Examen 14 juin 2012 2ème session

Université Joseph Fourier Grenoble 1
Année 2011/2012
Licence 1ère année
2ème session
Epreuve de Physique Mécanique (PHY 121)
Jeudi 14 juin 2012. Durée 2h
Les documents et calculatrices ne sont pas autorisés.
Bien lire les problèmes avant de commencer ; l’expérience de la première session montre
que cela peut-être très utile.
N’utilisez les valeurs numériques que lorsqu’un calcul numérique est demandé.
Problème 1 : le vélo sur une courbe
Un cycliste à l'arrêt au temps t = 0 s’élance en empruntant un grand rond point horizontal de
rayon R = 100m. Sa vitesse augmente linéairement en fonction du temps t ; elle vaut VM =
36 km/h au bout d'un temps T = 2 minutes. Le cycliste et son vélo sont considérés ici comme
un seul point matériel de masse m = 60 kg.
r uuuur
ur
1/ Donner l'expression analytique vectorielle de la position r = OM , de la vitesse V et de
ur
l'accélération Γ en coordonnées polaires (r, θ) ; ici r = R est constant et θ = 0 correspond à
la position initiale du cycliste.
Dessiner le repère et ses vecteurs de base polaires.
Au final, exprimer ces vecteurs en fonction du module V de la vitesse (et sa dérivée par
rapport au temps), de R et des vecteurs de base du système polaire.
2/ A partir de ces expressions et en utilisant uniquement les données R, VM, T (n’utilisez
pas les valeurs numériques) et les vecteurs de base que vous aurez définis, donner les
expressions littérales en fonction du temps t :
- du module V de la vitesse
-
ur
du vecteur vitesse V
-
du vecteur accélération Γ
ur
1
3/ Toujours en fonction des données R, VM, T, donner les expressions à l’instant t de :
- la distance parcourue s
- l'angle θ (on rappelle que θ = 0 au temps t = 0)
- la vitesse angulaire ω
4/ Tracer sur un graphe la vitesse V en fonction du temps t. Donner les valeurs
caractéristiques qui permettent de tracer cette courbe, et préciser leur valeur numérique.
Comment peut-on illustrer grâce à cette courbe la distance s parcourue au bout du temps t ?
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5/ Calculer numériquement (donner les valeurs en radian) et représenter
(approximativement, mais raisonnablement) sur un dessin représentant la trajectoire
circulaire du vélo, sa position θ aux instants : t0 = 0, t1 = 1 minute et t2 = 2 minutes.
ur
6/ En utilisant l’expression de l’accélération trouvée à la question 2, exprimer la résultante F
des forces qui agissent sur le vélo à un instant t quelconque, en fonction de R, VM, T, t et
des vecteurs de base nécessaires.
Aux instants t0 = 0 et t1 = 1 minute, calculer ses composantes et la dessiner sur le schéma
fait à la question précédente (on précisera bien l'échelle utilisée pour tracer ces vecteurs).
3
ur
7/ Rappeler la définition différentielle du travail élémentaire dW d’une force F . Exprimer le
uur
uuuur
vecteur déplacement élémentaire dr = dOM en coordonnées polaires dans le cas d’un
ur
mouvement circulaire. En déduire le travail élémentaire dW de la résultante des forces F ,
qu’on exprimera au choix : soit en fonction de t et dt, soit en fonction de V et dV.
Exprimer ensuite le travail W fourni entre le départ (t = 0, V = 0) et un temps t (ou une
vitesse V) quelconque. Montrer que W peut s’écrire en fonction de m et V seulement.
Proposer et utiliser une deuxième méthode pour calculer ce travail.
ur
8/ Donner l’expression de la puissance P dissipée par la résultante des forces F .
Exprimer P en fonction de : m, V, VM et T
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9 – Calculer cette puissance à l’instant t1 = 1minute. Son ordre de grandeur est-il
raisonnable ?
La puissance fournie par le cycliste est-elle inférieure, égale, ou supérieure à la puissance
calculée ? Justifier votre réponse
Espace libre pour la correction ou la suite d’une question. Indiquer le numéro de la
question.
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Problème 2 . Système masse ressort.
On considère un grand élastique de masse négligeable, dont la longueur à vide
est égale à L, suspendu verticalement au plafond de l’amphithéâtre. L’accélération de
pesanteur est considérée comme constante et égale à g ; tous les frottements seront
négligés. On se place dans le référentiel de l’amphithéâtre, considéré comme galiléen.
10 - Lorsqu’on fixe une masse m à son extrémité inférieure, à l’équilibre, l’élastique
s’allonge d’une distance l . Exprimer sa raideur k en fonction de m, g et l .
11 - On définit un repère cartésien Oxyz. Le point O est confondu avec la position de
la masse m à l’équilibre, lorsque la masse m est suspendue.
r
L’axe Ox est vertical, dirigé vers le bas. On lui associe un vecteur unitaire i . La masse
se déplace librement suivant Ox.
Ecrire, pour une position de la masse repérée par x , l’expression analytique
vectorielle de chacune des forces qui s’appliquent à la masse m en fonction de
m, g ,l, et x (on éliminera k en utilisant la relation établie à la question précédente).
Faire obligatoirement un dessin et y faire figurer les longueurs et les forces.
ur
12 - Exprimer la résultante des forces. En déduire l'expression de l'accélération Γ en
fonction de g, x et l .
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13 - Etablir l’équation différentielle du mouvement en ne faisant intervenir que
g, l, x et sa ou ses dérivées par rapport au temps.
14 – Donner la solution générale de l’équation différentielle.
15 - A partir de sa position d’équilibre, on communique à la masse m une vitesse
positive V0 vers le bas. Etablir l’équation finale x(t).
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16 – En déduire l’expression de l’accélération Γ(t) de la masse m en fonction du
temps. Tracer l’évolution Γ(t). Donner les valeurs caractéristiques de la courbe.
Espace libre pour la correction ou la suite d’une question. Indiquer le numéro de la
question.
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