2. Ecoulements en charge, pertes de charge

Hydraulique des ouvrages Chapitre 2
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2. Ecoulements en charge, pertes de charge
Un des problèmes techniques les plus importants qui s’est posé très tôt à
l'humanité, est celui du transport hydraulique. Qu'il s'agisse d'une canalisation
(alimentation d’eau potable, égouts, ventilation), d'un canal (irrigation, drainage,
amenée et/ou restitution de centrale hydroélectrique), d'une rivière (propagation
de crues) ou encore d'un bateau, le problème à résoudre est le même. Si nous
voulons que le transport(écoulement, mouvement) soit assuré dans les
conditions souhaitées (débit, vitesse, pression, niveau) il faut prendre en compte
la dissipation d'énergie, c’est à dire mettre en place ou utiliser une "charge"
disponible suffisante (réservoir, château d’eau), fournir de l'énergie de pompage,
doter les embarcations de propulseurs adaptés (voiles, moteurs), donner aux
canaux les pentes suffisantes (équilibre sur l'axe du lit entre la composante de la
pesanteur et le frottement), etc.
Pour l'hydraulicien le problème revient à évaluer l'énergie mécanique dissipée
lors du transport, au moyen d'une loi de comportement adéquate. Cette dernière
doit établir le lien existant entre les paramètres de l'écoulement (vitesse,
géométrie du support, section, périmètre mouillé, aspérités des parois), les
caractéristiques du fluide (masse, viscosité) et l'énergie dissipée. Ce type de
relation est à ranger parmi d'autres lois de comportement bien connues des
ingénieurs, telles que ,
E
URI
σ
ε =⋅ =⋅, etc.
En hydraulique elle est désignée le plus souvent comme loi de perte de charge.
C’est dans le cadre relativement simple des écoulements en charge, que le
problème de la dissipation de l'énergie mécanique dans les écoulements a été
abordé prioritairement. Cette dissipation, due aux frottements internes et à la
paroi, est une perte, par transformation en chaleur, d'une partie de l'énergie
mécanique disponible, appelée en hydraulique perte de charge.
2.1 Lois de perte de charge
C’est l'écoulement uniforme en charge qui est le plus fréquent dans la pratique
du transport des fluides à distance (tuyaux). Nous pouvons admettre que les
pertes de charge sont ici linéaires c’est à dire proportionnelles à la longueur du
tronçon considéré. Ce postulat est exprimé par l'équation (2.1).
LJhr⋅= (2.1)
avec
hr : la perte de charge linéaire,
J : la perte de charge linéaire par unité de longueur,
L : la longueur du tronçon de canalisation considérée.
La figure 2.1 délimite précisément un tronçon de canalisation, en faisant
apparaître les forces en jeu:

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R : la résistance de la paroi (τ0 est l’effort tangentiel moyen de frottement à la
paroi),
G : le poids du fluide sur le tronçon,
p : les pressions appliquées sur les surfaces d’extrémités.
Rappelons ici que l'équation de quantité de mouvement considère les forces
extérieures à la masse contenue dans le <<volume de contrôle>>, délimité par
les sections 1, 2 et la paroi de la canalisation. Les forces intérieures, dont les
frottements internes, peuvent par contre être ignorées parce qu’elles se trouvent
en équilibre (résultante nulle).
Figure 2.1 : Conditions d’écoulement dans une canalisation cylindrique
rectiligne de section circulaire (régime établi)
Entre les sections 1 et 2, les équations de conservation d'énergie (2.2), de
quantité de mouvement (2.3) et de continuité (2.4) s'écrivent:
r
hz
g
vp
z
g
vp +++=++ 2
2
22
1
2
11 22
γγ
(2.2)
()
212211 sin VVQGRSpSp −=+−−
ρ
θ
(2.3)
SQVVV /
21 === (2.4)
car
SSS == 21

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avec LPR o
⋅
⋅=
τ
et
(
)
12
sin sinG
g
SL
g
Sz z θθ =⋅⋅ =⋅ −
La combinaison des équations (2.2) et (2.4)
()
()
LJzz
pp ⋅=−+ −
21
21
γ
(2.5)
et la combinaison des équations (2.3) et (2.4)
()
()
plzz
pp
So τ
γ
γ =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−+
−
21
21 (2.6)
En divisant (2.3) par (2.6) et après séparation de τo nous obtenons la relation
(2.7) qui est indépendante de (z1-z2).
o
R
J
τ
γ =⋅⋅ (2.7)
avec P
S
R= : le rayon hydraulique
4
D
R= : pour les tuyaux de section circulaire
Après substitution de
γ = ρ⋅ g l’équation (2.7) peut s’écrire
JRg
o⋅⋅=
ρ
τ
(2.8)
Il est intéressant de remarquer que les deux termes de l'équation (2.8) ont la
dimension d'une vitesse au carré, soit 2
v
o=
ρ
τ
et ainsi v
o=
ρ
τ
en raison de
cette similitude dimensionnelle, le terme de gauche est appelé « vitesse de
frottement » noté e par v*.
En outre, l'homogénéité dimensionnelle des équations de la physique permet de
présumer que
α
∝v
et par conséquent que
JRgV ⋅∝

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En admettant cette hypothèse, l'équation (2.8) devient
RJCV = (2.9)
avec
C : le coefficient de Chézy qui contient g
Ce résultat obtenu en 1768 est connu comme équation de Chézy, du nom de
son auteur. Après avoir constaté expérimentalement que le facteur de
proportionnalité C n’est pas constant mais varie assez largement, il restait à
comprendre pourquoi et comment. Weisbach (2845) apporta la réponse à cette
question au moyen de l'analyse dimensionnelle. L’équation dite “fonctionnelle” de
la perte de charge linéaire (égale à la variation de pression ∆p correspondante
dans le cas particulier où V= Cte. le long de l’écoulement) s’écrit comme suit :
()
0,,,,,, =∆
µ
ρ
LkDVpf (2.10)
Les termes en gras sont les paramètres hydrodynamiques de l'écoulement, ceux
en caractères romains dé finissent la géométrie de l'écoulement, D (4R) est le
diamètre intérieur de la canalisation et k la rugosité de la paroi (un équivalent
hydrauliquement représentatif de la taille des aspérités); finalement, la masse
volumique ρ et la viscosité dynamique µ servent à caractériser le fluide.
L'équation (2.10) contient ainsi tous les paramètres significatifs du phénomène et
exprime leur dépendance fonctionnelle, à défaut de fournir l’expression
analytique précise qui est recherchée. La théorie des dimensions nous apprend
toutefois qu'il est possible de regrouper les termes de cette équation de façon à
obtenir un nombre réduit, (n-3), de nouveaux paramètres sans dimensions. En
procédant judicieusement nous obtenons:
0;;
/
;
2/
2=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛∆
D
k
D
LVD
Vp
f
ρµρ
(2.11)
ou encore après arrangement:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∆
D
k
v
VD
f
D
L
gv p; 2//
2
γ
(2.12)
La perte de pression (ou perte de charge) dp dans le terme de gauche est
proportionnelle à la longueur (L) du tronçon considéré. La fonction f dans le
terme de droite contient le nombre de Reynolds, Re = VD/n, ou v = m/r est la
viscosité cinématique du fluide, et la rugosité relative k/D. Cette fonction f
(parfois notée λ dans la littérature francophone) et appelée coefficient de
frottement. Ainsi, la perte de charge par unité de longueur J peut s’exprimer
comme suit:

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gD
V
f
L
p
L
h
Jr2
2
=
∆
==
γ
soit
gd
V
fJ 2
2
= (2.13)
La relation (2.13) est connue comme équation de Darcy-Weisbach. Elle peut être
ramenée à la même forme que l'équation de Chézy:
RJ
fg
V8 = (2.14)
Cela montre que le coefficient de Chézy C, est fonction du nombre de Reynolds
Re et de la rugosité relative k/D, au même titre que f. Avant qu'une expression
analytique ait pu être formulée vers 1933 pour exprimer la fonction f, deux autres
propositions furent formulées par Manning en 1895:
6/1
1R
n
C= (2.15)
avec n: le coefficient de Manning
et par Strickler en 1923:
6/1
RKC ⋅= (2.16)
K : le coefficient de Strickler
Ces 2 propositions étaient accompagnées de tables de valeurs pour n et de K
respectivement. Strickler, à l'époque directeur du Service fédéral des Eaux à
Berne, limitait sa proposition aux rivières. L’extension de son application au
domaine des canalisations n'a suivi qu'après 1950. Les domaines d'utilisation
des formules de Manning et de Strickler sont actuellement confondus et le choix
tient davantage à la tradition locale (dans le monde anglo-saxon pour la
première, en Europe pour la seconde).
La forme usuelle d'application de la formule de Strickler est:
2/13/2 JRKV ⋅⋅= (2.17)