Mecanique des fluides : hydrodynamique - TF40 - 2006

TF 40 Examen Final Le 18/01/2007
Durée : 2 heures
Documents autorisés : Un A4 recto verso + formulaire
LA PARTIE A EST A REDIGER SUR COPIES SEPAREES
A) PEINTURE PAR TREMPAGE : (10 points)
L’un des procédés utilisé dans l’industrie pour peindre une pièce est la peinture par trempage. Ce
procédé, très économique, est particulièrement bien adapté aux grandes séries de pièces de forme
simple pour l’application des primaires d’accrochage. Le schéma suivant représente une pièce
plane sortant du bain de trempage à la vitesse constante V. Le mouvement s’effectue
verticalement, du bas vers le haut, de façon à ne conserver sur la pièce que l’épaisseur e de
peinture.
La peinture employée est un liquide de masse volumique ρ0 et de viscosité dynamique µ0.
A1) Présenter en détail les hypothèses générales nécessaires à l’étude et justifier en quoi elles
sont fondées dans le cas présent.
A2) Montrer que l'équation différentielle qui prédit l'écoulement du liquide est celle de Poiseuille
dans le cas plan. Quel commentaire peut-on faire concernant pg ?
A3) Formuler et justifier les conditions aux limites disponibles.
A4) A partir des questions précédentes, donner l’expression de la vitesse de la peinture dans une
section perpendiculaire à la plaque.
A5) Exprimer la pression motrice en tous point de l’écoulement.
A6) En déduire l’expression de la vitesse adimensionnelle v* (rapport de la vitesse à la vitesse de
la plaque V) en fonction de l’abscisse adimensionnelle X* (rapport de l’abscisse à l’épaisseur e
du film)
A7) Tracer le profil des vitesses dans une section sachant que : e = 1,5 mm ; ν0 = 250. 10-6 m2/s
et V = 3 cm/s.
A8) Exprimer le débit par unité de largeur Qv/L dans une section. En déduire la vitesse critique Vc
qu’il faut imposer à la plaque pour que le débit dans une section soit nul. Faire l’application
numérique avec les valeurs de la question 7.
A9) Valider les hypothèses.

B) RELATION ENTRE FORCE ET VITESSE POUR UNE PLAQUE PLANE : (3 points).
Une paque plane d’épaisseur négligeable, de longueur L = 15 cm, de largeur b = 10 cm et de
masse m = 20 g, suspendue par 4 fils tendus dont on néglige la traînée, est immergée dans un
écoulement d’air (à 20°C et pression atmosphérique normale) uniforme en dehors de la couche
limite, de telle sorte que la vitesse ∞
Usoit dirigée parallèlement à son grand côté L, voir la figure
2. On appelle F l’effort qu’exerce le fluide sur une des faces de la plaque. On rappelle que dans
un cas de couche limite laminaire :
5,15,0
00 )(664,0 ∞
=bULF
µρ
B1) Etablir la relation donnant ∞ Uen fonction de l’angle α que font les fils de suspension avec la
verticale, après avoir rappelé quelles sont les autres hypothèses nécessaires au calcul. Calculer
∞
Upour α = 10° et α = 20°.
B2) Justifier pourquoi on doit avoir C
αα ≤en donnant la valeur de C α pour ReC = 5.105.
C) CARACTERISTIQUES DU VENT AU-DESSUS D’UNE COLLINE : (7 points).
La situation étudiée est schématisée par un écoulement d’air au-dessus d’un demi cylindre à base
circulaire de rayon a centré à l’origine des axes, avec l’axe des x pour diamètre. La vitesse à
l’infini amont est notée x
eUU ∞∞ = et les génératrices du cylindre sont normales au plan
),( yx ee de la figure 3. On note :
ivu
dz
df
z
a
zUzf −=
+= ∞et )(
2
.
C1) On compte utiliser les résultats ci-dessus ; en déduire quelles sont les hypothèses nécessaires
à l’étude. Calculer les composantes u et v de la vitesse suivant yx ee et en les exprimant en
fonction de r et θ.
C2) On appelle )2,(
1
πθ === yruU la vitesse sur l’axe Oy. Donner ∞
UU1en fonction de
ay= η pour les valeurs 3et 2,5 ; 2 ; 1,5 ; 1,25 ; 1
=
η
.
C3) On s’intéresse à la ligne de courant 0
ψψ = passant par −∞== xyy en
0. Ecrire l’équation
de cette ligne de courant. Elle coupe l’axe Oy (x = 0) en 1 yy =. Montrer que si 22
04ay << on a :
2
0
1
y
ay += .
C4) On donne a = 400 m, 0
4,5 m/s , 100 m
U y
∞= = . Calculer 0
ψ et donner l’équation de cette
ligne de courant qui représente le sol. Calculer )(et , )( 1111 yUyyU .
C5) Dans une telle situation, quel est selon vous le meilleur endroit pour installer une éolienne ?