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Spé ψ 2012-2013
Devoir n°4
MÉCANIQUE DES FLUIDES
UNE ÉTUDE DYNAMIQUE DE LA COUCHE LIMITE
Ce problème met en jeu la notion de couche limite qui intervient lorsqu’on étudie les écoulements laminaires, à nombres de Reynolds néanmoins importants, autour d’un solide. Cette couche
assure le raccordement entre la solution d’écoulement parfait qui prévaut loin du corps et la
condition de vitesse nulle sur les parois. L’étude simplifiée proposée repose sur les travaux de deux
physiciens allemands spécialistes en mécanique des fluides.
y Ludwig Prandtl (1875-1953) qui introduisit en 1904 la notion de couche limite dans
l’écoulement d’un fluide autour d’un obstacle. Ses travaux le conduisirent également à établir la
théorie hydrodynamique de l’aile portante d’envergure infinie dans un fluide parfait.
y Heinrich Blasius (1883-1970) qui publia de nombreux mémoires sur les écoulement de
fluides visqueux autour d’obstacles et dans les tuyaux cylindriques.
Formulaire : équation de Navier-Stokes d’un fluide newtonien visqueux incompressible :
G
JJGG
JG JJJJG
⎡ ∂ v G JJJJG G ⎤
μ ⎢ + v ⋅ grad v ⎥ = μ g − grad ( p ) + ηΔ v
⎣⎢ ∂t
⎦⎥
(
)
Partie I
PRÉLIMINAIRE
On s’intéresse à un régime variable d’écoulement au sein d’un fluide visqueux et incomG
G
pressible dont le champ des vitesses s’écrit v = vX ( y, t ) u x . L’axe Ox est horizontal et la pression
ne dépend pas de x. Cela peut, par exemple, concerner le régime transitoire d’accès à un écoulement stationnaire de cisaillement simple.
I-1) Rappeler, en introduisant la viscosité dynamique η dont on indiquera l’unité S.I.,
l’expression de la force de viscosité exercée, au niveau de la surface élémentaire d’aire dS et de
G
normale u y , par la portion de fluide d’abscisses supérieures à y sur la portion de fluide d’abscisses
inférieures à y.
On dit que cette force traduit un transfert diffusif de quantité de mouvement. Préciser cette
notion en soulignant en quoi cela diffère d’un transfert convectif. Quel phénomène simple explique
le brassage moléculaire qui est à l’origine de cette diffusion ?
JG
I-2) Établir l’expression d F VISC de la résultante des forces de viscosité agissant sur
l’élément de volume dτ défini par les intervalles ( x, x + dx ) , ( y, y + dy ) , ( z , z + dz ) .
I-3-a) Écrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la particule de fluide de
volume dτ et constater que l’on retrouve l’équation de Navier-Stokes dans le cas particulier
d’écoulement envisagé.
En cas d’échec à cette question (en particulier si l’on n’a pas répondu à la question I-2) on
poursuivra en utilisant l’équation de Navier-Stokes proposée dans le formulaire dont on donnera
toutefois la signification des différents termes.
G
b) En projetant cette équation sur u x , obtenir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par vx ( y, t ) appelée équation de diffusion. Lui donner une forme remarquable commune à
toutes les équations de diffusion en introduisant la diffusivité de quantité de mouvement ou viscosité cinématique ν que l’on exprimera à l’aide de η et de la masse volumique μ. Quelle est l’unité
S.I. de ν ?
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I-4) Grâce à l’équation de diffusion, établir un lien très simple entre la viscosité cinématique
ν, la distance caractéristique selon Oy : LY, et la durée caractéristique τ du phénomène de diffusion.
(On pourra exploiter un raisonnement en ordre de grandeur ou une analyse dimensionnelle.)
Partie II
ORDRE DE GRANDEUR DE L’ÉPAISSEUR D’UNE COUCHE LIMITE
On se propose d’évaluer l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la couche limite (affectée par
la viscosité) au voisinage d’une plaque plane sur laquelle arrive un écoulement laminaire uniforme
JG
G
de vitesse U = U u x parallèle à la plaque.
U
δ(x0)
x
x0
figure 1
Cette zone qui assure le raccordement entre la condition de vitesse nulle contre la plaque et
l’écoulement uniforme, s’établit par diffusion perpendiculairement à la plaque à partir du moment
ou le fluide aborde l’extrémité de celle-ci.
II-1) Estimer l’ordre de grandeur δ(x0) de l’épaisseur de la couche limite en exploitant le résultat de la question I-4) et en tenant compte du fait que lorsque le fluide atteint l’abscisse x0 (à partir de l’extrémité de la plaque), le phénomène diffusif perpendiculairement à la plaque, s’est déjà
produit pendant la durée x0/U.
II-2) Rappeler l’expression du nombre de Reynolds si l’on prend x0 comme dimension caractéristique de l’écoulement : Re x0 .
II-3) Exprimer δ(x0)/x0 à l’aide de Re x0 .
II-4) Proposer alors un critère pour l’utilisation de la notion de « couche limite » dans un
écoulement le long d’un obstacle.
Partie III
CAS D’UN ÉCOULEMENT DE POISEUILLE PLAN
On considère maintenant l’écoulement d’un fluide visqueux entre deux plans horizontaux
d’abscisses y = –d/2 et y = +d/2. L’axe horizontal Ox définit la direction et le sens de l’écoulement
JG
G
tandis que l’axe Oy est vertical ascendant : g = − g u y .
y
JG
g
x
~
z
figure 2
III-1) On considère une zone suffisamment éloignée de l’extrémité par laquelle le fluide
aborde le dispositif pour ignorer tout phénomène d’entrée et faire comme si les parois étaient illimitées. On étudie alors un écoulement stationnaire caractérisé par le champ des vitesses
G
G
v = vx ( y ) u x et un champ de pression p(x, y).
a) Écrire l’équation locale du mouvement en mettant à profit le résultat de la question
G
G
I-3) (ou en exploitant l’équation donnée dans le formulaire). La projeter sur u x et u y .
b) En déduire que
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∂p
= K (constante).
∂x
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c) Donner la loi vx(y) en fonction de K, η, y et d. Montrer que le profil des vitesses
est parabolique.
III-2-a) On note Δp = p ( x, y ) − p ( x + L, y ) la différence de pression qui doit exister entre
deux points de même altitude et distants de L selon Ox pour maintenir cet écoulement. Établir
l’expression suivante du débit volumique DV à travers une section de largeur h selon Oz :
DV =
hd 3 Δp
.
12ηL
b) Avec quelle loi électrique la relation entre Δp et DV suggère-t-elle une analogie ?
Introduire une résistance hydraulique.
c) Si, en maintenant Δp, on divise d par 2, que devient le débit ? Quel débit total circule alors à travers deux dispositifs identiques d’épaisseur d/2, chacun étant soumis à la différence
de pression Δp sur une longueur L ? En déduire une différence importante avec la notion de résistance électrique.
III-3) On examine maintenant le phénomène d’entrée dans le dispositif précédent. Un fluide
JG
G
en écoulement laminaire uniforme de vitesse U = U u x pénètre dans l’intervalle situé entre deux
plaques planes parallèles au plan xOz, distantes de d.
d
0
x
x1
figure 3
a) En exploitant le phénomène de croissance de couche limite à partir de l’arête de
chaque plaque (cf. partie II), évaluer en fonction de U, d et ν, la distance x1 parcourue par le fluide
depuis son entrée dans le dispositif avant que s’établisse le profil parabolique de vitesse.
b) Montrer qu’on peut exprimer le rapport x1/d à l’aide du nombre de Reynolds si
l’on choisit judicieusement la dimension caractéristique de l’écoulement.
PartieIV
ÉQUATION DU MOUVEMENT DANS LA COUCHE LIMITE
On considère un écoulement laminaire stationnaire et incompressible, près d’une plaque
plane horizontale y = 0, à nombre de Reynolds grand devant 1, de façon que la notion de couche
limite ait un sens. On se limite au cas d’un écoulement uniforme hors de la couche limite :
G
G
v EXT = U u x . Le fluide a la masse volumique μ et la viscosité dynamique η. On adopte le modèle
d’un écoulement bidimensionnel dans la couche limite, caractérisé par le champ des vitesses
G
G
G
v = vX ( x, y ) u x + vY ( x, y ) u y et le champ de pression p(x, y).
δ(x)
G
v EXT
y
JG
g
G
v Y ( x, y )
COUCHE LIMITE
G
v X ( x, y )
x
figure 4
On admettra que, dans ce cas, la résultante des forces de viscosité agissant sur un élément de
JG
G
G
volume dτ s’écrit d F VISC = η ΔvX u x + ΔvY u y d τ .
(
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)
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IV-1) Écrire l’équation traduisant l’incompressibilité.
G
G
IV-2) Écrire les projections sur u x et u y de l’équation fondamentale de la dynamique en
utilisant les constantes μ, ν et g.
IV-3) Pour évaluer (dans la couche limite) l’ordre de grandeur de la dérivée d’une grandeur
par rapport à x, on considère le quotient de cette grandeur par x0 (valeur « typique » de x) et pour la
dérivée d’une grandeur par rapport à y, on considère le quotient de cette grandeur par δ(x0) (épaisseur de couche limite en x0.
∂v
v ∂v
vX
.
Exemples : X est de l’ordre de X , X est de l’ordre de
x0 ∂y
∂x
δ ( x0 )
a) En utilisant l’équation obtenue au IV-1), relier les ordres de grandeur de vX et vY
au nombre de Reynolds Re x0 . En déduire que vY << vX.
b) Montrer également que
c) Montrer que vY
∂ 2 vX
∂ 2 vX
∂ 2 vY
∂ 2 vY
et
.
∂y 2
∂x 2
∂y 2
∂x 2
∂vX
∂v
et vX X sont du même ordre de grandeur. En est-il de
∂x
∂y
∂vY
∂v
et vX Y ?
∂x
∂y
même pour vY
d) Montrer, en se plaçant au bord extérieur de la couche limite, où vX est de l’ordre de
U que ν
∂ vX
est du même ordre que les deux termes précédents.
∂y 2
2
e) Réécrire les équations du IV-2 en les simplifiant grâce aux inégalités montrées cidessus. On admettra que la faiblesse de vY (en comparaison à vX) conduit à ignorer toutes les dériG
∂p
vées partielles de vY lors de la projection sur u y . En déduire que
≈ − μg .
∂y
IV-4) Puisque la couche limite est très étroite en altitude, et compte tenu de la relation précédente, la pression p, à x donné, a quasiment la même valeur qu’à l’extérieur immédiat de cette
couche. Hors de la couche limite (on rappelle que l’écoulement y est parfait) la pression dépend-t∂p
elle de x ? Que dire alors de
dans la couche limite ?
∂x
∂vX
∂vX
∂ 2 vX
En déduire l’équation : vX
+ vY
=ν 2 .
∂x
∂y
∂y
IV-5) On définit les variables sans dimension :
v
v
x
y
y
x' = , y' =
, vX ' = X , vY ' = Rex0 Y
= Rex0
U
U
x0
δ ( x0 )
x0
a) Écrire alors les équations IV-1 et IV-4 à l’aide de vX’, vY’ et de dérivées par rapport à x’ et y’. Quel est l’intérêt de ces équations ?
b) Dans sa théorie des écoulements visqueux bidimensionnels, Prandtl montre que,
puisque les solutions des équations précédentes ne sauraient dépendre de l’échelle arbitraire x0, elles
y'
ne dépendent que de la variable θ =
. Justifier ce choix.
x'
Partie V
DÉCOLLEMENT DE LA COUCHE LIMITE LAMINAIRE
Avertissement : cette partie peut-être traitée indépendamment des parties précédentes.
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L’étude précédente a été menée sous l’hypothèse U = cste, ce qui revient à supposer que, le
long de la frontière entre le solide et le fluide, le gradient de pression est nul. On étudie maintenant
une situation plus réaliste qui prend en compte ce gradient de pression dans une zone où les lignes
de courant divergent et qui conduit au fait que U = U(x).
On assimile localement la paroi en contact avec l’écoulement à un dièdre d’angle
α = π/(m + 1). La constante m est un paramètre négatif qui est pris dans l’intervalle ]−1/3, 0] si
bien que α ∈ [π, 3π/2[. On repère un point M du fluide par ses coordonnées polaires (r, ψ) avec
ψ ∈ [0, α]. La géométrie du système est représentée sur la figure 5.
G
G
ur ( M )
On donne, dans le système de coordonnées choisi
uψ ( M )
JJJJG
yM
∂ϕ G
1 ∂ϕ G
ϕ
=
+
u
M
uψ ( M )
grad
r
(
)
(
)
r
α
∂r
r ∂ψ
ψ
1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ 1 ∂ 2 ϕ
et Δϕ =
.
⎜r
⎟+
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂ψ 2
x
O
figure 5
Dans un premier temps, on cherche la structure du champ de vitesse hors de la couche limite, domaine où l’écoulement est supposé potentiel et incompressible
G JJJJG
V-1-a) Montrer que le potentiel des vitesse ϕ(r, ψ) tel que v = grad ( ϕ ) est solution de
l’équation de Laplace.
b) En détaillant clairement un raisonnement de symétrie concernant la vitesse de
l’écoulement pour les points M tels que ψ = α/2, expliquer pourquoi l’expression du potentiel des
vitesses ϕ ( r , ψ ) = F ( r ) cos ⎡⎣( m + 1) ψ ⎤⎦ est acceptable.
c) En déduire qu’une forme convenable de la fonction F(r) est F ( r ) = k1 r p où k1 est
une constante positive que l’on ne cherchera pas à calculer et p une constante pouvant prendre deux
valeurs.
G
V-2-a) Exprimer le champ des vitesses v dans la base polaire indiquée.
b) En étudiant le cas particulier où m prend la valeur limite 1, déterminer la valeur
qu’il faut attribuer à la constante p ?
c) Établir que, le long de la paroi d’équation ψ = 0, la vitesse suit la loi
JG
G
V ( ψ = 0 ) = k2 x m e X où k2 est une constante que l’on exprimera en fonction de k1 et m.
d) Établir l’équation des lignes de courant en coordonnées (r, ψ)
V-3) En utilisant le résultat de la question précédente et en étudiant la dérivée par rapport à x
de la relation de Bernoulli le long d’une ligne de courant voisine de la surface d’équation ψ = 0,
établir que le profil de vitesse entraîne l’existence d’un gradient longitudinal de pression dirigé vers
les x croissants.
V-4) En reprenant la méthode de la partie IV, on introduit la variable θ = y
fonction f ( θ ) =
vX ( x, y )
U ( x)
U ( x)
νx
et la
. On admettra que l’équation de Navier-Stokes devient l’équation de Bla-
sius généralisée : m (1 − f 2 ( θ ) ) +
d 2 f (θ)
+ α ( m + 1)
df ( θ )
θ
∫ f (ξ) dξ = 0
dθ
dθ 0
a) En supposant que f(0) = 0 et que f(θ) admet un développement de Taylor à tout ordre au
2
θ
voisinage de θ = 0, déterminer lim ∫ f ( ξ ) d ξ
θ→∞ 0
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d2 f
b) En déduire l’expression de
d θ2
en fonction de m et montrer que
θ= 0
d2 f
d θ2
>0.
θ= 0
df
, on admettra simplement que son signe est
d θ θ=0
déterminé par le paramètre m. Que peut-on dire de l’écoulement dans la couche limite si
df
<0 ?
d θ θ=0
c) On ne cherche pas à déterminer
d) On admet qu’une telle situation se produit lorsque m est inférieur à une valeur critique mC voisine de −0,09. L’angle α est alors égal à αC. Quelle est alors la valeur de la « cassure »
αC – π ? Exprimer cet angle en degrés. Représenter schématiquement les lignes de courant dans le
cas α > αC en supposant que l’écoulement reste laminaire.
Partie VI
APPROCHE DE LA FORCE DE TRAÎNÉE PAR DES BILANS DYNAMIQUES
Avertissement : cette partie peut-être traitée indépendamment des parties précédentes.
On considère à nouveau l’écoulement stationnaire et
y
incompressible d’un fluide visqueux au-dessus d’une plaque
plane. Ce fluide arrive parallèlement à la plaque avec une viJG
G
JG
e(x)
tesse uniforme U = U u x , loin en amont. On néglige désormais U
L
les effets de la pesanteur sur le fluide et on supposera la pres0
sion uniforme. On donne la masse volumique μ et la viscosité
x
figure 6
dynamique η du fluide. La plaque a une longueur L selon Ox et
une très grande dimension LZ selon Oz, si bien que l’on adopte
une description bidimensionnelle de l’écoulement dans laquelle la vitesse du fluide s’écrit :
G
G
G
v = vX ( x, y ) u x + vY ( x, y ) u y en négligeant les effets de bord. À grand nombre de Reynolds, il se
crée une couche limite mince d’épaisseur locale e(x) sur laquelle vX varie de 0 à U. Les effets de
viscosité sont localisés dans cette couche.
VI-1) On considère un volume de contrôle parallélépipédique : 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ h,
0 ≤ z ≤ LZ.
a) Grâce à un bilan de masse, relier
∫
L
0
vY ( x, h ) dx à une autre intégrale.
b) Grâce à un bilan de quantité de mouvement selon Ox, notée pX, exprimer la dérivée lagrangienne de pX sous forme d’une intégrale.
c) En déduire, en choisissant h assez grand,. la force exercée par le fluide sur la face
supérieure de la plaque puis sur l’ensemble de ses deux faces. Le résultat sera présenté sous la
JG
G
h
forme T = T u x avec T = 2μLZU 2 ∫ φ ( y ) dy où φ(y) est une expression mettant en jeu diverses
puissances du rapport vX ( L, y ) / U .
0
y
⎧
vX ( x, y ) = U
pour y ≤ e ( x )
⎪
e( x)
avec e ( x ) = 3 δ ( x ) , δ ( x ) =
VI-2) On admet que : ⎨
⎪v ( x, y ) = U pour y ≥ e ( x )
⎩ X
νx
et
U
ν = η/μ .
ν, L, LZ et U.
a) Grâce à cette description, exprimer la force linéique de traînée T en fonction de μ,
b) On définit le coefficient de traînée Cx = 1 2 T . Indiquer sa dimension et le reμU L LZ
lier au nombre de Reynolds ReL.
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