DISTRIBUTION DES VITESSES MOYENNES POUR L

792
LA
HOUILLE
BLANCH E
№
SPÉCIAL
B/1953
Distribution des vitesses moyennes
pour l'écoulement turbulent
dans les conduites cylindriques
Distribution of mean velocities
w i t h turbulent flow in cylindrical pipes
PAR E. LEG-END RE
INGÉNIEl'H
EX
CHEF
DC
GÉNIE
MARITIME
A
differential
relation,
inspired
by R E I results,
between
turbulence
and
the
mean
force of viscosity,
serves
as a basis
for
integration
of the
velocity
distribution
law
throughout
the section,
as welt
as for
calculation
of the discharge
and of the
friction
coefficient.
All the results
relating
to
turbulent
flow in cylindrical
pipes
are thus linked
to a
simple
law which,
without
involving
great
difficulties
of integration,
defines
the. influence
of
the Reynold's
number
for the entire
velocity
distribution
curve,
except
perhaps
in the
transition
field.
Une nouvelle
relation
différentielle
entre la turbulence
el la force moyenne
de viscosité,
inspirée des résultats
de R E I C H A R D T , sert de base à
l'intégration
de
la loi de distribution
des
vitesses
dans toute la section,
ainsi qu'au
calcul
du débit
et du coefficient
de frottement.
L'ensemble
des résultats
relatifs
à l'écoulement
turbulent
dans les conduites
cylindriques
est
ainsi
rattaché
à une loi simple
qui, sans
difficulté
d'intégration
insurmontable,
définit
l'influence
du nombre
de Reynolds
pour la totalité
de la
courbe
de distribution
des vitesses,
sauf
peutêtre dans le domaine
de
transition.
new
CHABDT'S
INTRODUCTION
Par une élude antérieure (1), nous avons tenté
de représenter l'écoulement turbulent dans le
( 1 ) N o t e s u r la d i s t r i b u t i o n d e s v i t e s s e s m o y e n n e s
p o u r l'écoulement t u r b u l e n t d a n s les conduites cylind r i q u e s . La Houille
Blanche,
n ' A, 1 0 4 8 (Mém. et
Trav.
S.U.F., n» L 1 9 4 8 ) .
( 2 ) J. N I K C H A D S E . — G e s e t z m ä s s i g k e i t e n d e s t u r b u l e n t e
S t r ö m u n g e n in g l a t t e n R o h r e n . /•''orschunqscbe.fi, 3 5 0 ,
1932.
( 3 1 F i l m t u r b u l e n t d a n s l e s c o n d u i t e s . La
Houille
Blanche,
niai 1 9 5 0 .
(4) H. R E I C H A I U I T . — Der Kinduss der w a n d n a h e n
Strömung auf der turbulente Wärmeübergang.
Mitteilungen
aus dem Max Planck
Institut,
1950.
(51 H . R K I C H A U D T . — V o l l s t ä n d i g e D a r s t e l l u n g d e r t u r b u l e n t e n G e s c h w i n d i g k c i i s V e r t e i l u n g in g l a t t e n L e i t u n g e n . Z.A.M.M.,
juillet 1951.
noyau central d'une conduite cylindrique à partir des résultats anciens de N I K U R A D S E (2).
Nous avons, d'autre part, recherché une relation déterminant la turbulence dans le film au
voisinage de la paroi ( 3 ) et assurant un raccordement continu de la loi de distribution des vitesses dans le noyau â la loi de distribution des
vitesses dans le film.
Simultanément, R E I C H A R D T publiait ( 4 - 5 ) de
nouveaux résultats sur la distribution des vitesses et présentait une interpolation empirique
très voisine de celle que nous avions proposée.
L'objet de la présente, étude est une retouche
de la relation déterminant la turbulence, faite
en vue d'une extrapolation dans le noyau central
Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1953012
№
S P É C I A L B/1953
LA
avec représentation
HOUILLE
correcte des résultats
BLANCHE
de
793
La présente étude est l'ondée sur la relation :
REICHARDT.
d
dy
LOI RÉDUITE DU FROTTEMENT
La loi réduite de frottement peut être représentée sous la forme simple :
y= 9
ou :
y est le rapport du rayon local au rayon R
de la conduite;
1/3
IL(JL)
.9 \y
kh
I
a
4 ;/ — 1
2 e
' 3
L'introduction de g dans le premier membre a
essentiellement pour objet de conserver un sens
à la relation pour les valeurs négatives de y.
Elle n'altère pratiquement pas la loi des vitesses
dans le film, où g est très voisin de 1, et simple
fie l'extrapolation dans le noyau, où h/g est très
voisin de 1.
L'introduction dans le second nombre de la
l'onction
J
, qui est égale à 1 à la paroi,
g est le rapport de la pente locale de la courbe
de distribution des vitesses moyennes
du/dy à la pente de cette courbe à la paroi
du/dg„;
est destinée à la représentation des résultats de
h est le rapport u v/u r de la valeur moyenne
du produit des composantes axiale et radiale de la vitesse au carré de la vitesse de
frottement
:
PENTE DE LA COURBE DE DISTRIBUTION
DES VITESSES
t
«*-' =
dp
dx
R
-r/p
2
p
où T est la tension de frottement à la paroi, ? la
masse spécifique et dp/dx le gradient de pression.
Il doit être noté que, la turbulence étant négligeable au voisinage immédiat de la paroi, la pente
de la courbe de distribution des vitesses est déterminée par la viscosité seule.
REICHARDÏ.
La relation ci-dessus peut être facilement intégrée et définit la pente de la courbe de distribution des vitesses en fonction du rayon réduit ;/.
Posons en effet :
y &
Alors la relation prend la forme d'une équation différentielle à variables séparées :
4 — S
: !
: i
(1 — S )
1 du
R dij„
u*
k
4 y*
.'/
:i
2 s
<>!/
US)
=
S
1 +
1
S +
(1 —
s-
S)*
1
R
2
v
et e est l'inverse du nombre de
avec la vitesse de frottement.
" —
Pour les conditions limites à la paroi S —
et ;/ = !, elle s'intègre immédiatement par :
où u. = p v est la viscosité absolue et v la viscosité cinématique :
1 du
u* dy
_
2
REYNOLDS
VFArclg^l
formé
RELATION
DÉTERMINANT LA TURBULENCE
Pour notre étude antérieure du film, nous
avions introduit une relation complémentaire :
2
12
(1 — ?/ ) H +
2tf)
Lorsque y décroît de 1 à 0, la valeur commune
des deux membres croît de 0 à 3 / 3 2 k/e pour
y — 1 / 2 , puis décroit jusqu'à k/12 g pour y = 0.
Parallèlement, S croit de 0 à une valeur S , (k/e)
pour y = 1 / 2 , puis décroît jusqu'à une valeur
S (k/e) pour y — 0. Ces valeurs sont déterminées par :
0
Jl
£
d
dg
7i'/
9
;i
kh
2 e
où k est la constante de K A R M A N .
Nous avions signalé que cette relation ne peut
pas être extrapolée dans le noyau.
La variable S reste toujours inférieure à 1,
mais s'en approche d'autant plus que e est plus
petit, c'est-à-dire que le nombre de R E Y N O L D S
est plus grand.
La variation de S avec ;/ étant ainsi détermi-
791
L A
H O U I L L E
née, la pente réduite de la courbe de distribution
de vitesse 1/f/* du/dij est définie p a r :
JL
du/dij,,
• du/dij —
DISTRIBUTION DES VITESSES
DÉBIT ET COEFFICIENT
DE FROTTEMENT
N"
B L A N C H E
B/1953
Si la détermination négative du radical est retenue pour le calcul de ;/ < 0,5, il convient de
procéder aux intégrations d'abord de 0 à S, pour
la détermination positive du radical, puis de S,
à S ou à S„ pour la valeur négative du radical.
La formule d'intégration montre que pour
// < 0,5 :
/; {)
Des intégrations supplémentaires sont nécessaires pour le calcul de la vitesse locale, du débit
cl du coefficient de frottement.
SPÉCIAL
= 2 n ¡1/4) — n (1/2—-//-)
La solution exacte peut présenter de l'intérêt
pour l'étude précise des faibles nombres de R E Y N O L D S dans le domaine de raccordement du régime turbulent au régime laminaire. Elle ne
sera pas exploitée par la suite.
La distribution des vitesses est définie par :
1
'
n
/
(1
DISTRIBUTION APPROXIMATIVE
DES VITESSES
S•)//</;/
/1*
La vitesse déficitaire, différence de la vitesse
maximum u,„ sur l'axe et de la vitesse locale n,
est déterminée par :
—'j
i
_ _ —
_
«*
( J — $..•)
2 s Jo
(
•'
/„
k -— = J (S) + A fi/-', s)
•'
Le débit est le produit de la section par la
masse spécifique et par la vitesse moyenne A'
dans la section définie par :
V
1
y ,
M*
avec :
I , C ,
C
1
I
-R y
/ "v
1 1
I,
Mettant en évidence l'allure de variation de la
vitesse au voisinage de la paroi, on peut écrire :
s:!,
'»
-f S - j - S
,
' . :"S,T- +
\/3 S
2
1
I
N
,-T.-,
^
A
.
L
T
L
8
2 + - S
:
-"' ''"
Enfin, le coefficient de frottement
donné, sans intégration nouvelle, par :
(f/
est
En dérivant et tenant compte de la relation
entre ;/ et s, il est possible d'obtenir :
(/ A
= 4
~dif
;:
S
I (S)
1 + 2 tf
1
V::
II n'est fonction, comme V/»*, (pie de s, c'està-dire du nombre de R E Y N O L D S .
Le produit ( I — S ,) I ( S s est nul pour S
0,
mais tend vers 1 lorsque S s'approche de 1 et,
pour une correction, il peut suffire de le confondre avec 1 (*). Alors :
SOLUTION EXACTE
A - 2 lu
Le rayon réduit peut être exprimé explicitement en fonction du paramètre s et la solution exacte peut être calculée numériquement
par les formules :
4
"*, ' ™ \
J12__£_
1
:Î
-s
(/S
:!
4.-
S
1
S
I
V1
k - " - - ,I(S)
:
F
I
^
2 lu
»*
I - S'
11*
En définitive, la distribution des vitesses est
définie paramélriquement, en première approximation, par :
I iff
I (S)
A-
y-
dS
(') Une intégration p a r parties
approximation plus serrée :
pourrait
fournir
.'n
V
1
H ' '
S
I
L
A -2(1 ~
S3) ( (s) In
+ ...
1 -,- 2 i/l
une
N"
u
m
SPÉCIAL
B/1053
LA H O U I L L E
En parlici!lier, la vitesse maximum sur l'axe
peut être calculée par :
Jt
—
u*
.1 <s„.) +
2
In 3
La valeur correspondante de s, c'est-à-dire du
nombre de R E Y N O L D S , est donnée par :
A"
~
1 2 US,,)
=
£
BLANCHE
Les points expérimentaux de N U U ' K A D S E et de
ont été reportés sur la figure sans
indication du nombre de R E Y N O L D S OU de la valeur de s car ils correspondent tous à des nombres de R E Y N O L D S assez élevés et il est déjà satisfaisant de constater qu'ils sont voisins de la
courbe limite et plutôt au-dessous dans la région
1 0 < ; / < 1 0 0 où '
courbes théoriques montrent précisément que la vitesse doit diminuer
pour une valeur donnée de j / lorsque s croit.
La représentation des résultats expérimentaux
dans le domaine des grandes valeurs de y., est
un peu moins satisfaisante.
RKICHAHDT
o s
+
+
CALCUL DE LA DISTRIBUTION
DES VITESSES
Les résultats du calcul sont représentés sulla figure, 1.
COEFFICIENT
DE FROTTEMENT APPROXIMATIF
Le procédé d'approximation, utilisé pour le
calcul de la distribution des vitesses, peul aussi
être exploité pour la détermination de la vitesse
moyenne dans la section, mais l'erreur introduite
dans chacun des calculs ne garantit pas leur
parfaite correspondance.
La vitesse moyenne est la limite pour //
0
de V(y) :
V
(y)
:
S' ) //" tly
IL
-t.-/.
Posons :
V
(y)
J ( SS -J- LÌ <{/-, s)
F m. 1
La courbe en trait plein correspond à la limite
pour £ = 0 de la distribution des vitesses »/ei*
portée en fonction de y = ( 1 — ; / ) / 2 s sur une
échelle logarithmique.
La courbe en trait discontinu correspond à la
vitesse maximum réduite n /u en fonction de
La dérivation et l'élimination partielle de y
donne :
+
I
m
// , =
^
2 s
:;
(S)
i
:
<ly
3
A
B
pour y = 0. Elle cesse d'être signifi-
S
ir
'
calive pour les petites valeurs de y, en raison
des approximations faites.
La courbe en trait ponctué représente la distribution des vitesses pour £ — 0.01. Elle n'est
pas connue avec précision, puisque les approximations supposent s très petit, mais donne une
image de 'influence du nombre de R E Y N O L D S .
Les courbes correspondant à des valeurs de a
plus faibles, du domaine des nombres de R E Y N O L D S usuels, n'ont pas été tracées car elles sont
pratiquement confondues avec la courbe limite
pour £ = 0 lorsque ; / est modéré et s'élèvent
ensuite légèrement au-dessus de cette courbe
pour franchir même la courbe des vitesses
máxima avant d'y aboutir.
+
et, en passant à la limite :
A-
V
In 3
.1 <S„) -I-
h*
ou encore, en rapprochant de la loi de vitesse
maxima et en adoptant A* — 0,4 :
3
H*
2 A-
In 3
15
1.
In 3
~
4,12
valeur très voisine de celle déduite par P R A N D T L
des résultats expérimentaux, soit 1,07.
Il est alors facile de calculer le coefficient de
LA H O U I L L E
790
frottement C et le nombre de R E Y N O L D S lR. correspondant en fonction du paramètre S :
f
0
k ^/-^
o l
= J(S ) +
0
2 V R _ J__V_
V
£
_
U*
In3
_ L
12HS )
/y
n
A"
V
^ /
N"
BLANCHE
I(S)=
a s
qui correspond
simple :
à la relation
a
jL-JL(±f
2
Dans le domaine franchement turbulent, le
coefficient de frottement calculé est un peu trop
B/1953
faible. Ceci doit être rapproché de la valeur trop
élevée de la vitesse maxima, déjà mise en évidence sur la figure 1, et qui entraine la vitesse
moyenne. Il ne serait possible de remédier à
cette imperfection qu'en retouchant quelque peu
la loi de couche-limite ou la loi d'extrapolation
vers le noyau de R E I C H A R D T . Nous avions antérieurement étudié la relation :
Les résutats du calcul sont représentés sur
la ligure 2, où ils sont comparés avec les résultats expérimentaux.
F io.
SPÉCIAL
Œ
- f
complémentaire
^
et conduit à une valeur plus satisfaisante de la
vitesse maxima, de la vitesse moyenne et du
coefficient de frottement, mais s'accorde moins
bien avec la distribution des vitesses dans le
noyau telle qu'elle est présentée par R E I C H A R D T .
Dans le domaine de transition, les résultats
expérimentaux montrent un raccordement du
régime turbulent au régime laminaire beaucoup
moins progressif que celui qu'indique le calcul.
II est vraisemblable que ceci subsisterait s'il était
renoncé aux facilités des approximations qui sont
plus spécialement hasardées dans ce domaine.
CONCLUSION
Il semble possible de représenter l'ensemble des
résultats expérimentaux relatifs à l'écoulement
dans les conduites cylindriques en partant d'une
loi élémentaire assez simple qui, sans difficulté
d'intégration insurmontable, définit l'influence
du nombre de R E Y N O L D S pour la totalité de la
courbe de distribution des vitesses, sauf peutêtre dans le domaine de transition.
Il est vraisemblablement possible d'améliorer
encore la représentation en retouchant quelque
peu la loi élémentaire. Celle-ci n'a pourtant pas
de. signification physique profonde car il est vraisemblable que la turbulence satisfait à une équation intégrale dont les équations différentielles,
progressivement compliquées depuis Von K A R MAN, ne donnent qu'une image approchée.
D I S C U S S I O N
( P r é s i d e n t : M.
BARIULLON)
M. D A N E L s i g n a l e q u e XL B I É S E I . ;I f a i t r é c e m m e n t u n e
é l u d e a n a l o g u e b a s é e s u r d e s h y p o t h è s e s s i m p l i f i é e s et
d é f i n i s s a n t t h é o r i q u e m e n t l a h a r p e et la c o u r b e d e N i k u radse, m a i s s'écartant de la droite de Blasius p o u r redesc e n d r e v e r s le b a s a p r è s le g e n o u . C e t t e t h é o r i e . e x p l i q u e r a i t certains r é s u l t a t s d'expériences, n o t a m m e n t celles
de C O M O I . E T , e t t e n d r a i t à r é s o u d r e le p r o b l è m e d e la
stabilité de l'écoulement l a m i n a i r e .
do f r o t t e m e n t p a r c e l l e d e s r é s i s t a n c e s : o r , d a n s l a s t a b i l i t é , c'est la r é s i s t a n c e , p r o d u i t d u coefficient de f r o t t e m e n t p a r le c a r r é d e l a v i t e s s e q u i c o m p t e . M . L E G E N D I U Ï
p e n s a i t qu'il, p o u v a i t e x i s t e r p o u r d e s v i t e s s e s c r o i s s a n t e s u n f a u x é q u i l i b r e l a m i n a i r e p r o l o n g é et q u ' e n
r e v a n c h e , si on d i m i n u a i t la v i t e s s e , on p o u v a i t se r a c corder d'une façon c o n t i n u e à la courbe, p a r suite du
r e t o u r de la t u r b u l e n c e .
M. L E O E X D R E r e m a r q u e q u e le g e n o u e s t b e a u c o u p
m o i n s a c c e n t u é si o n r e m p l a c e l ' é c h e l l e d e s c o e f f i c i e n t s
M. l e P r é s i d e n t r e m e r c i e M. L E O E N D U E et p r o p o s e d e
d e m a n d e r à M. B I É S E L d e p r é s e n t e r s o n é t u d e à u n e p r o chaine réunion.