0 1 2 3 4 6
pA(atm) 0,1 0,06225 0,04 0,03 0,02 0,02
de transfert de masse hm,x `a cette location.
Solution :
Donn´ees :
La pressions partielle pAde vapeur d’eau en fonction de la distance y`a une location
particuli`ere xde la surface de la couche d’eau.
Le probl`eme :
Trouver hm,x `a la location en question.
Hypoth`eses :
•La vapeur d’eau peut ˆetre consid´er´ee comme un gaz parfait.
•Temp´erature de la surface de la couche d’eau est constante.
Propri´et´es :
`
A partir des tableaux de la vapeur satur´ee ( 0,1 atm = 0,101 bar) : Ts= 319 K. Le
coefficient de diffusion vapeur-air (319 K) est obtenu des tableau de propri´et´es de l’eau :
DAB (319 K) = 0,288 ×10−4m2/s.
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Analyse :
Le coefficient de transfert de transfert masse est donn´e par :
hm,s =
−DAB
∂ρA
∂y y=0
ρA,s −ρA,∞
En consid´erant la vapeur comme un gaz parfait,
pA=ρART
`
ATconstante :
hm,s =
−DAB
∂pA
∂y y=0
pA,s −pA,∞
On peut calculer le gradient de pression en y= 0 par extrapolation en posant :
∂p
∂y (y= 0) = ap(y= 0) + bp(y=δ) + cp(y= 2δ)
avec δ= 1 mm. On trouve en utilisant le d´eveloppement de Taylor le r´esultat suivant `a
l’ordre δ2d’approximation :
a=−3/2δ, b = 2/δ, c =−1/2δ.
Avec δ= 1 mm, on trouve en utilisant les valeurs de pression donn´ees au tableau :
∂pA
∂y y=0
=−45,5 atm/m.
D’o`u :
hm,s =−0,288 ×10−4m2/s (−45,5 atm/m)
(0,1−0,02) atm/m = 0,0164 m/s.
Exercice 3 : Les ´ecoulements parall`eles ou unidirectionnels pr´esentent des situations
peut nombreux o`u on peut obtenir des solutions exactes pour le probl`eme de transfert
par convection. On consid`ere l’´ecoulement de Couette entre deux plaques planes parall`eles
d’´etendus infinis et s´epar´ee par une distance Hdans la direction y, avec la plaque sup´erieure
en mouvement `a la vitesse Uet la plaque inf´erieure immobile.
1. Quelle est la forme correspondante de l’´equation de continuit´e ?
2. ` A partire de la quantit´e de mouvement, d´eterminer la distribution de vitesse entre
les deux plaques.
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3. En utilisant l’´equation d’´energie, d´eterminer la distribution de temp´erature.
4. Application num´erique : on consid`ere les conditions pour lesquelles le fluide est de
l’huile de moteur avec H= 3 mm, la vitesse U= 10 m/s, la temp´erature la plaque
immobile T0= 10◦C et celle de la plaque sup´erieure TH= 10◦C.
Calculer le flux thermique `a chaque plaque et d´eterminer la temp´erature maximale
de l’huile.
On prend pour les propri´et´es de l’huile `a 20◦C : ρ= 888,2 kg/m3,λ= 0,145 W/m,
ν= 900 ×10−6m2/s. µ=ρν = 0,799 N . s/m2.
Solution :
Donn´ees :
Un ´ecoulement de Couette avec transfert thermique.
Probl`eme :
D´eterminer :
1. La forme de l’´equation de continuit´e.
2. La distribution de vitesse.
3. La distribution de temp´erature.
4. Les flux thermiques aux surfaces de deux plaques et la temp´erature maximale de
l’huile.
Sch´ematiques
U= 10 m/s
´
Ecoulement
unidirectionnel
v= 0
Huile
de moteur H= 3 mm
T0= 10◦C
TH= 30◦C
x, u
y, v
Plaque immobile
Plaque en mouvement
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Hypoth`eses :
1. Conditions en r´egime invariable
2. ´ Ecoulement bidimensionnelles et unidirectionnel
3. Fluide incompressible avec des propri´et´es constantes.
4. On n´eglige les forces volumiques.
5. Absence de source thermique internes.
Analyse :
1. Pour un ´ecoulement unidirectionnel u≡u(y) et v= 0, l’´equation de continuit´e se
r´eduit `a : ∂u
∂x = 0.
L’´ecoulement est ind´ependant des xet est en effet enti`erement ´etabli.
2. L’´equation de mouvement dans la direction des s:
0 = −∂p
∂x +µ∂2u ∂y2
Comme il s’agit d’´ecoulement de Couette, un ´ecoulement maintenu par le mouvement
de plaque sup´erieure et pas par le gradient de pression, ∂p/∂x. Il vient alors que
∂p/∂x = 0. D’o`u l’´equation de mouvement se r´eduit `a :
∂2u
∂y2= 0.
Les conditions aux limites associ´ees sont :
u(y= 0) = 0, u(y=H) = U.
`u Il vient alors que la solution est :
u=y
Hu.
3. Compte tenu de v= 0 et la solution u, l’´equation d’´energie se simplifie `a
ρcpu∂T
∂x =λ∂2T ∂x2+∂2T ∂y2+
Φ= 1
2µ0
@
∂vi
∂xj
+∂vj
∂xi
1
A
2
z }| {
µ∂u
∂y 2
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