n° 1 - Département de Mathématiques

Université de Caen
UFR des Sciences
1
Master 1 IMM mention Ingénierie Mécanique (M1)
Transferts de chaleur et de masse
Exemples - séries 1
Exercice 1 :
Une longue barre cylindrique de diamètre D = 20 mm, et fabriquée du
naphtalène (ou naphtaline) solide (un antimite courant), est exposée à un courant d’air
d’un coefficient de transfert de masse h̄m = 0, 05 m/s. La concentration molaire de la
vapeur de naphtalène à la surface de barre est 5 × 10−6 kmol/m3 , et la masse molaire est
128 kg/kmol.
Déterminer le taux de sublimation par unité de longueur de la barre.
Solution :
Données :
La concentration de vapeur du naphtalène CA,s = 5 × 10−6 kmol/m3 et le coefficient de
transfert de masse h̄m = 0, 05 m/s.
Le problème :
Déterminer le taux de sublimation par unité de longueur n′A (kg/s.m)
Hypothèses :
• Régime invariable.
• Concentration négligeable au courant libre.
Analyse :
Le naphtalène est transporté par l’air par convection. Le taux de transfert de barre est
NA = h̄m × (πDL) × (CA,s − CA,∞ )
Avec CA,∞ = 0 et NA′ = NA /L, il vient :
NA′ = (πD)h̄m CA,s = π × 0, 02 m × 0, 05 m/s × 5 × 10−6 kmol/m3
D’où
NA′ = 1, 57 × 10−8 kmol/m3
Adil Ridha
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Le taux de sublimation de la masse est alors :
n′A = MA NA′ = 128 kg/kmol × 1, 57 × 10−8 kmol/m3
n′A = 2, 01 × 10−6 kg/s.m
Exercice 2 :
La pression partielle de la vapeur d’eau est mesuré à une location donnée
par rapport à la surface libre de l’eau dans une casserole. Les résultats sont donnés en fonction de la distance y mesurée de la surface dans tableau suivant : Déterminer le coefficient
y (mm)
pA (atm)
0
1
2
3
4
6
0,1 0,06225 0,04 0,03 0,02 0,02
de transfert de masse hm,x à cette location.
Solution :
Données :
La pressions partielle pA de vapeur d’eau en fonction de la distance y à une location
particulière x de la surface de la couche d’eau.
Le problème :
Trouver hm,x à la location en question.
Hypothèses :
• La vapeur d’eau peut être considérée comme un gaz parfait.
• Température de la surface de la couche d’eau est constante.
Propriétés :
À partir des tableaux de la vapeur saturée ( 0, 1 atm = 0, 101 bar) : Ts = 319 K. Le
coefficient de diffusion vapeur-air (319 K) est obtenu des tableau de propriétés de l’eau :
DAB (319 K) = 0, 288 × 10−4 m2 /s.
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Analyse :
Le coefficient de transfert de transfert masse est donné par :
∂ρA −DAB
∂y y=0
hm,s =
ρA,s − ρA,∞
En considérant la vapeur comme un gaz parfait,
pA = ρA RT
À T constante :
−DAB
hm,s =
∂pA ∂y y=0
pA,s − pA,∞
On peut calculer le gradient de pression en y = 0 par extrapolation en posant :
∂p
(y = 0) = ap(y = 0) + bp(y = δ) + cp(y = 2δ)
∂y
avec δ = 1 mm. On trouve en utilisant le développement de Taylor le résultat suivant à
l’ordre δ 2 d’approximation :
a = −3/2δ, b = 2/δ, c = −1/2δ.
Avec δ = 1 mm, on trouve en utilisant les valeurs de pression données au tableau :
∂pA = −45, 5 atm/m.
∂y y=0
D’où :
−0, 288 × 10−4 m2 /s (−45, 5 atm/m)
= 0, 0164 m/s.
(0, 1 − 0, 02) atm/m
hm,s =
Exercice 3 :
Les écoulements parallèles ou unidirectionnels présentent des situations
peut nombreux où on peut obtenir des solutions exactes pour le problème de transfert
par convection. On considère l’écoulement de Couette entre deux plaques planes parallèles
d’étendus infinis et séparée par une distance H dans la direction y, avec la plaque supérieure
en mouvement à la vitesse U et la plaque inférieure immobile.
1. Quelle est la forme correspondante de l’équation de continuité ?
2. À partire de la quantité de mouvement, déterminer la distribution de vitesse entre
les deux plaques.
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3. En utilisant l’équation d’énergie, déterminer la distribution de température.
4. Application numérique : on considère les conditions pour lesquelles le fluide est de
l’huile de moteur avec H = 3 mm, la vitesse U = 10 m/s, la température la plaque
immobile T0 = 10◦ C et celle de la plaque supérieure TH = 10◦ C.
Calculer le flux thermique à chaque plaque et déterminer la température maximale
de l’huile.
On prend pour les propriétés de l’huile à 20◦ C : ρ = 888, 2 kg/m3 , λ = 0, 145 W/m,
ν = 900 × 10−6 m2 /s. µ = ρν = 0, 799 N . s/m2 .
Solution :
Données :
Un écoulement de Couette avec transfert thermique.
Problème :
Déterminer :
1. La forme de l’équation de continuité.
2. La distribution de vitesse.
3. La distribution de température.
4. Les flux thermiques aux surfaces de deux plaques et la température maximale de
l’huile.
Schématiques
Plaque en mouvement
TH = 30◦ C
T0 = 10 C
◦
11111111111111111111111111
00000000000000000000000000
Huile
de moteur
H = 3 mm
111111111111111111111111111
000000000000000000000000000
U = 10 m/s
y, v
Écoulement
unidirectionnel
x, u
v=0
Plaque immobile
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Hypothèses :
1. Conditions en régime invariable
2. Écoulement bidimensionnelles et unidirectionnel
3. Fluide incompressible avec des propriétés constantes.
4. On néglige les forces volumiques.
5. Absence de source thermique internes.
Analyse :
1. Pour un écoulement unidirectionnel u ≡ u(y) et v = 0, l’équation de continuité se
réduit à :
∂u
= 0.
∂x
L’écoulement est indépendant des x et est en effet entièrement établi.
2. L’équation de mouvement dans la direction des s :
0=−
∂2u
∂p
+µ 2
∂x
∂y
Comme il s’agit d’écoulement de Couette, un écoulement maintenu par le mouvement
de plaque supérieure et pas par le gradient de pression, ∂p/∂x. Il vient alors que
∂p/∂x = 0. D’où l’équation de mouvement se réduit à :
∂2u
= 0.
∂y 2
Les conditions aux limites associées sont :
u(y = 0) = 0,
u(y = H) = U.
ù Il vient alors que la solution est :
u=
y
u.
H
3. Compte tenu de v = 0 et la solution u, l’équation d’énergie se simplifie à
∂vj 2
∂vi
A
+
∂xj
∂xi
z }| {
2
∂u
µ
∂y
0
Φ= 12 µ@
∂T
=λ
ρcp u
∂x
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∂2T
∂2T
+
∂x2
∂y 2
+
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En notant que les températures sont uniformes aux plaques inférieure et supérieure,
le champs de température doit être aussi entièrement établit. D’où
∂T
= 0.
∂x
L’équation d’énergie devient alors :
∂2T
0=λ 2 +µ
∂y
D’où
∂2T
λ 2 = −µ
∂y
∂u
∂y
U
H
2
∂u
∂y
2
= −µ
U
H
2
En intégrant deux fois, on obtient
µ
T (y) = −
2λ
2
y 2 + C1 y + C2
Les constantes d’intégrations C1 et C2 sont déterminées en utilisant les conditions
aux limites :
T (y = 0) = T0 ,
T (y = H) = TH .
C2 = T0 ,
TH − T0
µ U2
+
H
2λ H
On obtient alors :
C1 =
D’où la solution:
y 2 µ 2 y
y
T (y) = T0 + U
+ (TH − T0 )
−
2λ
H
H
H
4. La distribution de la température étant connue, on peut déterminer les flux thermiques en appliquant la loi de Fourier. Alors,
µ 2 1
2y
TH − T0
∂T
= −λ
U
−
+
ϕ = −λ
∂y
2λ
H H2
H
Ainsi, on obtient pour la plaque inférieure
µ U2
λ
ϕ0 = −
− (TH − T0 )
2H
H
et pour la plaque supérieure
µ U2
λ
ϕH = +
− (TH − T0 )
H
H
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Application numérique :
ϕ0 = −
0, 799 N.s/m2 × 100 m2 /s2 0, 145 W/m. K
−
(30 − 10)◦ C
2 × 3 × 10−3 m
3 × 10−3 m
ϕ0 = −13315 W/m2 − 967 W/m2 = −14, 3 kW/m2
ϕH = +13315 W/m2 − 967 W/m2 = 12, 3 kW/m2
La position de la température maximal de l’huile peut être déterminer de
∂T
µ 2 1
2y
TH − T0
=0
=
U
−
+
∂y
2λ
H H2
H
dont la solution conduit à :
ymax
1
λ
H
(TH − T0 ) +
=
µ U2
2
Pour les conditions numériques données :
0, 145 W/m .K
1
◦
H = 0, 536H
ymax =
(30 − 10) C +
2
0, 799 N . s/m2 × 100 m2 /s2
En injectant la valeur de ymax dans l’expression de T (y), on obtient :
Tmax = 89, 3◦ C
Exercice 4 :
Des testes expérimentaux menés sur une portion de la lame d’une turbine
indiquent une intensité du flux thermique égale à ϕ = 95 kW/m2 . Afin de maintenir la
température de la lame en état stationnaire à 800◦ C, la chaleur reçue par la lame est évacuée
en faisant circuler de l’eau froide à l’intérieur de lame comme montré sur schématique cidessous.
1. Que serait le flux thermique reçu par la lame si sa température est réduite à 700◦ C
en augmentant le fluide de refroidissement dans le canal ?
2. On considère maintenant une lame de turbine similaire de longueur de corde L =
80 mm où les conditions de fonctionnement sont T∞ = 1150◦ C et U∞ = 80 m/s, avec
Ts = 800◦ C. Déterminer le flux thermique à la même position sans dimensions pour
cette lame.
Solution :
Données :
Conditions de fonctionnement pour une lame refroidi de l’intérieur.
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ϕ = 95 kW/m2
T = 800 C
11111111111111111
00000000000000000
00000000000000000
11111111111111111
Canal de
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
refroidissement
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
L=
00000000000000000
11111111111111111
40
00000000000000000
11111111111111111
mm
00000000000000000
11111111111111111
00000000000000000
11111111111111111
◦
Air
s
T∞ = 1150◦C
U∞ = 160 m/s
Conditions
à l’origine
Problème :
Trouver :
1. Le flux thermique que la température est à la surface est réduite.
2. Le flux thermique reçu par une lame plus grande ayant la même forme avec un courant
de vitesse U∞ réduite.
Hypothèses :
1. Conditions au régime non variable.
2. Propriétés constantes pour l’air.
Analyse :
1. Pour la géométrie donnée, on a
Nu =
hL
= F4 (x∗ , ReL , P r)
λ
Donc, comme il n’a y pas de changement en x∗ , ReL ou P r associées au changement
en Ts , le nombre de Nusselt reste inchangé vu que les propriétés d’air sont constantes.
Du plus, puisque λ et L sont inchangées, le coefficient local de transfert thermique
reste le même. Le flux thermique désiré pour cas 1 peut alors obtenu en utilisant la
loi de Newton de refroidissement par convection :
ϕ1 = h1 (T∞ − Ts )1
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où
h1 = h =
Donc
ϕ1 = ϕ
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ϕ1
(T∞ − Ts )
(T∞ − Ts )1
(1150 − 700)◦ C
= 95 kW/m2
= 122 kW/m2
◦
(T∞ − Ts )
(1150 − 800) C
2. Pour déterminer le flux thermique associé à la lame la plus grande avec la condition
de vitesse réduite (cas 2), on note d’abord que tandis la longueur est doublée à 2L,
la vitesse est réduite à la moitié de sa valeur d’origine (cas 1) et par conséquence le
nombre de Reynolds reste inchangé. C’est-à-dire :
ReL,2 =
U∞ L
U∞,2 L2
=
= ReL
ν
ν
Puisque x∗ et P r restent eux aussi inchangés, le nombre local de Nusselt garde, lui
aussi, la même valeur :
Nu2 = Nu
Compte tenu de changement en L, le coefficient de transfert thermique change aussi :
h2 L
hL
=
λ
λ
ou
h2 = h
L
ϕ
L
=
L2
(T∞ − Ts ) L2
Il vient alors que le flux thermique est :
ϕ2 = h2 (T∞ − Ts ) = ϕ
ϕ2 = 95 kW/m2 ×
(T∞ − Ts ) L
(T∞ − Ts ) L2
0, 04
= 47, 5 kW/m2
0, 08
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