Mécanique quantique

MECANIQUE
QUANTIQUE
ESO 1
2
A – INTRODUCTION : LES IDEES FONDAMENTALES DE LA DESCRIPTION DU MONDE MICROSCOPIQUE ...... 7
1 – POSITION DE LA MECANIQUE QUANTIQUE ........................................................................................................... 7
2 – LES EXPERIENCES FONDAMENTALES ET LES INSUFFISANCES DE LA PHYSIQUE CLASSIQUE ................................................ 8
a – Abandon de la mécanique classique déterministe au profit d’une mécanique probabiliste ............... 8
b – Nécessité de construire une physique dont les postulats couvrent à la fois matière et rayonnement
...................................................................................................................................................................... 10
c – Le traitement quantique doit inclure la mesure des grandeurs physiques ........................................ 12
d – La mécanique quantique doit rendre compte de la quantification de l’énergie des atomes et des
molécules ...................................................................................................................................................... 12
B – LES POSTULATS DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE .................................................................................... 15
1 – POSTULAT DE DESCRIPTION DU SYSTEME QUANTIQUE ......................................................................................... 15
a – Description de l’état du système........................................................................................................ 15
b – Description des grandeurs physiques mesurables ............................................................................. 16
2 – POSTULAT CONCERNANT LA MESURE DES GRANDEURS PHYSIQUE........................................................................... 16
3 – POSTULAT D’EVOLUTION D’UN SYSTEME AU COURS DU TEMPS .............................................................................. 22
4 – POSTULATS DE CORRESPONDANCE ENTRE GRANDEUR PHYSIQUE ET OPERATEUR ....................................................... 23
C – LE PUITS QUANTIQUE .......................................................................................................................... 25
1 – PARTICULES DE MASSE M DANS V(R) – NOTION D’ETAT STATIONNAIRE ................................................................... 25
2 – PARTICULES DANS DES POTENTIELS A UNE DIMENSION......................................................................................... 26
a – idéalisation du potentiel par introduction de discontinuités ............................................................. 26
b – Etude d’une particule dans un puits de potentiel infini ..................................................................... 28
c – Etat lié d’une particule dans un puits fini : le puits quantique ........................................................... 30
D – OSCILLATEURS HARMONIQUES ........................................................................................................... 35
1 – RAPPELS DE MECANIQUE CLASSIQUE ................................................................................................................ 35
2 – IMPORTANCE DE L’OSCILLATEUR HARMONIQUE.................................................................................................. 35
3 – ETATS STATIONNAIRES DE L’OSCILLATEUR HARMONIQUE EN PHYSIQUE QUANTIQUE................................................... 36
a – Résolution analytique directe de l’équation ...................................................................................... 36
b – Recherche de la quantification de l’énergie en utilisant les opérateurs création et annihilation ...... 40
E – QUELQUES CONSEQUENCES GENERALES DES POSTULATS ................................................................... 45
1 – FONCTION D’ONDE ET PROBABILITE DE PRESENCE ............................................................................................... 45
2 – CONSEQUENCE DE L’EQUATION D’EVOLUTION DE |Ψ(T)> ................................................................................... 46
a – Evolution dans le temps d’un état quelconque |Ψ(x,t)>.................................................................... 46
b – Evolution dans le temps de la norme de |Ψ(x,t)> .............................................................................. 47
c – Evolution dans le temps de la densité de probabilité ......................................................................... 48
3 – RELATION D’INCERTITUDE D’HEISENBERG ......................................................................................................... 49
4 – POSTULATS ET MODELISATION : LE PROBLEME DES ETATS LIBRES D’UNE PARTICULE ................................................... 50
a – Etats stationnaires d’une particule libre ............................................................................................ 51
b – Problème de la normalisation de la fonction d’onde ......................................................................... 52
c – La marche de potentiel ...................................................................................................................... 53
3
F – PERTURBATIONS INDEPENDANTES DU TEMPS .................................................................................... 57
1 – CAS D’UN ETAT QUI EST NON DEGENERE EN L’ABSENCE DE PERTURBATION .............................................................. 57
2 – CAS D’UN ETAT QUI EST DEGENERE EN L’ABSENCE DE PERTURBATION ..................................................................... 59
3 – EXEMPLES D’APPLICATION ............................................................................................................................ 61
a – Effet Stark dans le puits quantique ................................................................................................... 61
b – Levée de dégénérescence pour une particule placée dans deux puits couplés ................................. 62
G – LES PERTURBATIONS DEPENDANTES DU TEMPS ................................................................................. 65
1 – POSITION DU PROBLEME............................................................................................................................... 65
2 – PROBABILITE DE TRANSITION ENTRE |ϕI> ET |ϕF> ............................................................................................. 65
3 – EXEMPLE DE PERTURBATION DEPENDANTE DU TEMPS ......................................................................................... 67
a – Perturbation sinusoïdale ou constante ............................................................................................. 67
b – Couplage d’un état discret avec un continuum d’états ..................................................................... 68
4 – COMPORTEMENT D’UN ATOME DANS UN CHAMP ELECTROMAGNETIQUE OPTIQUE AU VOISINAGE DE LA RESONANCE ....... 70
a – Approximation dipolaire électrique................................................................................................... 70
b – Approximation de l’atome à deux niveaux........................................................................................ 71
c – Résolution perturbatrice .................................................................................................................... 73
d – Comportement de l’atome en champ intense – oscillations de Rabi ................................................ 74
H – SYSTEMES COMPLEXES ET PRODUIT TENSORIEL D’ESPACE ................................................................. 77
1 – DEFINITION DU PRODUIT TENSORIEL D’ESPACE .................................................................................................. 77
2 – ACTION DES OPERATEURS DE F1 ET F2 DANS E ................................................................................................... 78
4
Bibliographie :
Mécanique quantique (tomes 1 et 2)
C.Cohen – Tnnoudji, B.Diu, F.Laloë
(Masson)
Optoélectronique
E.Rosencher, Borge Vinter
(Masson 98)
Structure électronique et liaison chimique
Direction JR Lalonne
(Masson 1992)
Mécanique quantique
Mécanique classique
Landau – Lifshitz
(Miv Moscou)
Introduction à la physique quantique
J.P. Barrat
(Dunod Univ)
Cours de Mécanique quantique
A. Ayant, E.Belovisky
5
6
A – INTRODUCTION : LES IDEES FONDAMENTALES DE
LA DESCRIPTION DU MONDE MICROSCOPIQUE
Il existe un problème dans le choix des références à utiliser. Les lois de la physique classique
servent à décrire le monde macroscopique, elles sont issues de notre expérience. Le domaine
microscopique est quant à lui inaccessible à nos sens, et l’application des lois de la mécanique
classique dans ce domaine se révèle être un échec. Il faut donc impérativement adopter une
axiomatique nouvelle ; c’est ce qui a conduit à la physique quantique.
La démarche actuelle est la suivante :
•
•
•
•
•
A l’objet microscopique, on applique un modèle calqué sur une structure macroscopique
Le résultat de l’application des lois de la physique classique est incohérent avec les expériences
Ceci entraîne une modification des lois classiques qui mène à une axiomatique quantique
On compare les nouvelles lois avec les expériences. Les résultats sont plus cohérents, mais il
existe quelques problèmes résiduels
On modifie le modèle (par exemple en prenant en compte le spin), ce qui entraîne une meilleure
cohérence entre lois et expériences
1 – Position de la mécanique quantique
L’univers est un équilibre subtil entre matière et rayonnement. Les lois de la physique se sont
données pour but la description unitaire de ces deux composantes de l’univers.
Les théories classiques sont un ensemble de lois qui rendent compte des phénomènes
macroscopiques (phénomènes mettant en jeu des dimensions et énergie à l’échelle humaine). Le
traitement macroscopique de la matière a conduit à la mécanique classique de Newton, et celui du
rayonnement, aux équations de Maxwell. Toutefois, ces lois classiques présentent des insuffisances
pour traiter le comportement microscopique de l’univers : il va falloir traiter la matière et le
rayonnement avec des lois différentes
Domaine de validité de la mécanique quantique traitée :
v << c
r
l >> h
r
l << h
v≈c
Mécanique
relativiste
classique
non
Mécanique
relativiste
classique
Mécanique
relativiste
quantique
non
Mécanique
relativiste
quantique
La physique quantique est la physique des systèmes microscopiques. Il y a unification de traitement
de la matière et du rayonnement. La physique doit contenir les lois classiques à la limite des objets
macroscopiques
7
2 – Les expériences fondamentales et les insuffisances de la physique
classique
a – Abandon de la mécanique classique déterministe au profit d’une mécanique probabiliste
a – Diffraction d’atomes, de neutrons ou d’électrons
F1
S (source
d’atomes
F2
Ecran
L’atome est une particule isolable à laquelle on applique les lois classiques
La source S est une source d’atomes à faible flux. On observe l’impact des particules sur l’écran.
Pour chaque fente, on observe des impacts n dehors des zones géométriques.
Nombre
d’impacts
Zone
géométrique
F1 ou F2 (pas les deux
en même temps)
Centre F1
Centre F2
F1 et F2 (les deux en
même temps)
8
Comment expliquer ce phénomène :
•
•
Est-ce du à la réflexion possible sur les bords de la fente ?
Ou à la collision possible entre les particules déviées par les deux fentes ?
En utilisant une source à très faible flux (une particule à la fois), on retrouve le même phénomène
d’interférence. On ne peut plus ici parler encore de trajectoire pour les particules microscopiques
b – analogie avec les fentes d’Young
On peut faire une expérience analogue avec une source lumineuse. On obtient exactement les
mêmes observations, mais les franges obtenues étaient attendues et sont classiquement observables.
E = E1 + E 2
où E est l’amplitude lumineuse totale dans le plan de l’écran, et Ei la contribution de la fente i à
cette amplitude. On calcule l’éclairement dans le plan de l’écran :
E = E1 + E 2 + 2. Re(E1.E 2 )
2
2
2
où 2.Re(E1 .E 2 ) est le terme d’interférence
c – notion de mécanique probabiliste
On associe une onde à la particule matérielle (De broglie, 1923) caractérisée par son énergie E et sa
r
quantité de mouvement p
E = h.ν
r
r 2.π
r
p = h.k où k =
λ
r
c est le vecteur de propagation de la particule. h est la constante de Planck, elle vaut
h = 6,6.10 −34 J.s
h=
h
2.π
Les deux hypothèses onde/corpuscule s’excluent mutuellement, donc aucune des deux
représentations n’est correcte. L’idée fondamentale repose sur une notion nouvelle de corpuscule qui
ne satisfait plus aux lois classiques. Le corpuscule quantique est décrit par une fonction d’onde
r
r 2
r
Ψ (r , t ) sachant que Ψ (r ,t ) représente la densité de probabilité de présence de la particule en r et
t. On passe donc à une mécanique probabiliste. On dispose maintenant à chaque instant d’une carte de
la probabilité de présence de la particule en chaque point de l’espace. On est obligé d’abandonner la
notion de trajectoire.
Remarque :
•
On ne doit toutefois pas confondre Ψ (r , t ) fonction d’onde, avec une onde au sens classique.
r
En effet, Ψ (r , t ) n’obéit pas aux lois de Maxwell.
r
9
•
•
•
r
Ψ (r , t ) est associé à une particule matérielle
On ne peut plus donner de trajectoire classique d ‘un corpuscule quantique, mais une carte de
probabilité de présence qui évolue au cours du temps
r
r r
r
On travaille sur un ensemble de particule de positions ri → Ψ (r1 , r2 ,..., rn ) telles que
r 2
r
Ψ (ri , t ) soit la probabilité de présence de la particule i en ri .
b – Nécessité de construire une physique dont les postulats couvrent à la fois matière et
rayonnement
a – Impact dans l’expérience des fentes d’Young : notion de photons
b – Autres expériences de mise en évidence des photons
Expérience du corps noir de Planck :
Rayonnement
T
Four
On fait une hypothèse d’échange discontinu d’énergie entre matière et rayonnement. On voit alors
apparaître des grains d’énergie, d’énergie hν .
I
Courbe
théorique
Courbe
expérimentale
10
λ
Effet photoélectrique (Einstein 1905) :
Ampoule
υ
PA
Si υ < υ0, il n’y a pas de courant.
Si υ < υ0, il y a du courant.
T = hν − W
Où T est l’énergie reçue, et W est indépendant du rayonnement. Ceci introduit la notion de photon.
Ici, le rayonnement est interprété comme un flux de photon.
Effet compton (1923)
Cible
ν − ν 0 = f (cosθ )
υ0
r
p
Après
collision
θ
υ0
e-
eυ
υ
photon υ0 + électron au repos → électron en mouvement + photon (υ,θ)
hν 0 r
r
p0 =
.i0
c
r hν r
p=
.i
c
c – Apparition de franges dans l’expérience des trous d’Young
L’apparition des franges dans l’expérience des trous d’Young fait qu’il est nécessaire d’associer
aspect corpusculaire et aspect ondulatoire. Comme pour la matière, le rayonnement sera décrit par une
fonction d’onde : rayonnement et matière obéissent aux même postulats.
11
c – Le traitement quantique doit inclure la mesure des grandeurs physiques
F1
Laser
Réflexion
due aux
passages
d’atomes
S
Source
d’atomes
F2
Eclairement
Laser
Observations :
•
•
•
•
Un atome ne passe que par F1 ou F2, mais jamais par les deux fentes
Il existe un couplage entre les atomes passants par F1 et F2, puisque tous les atomes sont partis
de S
Il y a disparition du phénomène d’interférence
Si l’on ne compte pas tous les atomes, il y a réapparition partielle des interférences
En conclusion, la mesure perturbe le système. Ceci est du au fait que la mesure est de même
dimension que le système en terme d’énergie.
Ψ = Ψ1 + Ψ2
où Ψ1 est la fonction d’onde associée aux particules traversant le trou 1, et Ψ2 est la
fonction d’onde associée aux particules traversant le trou 2. Ψ est la fonction d’onde
globale
Si on détecte une particule traversant le trou 1, la fonction d’onde globale après la mesure devient :
Ψ’ = Ψ1
(postulat du à la perturbation)
d – La mécanique quantique doit rendre compte de la quantification de l’énergie des atomes et
des molécules
L’absorption et l’émission d’énergie par les atomes se font sur des fréquences particulières.
Spectre de l’hydrogène (Balmer en 1885)
L’ensemble des fréquences pour lesquelles on observe absorption/émission d’énergie est donné par
la relation :
1 
 1
− 2
2
n 
2
ν = R.c.
où R est la constante de Rydberg
12
Atome de Rutter Ford
Ici, on considère une émission d’onde E.M. Ceci se traduit par une instabilité du système. Ce
modèle est de ce fait un échec. Il ne permet pas de plus d’expliquer les discontinuités de fréquences
d’absorption/émission
Atome de Bohr (1913)
Ici, on considère un ensemble de niveaux particuliers d’énergie.
4
3
2
1
Les différents niveaux d’énergie sont donnés par la relation :
E = R.c.
1
n2
où n est le numéro du niveau d’énergie considéré (1, 2, …, ∞).
r
L’hypothèse de Bohr est la suivante : il utilise le modèle de Ruther Ford en posant l = n.h .
L’hypothèse de Bohr est incohérente avec les postulats classiques. De plus, les instabilités découlant
du modèle de Ruther Ford ne sont toujours pas expliquées.
Les lois classiques ne s’appliquant pas, il faut adopter de nouveaux postulats.
En conclusion, on doit construire pour le domaine microscopique une physique quantique qui doit
satisfaire aux conditions suivantes :
•
•
•
•
•
Abandon de la mécanique classique déterministe au profit d’une mécanique probabiliste
Les postulats couvrent à la fois matière et rayonnement
Le traitement inclus obligatoirement la mesure
Prise en compte de valeurs particulières de l’énergie ou moments cinétiques
La physique quantique doit contenir la physique classique à la limite des systèmes macroscopiques
13
14
B – LES POSTULATS DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE
1 – Postulat de description du système quantique
a – Description de l’état du système
•
•
En physique classique (mécanique analytique), la fonction de Lagrange L (r1 ,..., rn , r1 ,..., rn , t )
(
)
permet de représenter l’état du système. En physique quantique, Ψ r1 ,..., rn , t ∈ F (F est l’espace des
états) décrit le système microscopique. Ψ débouche sur une carte de probabilité à l’instant t.
Avant l’introduction de spins et autres caractéristiques quantiques, la position de la particule
{ }
permet de caractériser son état. ri à t ↔ {Ψ} . Ψ est une application de R3n dans le corps des
complexes.
•
F est un espace de l’ensemble des fonctions complexes.
•
F est un espace vectoriel hermitien
2
Ψ (r , t ) .dv est la probabilité de présence de la particule dans le volume dv. Il vient ainsi
2
∫ Ψ(r, t ) .dv = 1 (probabilité de présence de la particule dans tout l’espace)
tou l'espace
•
L’ensemble F est limité à l’ensemble Lc2 des fonctions complexes de carré sommable (Lc2 est
un espace de Hilbert).
Ψ (ri , t ) est définie partout, continue et indéfiniment dérivable.
1er postulat :
A l’instant t donné, l’état d’un système peut être représenté par une fonction d’onde Ψ ( ri , t )
appartenant à l’espace vectoriel F des fonctions complexes définies, continues, dérivables et de carré
sommable.
Notation de Dirac :
Ψ (r , t ) ∈ F → Ψ (t ) ∈ F
15
Produit hermitien de deux vecteurs :
Ψ (t ) ϕ (t ) = ∫ ϕ (r , t ).Ψ ∗ (r , t ) = ϕ (t ) Ψ (t )
∗
[V ]
ϕ a.Ψ1 + b.Ψ2 = a. ϕ Ψ1 + b. ϕ Ψ2
a.ϕ 1 + b.ϕ 2 Ψ = a ∗ . ϕ 1 Ψ + b ∗ . ϕ 2 Ψ
Ψ Ψ =1=
∫Ψ
∗
(r , t ).Ψ (r , t ).dv
[V ]
Ψ ϕ =0⇔ Ψ ⊥ϕ
b – Description des grandeurs physiques mesurables
Il y a nécessité de prendre en compte une suite de valeurs particulières pour certaines grandeurs
physiques. Il existe une correspondance entre opérateur (caractérisé par un ensemble de valeurs
propres) et grandeurs physiques.
2ème postulat :
Toute grandeur physique mesurable A peut être décrite par un opérateur  agissant dans l’espace
vectoriel F des états et dont l’ensemble orthonormé des fonctions propres Ψn forme une base de
l’ensemble des états.
Définition : Â agissant dans F
ˆ
A
Ψ∈F 
→
Ψ '∈ F
Ψ ' = Aˆ . Ψ
On note Ψn une fonction propre de  , et an une valeur propre de  .
Aˆ . Ψn = a n . Ψn
Ψ ∈ F = c1 Ψ1 + ... + c n . Ψn
2 – Postulat concernant la mesure des grandeurs physique
3ème postulat :
La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’un des valeurs propres de
l’opérateur  correspondant.
16
Ψ = c1 Ψ1 + ... + c n . Ψn
a1
an
On obtient ainsi a1 , …, a n sans connaître les probabilités de mesure.
Ψ = ∑ cn . ψ n
n
Ψ Ψn =
∑c
m
.Ψm Ψn = c n∗
m
De même, Ψn Ψ = c n
On en déduit que c 2 = Ψ2 Ψ , soit c 2
2
= Ψ2 Ψ
2
4ème postulat :
Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système dans un état représenté par Ψ , la
probabilité P Ψ (a n ) d’obtenir comme résultat la valeur propre an non dégénérée de  est déterminée
par P Ψ (an ) = Ψn Ψ
2
, où Ψn est la fonction propre associée à an.
On suppose Ψ Ψ = 1
Soit
∑c
m
.Ψm
m
∑ c .Ψ
n
n
n
= ∑ c n∗ .c n Ψn Ψn , d’où
n
∑c
2
n
=1
n
Dégénérescence d’une valeur propre an :
Aˆ . Ψn = a n . Ψn
an est non dégénérée si an est associé à un seul vecteur propre. Dans ca cas, si
Ψn est une fonction propre associée à an, alors λ. Ψn est aussi une fonction propre associée à an.
Si la valeur propre an est associée à Ψn, ϕn, …, alors
Aˆ Ψn = a n . Ψn
Aˆ ϕ n = a n . ϕ n
et ϕ n ≠ λ . Ψn
On note dans la suite gn la dégénérescence de an (gn est le nombre de fonction propre associée à an)
Suite de mesures de A sur des systèmes dans des états identiques :
a Ψ = Ψ Aˆ Ψ
17
On effectue N mesures de A. Chaque mesure an a une probabilité c n
∑N c
2
n
2
d’être mesurée.
.a n = N .a Ψ ,
n
d’où
a Ψ = ∑ c n .a n
2
n
Ψ Aˆ Ψ =
∑c
m
.Ψm Aˆ ∑ c n .Ψn =
m
∑c
n
m
∑a
.Ψm
m
n
.c n .Ψn = ∑ a n . c n
n
2
n
Cas particulier : Ψ = Ψn
 P Ψ (a n ) = 1 et P Ψ (a m ) = 0 si n ≠ m
Aˆ . Ψn = a n . Ψn , soit 
a Ψ = a n
5ème postulat :
Si la mesure d’une grandeur physique A sur le système dans un état Ψ quelconque donne pour
résultat la valeur propre an non dégénérée, l’état du système immédiatement après la mesure n’est plus
Ψ mais l’état représenté par la fonction propre Ψn de  associée à an.
mesure de A (P
( a ) <1)
mesure de A (P
( a ) =1)
Ψ
Ψ
Ψ    
n → Ψn    
n → Ψn
Généralisation des postulats :
•
Cas de valeurs propres dégénérées an
Ψ = c1 . Ψ1 + c 2 . Ψ2 + ... + c n1 . Ψn1 + c n2 . Ψn2 + ... + c nq . Ψnq + c n+1 . Ψn+1 + ... où gn = q
an
an
an
Ψn
q
P Ψ (a n ) = ∑ Ψni Ψ
i =1
18
2
mesure de A : a (P
( a ) <1)
n
n
Ψ
Ψ    


→
•
Ψn
Ψn Ψn
→
Ψn
Ψn
Spectre des valeurs propres an continues
Probabilité de trouver la valeur de mesure comprise entre an et an+dan
2
dP Ψ (a n ) = Ψn Ψ .da n
entre an et an+dan
Compléments et exercices sur les opérateurs linéaires agissants dans l’espace F des états :
Exemple d’opérateurs :
xˆ → xˆ Ψn = x. Ψn
∂ˆ
∂ˆ
∂
Ψn
→
Ψn =
∂x
∂x
∂x
Fonction propre de cet opérateur :
∂
f n ( x, t ) = a n . f n ( x, t ) , soit f n ( x, t ) = c(t ).e an x
∂x
l’opérateur est à spectre continu (an est valeur propre et gn=1)
ˆ . f ( x, t ) = f ( − x, t )
Opérateur parité Π : Π
Fonction propre de Π :
ˆ . f ( x, t ) = a . f ( x, t ) = f ( − x , t )
Π
n
n
n
n
ˆ Π
ˆ . f ( x, t ) = Π
ˆ .a . f ( x, t ) = f ( x, t )
Π
(
n
)
n
n
n
ˆ . f ( x, t ) = a . f ( x, t )
= a n .Π
n
n
2
n
a n2 = 1
ˆ . f ( x, t ) = f ( x, t ) = f (− x, t ) la fonction est paire
a n = +1 → Π
n
n
n
ˆ . f ( x, t ) = − f ( x, t ) = f (− x, t ) la fonction est impaire
a n = −1 → Π
n
n
n
soit 
 a n = +1 ( g n = ∞ )
le spectre de Π est discret.
 a n = −1 ( g n = ∞ )
Π a deux valeurs propres 
19
Recherche d’opérateurs à valeurs propres réelles :
Définition de l’opérateur adjoint : Aˆ → Aˆ +
∗
ϕ Aˆ Ψ = Ψ Aˆ ϕ
= Aˆ +ϕ Ψ
L’opérateur hermitique est définit par
) )
A = A+
Soit
ϕ Aˆ Ψ = Ψ Aˆ ϕ
∗
= Aˆ ϕ Ψ
Les opérateurs hermitiques sont à valeurs propres réelles
Hypothèse : Aˆ Ψn = a n . Ψn
Ψn Aˆ Ψn = a n Ψn Ψn = a n
= Ψn Aˆ Ψn
∗
= a n∗
Soit an = an∗ est réel
)
Deux fonctions propres d’un opérateur hermitique A associées à deux valeurs propres
différentes sont orthogonales.
Aˆ Ψn = a n . Ψn
Aˆ ϕ n = bn . ϕ n
Aˆ ϕ n Ψn = bn .ϕ n Ψn = bn∗ ϕ n Ψn = a n . ϕ n Ψn
Soit
(a n − bn∗ ) ϕ n Ψn = 0
ϕ n Ψn = 0 ( a n ≠ bn )
Commutateur d’opérateur :
Aˆ ϕ = Ψ '
Bˆ Ψ ' = Ψ ' ' = Bˆ Aˆ Ψ = Cˆ Ψ où Cˆ = Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ = [ Aˆ , Bˆ ]
20
ˆ = [ Aˆ , Bˆ ] . Â et B̂ commutent si [ Aˆ , Bˆ ] = 0
On pose Cˆ ' = Aˆ Bˆ et D
Hypothèse : Aˆ Ψn = a n Ψn où an est une valeur propre non dégénérée
Le sous espace propre associé à an est de dimension 1.
Aˆ Ψn' = a n Ψn' implique que
Ψn' = λ Ψn .
Bˆ Aˆ Ψn = Bˆ .a n . Ψn = a n .Bˆ . Ψn = Aˆ Bˆ Ψn
Bˆ Ψn = bn Ψn
Dans le cas où la valeur propre précédente est dégénérée (par exemple gn = 2), lLe sous espace
propre associé à an est de dimension 2. On associe à an les fonctions propres ϕ n et Ψn .
Si Aˆ Ψn' = a n Ψn' alors nécessairement Ψn' = a. Ψn + b. ϕ n
Bˆ Aˆ . Ψn = Bˆ .a n . Ψn = a n .Bˆ . Ψn = Aˆ Bˆ . Ψn
donc Bˆ Ψn = a1 . Ψ + b1 . ϕ
De même Bˆ ϕ n = a 2 . Ψ + b2 . ϕ
Bˆ (c1 Ψn + c 2 ϕ n
) = b (c
n
1
Ψn + c 2 ϕ n
)
?
Les constantes recherchées sont c1 et c2. Les paramètres connus sont a1, a2, b1, b2.
c1 (a1 . Ψn + b1 . ϕ n ) + c 2 (a 2 . Ψn + b2 . ϕ n
) = b .c . Ψ
n
1
n
+ bn .c 2 . ϕ n
c1
.a1 + a 2
c1 .a1 + c 2 .a 2 = bn .c1 
c1 .a1 + c 2 .a 2 c1 c 2
=
=
 soit
c1
c1 .b1 + c 2 .b2 = bn .c 2 
c1b1 + c 2 .b2
c2
b1 + b2
c2
Soit
2
 c1

 c2

c
 .b1 + 1 .(b2 − a1 ) − a 2 = 0
c2

 c1

 c2

 → bn(1)
1
On obtient deux solutions
 c1 
  → bn( 2 )
 c2  2
21
 c
Bˆ  1
 c 2

 c

 Ψn + ϕ n  = bn(1) . 1

1
 c 2


 Ψn + ϕ n 

1
Si an est une valeur propre de  associée à deux fonctions propres Ψn
et ϕ n
existe deux combinaisons linéaires de Ψn
[Aˆ , Bˆ ] = 0 .
et ϕ n
(gn = 2), il
qui sont fonctions propres de B̂ lorsque
Si an est une valeur propre de  de dégénérescence de gn = q, il existe q combinaisons
linéaires indépendantes dans le sous espace propre de dimension q associée à an qui sont fonctions
)
propres de B lorsque Aˆ , Bˆ = 0 .
[ ]
Deux opérateurs qui commutent ont un ensemble de fonctions propres en commun.
Remarque :
•
Représentation matricielle de l’opérateur base Ψn dans F
Aˆ → ϕ n Aˆ Ψn = Am,n
La matrice des coefficients Am,n est la représentation de  dans la base des Ψn
Am+ ,n = ϕ n Aˆ + Ψn = ϕ n Aˆ Ψn
∗
= An∗,m
)
)
L’élément de matrice de l’opérateur A + s’obtient de A par :
•
•
symétrie par rapport à la diagonale principale
conjugaison des éléments de matrices
()
Pour les opérateurs hermitiques, Aˆ
•
m ,n
= ( An,m )
∗
ϕ ' ϕ ' = Aˆ ϕ Aˆ ϕ = ϕ Aˆ + Aˆ ϕ d’où ϕ ' = ϕ Â +
3 – Postulat d’évolution d’un système au cours du temps
Recherche d’une équation d’évolution cohérente avec les observations expérimentales
6ème postulat :
L’évolution au cours du temps de l’état d’un système quantique représenté par sa fonction d’onde
Ψ(t) est régie par l’équation de Shrödinger suivante :
i.h.
∂
Ψ (t ) = Hˆ Ψ (t )
∂t
)
où H est l’opérateur hamiltonien associé à la grandeur de l’énergie totale dans les systèmes
conservatifs.
22
Remarque :
•
La recherche des hamiltoniens dans le cas de systèmes non conservatifs (traite du
rayonnement) sort du cadre du cours. Dans les systèmes conservatifs, H = T + V où T est
l’énergie cinétique et V l’énergie potentielle.
•
Pour les systèmes non conservatifs, il existe pour H différentes formes possibles
•
∂
d
Ψ r, t ≡ Ψ r, t
∂t
dt
( )
( )
Il existe une distinction essentielle entre mécanique quantique et mécanique classique. r n’est
( )
2
plus fonction de t en mécanique classique. Ψ r , t .dr représente la probabilité de présence
à t en r .
4 – Postulats de correspondance entre grandeur physique et opérateur
Nécessité de construire, en pratique, les opérateurs de sorte que l’on puisse retrouver à la limite
macroscopique les lois classiques sur les opérateurs
A(qi , pi , t ) ↔ Aˆ (qˆ i , pˆ i , t )
7ème postulat :
L’opérateur  correspondant à la grandeur physique A s’obtient en remplaçant dans l’expression
classique A(q i , pi , t ) convenablement symétrisée, les grandeurs positions qi et moments conjugués
des positions pi, par des opérateurs q̂ i et p̂ i convenablement choisis.
Les positions et moments conjugués dans ce cours sont des coordonnées cartésiennes et de
quantités de mouvement.
•
q i = xi , y i , z i
•
•
pi = m x i , m y i , m z i
qi et pi doivent être convenablement choisis. Il existe donc des incertitudes. Il existe une corrélation
entre mesure de position et mesure de quantité de mouvement. Les observations expérimentales
d’Heisenberg montrent que [qˆ i , pˆ i ] ≠ 0 (pas de fonction propre en commun)
[qˆ , fˆ ] = i.h
i
i
[qˆ , pˆ ] = 0 si j ≠ i
i
j
•
qi et pi sont des opérateurs hermitiques
•
A(q i , pi , t ) est convenablement symétrisée
[qˆ , qˆ ] = 0 si j ≠ i
i
j
qˆ i . pˆ i devrait être hermitique pour que  soit hermitique
23
qˆ i et pˆ i sont hermitiques, donc qˆ i . pˆ i n’est pas hermitien si [qˆ i , pˆ i ] ≠ 0
qˆ i . pˆ i =
•
1
[qˆ i . pˆ i + pˆ i .qˆ i ] qui est hermitique
2
Dans la pratique, on utilise la relation de Shrödinger avec la correspondance suivante :
qˆ i = qi
pˆ i = −i.h.
∂
∂q i
où qi est une coordonnée cartésienne
xˆ i = xi
pˆ xi = −i.h.
yˆ i = y i
∂
∂xi
pˆ yi = −i.h.
∂
∂y i
zˆi = z i
pˆ zi = −i.h.
∂
∂z i
Remarque :
•
En coordonnées non cartésiennes, la correspondance est plus compliquée
•
Dès que la correspondance est établie, on choisit le système de coordonnées le mieux adapté par
rapport aux symétries du problème
•
C’est une construction très originale dont les éléments essentiels ont été conçus dans les années
1930 par Shrödinger, Dirac, Bohr, Born, Heisenberg
24
C – LE PUITS QUANTIQUE
1 – Particules de masse m dans V(r) – notion d’état stationnaire
( )
on note Ψ r, t l’état de la particule
i.h.
∂
Ψ (t ) = Hˆ . Ψ (t )
∂t
Construction de H :
•
En physique classique :
Pour un système conservatif,
H = T +V =
•
()
p2
+V r
2.m
En physique quantique :
xˆ = x
yˆ = y
zˆ = z
2
∂  
∂  
∂

pˆ = pˆ + pˆ + pˆ =  − i.h.  +  − i.h.  +  − i.h.  = −h 2 .∆
∂x  
∂y  
∂z 

2
2
2
x
2
y
2
2
z
h2
Hˆ = −
.∆ + V ( x, y, z )
2.m
On utilise le système de coordonnées adapté à la symétrie du problème
i.h.
( )
 h2

∂
Ψ (t ) = −
.∆ + V ( x, y, z ). Ψ (t )
∂t
 2.m

( )
Si on connaît Ψ r , t 0 , à priori l’équation détermine Ψ r, t .
Cas particuliers :
•
Etat propre de H :
∂
Hˆ .Ψn (r , t ) = E n .Ψn (r , t ) = i.h. Ψn (r , t )
∂t
25
E 

Ψn (r , t ) = ϕ n (r ). exp − i. n .t 
h 

2
Ψn (r , t ) = Cte(t ) ce qui correspond à un état stationnaire
Il vient Hˆ .ϕ n ( r ) = E n .ϕ n ( r ) en remplaçant dans l’équation de Schrödinger
Remarque :
•
Etats ‘stationnaires’ :
2
2
Ψn (r , t ) = ϕ n (r ) n’évolue pas au cours du temps
La mesure de l’énergie En est donc indépendante du temps.
•
Ψn (r , t ) = ϕ n (r ).e
−i
En
.t
h
= f n (r ) g n (t )
De manière générale Ψ (r , t ) = f (r ).g (t )
Ψ (r , t ) est un état stationnaire dont les états propres caractérisent l’énergie.
•
Généralisation des états stationnaires
Tout état propre de Ĥ est un état stationnaire
Ψn (r , t ) = ϕ n (r ).e
−i
En
.t
h
: dépendances spatiale et temporelle sont séparées
2 – Particules dans des potentiels à une dimension
a – idéalisation du potentiel par introduction de discontinuités
Nécessité d’idéaliser le potentiel pour avoir des solutions analytiques interprétables facilement d’un
point de vue physique.
V(x)
V0
x
x0-ξ
26
x0
x0+ξ
Hˆ .ϕ nξ ( x) = E n .ϕ nξ ( x)
h 2 d 2ϕ nξ ( x)
−
.
+ V ( x).ϕ nξ ( x) = E n .ϕ nξ ( x)
2
2.m
dx
ϕ nξ ( x) est définie partout, continue et indéfiniment dérivable. L’idéalisation mathématique peut
conduire à des discontinuités des dérivées de la fonction d’onde. On peut donc être amené à sortir des
postulats.
Dans le cas idéalisé, la discontinuité de V(x) entraîne une discontinuité de
d 2ϕ nξ →0
.
dx 2
d 2ϕ nξ
n
= (V ξ ( x) − E n ). 2 .ϕ nξ ( x)
2
dx
h
x 0 +ξ
∫
x0 −ξ
x +ξ
d 2ϕ nξ ( x)
2.m 0 ξ
.
dx
=
. [V ( x) − E n ( x)].ϕ nξ ( x).dx
dx 2
h 2 x0∫−ξ
 dϕ ξ
=  n
 dx

 dϕ ξ 

−  n 
 x0 +ξ  dx  x0 −ξ
(terme 1)
(terme 2)
Si ξ → 0, le terme 2 donne la discontinuité si elle existe, et le terme 1 tend vers 0 (le terme à
l’intérieur de l’intégrale est fini). Si le terme 2 tend vers 0, il n’y a donc pas de discontinuité, ce qui est
le cas lorsque V(x) reste fini, soit quand V0 est fini.
Si V0 est fini, la dérivée première de la fonction d’onde est continue. La fonction d’onde, primitive
d’une fonction continue, est aussi continue.
Discontinuité finie de potentiel (V0 fini):
•
discontinuité de
•
continuité de
•
continuité de ϕ nξ
d 2ϕ nξ
dx 2
dϕ nξ
dx
Discontinuité infinie de potentiel (V0 infini):
•
d 2ϕ nξ
discontinuité de
dx 2
•
discontinuité de
•
continuité de ϕ nξ
dϕ nξ
dx
27
L’idéalisation du potentiel ne nécessite pas
toujours l’introduction de discontinuités. Par exemple,
pour les oscillateurs harmoniques (voir D) :
V(x)
x
b – Etude d’une particule dans un puits de potentiel infini
La particule est enfermée sur un axe entre x = -a et x = a.
V(x)
I
II
III
V(x) = 0 pour x < a
V(x) = ∞ pour x > a.
x
-a
a
L’état considéré est représenté par Ψ(x,t)
Recherche des états stationnaires :
E 

Ψn ( x, t ) = ϕ n ( x). exp − i. n .t 
h 

Hˆ .ϕ = E .ϕ ( x)
n
n
n
 h 2 d 2ϕ nI , III ( x)
.
+ (V0 − E n ).ϕ nI , III ( x) = 0 ⇒ ϕ nI , III ( x) = 0 car V0 = ∞
−
2
 2.m
dx

2 II
2
− h . d ϕ n ( x) − E .ϕ II ( x) = 0
n
n
 2.m
dx 2
d 2ϕ nII ( x) 2.m.E n II
−
.ϕ n ( x) = 0
dx 2
h2
où En > 0 car En = <T> + <V(x)>
mini = 0
Seule possibilité pour avoir une signification physique
On pose
28
k n2 =
2.m.E n
.
h2
On obtient alors l’équation
d 2ϕ nII ( x)
− k n2 .ϕ nII ( x) = 0 .
2
dx
ϕ nII ( x) = A. cos(k n .x ) + B. sin (k n .x) ) avec ϕ n (±a) = 0
[
]
ˆ = 0 . Les solutions acceptables pour
Le potentiel est symétrique par rapport à x = 0. Donc Hˆ , Π
ϕ n (x) sont donc les solutions paires ou impaires. Il existe deux types de solutions :
ϕ n ( x) = A. cos(k n .x)

ϕ n ( x) = B. sin(k n .x)
solution paire
solution impaire
Continuité de ϕn(x) en x = ±a :
Or E n =
A. cos(k n .a ) = 0
kn =
2n + 1
π avec n ∈ N
2a
B. sin(k n .a ) = 0
kn =
n
π
a
avec n ∈ N
si n est impaire ϕ n = A. cos(k n x)
k n2 .h 2
π
avec k n = n.
où selon la parité de n 
2.m
2.a
si n est paire ϕ n = B. sin(k n x)
On obtient finalement
h 2 .π 2 2
En =
.n avec n = 1, 2, …
8.m.a 2
Constante de normalisation :
Les constantes A et B sont déterminées par normalisation de ϕn(x) :
a
∫ϕ
( x) .dx = 1 ,
2
n
−a
Soit
A=
1
B =
a et
1
a
Les constantes de normalisation sont déterminées uniquement par leur module et sont donc
connues à e i .θ près (où θ est une constante).
29
c – Etat lié d’une particule dans un puits fini : le puits quantique
a – traitement classique
•
Problème : une particule de masse m sur Ox. Conditions initiales : x = x0 et x 0 (= x’0)
V(x)
I
II
V0
III
•
V(x) = 0 pour x < a
V(x) = V0 pour x > a.
x
x
-a
a
E = Cte =
•
1
.m. x0 .
2
•
Si E < V0, la particule effectue des aller retour dans le puits
•
Si E > V0, la particule part à l’infini  E =


•
1

.m. x1 + V p 
2

b – traitement quantique
Hˆ .ϕ n = E n .ϕ n ( x)
 h 2 d 2ϕ nI , III ( x)
.
+ (E n − V0 ).ϕ nI , III ( x) = 0

2
 2.m
dx
 2
2 II
 h . d ϕ n ( x) + E .ϕ II ( x) = 0
n
n
 2.m
dx 2
Seules les énergies En positives ont une signification physique. On définit kn comme pour le puits
infini (b).
d 2ϕ nII ( x)
+ k n2 .ϕ nII ( x) = 0
2
dx
30
Il y a deux cas :
•
En < V0
On pose
K n2 =
2.m
.(V0 − E n ) .
h2
On obtient l’équation
d 2ϕ nI , III ( x)
− K n2 .ϕ nI , III ( x) = 0
dx 2
La particule est dans un état lié où ϕ nI , III est en exponentielle décroissante réelle.
ϕ nI = C.e K
n .x
ϕ nIII = E.e − K
n .x
ϕ nII = A. cos(k n .x) + B. sin(k n .x)
•
En > V0
On pose
K ' n2 =
2.m
.(E n − V0 ) .
h2
On obtient l’équation
d 2ϕ nI , III ( x)
− K ' 2n .ϕ nI , III ( x) = 0
2
dx
On obtient une solution oscillante pour ϕ nI , III , d’où une probabilité de présence non nulle
des particules à l’infini : la particule est dans un état libre.
Généralisation des états libres / liés
E n < V (∞) ⇒ état lié
E n > V (∞) ⇒ état libre
Pour En < V0 :
[Hˆ , Πˆ ] = 0
car V(x) est une fonction paire de x
On obtient deux types de solutions :
•
K .x
Solution paire : ϕ nI = C.e n
•
Solution impaire : ϕ nI = C.e K n . x
ϕ nIII = C.e − K
ϕ nII = A. cos(k n .x))
n .x
ϕ nIII = −C.e − K
n .x
ϕ nII = B. sin(k n .x))
31
Condition de continuité :
dϕ nII
dϕ nIII
ϕ (a) = ϕ (a) et
(a) =
(a)
dx
dx
II
n
III
n
Pour la solution paire :
A. cos(k n .a ) = C.e − K n .a


− A.k n . sin(k n .a ) = −C.K n .e − K n .a 
tan(k n .a) =
Kn
kn
D’où
C = A. cos(k n .a ). exp( K n .a )
Pour la solution paire :
B. sin(k n .a ) = C.e − K n .a


B.k n . cos(k n .a ) = −C.K n .e − K n .a 
cotan (k n .a) = −
Kn
kn
D’où
C = − B. sin(k n .a ). exp( K n .a )
On pose α 2 = k n2 + K n2 =
2.m
.V0
h2
Solution paire :
1 + tan 2 (k n .a ) = 1 +
K n2 α 2
1
= 2 =
,
2
2
kn
k n cos (k n a )
Soit
cos(k n a ) =
kn
α
avec tan(k n a ) > 0
Solution impaire :
1 + cotan (k n .a ) =
2
α2
k
2
n
=
1
,
sin (k n a )
2
Soit
sin(k n a ) =
32
kn
α
avec cotan (k n a ) < 0
Solutions paires
Solutions impaires
kn
α
π
2π
2.a
2.a
4π
2.a
3.π
2.a
6π
2.a
5π
2.a
α
Remarque :
•
Il y a un nombre N fini de solution, il y a donc un nombre fini de valeurs possibles pour l’énergie.

α 

N = 1 + E

π
 2.a 
•
E n( i ) = [k n(i ) ] 2 .
h2
par définition de k
2.m
Chaque valeur de l’énergie E n(i ) est non dégénérée
Pour les solutions paires :
ϕ nI = C.e K
n .x
ϕ nIII = C.e − K
n .x
ϕ nII = A. cos(k n .x))
C = A. cos(k n .a ). exp( K n .a )
A est obtenu par normalisation
33
Pour les solutions impaires :
ϕ nI = C.e K
n .x
ϕ nIII = −C.e − K
n .x
ϕ nII = B. sin(k n .x))
C = − B. sin(k n .a ). exp( K n .a )
B est obtenu par normalisation
 E (i ) 
Ψn ( x, t ) = ϕ n ( x). exp − i n .t 
h 

•
Si V0 → ∞, k n = n
π
2.a
(α → ∞, la droite de solution est de pente nulle)
Dans ce cas,
En = n 2 .
π2
4.a
.
2
h2
π 2 .h 2
= n2.
2.m
8.m.a 2
Exemple de puits quantique :
Un électron dans une hétérostructure de semi-conducteur GaAs / GaAlAs
La modélisation typique pour ce problème est un puits quantique de largeur 2.a = 10 nm avec
V0 = 360 meV. La masse effective de l’électron dans le réseau solide est m* = 0,067.me.
On obtient un nombre d’états énergétiques possibles N = 3
34
D – OSCILLATEURS HARMONIQUES
V(x)
Problème avec force du type F = -k.x
Soit,
1
V = .k .x 2
2
x
1 – Rappels de mécanique classique
p2 1
H = T +V =
+ .k .x 2
2.m 2
Avec
x = A. cos(ω .t + ϕ ) où ω =
k
m
On obtient une énergie
1
E = .m. A 2 .ω 2
2
2 – Importance de l’oscillateur harmonique
Les oscillateurs harmoniques sont des systèmes effectuants de petites oscillations autour de leur
position d’équilibre. De nombreux systèmes sont ainsi modélisés dans le domaine microscopique
Exemple :
•
Oscillations des noyaux d’une molécule diatomique
•
Traitement atomique du rayonnement, chaque mode du rayonnement étant représenté par un
oscillateur harmonique.
35
3 – Etats stationnaires de l’oscillateur harmonique en physique quantique
h 2 d 2ϕ n 1
.
Hˆ ϕ n = E nϕ n =
+ .k .x 2 .ϕ n
2
2.m dx
2
On pose
ω2 =
K
,
m
k n2 =
2.m.E n
m.K  m.ω 
et λ2 = 2 = 

2
h
h
 k 
2
On obtient l’équation
d 2ϕ n
+ k n2 − λ2 .x 2 ϕ n = 0
2
dx
(
)
a – Résolution analytique directe de l’équation
Recherche de solutions particulières :
 λ.x 2 
2.m.E1 m.ω
 est solution de l’équation si k n2 = λ , soit
=
. L’énergie
2 
h
h2

ϕ 1 ( x) = A. exp −
associée à cette solution est :
E1 =
 λ .x 2
ϕ 2 ( x) = A'.x. exp −
2

1
.h.ω
2

2.m.E 2
m.ω
 est solution de l’équation si k n2 = 3.λ , soit
= 3.
.
2
h
h

L’énergie associée à cette solution est :
3
E 2 = .h.ω
2
Recherche d’une solution générale sous la forme : ϕ n ( x) = A.e
−
λ .x 2
2
.∑ a j .x j
j
−
dϕ n ( x )
= A.e
dx
λ.x2
2
−
d 2ϕ n ( x )
A
.
e
=
dx 2
= A.e
36
−
−


.− λ .x.∑ a j .x j + ∑ j.a j .x j −1  = A.e
j
j


λ .x2
2
λ.x2
2
λ.x2
2


.− λ .∑ a j .x j +1 + ∑ j.a j .x j −1 
j
j






.− λ .x − λ.∑ a j .x j +1 + ∑ j.a j .x j −1  − λ ∑ ( j + 1).a j .x j + ∑ j.( j − 1).a j .x j − 2 
j
j
j
j






.λ2 .∑ a j .x j + 2 − λ.∑ (2. j + 1).a j .x j + ∑ j.( j − 1).a j .x j − 2 
j
j
j


Or






x2 
x2 
− λ2 x 2ϕ n = − λ2 .∑ a j .x j + 2 . A. exp − λ  et k n2 .ϕ n = k n2 .∑ a j .x j . A. exp − λ 
2 
2 
j
j






D’où
∑ [− λ (2. j + 1) + k ].a .x + ∑ j.( j − 1).a .x
2
n
j
j
j−2
j
j
=0
j
∑ ([k
]
)
− λ (2. j + 1) .a j + ( j + 1).( j + 2).a j + 2 .x j = 0
2
n
j
On en déduit la forme de la suite des aj solution de l’équation :
λ.(2. j + 1) − k n2
a j+2 = a j .
[
( j + 1).( j + 2)
]
ˆ = 0 . Les solutions de l’équation sont des solutions paires ou
Le potentiel V(x) étant pair, Hˆ , Π
impaires.
ϕ n ( x) = A.e
Donc
ϕ n ( x) = A.e
−
−
λ .x 2
2
λ.x2
2
[
]
. a 0 + a 2 .x 2 + ... + a 2. p .x 2. p + ... sont les solutions paires
[
]
. a1 .x + a 3 .x 3 + ... + a 2. p +1 .x 2. p +1 + ... sont les solutions impaires
Pour les solutions paires, on pose j = 2.l
a 2.l + 2 = a 2.l .
Si l → ∞ , on obtient a 2.l + 2 ≈ a 2.l .
Or
λl
∑ l! .x
2.l
= e λ.x
λ
l
λ.(4.l + 1) − k n2
(2.l + 1).(2.l + 2)
, ou encore a 2.l =
λl
l!
.a 0
2
l
On trouve
ϕ n ( x) ≈ A.e
−
λ .x 2
2
.e
λ.x2
= A.e
λ .x 2
2
→∞
x
→ ∞ .
37
Ceci est un comportement inacceptable pour une fonction d’onde. On trouve de plus que pour
→∞
→ ∞ . Il faut impérativement trouver une solution pour
les solutions impaires, là encore ϕ n ( x) x
palier à ce problème
L’idée consiste à tronquer la série des aj :
On cherche donc à obtenir a j + 2 = 0 pour j = n (n entier)
Soit λ.(2.n + 1) − k n2 = 0
Avec k n2 =
2.m.E n
m.ω
et λ =
2
h
h
On obtient ainsi la relation suivante :
1

E n = h.ω . n +  avec n = 0, 1, 2, …
2

Le graphe suivant représente les niveaux d’énergies possibles (il faut qu’il existe au moins un état
qui correspond à une énergie donnée par la formule précédente pour tronquer la série)
V(x)
hω
hω
2
x
On obtient alors les solutions de l’équation :
ϕ n ( x) = A.e
−
ϕ n ( x) = A'.e
−
λ.x2
2
λ.x
2
2
[
. 1 − n.λ .x 2 + ... + a n .x n
]
n −1


. x −
.λ .x 3 + ... + a n .x n 
3


Ψn ( x, t ) = ϕ n ( x).e
− i
En
.t
h
= ϕ n ( x).e
pour les solutions paires
pour les solutions impaires
 1
− i .ω . n + .t
 2
On remarque que les énergies En sont des valeurs d’énergie non dégénérées.
Remarque :
•
Spectre discret de niveau d’énergie (contrairement au comportement classique)
•
Energie non nulle pour l’oscillateur au repos, ce qui est original par rapport au
comportement classique
38
Exemples de fonction d’onde :
h.ω
E0 =
2
Ψ0 = A0 .e
−
λ .x 2
2
λ .x 2
3.h.ω
E1 =
2
Ψ1 = A1 .x.e
5.h.ω
E2 =
2
Ψ2 = A0 . 1 − 2.λ .x .e
−
2
[
2
]
−
λ .x 2
2
Densité de probabilité de présence |ϕn(x)|2 :
V(x)
x
Remarque :
•
Pour n grand, on retrouve ce qu’on observe macroscopiquement (une probabilité maximale aux
extrémité signifiant une vitesse nulle, ce qui rappelle ce qu’on observe pour un pendule)
•
Le comportement est très différent du cas classique pour n faible
•
La probabilité de présence de la particule est non nulle pour la zone non accessible classiquement
39
•
Lorsqu’on normalise ϕn(x), on obtient
∞
∫ϕ
( x) .dx = 1
2
n
−∞
Soit A0
2
=
λ
4.λ
2
et A1 =
π
π
3
An est connu à ei.θ près
•
Il y a accord entre expérience et modèle pour la vibration d’une molécule diatomique
•
Il y a accord entre expérience et modèle pour la description du rayonnement
• h.ω est le quantum d’énergie, c’est le photon
n est le nombre de photon dans le mode propre du système
• Lorsqu’il n’y a aucun photon dans le mode propre du système, la valeur de l’énergie est
•
h.ω
. C’est l’énergie du vide de photon.
2
L’émission spontanée d’atomes est en fait l’émission induite par l’énergie du vide (les
fluctuations du vide)
b – Recherche de la quantification de l’énergie en utilisant les opérateurs création et annihilation
On recherche une forme simple du hamiltonien Ĥ .
pˆ 2 1
Hˆ =
+ .m.ω 2 .xˆ 2
2.m 2
On pose
x=
m.ω
.xˆ et p =
h
1
m.ω .h
. pˆ
Alors,
h.ω 2
Hˆ =
. x + p 2 = h.ω .H
2
[
]
Soit
[
1
H = . x 2 + p2
2
]
Remarque : [x , p ] = i
Définition des opérateurs création et annihilation :
Annihilation :
aˆ =
40
1
2
.[x + i. p ]
Création :
aˆ + =
1
2
.[x − i. p ]
Les opérateurs création et annihilation sont des opérateurs non hermitiques, mais adjoints l’un de
l’autre.
(
h
. aˆ + aˆ +
2.m.ω
xˆ =
)
m.ω .h
. aˆ − aˆ +
2
(
1
i
et pˆ = .
)
Expression de H en fonction des opérateurs création et annihilation :
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
aˆ + .aˆ = .( x + i. p )(
. x − i. p ) = . x 2 + p 2 + i. p.x − i.x. p = . x 2 + p 2 + i.[x , p ] = . x 2 + y 2 − 1
2
2
2
2
Soit
H = aˆ + aˆ +
1
2
[
]
Commutateur des opérateurs création et annihilation aˆ , aˆ + :
[aˆ, aˆ ] = 12 .[x + i. p, x − i. p ] = 12 .i.([ p, x ] − i[x , p ])
+
or
[x , p ] = i
Donc
[aˆ, aˆ ] = aˆ.aˆ
+
+
− aˆ + .aˆ = 1
Hypothèse : Nˆ Ψn = a n . Ψn où Nˆ = aˆ + .aˆ
Nˆ .aˆ. Ψn = aˆ + .aˆ.aˆ. Ψn
(
)
= aˆ.aˆ + − 1 .aˆ. Ψn
= aˆ.(aˆ + .aˆ ). Ψn − aˆ. Ψn
Nˆ .aˆ. Ψn = (a n − 1).aˆ. Ψn
aˆ. Ψn est donc fonction propre de N̂ associée à la valeur propre a n − 1
Montrons que an est un entier :
Ψn Nˆ Ψn = Ψn .aˆ + aˆ.Ψn
41
On pose aˆ.Ψn = Ψn' , Ψn' Ψn' = a n . Ψn Ψn = a n ≥ 0
Quand on applique â à Ψn , on associe la valeur propre a n − 1
Quand on applique â à aˆ. Ψn , on associe la valeur propre a n − 2
…
On veut éviter que ces valeurs propres ne deviennent négatives (en effet , en menant le
même calcul que pour Ψn avec aˆ. Ψn , …, on obtient que a n − 1 , a n − 2 , … sont forcément
positifs ou nuls). Or nécessairement, si an n’est pas un entier, ces valeurs propres vont devenir
négatives. Si an est entier, il existe un moment à partir duquel les valeurs propres successives, quand
on applique â à aˆ k . Ψn , sont toutes nulles. Donc nécessairement, an est un entier n.
On retrouve le résultat sur l’énergie
1

H . Ψn =  n + . Ψn ,
2

soit
1

Hˆ . Ψn = h.ω . n + . Ψn
2

On pose aˆ. Ψn = c n . Ψn −1 (l’opérateur â fait passer de n à n-1)
Ψn Nˆ Ψn = Ψn aˆ + .aˆ Ψn = n
= c n .Ψn c n .Ψn = c n
2
Soit
cn = n
On pose aˆ + . Ψn = c n' . Ψn +1
(l’opérateur â + fait passer de n à n+1 (si on refait le calcul de
Nˆ .aˆ + . Ψn )
Ψn Nˆ Ψn = Ψn aˆ + .aˆ Ψn = Ψn aˆ.aˆ + − 1 Ψn
= n = −1 + c n' .Ψn c n' .Ψn
Soit
c n' = n + 1
42
On obtient :
aˆ. Ψn = n . Ψn −1
aˆ + . Ψn = n + 1. Ψn +1
43
44
E – QUELQUES CONSEQUENCES GENERALES DES
POSTULATS
1 – Fonction d’onde et probabilité de présence
On recherche les valeurs propres et les fonctions
propres de x̂ .
fε(x)
xˆ. Ψx0 ( x, t ) = x0 . Ψx0 ( x, t )
( xˆ − x0 ). Ψx0 ( x, t ) = 0
ε
1/ε
Ψx0 ( x, t ) = δ ( x − x0 ) = lim f ε ( x)
ε →0
x0
x
Ψx0 ( x, t ) = δ ( x − x 0 ) n’est pas normalisable. En effet,
∗
2
∫ Ψx0 ( x, t ).Ψx0 ( x, t ).dx = ∫ δ ( x − x0 ).dx = lim
ε →0
∞
∫ [ f ε ( x)] .dx → ∞
2
ε →0
−∞
Le système ne pouvant pas être dans un état propre de l’opérateur position, il n’y a pas de
possibilité de localiser complètement la particule. On a en fait un spectre continu de valeurs propres.
On obtient ainsi une probabilité de trouver la particule entre x0 et x0 + dx0. En menant le calcul :
2
dPx0 , x0 + dx0 = Ψ ( x0 , t ) Ψ ( x, t ) .dx0
∞
Ψ ( x0 , t ) Ψ ( x, t ) = ∫ δ ( x − x0 ).Ψ ( x, t ).dx = Ψ ( x0 , t )
−∞
dPx0 , x0 + dx0 = Ψ ( x0 , t ) .dx0
2
dPx0 , x0 + dx0
dx0
= Ψ ( x0 , t )
2
Ψ(x,t) est une fonction dont le module au carré représente la densité de probabilité de présence
d’une particule au point x.
45
Valeur moyenne de la position d’une particule dans Ψ ( x, t ) :
∞
xΨ =
∫Ψ
∗
∞
( x, t ).x.Ψ ( x, t ).dx =
−∞
∫ x. Ψ ( x, t )
2
−∞
.dx =
∞
dP
∫ x. dx .dx
−∞
Probabilité de présence dans [a,b] :
b
P = ∫ Ψ ( x, t ) .dx
2
a
Généralisation à trois dimensions :
r
r r r
r
r r
r r
r
r r
Si r0 est fonction propre de r̂ avec rˆ. r0 = r0 . r0 , on a (r − r0 ). r0 = 0 , soit r0 = δ (r − r0 ) .
r
r
r r
r
r
Ψ (r0 , t ) = r0 Ψ (t ) = ∫ δ (r − r0 ).Ψ (r , t ).dr
r
La fonction d’onde Ψ (r0 , t ) est en fait la projection du vecteur d’état Ψ (t ) sur la base des états
r
propres de r .
2 – Conséquence de l’équation d’évolution de |Ψ(t)>
a – Evolution dans le temps d’un état quelconque |Ψ
Ψ(x,t)>
On connaît la dépendance temporelle des états propres du Hamiltonien Ĥ (cas des états
stationnaires).
∂
Hˆ . Ψn ( x, t ) = E n . Ψn ( x, t ) = i.h. Ψn ( x, t )
∂t
On obtient alors le résultat obtenue précédemment :
Ψn ( x, t ) = ϕ n ( x).e
−i .
En
.t
h
Hˆ . ϕ n ( x) = E n . ϕ n ( x)
Ψn ( x, t ) est quelconque. On connaît l’état du système à t = 0.
Ψ ( x,0) = ∑ c n (0). Ψn ( x)
n
46
Ψ ( x, t ) = ∑ c n (t ).ϕ n ( x).e
−i .
En
.t
h
n
On cherche à calculer cn(t) :
∂
Hˆ . Ψ ( x, t ) = i.h. Ψ ( x, t )
∂t
Hˆ .∑ c n .ϕ n ( x).e
−i .
En
.t
h
n
E
E
•

− i . n .t 
− i . n .t 
∂ 
= i.h. ∑ c n (t ). ϕ n ( x).e h  + ∑ c n (t ).ϕ n ( x).e h 
 n

∂t 
 n


Or
Hˆ .ϕ n ( x).e
−i .
En
.t
h
− i . n .t 
∂ 
= i.h. ϕ n ( x).e h 
∂t 

E
On obtient donc l’équation :
•
∑ c n (t ).ϕ n ( x).e
−i .
En
.t
h
=0
n
•
Soit c n (t ) = 0 , ou encore c n (t ) = cte = c n (0)
Ψ ( x, t ) = ∑ c n (0).ϕ n ( x).e
−i .
En
.t
h
n
b – Evolution dans le temps de la norme de |Ψ
Ψ(x,t)>
A t = 0,
Ψ ( x ,0 ) = Ψ ( x ,0 ) Ψ ( x ,0 ) = 1
2
On cherche à déterminer comment évolue cette norme au cours du temps.
d
d
d
Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) =
.Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) + Ψ ( x, t ) .Ψ ( x, t )
dt
dt
dt
1 ˆ
1 ˆ
.H .Ψ Ψ + Ψ
H .Ψ
i.h
i.h
1
= . Ψ Hˆ .Ψ − Hˆ .Ψ Ψ
i.h
=
(
)
Ĥ étant hermitique, cette quantité est nulle.
47
Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) = Cte = Ψ ( x,0) Ψ ( x,0)
Ψ ( x, t ) Ψ ( x, t ) = 1
c – Evolution dans le temps de la densité de probabilité
En électricité :
r ∂ρ
div j +
=0
∂t
On considère un volume (V) de surface (Σ)
∫
r
div j .dv =
(V )
∂ρ
d
dQ
.dv = −
ρ .dv = −
∫
dt (V )
dt
∂t
(V )
∫
Soit
r
dQ
∫(Σ) j .dS = − dt
En mécanique quantique :
ρ = Ψ.Ψ* est la densité de probabilité de présence
∂ρ dΨ ∗
dΨ ∗
=
.Ψ + Ψ.
∂t
dt
dt
Nous allons par la suite nous placer dans le cas d’une particule de masse m placée dans un potentiel
V(x) :
−
h2 d 2Ψ
dΨ
h2 d 2Ψ∗
dΨ ∗
∗
. 2 + V .Ψ = i.h.
et −
.
+
V
.
Ψ
=
i
.
h
.
2.m dx
dt
2.m dx 2
dt
 h d 2Ψ 1

 h d 2Ψ∗ 1
dρ
i.h  ∗ d 2 Ψ
d 2Ψ∗ 
∗



= Ψ ∗ . i.
. 2 + .V .Ψ  + Ψ. i.
.
−
.
V
.
Ψ
=
.
Ψ
.
−
Ψ
.
2
 2.m 
dt
i.h
i.h
dt 2
dt 2 
 2.m dx

 2.m dx


On obtient ainsi
(
r
r
r
h
j = −i.
. Ψ ∗ .∇Ψ − Ψ.∇Ψ ∗
2.m
r r
On retrouve ∇. j = −i.
48
(
)
r r
h r ∗ r
. ∇Ψ .∇Ψ − ∇Ψ.∇Ψ ∗ + Ψ ∗ .∆Ψ − Ψ.∆Ψ ∗
2.m
)
3 – Relation d’incertitude d’Heisenberg
a Ψ = Ψ Aˆ Ψ
La valeur de a Ψ est une des données de la statistique. L’autre donnée importante est ∆a Ψ (écart
type)
A
an 2
an 3
_
a|Ψ>
an 1
an4
1
(∆a Ψ )2 =
(
Ψ . Aˆ − a Ψ
) .Ψ
2
2
Numéro de
la mesure
3
(
)
= Ψ . Aˆ 2 . Ψ + a Ψ2 − 2. Ψ . Aˆ .a Ψ . Ψ = Aˆ 2 + a Ψ2 − 2.a Ψ2
= Aˆ 2 − a Ψ2
Le principe d’Heisenberg dit que ∆aΨ et ∆bΨ sont liés par une relation d’inégalité si les deux
([ ] )
grandeurs sont incompatibles Aˆ , Bˆ ≠ 0 .
On pose
(
)
(
)
f = Aˆ − a Ψ .Ψ et g = i. Bˆ − bΨ .Ψ .
Alors,
(∆a Ψ )2 =
f f = f
2
(
et ∆bΨ
)
2
= g g = g
2
D’où
∆a Ψ .∆bΨ = f . g
On pose
u=
f
g
et v =
f
g
(u − v ).(u ∗ − v ∗ ) = u − v 2 ≥ 0
Soit
49
u.u ∗ + v.v ∗ ≥ u.v ∗ + u ∗ .v
Ou encore
f.f ∗
f
∫ f.f
f
∗
.dv
2
2
g .g ∗
+
∫ g .g
+
g
∗
g
.dv
2
2
f .g ∗ + f ∗ .g
≥
f .g
∫ f .g
=2≥
∗
.dv + ∫ f ∗ .g .dv
f .g
1
f . g ≥ .[ g f + f g
2
]
On en déduit que
∆a Ψ .∆b Ψ ≥
1
2
[(
)
(
)
) (Aˆ − a ).Ψ ]
(
. Aˆ − a Ψ .Ψ i. Bˆ − b Ψ .Ψ + i. Bˆ − b Ψ .Ψ
[( ) (
[ ( )(
)
) (
(
Ψ
) ]
) ]
i
∆a Ψ .∆bΨ ≥ . Aˆ − a Ψ .Ψ Bˆ − bΨ .Ψ − Bˆ − bΨ .Ψ Aˆ − a Ψ .Ψ
2
i
≥ . Ψ Aˆ − a Ψ . Bˆ − bΨ .Ψ − Ψ Bˆ − bΨ . Aˆ − a Ψ .Ψ
2
i
≥ . Ψ Aˆ .Bˆ − Bˆ . Aˆ . Ψ
2
)
(
)(
Relation d’incertitude d’Heisenberg :
[ ]
i
∆a Ψ .∆bΨ ≥ . Ψ . Aˆ , Bˆ . Ψ
2
Remarque :
[ ]
•
Dans le cas où Â et B̂ sont hermitiques, Aˆ , Bˆ est imaginaire pur.
•
Pour x et p x associés à x̂ et p̂ x
[xˆ, pˆ x ] = −i.h
∆x.∆p x ≥
h
2
4 – Postulats et modélisation : le problème des états libres d’une particule
On considère une particule de masse m soumise à une potentiel V(x). Les états pour lesquels
E n > V (∞ ) sont caractérisés par des solutions oscillantes à l’infini qui ne sont pas normalisées
(Ψ Ψ
= ∞ ) . On ne se trouve plus dans l’espace des états. Le problème est lié à une modélisation
insuffisante : la particule ne peut en effet pas partir à l’infini. La prise en compte d’une modélisation
50
plus correcte serait très lourde, on se contentera donc de sortir des postulats et de travailler avec des
fonctions d’onde non normalisables.
a – Etats stationnaires d’une particule libre
On considère une particule de masse m soumise à un potentiel V(x) = 0. On considère que En est
positif (En négatif n’a pas de signification physique).
[ ]
pˆ 2
Hˆ =
= Tˆ et Hˆ , pˆ = 0
2.m
Les fonctions propres de p̂ sont fonctions propres de Ĥ .
On pose p0 valeur propre associée à la fonction propre ϕ n telle que pˆ . ϕ n = p 0 . ϕ n
− i.h.
p
d
(ϕ n ( x) ) = p 0 .ϕ n ( x) , soit ϕ n ( x) = A. exp i. 0 .x 
dx
 h 
Toutes valeurs de p0 est valeur propre. p0 est une valeur propre non dégénérée.
Hˆ . ϕ n ( x) = E n . ϕ n ( x)
h 2 d 2ϕ n
−
.
= E n .ϕ n ( x)
2.m dx 2
Il existe deux types de solutions à cette équation, fonctions propres de Ĥ :
p2
 p0 
.x  , associée à l’énergie E n = 0 et la valeur propre p 0
2.m
 h 
ϕ n ( x) = A. exp i.

ϕ n ( x) = A'.exp − i.

p0 
p2
.x  , associée à l’énergie E n = 0 et la valeur propre − p 0
h 
2.m
L’énergie En n’est pas quantifiée ; son spectre est continu. De plus En est dégénéré, de niveau de
dégénérescence g n = 2 (En est associé à deux valeurs propres ± p 0 ). On trouve ainsi deux fonctions
d’onde solutions du problèmes :
E 
 p 

Ψn ( x, t ) = A. exp i. 0 .x . exp − i. n .t 
h 
 h 

p 
E 


Ψn' ( x, t ) = A'. exp − i. 0 .x . exp − i. n .t 
h 
h 


51
b – Problème de la normalisation de la fonction d’onde
 p0 
.x  , Ψ.Ψ ∗ = Cte et Ψ = ∞ . De plus ∆p x = 0 et ∆x = ∞ . La fonction
h


Si Ψ = A. exp i.
d’onde n’est pas normalisable, il faut sortir des postulats. On ne peut jamais trouver la particule dans
un état propre de sa quantité de mouvement.
La solution au problème consiste à revenir au cas physique en limitant par des barrières infinie
 L L
l’excursion de la particule, ce sur un segment − ,  . Dans ce cas, la fonction d’onde devient
 2 2
normalisable. Il suffit ensuite de faire tendre L vers l’infini.
On change l’interprétation de la fonction d’onde. On a une assemblée de particules se propageant
selon un axe. On définit un courant de densité de probabilité :
r
j0
r
j0
O
r
dΨ ∗  r
h  ∗ dΨ
.i
j = −i.
. Ψ .
− Ψ.
2.m 
dx
dx 
p
 p  dΨ
 p 
Ψ = A. exp i. 0 .x  ,
= i. A. 0 exp i. 0 .x 
h
 h  dx
 h 
r
Il vient après calcul que : j = −i.
i. p r
h
2
. A .2. 0 .i
2.m
h
r p0
2 r
j=
. A .i
m
En électricité :
r
r N . p0 r
.i est la densité de courant électrique (N est la densité de particules)
j = N .v.i =
m
On obtient ainsi par analogie que
A= N
On obtient finalement la fonction d’onde solution du problème :
E
x
x
i . p0 .
− i . p 0 .  − i . n .t

h
h
Ψ ( x, t ) =  N + .e h + N − .e
.
e



où E n =
52
p 02
et N+ et N- représente les densités de particules de quantité de mouvement ± p 0
2.m
c – La marche de potentiel
V
V0
I
V(x) = 0
pour
x<0
V(x) = V0
pour
x>0
II
x
Traitement classique :
On a N particules d’énergie cinétique En partant de x = - ∞ soumises au potentiel V(x)
Si En < V0
Coefficient de réflexion : R = 1
Coefficient de transmission : T = 0
On a changement de signe de p0 (la particule fait demi-tour)
Si En > V0
Coefficient de réflexion : R = 0
Coefficient de transmission : T = 1
On a changement de quantité de mouvement sans changement de signe
E n = V0 + E n'
E n' = E n − V0 =
p 02
2.m
Traitement quantique :
Hˆ .ϕ n ( x) = E n .ϕ n ( x) avec E n > 0
Pour x < 0 :
On pose k 02 =
2.m
.E n
h2
h 2 d 2ϕ nI ( x)
−
.
= E n .ϕ nI ( x)
2
2.m
dx
53
ϕ nI ( x) = A.e i.k . x + B.e −i.k . x
0
0
Pour x > 0 :
On pose k12 =
−
2.m
2.m
.(E n − V0 ) et k 22 = 2 .(V0 − E n )
2
h
h
h 2 d 2ϕ nII ( x)
.
+ V0 .ϕ nII ( x) = E n .ϕ nII ( x)
2
2.m
dx
Si En > V0 :
ϕ nII ( x) = C.e i.k . x + D.e −i.k . x
1
1
Si En < V0 :
ϕ nII ( x) = C.e −i.k . x + D.e i.k . x
2
2
Dans le cas où En > V0 :
Les équations de continuité donnent :
ϕ nI (0) = ϕ nII (0) , soit A + B = C
k
dϕ nI
dϕ nII
( 0) =
(0) , soit A − B = 1 .C
dx
dx
k0
On obtient ainsi

k 
2. A = C 1 + 1  ,
 k0 
soit
C
=
A
2
k
1+ 1
k0
k1
k0
B C
2
= −1 =
−
,
k1
k1
A A
1+
1+
k0
k0
1+
soit
54
k1
k0
B
=
k
A
1+ 1
k0
1−
Interprétation de A et B :
r
On s’intéresse au vecteur densité de probabilité j pour x < 0
k .h
2 k .h 
 2 k .h
j =  A . 0 − B . 0  = ( N i − N r ). 0
m
m 
m

où N i est le nombre de particules incidentes et N r est le nombre de particules réfléchies
On calcul le coefficient de réflexion :
2
 k1 
1 − 
N r  k 0 
R=
=
2
Ni 
k1 
1 + 
 k0 
r
On étudie maintenant plus particulièrement la continuité du vecteur j en x = 0 :
2
A .
k 0 .h
2 k .h
2 k .h
−B . 0 =C . 1
m
m
m
A −B =C .
2
2
2
k1
k0
ce qui correspond à l’équation
Ni − N r = Nt
où N t est le nombre de particules transmises.
On calcul le coefficient de transmission :
4.
T=
k1
k0

k 
1 + 1 
 k0 
2
55
Remarque :
•
Le comportement des particules est très différent du comportement classique (Le coefficient de
transmission vaut 1 si En > V0)
•
Si E n → ∞ , k1 → k 0 donc R → 0 et T → 1 : on se rapproche du comportement classique
•
Si V0 < 0 et V0 >> E n > 0
V(x)
k1 >> k 2 , d’où R → 1 et T → 0
x
Ce résultat est totalement inattendu
V0
Dans le cas où En < V0 :
Les équations de continuité donnent les résultats suivant :
A + B = C et A − B = i.
k2
.C
k0
On a
C
=
A
B
avec R =
A
2
2
1 + i.
C
et T =
A
k2
k0
B
=
et
k
A
1 + i. 2
k0
1 − i.
k2
k0
V(x)
x
2
Effet tunnel
En x > 0, la probabilité de trouver une particule est non nulle :
P( x) = C .e −2.k 2 . x =
2
C’est l’effet tunnel
56
4. N i
 k2 
1 + 
 k0 
2
.e − 2.k 2 . x .
F – PERTURBATIONS INDEPENDANTES DU TEMPS
NB : L’exposant entre parenthèse représente tout le long de cette partie l’ordre de correction à
apporter du fait de la perturbation. Ainsi (0) correspond au cas non perturbé, (1) à la correction au
premier ordre à apporter, …
Hˆ . ϕ n = E n . ϕ n
où Hˆ = Hˆ 0 + Wˆ ( Ĥ 0 est le hamiltonien non perturbé, Ŵ est l’opérateur lié à la perturbation).
Pour le cas non perturbé,
Hˆ 0 . ϕ n( 0) = E n( 0) . ϕ n( 0) .
Les modules des éléments de Ŵ sont très petits par rapport aux grandeurs du problème.
On pose Wˆ = α .Uˆ où α est un réel défini par α << 1. On obtient l’équation
(Hˆ
0
)
+ α .Uˆ . ϕ n (α ) = E n (α ). ϕ n (α )
L’idée consiste à résoudre cette équation aux différentes puissances de α, après avoir développé
ϕ n (α ) et E n (α ) en puissance de α.
1 – Cas d’un état qui est non dégénéré en l’absence de perturbation
Hˆ 0 . ϕ n( 0) = E n( 0) . ϕ n( 0)
où E n( 0 ) est une valeur propre non dégénérée
On pose
E n (α ) = ε 0 + α .ε 1 + α 2 .ε 2 + ... et ϕ n (α ) = 0 + α . 1 + α 2 . 2 + ...
Ordre 1 en α :
(Hˆ
0
)
(
)
− ε 0 . 1 + Uˆ − ε 1 . 0 = 0
On applique 0 à gauche :
(
)
0 Hˆ 0 − ε 0 1 + 0 Uˆ 0 − 0 ε 1 0 = 0
On obtient ε 1 = 0 Uˆ 0
57
En(1) = En( 0 ) + ϕ n( 0) Wˆ ϕ n( 0)
Calcul de |1> :
On travaille sur la base des états avec
1 = ∑ c p . ϕ (p0)
p
On applique
(
)
(
)
ϕ (p0 ) à Hˆ 0 − ε 0 . 1 + Uˆ − ε 1 . 0 = 0
On obtient la relation
(E
(0)
p
)
− E n( 0) ϕ (p0) 1 = − ϕ (p0) Uˆ ϕ n( 0) pour p ≠ n
Soit
ϕ
(0)
p
1 =−
α1 =∑
p≠n
ϕ
(1)
n
= ϕ
(0)
n
ϕ (p0) Uˆ ϕ n( 0)
pour p ≠ n
E p( 0) − E n( 0)
ϕ (p0 ) α .Uˆ ϕ n( 0)
E
−E
(0)
n
+∑
(0)
p
. ϕ (p0)
ϕ (p0 ) Wˆ ϕ n( 0)
p≠n
E
(0)
n
−E
(0)
p
. ϕ (p0)
Orthogonalité de|1> et |0> :
ϕ n (α ) est normée
[ 0 + α 1 ][. 0
+α 1 ]= 1
Soit
0 0 + α .[ 1 0 + 0 1 ] = 1 au premier ordre en α
Vu que
0 0 = 1, 1 0 + 0 1 = 0
On en déduit que
58
0 1 + 0 1 = 0 , soit Re( 0 1 ) = 0
∗
ϕ n (α ) 0 est réel par choix de la phase sur ϕ n (α ) . Donc, vu que 0 0 , α et 0 0 + α . 1 0
sont réels, 1 0 est réel. On en déduit que 0 1 = 0 . 0 et 1 sont bien perpendiculaires
Ordre 2 en α :
(Hˆ
(Hˆ
)(
) (
)(
0
+ α .Uˆ . 0 + α 1 + α 2 2 = ε 0 + α .ε 1 + α 2 .ε 2 . 0 + α 1 + α 2 2
0
− ε 0 . 2 + Uˆ − ε 1 . 1 − ε 2 0 = 0
)
(
)
On multiplie par 0 : 0 Uˆ 1 − ε 2 0 0 = 0
( 0 Hˆ
0
= 0 .ε 0
)
)
ε 2 = 0 Uˆ 1
α 2 .ε 2 = 0 Wˆ 1
= ϕ
(0)
n
=∑
p≠n
=∑
p≠n
Wˆ .∑
ϕ (p0) Wˆ ϕ n( 0)
p≠n
E
(0)
n
ϕ (p0) Wˆ ϕ n( 0)
E
(0)
n
−E
( 0)
p
ϕ n( 0) Wˆ ϕ (p0)
−E
(0)
p
. ϕ (p0)
. ϕ n( 0) Wˆ ϕ (p0)
2
E n( 0) − E p( 0)
E n( 2) = E n( 0) + ϕ n( 0) Wˆ ϕ n( 0) + ∑
p≠n
ϕ n( 0) Wˆ ϕ (p0)
2
E n( 0) − E p( 0)
Remarque :
•
Le second ordre de l’énergie est important si la correction au premier ordre est nulle
•
La fonction d’onde au second ordre a un intérêt moindre
2 – Cas d’un état qui est dégénéré en l’absence de perturbation
Ĥ 0 présente souvent des cas d’états dégénérés
59
En(α)
E4(0)
E3(0)
E2(0)
E1(0)
α1
α
Soit gn la dégénérescence de E n( 0 ) . On choisit trois fonctions d’onde associées à cette énergie :
ϕ 1n,( 0) , ϕ nq ,( 0 ) et ϕ ng
n ,( 0 )
On ne peut plus assimiler 0 à ϕ 1n,( 0 ) . Par contre ε 0 = E n( 0 ) reste vrai.
(Hˆ
0
)
+ α .Uˆ .( 0 + α . 1 ) = (ε 0 + α .ε 1 ).( 0 + α 1
)
En multipliant par ϕ nq ,( 0 ) ,
(
)
(
)
ϕ nq ,( 0) . Hˆ 0 − ε 0 . 1 + ϕ nq ,( 0) . Hˆ 0 − ε 1 . 0 = 0
ϕ nq ,( 0) Uˆ 0 = ϕ nq ,( 0) ε 1 0
ϕ nq ,( 0) Uˆ − ε 1 0 = 0
0 sont les états qui diagonalisent Û dans le sous espace propre ϕ nq ,( 0 )
Pour calculer les valeurs propres à l’ordre 1 et les états propres à l’ordre 0, on diagonalise Ŵ dans
le sous espace propre lié à E n( 0 )
Les valeurs propres donnent les variations d’énergie α .ε 1 à l’ordre 1. Les états propres sont les
états 0 à l’ordre 0
60
3 – Exemples d’application
a – Effet Stark dans le puits quantique
Un puits quantique a un axe de croissance. On se limite à un problème unidimensionnel selon l’axe
Oz.
V(z)
V0
E1
E2
E3
z
On applique un champ électrique constant selon Oz :
r
r
F = Fz
[
]
ˆ =0
V (z ) est paire, Hˆ , Π
Il y a interaction du champ électrique avec les électrons du puits, on considère que les particules
r
sont caractérisées par un moment dipolaire µ = q.z.zˆ . La perturbation W introduite par le champ
électrique est donnée par la relation
r r
W = − µ .F = q.z.F
Méthode de perturbation :
Premier ordre :
E n(1) = E n( 0) + ϕ n( 0) q.F .z ϕ n( 0)
La correction au premier ordre est nulle
Second ordre :
E1( 2) = E1( 0) + ∑
p ≠1
ϕ n( 0) Wˆ ϕ (p0)
2
E1( 0) − E p( 0)
Dans le cas particulier du puits quantique traité ici :
61
ϕ 1( 0) Wˆ ϕ 3( 0 ) = 0
E1( 2) = E1( 0) +
ϕ 1( 0 ) − q.F .z ϕ 2( 0)
2
E1( 0) − E 2( 0)
Si E 3( 0 ) − E 2( 0 ) >> E 2( 0 ) − E1( 0 )
E 2( 2) = E 2( 0) +
On pose ∆E =
ϕ 2( 0) Wˆ ϕ 1( 0)
2
ϕ 2( 0 ) Wˆ ϕ 1( 0)
E 2( 0) − E1( 0)
2
E 2( 0) − E1( 0)
L’effet Stark a tendance à éloigner les deux niveaux d’énergie (observation en 1987)
∆E =
q 2 .F 2 . z12
2
E 2( 0) − E1( 0)
E 2( 2) − E1( 2 ) = E 2( 0) − E1( 0) + 2.∆E
Remarque :
•
Pour un puits asymétrique, V(z) est non symétrique. Il n’y a pas de parité déterminée pour ϕ n( 0 ) .
Pour les perturbations d’ordres différents de 0, il existe un écart entre niveau linéaire en F →
jugement de la symétrie du puits
•
Pour un matériau GaAs / GaAlAs, a = 12 nm et m ∗ = 0,067.me
2.∆E = 2 meV pour F ≈ 10 V/m
b – Levée de dégénérescence pour une particule placée dans deux puits couplés
On considère une particule soumise à l’effet de deux puits de potentiel couplés
62
V(z)
z
2.a
2.a
2.b
On considère, par exemple, un ion H2+ pour lequel un électron est dans le champ des deux protons.
Ce dernier est alors placé dans le champ de deux puits quantiques en interraction. A l’ordre 0,
l’électron est dans l’un ou l’autre des puits. Ĥ 0 a pour fonction propre ϕ 10( 0 ) , associée au premier
(0)
puits, et ϕ 20
, associée au second puits. Ces deux fonctions propres sont associées à l’énergie E 0( 0 ) .
Le niveau d’énergie E 0( 0 ) est donc dégénéré.
Ŵ est la perturbation due à l’interaction entre les deux puits. On diagonalise Ŵ dans le sous
(0)
espace définit par ϕ 10( 0 ) et ϕ 20
.
 W11 W12 


W21 W22 
où W11 = W22 pour raison de symétrie.
On va considérer un petit déplacement global de l’énergie E 0( 0 ) . On traitera le problème avec Ĥ 0 .
W11 = W22 = 0 dans la suite
Le choix de la phase pour ϕ 10( 0 ) impose que W12 est réel.
W12 = W21 = A est réel
La perturbation devient :
0
Wˆ = 
A
A

0 
dont les valeurs propres sont ∆E + = A et ∆E − = − A
•
∆E + = A est associée à la fonction propre
63
ϕ +( 0) =
•
(ϕ
2
1
( 0)
10
(0)
+ ϕ 20
)
∆E − = − A est associée à la fonction propre
ϕ −( 0) =
(ϕ
2
1
( 0)
10
(0)
− ϕ 20
)
L’utilisation de W permet de lever la dégénérescence et de
mettre en évidence l’hybridation des fonctions d’onde
Ce traitement est important aussi bien au niveau
technologique qu’au niveau fondamental pour la compréhension
des bandes d’énergie d’un électron dans un solide.
|ϕ+(0)>
|ϕ10(0)>
2.A
|ϕ20(0)>
|ϕ-(0)>
64
G – LES PERTURBATIONS DEPENDANTES DU TEMPS
Une perturbation Ŵ indépendante du temps provoque des déplacement des niveaux d’énergie,
mais ne touche pas à l’évolution temporelle du système quantique. Dans le cas d’une perturbation
Wˆ (t ) dépendante du temps, il y a une évolution dans le temps du système quantique.
Cas classique d’utilisation : L’action d’un champ E.M. (onde optique) sur un système optique.
La résolution de l’équation
i.h.
∂ Ψ (t )
∂t
= Hˆ . Ψ (t ) avec Hˆ = Hˆ 0+Wˆ (t )
ne permet pas d’obtenir de solution générale simple. On va donc utiliser une méthode perturbative.
On pose Wˆ (t ) = λ .Uˆ (t ) où les éléments de la matrice de Û sont du même ordre de grandeur que
ceux de Ĥ 0 . λ est négligeable devant les autres grandeurs du système quantique.
1 – Position du problème
Equations du problème :
Hˆ 0 . ϕ n = E n . ϕ n
Ψ (t ) = ∑ bn (t ).e
−i .
En
.t
h
. ϕn
n
i.h.
A t = 0, Ψ (0) = ϕ i
l’état ϕ f
où ϕ i
∂ Ψ (t )
∂t
(
)
= Hˆ 0 + λ .Uˆ (t ) . Ψ (t )
est un des états stationnaires ϕ n . La probabilité pour être dans
à t est donnée par la relation
Pif = ϕ f Ψ (t )
2
On recherche les solutions approchées de l’équation développée en puissances de λ.
2 – Probabilité de transition entre |ϕi> et |ϕf>
à t = 0, bn (0) = 0 sauf bi (0) = 1 . L’idée consiste à déterminer les bn (t ) en puissances de λ
65
i.h.
(
E
− i . n .t

∂ 
h
b
(
t
).
e
. ϕ n  = Hˆ 0 + λ .Uˆ
∑ n
∂t  n

•
i.h.∑ b n (t ).e
−i .
En
.t
h
. ϕ n + i.h.∑ − i.
n
n
).∑ b (t ).e
−i .

. ϕn 

En
.t
h
n

n
E
− i . n .t
En
bn (t ).e h . ϕ n =
h
∑ bn (t ).e
−i .
En
.t
h
.Hˆ 0 . ϕ n + λ ∑ bn (t ).e
n
•
i.h.∑ b n (t ).e
−i.
En
.t
h
. ϕ n = λ ∑ bn (t ).e
n
−i .
En
.t
h
.Uˆ . ϕ n
n
−i.
En
.t
h
.Uˆ (t ). ϕ n
n
On projette l’équation sur ϕ n
•
i.h. b n (t ).e
−i .
En
.t
h
= λ ∑ bk (t ).e
−i .
Ek
.t
h
ϕ n .Uˆ (t ). ϕ k
k
•
i.h. b n (t ) = λ ∑ bk (t ).ei.ω nk .t .U nk (t )
k
où ω nk =
En − Ek
et U nk = n Uˆ k
h
On décompose bn(t) : bn (t ) = bn( 0 ) (t ) + λ.bn(1) (t ) + λ2 .bn( 2 ) (t ) + ...
• (1)
• ( 2)
• (n)
 • (0)

i.h.b n (t ) + λ. b n (t ) + λ2 . b n (t ) + ... + λn . b n + ... =


(0)
(1)
2 (2)
λ.∑ bk (t ) + λ .bk (t ) + λ .bk (t ) + ... + λr .bk( r ) .e i.ωnk .tU nk (t )
[[
]
]
k
•
i.h. b n (t ) = ∑ bk( n −1) .e i.ω nk .t .U nk (t )
k
On cherche à établir une relation d’évolution permettant de déduire à un ordre quelconque bn(r ) par
itération (0) → (1) → (2) → ... → (r ) où (0) est donné par les conditions initiales.
• (r )
A l’ordre 1, i.h. b n (t ) =
∑b
(0)
k
.e i.ω nk .t .U nk (t )
k
• (i )
i.h. b n (t ) = e i.ω ni .t .U ni (t )
66
t
1
b (t ) = .∫ e i.ω ni .t ' .U ni (t ' ).dt '
ih 0
(i )
n
La probabilité d’être dans l’état ϕ f
partant de l’état ϕ i
Pif(1) (t ) = λ2 . b (f1) (t )
est donnée par la relation :
2
3 – Exemple de perturbation dépendante du temps
a – Perturbation sinusoïdale ou constante
La perturbation est donnée dans ce cas par la relation : Wˆ (t ) = λ .Uˆ . cos(ω .t ) appliqué à t = 0.
U ni t i.ω ni .t ' e i.ω .t ' + e − i.ω .t '
b (t ) = −
. e
.
.dt '
i.h ∫0
2
(1)
n
=−
P (t ) =
(i )
if
U ni
i.h
Antiresonnant
 e i.(ω ni +ω ).t − 1 e i.(ω ni −ω ).t − 1 
.
+

ω
+
ω
ω ni − ω 
ni

λ2 .U ni
4.h 2
2
e i.(ω ni +ω ).t − 1 e i.(ω ni −ω ).t − 1
+
.
ω ni + ω
ω ni − ω
2
Pour ω = 0, la relation précédente devient
bn(1) (t ) = −
U ni e i.ω ni .t − 1
U e i.ω ni .t
 ω .t 
.
= − ni .
.2. sin  ni 
ω ni
h
h ω ni
 h 
P (t i , ω = 0) =
(1)
if
λ2 .U fi
h
2
2
t

.t 2 .sinc ω fi . 
2

On a une transition quasi-résonnante entre deux états discrets.
Pour ω ≈ ω fi ,
P (t , ω ≈ ω fi ) ≈
(1)
if
λ2 .U 2fi
4.h 2
.t 2 << 1
On peut négliger le terme antirésonnant si
67
t >>
t <<
1
ω
2.h
λ.U fi
b – Couplage d’un état discret avec un continuum d’états
W
i
f
Continuum
d’états
i (état discret) et f
(ensemble d’états, continuum) sont des états propres d’un hamiltonien
d’approximation Ĥ 0 . Si i est l’état initial, Ŵ (un hamiltonien de perturbation) est susceptible de
faire passer le système dans le continuum f , ce continuum représentant les états libres du système.
Exemples caractéristiques : auto-ionisation d’un atome, prédissociation de molécules.
Pour caractériser le continuum, on prend en compte ρ(E), la densité d’états. Le nombre d’états
compris entre E et E + dE est ainsi ρ ( E ).dE .
On pose
E − Ei
Wˆ = λ.Uˆ et ω Ei =
.
h
La probabilité de se trouver dans un état d’énergie E du continuum est :
Pcont =
68
λ2
2
ˆ i .t 2 .sinc 2  ω . t 
.
ρ
(
E
).
dE
.
E
U
Ei
2
h 2 D∫f

t

t.sinc 2  ω Ei . 
2

t
2.π
t
ωEi


t
2
Si t → ∞, t.sinc 2  ω Ei .  → 2.π .h.δ ( E − E i ) .
Alors, Pcont =
2
λ2
.t. ∫ ρ ( E ). E .Uˆ . i .2.π .δ ( E − E i )
h D
f
Pcont =
2.π .t
.ρ ( E − E i ). E = Ei Wˆ i
h
2
La probabilité de trouver la particule à l’état d’énergie E du continuum étant linéaire par rapport au
temps, on définit une probabilité par unité de temps :
Règle d’or de Fermi :
2.π
dP
.ρ ( E − E i ). E = E i Wˆ i
=Γ=
dt
h
2
Pourquoi se placer dans le cas où t → ∞ ?
La fonction ρ ( E ). E Uˆ i
Autrement dit, ρ ( E i ). E Uˆ i
varie lentement sur un domaine d’énergie de la largeur du sinc2.
2
≈ Cte sur un intervalle d’énergie
(1)
de perturbation n’est valable que si Pcont
<< 1 , soit t <<
4.π .h
. Le calcul du premier ordre
t
1
. Le calcul non perturbatif donne,
Γ
moyennant des approximations peu contraignantes, une désintégration exponentielle de l’état discret
vers le continuum :
Pcont = 1 − e − A.t
Pour un temps faible, Pcont = A.t , soit
A=Γ
1/Γ est la durée de vie de l’état discret.
69
Remarque :
•
Dans le cas de l’émission spontanée d’un atome :
- {L’atome dans un état excité} correspond à un état discret (de même pour des photons
dans le mode du champs E.M. du vide)
- {L’atome revenu dans l’état fondamental + 1 photon dans un mode de champs}
correspond à un état de continuum.
Dans ce cas, la durée de vie de l’état excité de l’atome est donnée par τ =
•
1
.
Γ
Souvent l’énergie E ne suffit pas à caractériser l’état d’un continuum. En appelant β l’ensemble
des autres paramètres de caractérisation, on obtient :
PT = ∫
2.π
.t.ρ ( β , E = Ei ). β , E = E i Wˆ i
h
2
4 – Comportement d’un atome dans un champ électromagnétique optique au
voisinage de la résonance
a – Approximation dipolaire électrique
onde
On considère que les dimensions de l’atome sont très petites devant la période du champs E.M.
o
optique (ordre de grandeur : A comparé au µm). Il en découle que noyaux et électrons voient la même
charge E (0, t ) à l’instant t. On représente ainsi l’atome par un dipôle de moment dipolaire
n
r
r
µ = ∑ − e.ri , la perturbation qui lui est associée :
i =1
r r
W (t ) = − µ .E (0, t )
L’origine des coordonnées est prise sur le noyau de l’atome.
Remarque : Des contributions quadripolaires électriques et dipolaires magnétiques doivent-être
calculées si l’on désire plus de précision.
70
b – Approximation de l’atome à deux niveaux
On considère une onde résonnante entre deux niveaux d’énergie de l’objet quantique. On réduit en
fait l’objet quantique à deux niveaux d’énergie, les autres niveaux étant considérés comme appartenant
au milieu extérieur (traités phénologiquement).
a
h.ω
b
h.ω ≈ E a − E b
Ψ (t ) = a(t ). a + b(t ). b
Hˆ 0 . a = E a . a = h.ω a . a
Hˆ 0 . b = E b . b = h.ω b . b
r
r
Le hamiltonien du système est donné par la relation : Hˆ = Hˆ 0 − µ .E (0, t ) = Hˆ 0 − µˆ .E 0 . cos(ω .t )
en considérant que le champ est polarisé selon Ox.
On va aborder le problème de manière semi-classique : le champ E.M. sera traité en mécanique
classique, et tout ce qui touche à l’atome sera traité en mécanique quantique.
Hˆ = Hˆ 0 − µˆ x .E 0 . cos(ω .t )
On cherche une représentation de µx.
On a
n
r
r
µ = ∑ − e.ri
i =1
Pour exprimer µx, on cherche à exprimer µxaa, µxbb, µxab et µxba :
[
]
ˆ = 0 = Ψa∗ .µ x .Ψa .dv )
a µˆ x a = 0 (pour des systèmes à centre de symétrie, Hˆ 0 , Π
∫
∞
b µˆ x b = 0
a µˆ x b ≠ 0 si a et b sont de parité différentes. Alors les transitions sont dites permises.
= 0 si a et b sont de même parité. Alors les transitions sont dites interdites.
µ xab = a µ x b est réel par choix de la phase.
71
∗
µ xba = µ xab
= p est aussi réel par choix de la phase.
D’où :
0 1

µˆ x = p.
1
0


On en déduit
 h.ω a
Hˆ = Hˆ 0 − µˆ x .E 0 . cos(ω .t ) = 
 0
0 
0 1
 − p.E 0 . cos(ω .t ).

h.ω b 
1 0

On pose Vˆ = 
1
0 1

0 
i.h.
(
)
∂
Ψ (t ) = Hˆ 0 − µˆ x .E 0 . cos(ω .t ) . Ψ (t )
∂t
On introduit dans cette équation
Ψ (t ) = a(t ). a + b(t ). b
avec a (t ) = A(t ).e
− i .ω a .t
et b ( t ) = B ( t ). e
− i .ω
b
.t
On obtient l’équation
i.h.
(
) (
)(
∂
A.e −i.ω a .t . a + B.e −i.ω b .t . b = Hˆ 0 − p.E 0 . cos(ω .t ).Vˆ . A.e −i.ω a .t . a + B.e −i.ω b .t . b
∂t
Soit
•
•

i.h. A .e −i.ω a .t . a + B .e −i.ωb .t . b − i.ω a . A.e −i.ω a .t − i.ω b . A.e −i.ωb .t  =


h.ω a . A.e −i.ω a .t . a + h.ω b .B.e −i.ωb .t . b − p.E0 . cos(ω .t ).Vˆ . A.e −i.ω a .t . a + B.e −i.ω b .t . b
[
[
•
•

i.h. A .e −i.ω a .t . a + B .e −i.ω b .t . b  = − p.E0 . cos(ω .t ).Vˆ . A.e −i.ω a .t . a + B.e −i.ω b .t . b


en multipliant par a à gauche, on obtient le système d’équations :
 • −i.ωa .t
= − p.E 0 . cos(ω.t ).B.e −i.ωb .t
i.h. A .e
 •
i.h. B .e −i.ωb .t = − p.E 0 . cos(ω.t ). A.e −i.ωa .t
72
]
]
)
On pose ω ab = ω a − ω b . On obtient :
•
i. p.E 0
.B (t ). cos(ω .t ).e −i.ω ab .t
h
•
i. p.E 0
B=
. A(t ). cos(ω .t ).e −i.ω ab .t
h
A=
(e
− i .(ω +ω ab ).t
(
)
(
)
(
)
(
)
•
 A =
•
B =

i. p.E 0
.B (t ).e −i.ωab .t . e i.ω .t + e −i.ω .t
2.h
i. p.E 0
. A(t ).e −i.ωab .t . e i.ω .t + e −i.ω .t
2.h
•
 A =
•
B =

i. p.E 0
.B (t ).e −i.ωab .t . e i.ω .t + e −i.ω .t
2.h
i. p.E 0
. A(t ).e −i.ωab .t . e i.ω .t + e −i.ω .t
2.h
sont les termes antirésonnants)
c – Résolution perturbatrice
A t = 0, le système est dans l’état b . Ainsi, A(t = 0) = 0 et B (t = 0) = 0 (b est l’état bas).
On décompose A et B selon leurs différents ordres de grandeur :
A(t ) = A ( 0 ) (t ) + A (1) (t ) + ... + A (α ) (t ) + ...
B (t ) = B ( 0 ) (t ) + B (1) (t ) + ... + B (α ) (t ) + ...
A l’ordre 0 :
• (0)
A
• (0)
= 0 et B
=0
Soit A ( 0 ) (t ) = Cte = A(t = 0) = 0 et B ( 0 ) (t ) = Cte = B (t = 0) = 1
A l’ordre 1 :
• (1)
B
• (1)
B
=
[
]
i. p.E 0 ( 0)
. A (t ). e i.(ω −ω ab ).t + e −i.(ω +ω ab ).t avec A ( 0 ) (t ) = 0
2.h
= 0 donc B (1) = Cte = B (1) (t = 0) = 0
73
• (1)
A
=
[
]
i. p.E 0 ( 0)
.B (t ). e i.(ω +ω ab ).t + e −i.(ω ab −ω ).t avec B ( 0 ) (t ) = 1
2.h
A (1) (t ) =
Antirésonn
ant
i. p.E0  e i.(ω ab −ω ).t − 1 e i.(ω ab +ω ).t − 1
.
+

2.h  i.(ω ab − ω )
i.(ω ab + ω ) 
On néglige ici le terme
e i.(ω ab +ω ).t − 1
du fait que ω ab + ω ≈ 1014 Hz . Cette approximation
i.(ω ab + ω )
est appelée approximation des ondes tournantes (AOT)
Près de la résonance :
A (1) (t ) =
[
]
p.E 0
. e i.(ω ab −ω ).t − 1
2.h.(ω ab − ω )
p 2 E 02 2
t

.t .sinc 2 (ω ab − ω ). 
A (t ) = P (t ) =
2
2
4.h
b →a

2
(1)
2
Pour A (1) (t ) << 1 et t >> 1 ω , on obtient
t <<
2.h
p.E 0
d – Comportement de l’atome en champ intense – oscillations de Rabi
Dans le cadre de l’AOT, uns solution analytique exacte existe dans ce cas simple. On se place à
ω = ω ab
•
i. p.E 0
.B
••
i. p.E 0 i. p.E 0
2.h
et B =
.B
.
•
i. p.E 0
2.h
2.h
B=
.A
2.h
A=
On pose
Ω0 =
p.E 0
h
L’équation qui régit la variable B est :
Ω 
B+  0  B = 0
 2 
••
74
2
Après résolution, on obtient
Ω 
Ω 
B (t ) = λ. cos 0 .t  + µ . sin  0 .t 
 2 
 2 
A t = 0, B (t = 0) = 1 , soit λ = 1
•
A(t = 0) = 0 , soit B (t = 0) = 0 , ou encore µ = 0
Au finale, on obtient A et B par les relations :
Ω 
A(t ) = i. sin  0 .t 
 2 
Ω 
B (t ) = cos 0 .t 
 2 
Ω 
Ω 
Ψ (t ) = i. sin  0 .t .e −i.ω a .t . a + cos 0 .t .e −i.ω b .t . b
 2 
 2 
2
Ω 
P a = A(t ) = sin 2  0 .t 
 2 
Ceci sont les oscillations de Rabi, de pulsation Ω0. Il s’agit de successions de cycles absorptionémission induite.
Remarque :
1 – Lien avec le calcul perturbatif
2
Ω 
 p.E 0  2
Pour t <<
, P a (t ) −  0  t 2 = 
.t << 1
Ω0
 2 
 2.h 
2
On appelle γ la fuite du niveau A
a
γ
b
•
A=
• (1)
i. p.E 0
i. p.E 0
.B − γ . A , et en particulier A =
.B − γ . A (1)
2.h
2.h
•
Les états stationnaires sont caractérisés par A = 0 , soit A (1) =
i. p.E 0
2.h.γ
Alors,
75
Pa
 i. p.E 0
= 
 2.h.γ
2

 << 1

2 – Hors résonance – solution exacte (hors possibilité de fuite)
L’atome oscille mais ne passe jamais complètement dans l’état a .
La pulsation est alors :
2
 p.E 0 
2
Ω= 
 + (ω ab − ω )
 h 
76
H – SYSTEMES COMPLEXES ET PRODUIT TENSORIEL
D’ESPACE
Pour un système composé de plusieurs particules microscopiques, dans quel espace traiter le
problème ?
Exemple :
r
Deux particules à traiter dans le système considéré. La particule (1) est repérée par sa position r1 et
r
associée à l’espace F1 . La particule (2) est repérée par sa position r2 et associée à l’espace F2
Une particule microscopique ne peut être repérée simplement par sa position. Il faut nécessairement
introduire le spin des particules. La position est associé à l’espace F, et le spin à l’espace Fs
1 – Définition du produit tensoriel d’espace
Les espaces F1 et F2 sont à prendre en compte, de même que les espaces F et Fs. On appelle E
l’espace descriptif de l’ensemble du système :
E = F1 ⊗ F2
E = Fs ⊗ F
E est engendré par une application bilinéaire de E dans T {F1 , F2 } . Tout élément de E est une
{
application linéaire T u1 , u 2
} où
u1 ∈ F1 et u 2 ∈ F2
{
}=
12
. Ψx1 ⊗ Ψx2
La base de E est donnée par T Ψ1 , Ψ2
Ψ1 ⊗ Ψ2 , où Ψ1 est une base de F1 et Ψ2
est une base de F2.
Ainsi, ∀ Ψ ∈ E ,
Ψ =
∑γ
où γ12 est appelé tenseur
x1 , x2
Les vecteurs de E sont décomposables selon F1 et F2 :
Ψ = u1 ⊗ u 2
où u1 ∈ F1 et
u 2 ∈ F2 . Ψ est en général toujours décomposable en une somme d’éléments décomposables.
La décomposition n’est pas unique :
F1 ↔ N 1 , F2 ↔ N 2 , E ↔ N 1 .N 2
u1 ⊗ u 2 = u1 ,u 2
77
2 – Action des opérateurs de F1 et F2 dans E
Aˆ F1 et Bˆ F2 sont des produits tensoriels. On pose Cˆ E = Aˆ F1 ⊗ Bˆ F2 .
(Aˆ
(Aˆ
)
).( Ψ
F1
⊗ Bˆ F2 .( u1 ⊗ u 2 ) = Aˆ F1 . u1 ⊗ Bˆ F2 . u 2
F1
⊗ Bˆ F2
x1
⊗ Ψx 2
Pour Aˆ F1 agissant dans E, Aˆ F1 = Aˆ F1 ⊗ I F2
78
) = Aˆ
F1
. Ψx1 ⊗ Bˆ F2 . Ψx2