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5:Dynamique des rotations
I. Quelle(s) force(s) effectuent un mouvement circulaire uniforme ?
La condition centripète
II. Comment peut-on changer la vitesse angulaire ?
Le moment de force
Moment d’inertie
III. Le mouvement dans un référentiel tournant se décrit comment ?
Force centrifuge
Force Coriolis
Préparation au cours et aux exos
Chapitres du Giancoli à lire avant le cours (3.5 p):
5-3 Dynamics of uniform circular motion
10-5 torque
11-8 Rotating frames of reference
Exercices simples (4) à faire avant la séance d’exos:
Giancoli 5-34, 49
Giancoli 10-26, 27
Giancoli chapitres 5-3 à 5-5; 10-4(5); et 11-2, 11-8. 11-9
5-1
Phys I SV 2013
5-1. Quelle force nette effectue
un mouvement circulaire uniforme ?
&
R{ r
Jusqu’à maintenant: forces des mouvements
rectilignes.
& ·
§
¨ ¦ Fk ¸
© k
¹R
&
ma
k
&
ma R
La condition centripète (radiale)
&
& ·
§
FR { ¨ ¦ Fk ¸
¹R
© k
En norme:
FR
&
v2 r
m
r r
m
v2
R
const
De la cinématique des rotations (leçon 3):
v2
Z 2r
r
NB. aR A v ĺaR ne change pas la norme de v
&
mZ r
2
Exemple seau avec ficelle (une seule force):
R
Freactio
mZ 2 R
NB. Où se trouve la Reactio ?
Phys I SV 2013
dT (t )
dt
aR
2. Newton: pour qu’une vitesse change de
direction, il faut une force nette
k
Z (t ) {
(même si v FRQVWDQWH
radiale (vers le centre) dont la norme
1. présence impérative de aR
&
|v(t)| =constante
Il faut une accélération avec composante
Question: Est-il possible d’accélérer sans
changer la norme de la vitesse ?
¦F
const
NB. FR subitement nulle Ÿ la balle
continuera en direction de la dernière vitesse
(1er loi de Newton)…
5-2
Quiz & Démo: Pendule conique
Situation: Une balle est suspendue par une
ficelle. Le système balle-ficelle est en
mouvement.
1. Oui
2. Non
Question: Est-ce que l’angle de suspension T
dépend de la masse m de la balle ?
3. Pas assez d’info
2ème loi: FTsinT=ma
T
Condition centripète a= Z2r
ĺ FTsinT=mZ2r
FN
mg
Pas d’accélération verticale: FTcosT=mg
-mg
-mg
sin T
cos T
mZ 2 r
mg
Ÿ tanT=Z2r/g
mv2/r
5-3
Phys I SV 2013
La centrifugeuse
Force subie par une masse m au fond du
2
tube à distance R de l’axe
e.g. R=0.05m, f=6000min-1
FR
mZ R
Accélération centripète aR = Z2R = 6.32f2R
= 20000m/s2 ~ 2000g
Bon à savoir:
(2S)2 # 40
DFFpOpUDWLRQJUDYLWDWLRQQHOOH JĺSRLGVHVW
négligeable
Pourquoi faut-il qu’on équilibre la
centrifugeuse ?
a
g
R
Z
Conséquence de Actio=Reactio (3ème loi):
La centrifugeuse subit les forces qui
correspondent à celles de l’échantillon
2000g:
0.001kg ĺ 2kg
Avec masses identiques !
Phys I SV 2013
5-4
4XHOOHVVRQWOHVIRUFHVG·XQSHQGXOH ?
mouvement circulaire non-uniforme
Dynamique des rotations:
n’effectue qu’un
changement de
direction de vitesse
&
FR
&
maR
&
Ftan
&
v(t ) 2 r
m
˜
r r
&
dv(t ) v
m
˜
dt v
&
mZ 2 r
&
matan
change la norme
de la vitesse
Situation: Un vêtement (de masse m) se trouve
dans un lave-linge de rayon R vertical en
mouvement circulaire uniforme de vitesse
angulaire Z.
Question: Quelle est la vitesse minimale
nécessaire pour que le linge ne tombe pas ?
FR=mZ2R=F-mg
FR=F-mgcosT=0
Ftan=0
Ftan=-mgsinT
F
T
v=max v=0
mg
mg
v=const
T
Condition centripète:
FR=maR
mg > FR
R
La pièce tombe quand la condition de force
centripète FR, impérativement nécessaire,
devient inférieure au poids mg :
FR=mv2/R=mg v2 = Rg ou bien
T2 # 4 R
Z2=g/R ĺ72=4S2R/g
Phys I SV 2013
5-5
Ex. lave-linge – un carrousel vertical
Où se trouve la réaction de mg ?
Freactio =FN
(agit sur lave linge)
v=const
Situation: Un seul vêtement de linge (de
masse m) se trouve dans un lave-linge de
M=100kg avec rayon R de 0.2m en
mouvement circulaire uniforme avec une
fréquence de 30Hz (1800rpm).
Questions: Quelle(s) force(s) extérieure(s)
le vêtement subit-il ?
FR
FR
T
Quelle masse de linge faut-il pour que la
machine commence à se déplacer ?
a
La réaction (reactio) de la force centripète du
vêtement moins son poids (pourquoi?) doit être
plus grande que le poids de la machine quand la
pièce passe en haut:
mg
FR =FN+mg
Freactio=FR-mg>Mg Ÿ mZ2R-mg = Mg
Ÿ
il suffit d’avoir un
déséquilibre de 140g
Phys I SV 2013
m
Mg
Z2R g
Z2=40Â900 ĺZ2R - g = 7200 [m/s2]
Mg=100Â >1@
(m=1000/7200 [kg])
et
5-6
5-2. 4XHOOHORLGpFULWO·DFFpOpUDWLRQDQJXODLUH"
moment de force, moment d’inertie
Situation: Un objet forcément sur une
trajectoire circulaire avec une norme de
vitesse non-constante, soumis à une force F.
Question: Comment la force F influence-t-elle
l’accélération angulaire D?
FR
F
Ftan
De la cinématique des rotations (leçon 3):
Deux composantes de l’accélération, aR et atan
&
Impérative: Doit être satisfait
2&
Z r
aR
& &
r u atan
rA D
&
F
& &
m(aR atan )
& &
&
¦ Fi FR Ftan
&
&
&
&
2 r
mZ t u Z t u r mrZ t ˜
r
2ème loi de Newton:
Phys I SV 2013
La 2ème loi des rotations:
& & &&
22 &
r ruuFFtan
mrmr
t
A D
W
&
ma
I
W: Moment de Force F (couple)
I: Moment d’inertie de l’objet,
rA: distance pr à l’axe de rotation
&
¦W
i
&
ID
Résistance à changer la
vitesse angulaire
pour tous v(t), ne change pas la
norme de Z
change la norme de la vitesse
angulaire o accélération angulaire
2 &
&
FR
Ÿ
Capacité d’une force de faire
tourner un objet
NB. Le Moment de force et d’inertie dépendent du
choix de référentiel !
(utiliser comme origine l’axe de rotation: c’est
différent de m et F)
5-7
Inertie des rotations
résistance à changer la vitesse angulaire
& &
r uF
Quiz: Quelles m1, m2, m3 à mettre à x1 x2 et
x3 pour que la barre reste en équilibre (i.e.
son accélération angulaire D=0) ?
x1
O
m=1kg
33
x2
2 &
mrA D
&
¦W
i
&
ID
Moment d’inertie I
x3
m: masse inertielle (constante d’un objet)
I: Moment d’inertie (dépend de la géometrie de
l’objet, et son distance pr à l’axe de rotation)
Dans quelles situations utilise-t-on la
possibilité de changer l’inertie des
rotations ?
Lequel est plus stable (A ou B)?
A
B
Un «tape-cul»:
A
B
5-8
Phys I SV 2013
La dynamique en bref
(Leçons 4 & 5)
La dynamique linéaire est jumelée avec celle des rotations
1. Les 3 lois de Newton:
1. Loi d’inertie: v=const sans forces
&
Fnet
2. Force nette
3. Actio=Reactio
&
¦F
i
&
ma
+ addition/multiplication des vecteurs + cinématique (différentiation et intégration des vecteurs)
2. Forces de frottement:
Frottement visqueux:
Frottement statique & dynamique:
3. Loi de Hooke:
Ffr{PFN Ps(v=0)•—k(vz0)
&
Fressort
&
kx
4. Dynamique des rotations:
La 2ème lois des rotations:
Condition centripète
&
FR
r& u F &
& & &
mZ u Z u r &
mZ 2 rA
Fv = -b(vc–vf)
net
2 &
mrA D
W
Phys I SV 2013
&
¦W
i
&
ID
5-9
I
5-4. Le référentiel tournant
Rappel: La condition centripète
Dans un référentiel d’inertie:
Un mouvement circulaire (avec v=const) exige une accélération
centripète a=v2/r vers le centre du cercle (leçon 3)
Condition centripète : la composante radiale de la force nette a une
norme de FR=mv2/r=mZ2r
(vers le centre du cercle)
Z
aR
F
Ffr
mZ2r
FN
carousel
T
mg
F est appliquée à la fille par son siège.
(On ne s’occupe que des forces
horizontales ici)
Quelle est la vitesse des voitures dans le
«cercle de mort» ?
Analyse des forces (Du pendule conique):
tanT= Z2r/g = 4S2r/(T2g) = 4r/T2
T=4s, r=8m: tanT= 2 ĺT=600
Phys I SV 2013
v = 2Sr/T = 12.6m/s = 45km/h (aR=2g)
5-10
Comment modifie-t-on la 2ème loi des rotations
dans un référentiel accéléré (Ex. ascenseur) ?
(voir leçon 3)
Situation: On lâche une balle dans un
ascenseur en chute libre
y’
Question: Quelle est la force nette
(norme) de la balle par rapport à
l’ascenseur?
A
y
A. mg + ma0
a0 = -g
B. Zéro
C. mg – ma0 z 0
O
Conclusions
Pour une propre description du mouvement
dans le référentiel accéléré:
(de la personne
dans l’ascenseur):
Il faut ajouter une force fictive –ma0
[opposée à l’accélération réelle de l’ascenseur.]
A réfléchir: comment peut-on
augmenter le poids de la pomme?
5-11
Phys I SV 2013
Quelle force fictive doit-on ajouter à un objet qui est immobile dans
un référentiel qui tourne ?
Dans ce référentiel, qui fait un mouvement
circulaire correspondant à celui du carrousel,
on observe que la fille
1.
2.
ne bouge pas,
mais elle est toujours soumise à la force du
siège …
Z=0
Fcf
F
carousel
Je suis immobile
mais je sens une force FCf
qui me pousse contre le
siège...
Newton: « F=ma » & « Actio=reactio »: Il faut
introduire une force (accélération) fictive qui
s’appelle force centrifuge
–
dirigée vers l’extérieur, sa norme est mv2/R
&
FCf
& & &
mZ u Z u r FCf est une force fictive, force inertielle,
conséquence d’un référentiel accéléré
Voir force centripète/radial: FCf = -FR
Z
Zxr
R
FCf
r
T
5-12
Phys I SV 2013
Faut-il ajouter que la «force» centrifuge afin de décrire
tous les mouvements dans un référentiel tournant ?
Situation: Un pendule est lancé au-dessus d’un
disque tournant. Admettons que son amplitude
(RsinT) soit le diamètre de la plaque et sa période
égale à celle du disque.
Observations: Le pendule se meut sur une ligne
droite dans le référentiel d’inertie, mais sa trajectoire
est circulaire dans le référentiel du disque.
Est-ce que la force centrifuge suffit à expliquer le
phénomène ?
Voir
aF’=Z2r’
Vue d’en haut
est zéro au centre du cercle, mais le mouvement est
toujours un cercle dans le référentiel tournant.
(référentiel d’inertie)
5-13
Phys I SV 2013
Quelles sont les forces inertielles (fictives) à ajouter
dans un référentiel tournant ?
Les effets d’un référentiel tournant. Il
«Force» centrifuge
faut ajouter à la force nette du RI deux
forces fictives (forces inertielles):
«Force» Coriolis
& & &
mZ u Z u r & &
2mZ u v
Z
Quand ces effets sont-ils importants?
Rotations avec vitesse angulaire élevée
Fco
Trajectoires de grande distances (artillerie,
capitaine Bombard)
Pas importants:
Lavabos, écoulement de l’eau
Fusil
sports
Phys I SV 2013
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Preuve: La force Coriolis
La force centrifuge n’explique pas tous les mouvements dans le référentiel tournant
Situation: Un objet passe par le centre
du carrousel. Dans le référentiel
tournant cet objet a subit une
accélération perpendiculaire à sa
vitesse. (on considère un petit temps 't
de passage par le centre).
'x’
'x’ = 'y’ sin'T = vy'tsin'T
= vy't'T
= vy't'tZ
'T=Z't
De la cinématique:
'x’ = ac't2/2
axc = 2vyZz
vy't'tZ
vy
sin'T#'T
Quelle expression
vectorielle ?
'T
Zz
'y’ = vy't
&
aCo
& &
2Z u v
NB. Les mouvements parallèles à Z n’ont pas subi une
telle accélération et n’entrent
& pas en considération.
dr & &
Pourquoi ? Voir …
dt
Zur
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