Trajectoire Balistique d`un Obus dans le champ de pesanteur non

Fermat 06/07 - PCSI 1
Khôlle de Maple 04
Trajectoire Balistique d’un Obus dans le champ de pesanteur non uniforme
de la Terre
Considérons la Terre comme une planète sans atmosphère, sphérique de rayon R, de masse M, dont on
supposera la structure interne à symétrie sphérique. Nous prendrons l’énergie potentielle de gravitation
nulle à l’infini. Soit un obus lancé par un canon depuis la surface de cette planète avec la vitesse initiale
−
→
v0 faisant un angle α avec la verticale du lieu. Nous rappelons les résultats suivants :
– La trajectoire est plane, car le mouvement est à force centrale. Le plan de la trajectoire est défini
→
par −
v0 et la verticale du lieu du q
tir ;
– la vitesse de libération est vL =
2M G
R ,
q
où G est la constante universelle de gravitation.
– la vitesse de vol circulaire est vc = MRG
– l’énergie mécanique ainsi que le moment cinétique sont conservés ;
– Nous prendrons dans le plan de la trajectoire un repérage polaire (r, θ). La trajectoire de l’obus
sera considérée comme elliptique. Le centre de la Terre occupe la position de l’un des foyers ;
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– La trajectoire peut s’écrire : r = 1−e cos(θ−θ
où e est l’excentricité, 0 < e < 1, le trie est effectué
0)
depuis la position (r, θ) = (R, 0)
θ = θ0 est la direction de l’apogée et θ = θ0 + π est la direction du périgée ;
– si l’on nomme C la constante du moment cinétique C = Rv0 sin(α), alors le paramètre de l’ellipse
R2 v02 sin2 (α)
C2
est p = GM
=
GM
– nous considérons que la masse de l’obus est négligeable devant la masse de la Terre de sorte que la
masse réduite pourra être identifiée à la masse m de l’obus ;
– Nous nous plaçons dans l’hypothèse où la vitesse v0 est inférieure de circularisation vc , nous définissons ainsi T = vv0c avec T < 1
Exercice 1. A l’aide de MAPLE, après avoir introduit "ra " et "rp " distances des périgée et apogée au
centre de la Terre, exprimez e2 ainsi que cos2 (θ0 ) en fonction de p, R et du demi-grand axe de l’ellipse a
Exercice 2. De manière indépendante exprimez p en fonction de R, T, α
m
Exercice 3. l’énergie mécanique étant conservée et valant − GM
(rappelons que l’énergie potentielle
2a
−GM m
2
),
Exprimez
cos
(θ
)
en
fonction
de
α
et
T
.
vaut
0
r
Exercice 4. Recherchez les conditions d’extremum.
En plus des cas triviaux α = 0 et α = π2 , il existe deux autres valeurs de cos2 (α) correspondant à
un extremum. Nommons les "cos_carre_optimum_1" et "cos_carre_optimum_2". La seule valeur
mathématiquement acceptable pour cos2 (θ0 ) est celle qui est positive. Vérifiez que l’on obtient alors pour
cet optimum :
T2 − 1
cos2 (α) = 2
T −2
Exercice 5. Application numérique.
Evaluez α pour R = 6400km et T = 0.99. Tracez enfin la trajectoire optimale.
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