t - Agrégation de physique

Agrégation externe de sciences physiques, option physique
Session 2008
Corrigé de l’épreuve A
ELECTROMAGNETISME
Première Partie : Quelques aspects fondamentaux de l’électromagnétisme
A. Des équations de Maxwell
I. ♦ Coulomb Charles (1736-1806) : met en évidence expérimentalement la loi
d’interaction électrostatique en 1
r
2 (loi de Coulomb).
♦ Ampère André-Marie (1775-1836) : origine électrique du magnétisme (courants
ampériens), travaux sur les forces d’interaction entre circuits, théorème dit d’Ampère.
♦ Faraday Michael (1791-1867) : lois expérimentales de l’induction
électromagnétique.
♦ Maxwell James Clerk (1831-1879) : réalise la synthèse de l’électromagnétisme en
unifiant électricité, magnétisme, induction, et en prévoyant l’existence des ondes
électromagnétiques. Il est à noter que Maxwell n’est pas l’auteur formel des célèbres
équations de Maxwell, même si les idées fondamentales qui s’y cachent lui sont dues
sans doute possible. C’est Oliver Heaviside, élève de Maxwell qui mettra les idées de
Maxwell en forme et produira formellement le système des « équations de Maxwell ».
♦ Hertz Heinrich (1857-1894) : réussit, en 1886, à produire et à détecter des ondes
électromagnétiques. Il apporte ainsi, vingt ans après, la confirmation expérimentale à
la théorie de Maxwell.
♦ Lorentz Hendrik Antoon (1853-1928) : auteur de la célèbre transformation de
Lorentz, qui permettra de donner à l’électromagnétisme son cadre naturel : la
relativité.
♦Lorenz Ludwig (1829-1891) : même si ce n’est pas à lui que l’énoncé pensait, on
pouvait évoquer son nom car il fut l’un des premiers à développer la théorie de
Maxwell et à utiliser les potentiels scalaire et vecteur…
II. ♦ divE =
ρ
ε
0
⇔E.nextdS
S
∫∫ =Qint
ε
0
: théorème de Gauss
rotB =
μ
0j+
ε
0
∂ E
∂ t
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇔B.dl
C
∫=
μ
0Iint +
ε
0
∂ E
∂ t.ndS
S
∫∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
: théorème d’Ampère
rotE =−
∂ B
∂ t⇔E.dl
C
∫=− d
dt B.ndS
S
∫∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ : loi de Faraday
divB =0⇔B.nextdS
S
∫∫ =0 : champ magnétique à flux conservatif
♦ Pour fonder l’électromagnétisme, il faut ajouter, ou bien la loi de force de Lorentz, qui
définit l’interaction électromagnétique, ou bien, l’expression du vecteur de Poynting,
qui caractérise les échanges énergétiques.
Agrégation externe de physique 2008 : Corrigé composition de physique épreuve A 2008.doc Page 1 sur 20

B. De l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires…
I. Condensateur plan en régime sinusoïdal forcé : première approche.
1.a. La symétrie de révolution d’axe Oz ainsi que l’existence des plans de symétrie contenant l’axe Oz
impliquent :
E r,t
()
=Err,z,t
()
ur+Ezr,z,t
()
uz
B r,t
()
=B
θ
r,z,t
()
u
θ
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ .
Si rot
E
=0,
∂
E
r
∂ z=
∂
E
z
∂ r, soit en ordre de grandeur : Er e≈Ez
R
, donc : Er
Ez
≈e
R<<1.
1.b. Dans ces conditions, la composante radiale du champ électrique est bien négligeable et on peut
donc écrire : E r,t
()
≈Ezr,z,t
(
)uz. De plus, l’espace inter-armatures étant vide de charges,
div
E
=0, soit
∂
E
z
∂ z=0. Enfin,
E
n’étant fonction que de
r
et , l’équation de Maxwell-Faraday
implique que
t
B
aussi ne dépende que de
r
et . t
Conclusion :
E r,t
()
=Ezr,t
()
uz
B r,t
()
=B
θ
r,t
()
u
θ
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ .
2. Les équations de Maxwell donnent l’équation de d’Alembert, qui s’écrit simplement pour
E
:
∂
2E
∂
r
2+1
r
∂ E
∂
r
−1
c2
∂
2E
∂
t2=0.
3. L’équation de Maxwell-Faraday donne immédiatement : B r,t
()
=−i
E
0
ω
′
e r
()
exp i ω t
()
4. On déduit de la question précédente que er
(
) vérifie l’équation : ′ ′
e r
()
+1
r
′
e r
()
+
ω
2
c2er
()
=0. En
posant u=
ω
r
c, il vient (puisque
∂
e
∂
r
=
ω
c
∂
e
∂
u) : ′ ′
e u
()
+1
u′
e u
()
+eu
()
=0.
5.a. L’équation de Maxwell-Ampère, ou le théorème d’Ampère écrit le long d’un cercle orienté d’axe
Oz, et de rayon r donne : B1r,t
()
=i
ω
2c2rE0exp i
ω t
()
.
5.b. Il s’agit d’un phénomène d’induction (de Neumann). L’équation de Maxwell-Faraday donne :
E2r,t
()
=−
ω
2r2
4c2E0exp i
ω t
()
. Ce champ électrique doit s’annuler sur l’axe car il est dû au champ
perturbatif B1r,t
()
=i
ω
2c2rE0exp i
ω t
()
, lequel s’annule sur l’axe.
5.c. Le théorème d’Ampère donne, en partant de E2r,t
(
)
: B3r,t
()
=− i
ω
3
16c4r3E0exp i
ω t
()
.
La loi de Faraday donne, en partant de B3r,t
(
)
: E4r,t
()
=
ω
4r4
64c4E0exp i
ω t
()
.
5.d. On somme les différentes contributions : E r,t
(
)
=
E0r,t
(
)
+
E2r,t
(
)
+
E4r,t
(
)
+... et on trouve :
E r,t
()
=E01−1
4
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2
+1
64
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
4
+...
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
exp i ω t
()
.
Agrégation externe de physique 2008 : Corrigé composition de physique épreuve A 2008.doc Page 2 sur 20

Le développement limité de e
ω
r
c
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ à l’ordre 4 s’écrit donc : e
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ =1−1
4
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2
+1
64
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
4
+...
5.e. Le développement à l’ordre 3 du champ magnétique s’écrit donc (d’après la question 3) :
B r,t
()
=iB0exp i ω t
()
1
2
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ −1
16
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
3
+...
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
où B0=
E
0
c.
5.f. On applique le théorème de Gauss à une surface cylindrique fermée « à cheval » sur l’armature du
haut, et on ne retient que le terme dominant dans l’expression de E r,t
(
) (la solution trouvée étant
valide à toute fréquence, on choisit ici de se placer en basse fréquence). On obtient : E0=−Q0
ε
0S et
B0=− Q0
ε
0cS .
5.g. On a trouvé en d. les premiers termes du développement en série de la fonction de Bessel
J0
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ =−1
()
k
k!
()
2
ω r
2c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2k
k=0
∞
∑et en e. les premiers termes de la série :
′
J
0
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ =−1
()
k+1
k!k+1
()
!
ω r
2c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2k+1
=
k=0
∞
∑J1
ω r
c
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Les résultats sont évidemment cohérents.
II. Solénoïde infini en régime sinusoïdal forcé.
1. Le modèle du solénoïde infini consiste à négliger les effets de bords. Il est valide tant que sa
longueur est très supérieure à son rayon.
Les symétries et invariances donnent le cas dual du précédent : a priori,
B r,t
()
=Brr,z,t
()
ur+Bzr,z,t
()
uz
E r,t
()
=E
θ
r,z,t
()
u
θ
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ . De plus, l’équation de Maxwell-Thomson donne :
divB =1
r
∂
rBr
()
∂ r+
∂ Bz
∂ z=0. Donc, Bz Br
≈l
R>>1 et
∂
B
z
∂ z≈0. Enfin, l’équation de Maxwell-
Ampère permet d’affirmer que si
B
ne dépend que de
r
et , alors il en est de même pour t
E
.
Conclusion :
B r,t
(
)=Bzr,t
()
uz
E r,t
()
=E
θ
r,t
()
u
θ
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ .
2. L’équation de d’Alembert pour
B
est l’équation que vérifiait
E
précédemment :
∂
2B
∂
r
2+1
r
∂ B
∂
r
−1
c2
∂
2B
∂
t2=0.
3. La géométrie des champs est permutée par rapport au cas précédent. Par conséquent,
B r,t
()
=B0e
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
exp i ω t
()
=B01−1
4
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2
+1
64
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
4
+...
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
exp i ω t
()
.
L’équation de Maxwell-Ampère nous donne : E r,t
(
)
=
icB0
′
e u
(
)exp i
ω
t
(
) soit :
E r,t
()
=icB0−1
2
ω r
c+1 16
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
3
+...
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
exp i ω t
()
.
Agrégation externe de physique 2008 : Corrigé composition de physique épreuve A 2008.doc Page 3 sur 20

4. On se place en basse fréquence (et on ne conserve donc que le terme dominant dans B r,t
()
.
Une application élémentaire du théorème d’Ampère donne :
B
0
=
μ
0n
I
0 et
E
0=
μ
0cn
I
0
(définition de cette dernière grandeur ambiguë).
III. Considérations énergétiques en régime « lentement variable ».
1. La taille d’un montage électronique ou électrique usuel est au (grand) maximum de
l’ordre de quelques dizaines de centimètres à 1 m. Pour que l’approximation proposée
soit valide, il suffit que f<< c
2
π
r
, soit
f
<
<10 MHz (en prenant 1 m).
2. ♦ Pour le condensateur,
E≈E0exp i ω t
(
)uz
B r,t
()
≈i
2c
ω r
cE0exp i
ω t
()
u
θ
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ à l’ordre le plus bas en
ω
r
c. Alors, E
cB ≈c
ω r>>1. Le condensateur est un système « dominante électrique ».
♦ Pour le solénoïde,
B≈B0exp i ω t
(
)uz
E r,t
()
≈−ic
2
ω r
cB0exp i
ω t
()
u
θ
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ à l’ordre le plus bas en
ω
r
c.
Alors, E
cB ≈
ω
r
c<<1. Le solénoïde est un système « dominante magnétique ».
3. ♦ Pour le condensateur,
uém r,t
()
=
ε
0E0
2
2cos2
ω t
()
+1
4
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2sin2
ω t
()
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ ≈
ε
0E0
2
2cos2
ω t
()
. L’énergie
magnétique est négligeable devant l’énergie électrique :
ε
0E2
2>> B2 2 μ
0
♦ Pour le solénoïde,
uém r,t
()
=
μ
0nI0
()
2
2 μ
0
cos2 ω t
()
+1
4
ω r
c
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2sin2
ω t
()
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ ≈
μ
0nI0
(
)2
2 μ
0
cos2 ω t
()
. L’énergie
électrique est négligeable devant l’énergie magnétique :
ε
0E2
2<< B2 2 μ
0
♦ Dans le cas d’une OPP dans le vide, il y a équirépartition de la densité d’énergie :
ε
0E2
2=B2 2 μ
0
.
4. ♦ Pour le condensateur : Πr,t
()
=E0
2
4 μ
0c
ω r
csin 2
ω t
()
ur.
♦ Pour le solénoïde : Πr,t
()
=cB0
2
4 μ
0
ω r
csin 2
ω t
()
ur.
5. ♦ Pour le condensateur :
Pext =Πr,t
()
.nextdS =
surface
intérieure
∫∫ E0
2
4 μ
0c
ω R
csin 2
ω t
()
.e.2 π R=
π eRE0
2
2 μ
0c
ω R
csin 2
ω t
()
. Or
l’énergie électromagnétique stockée dans le condensateur vaut (cf. 3) :
Agrégation externe de physique 2008 : Corrigé composition de physique épreuve A 2008.doc Page 4 sur 20

Uém t
()≈
ε
0E0
2
2cos2
ω t
()
.e. π R2. On vérifie aisément que : dUém
dt =−Pext , ce qui
traduit la conservation de l’énergie.
♦ Pour le solénoïde :
Pext =Πr,t
()
.nextdS =
surface
intérieure
∫∫ cB0
2
4 μ
0
ω R
csin 2
ω t
()
.l.2 π R=c
π lRB0
2
2 μ
0
ω R
csin 2
ω t
()
.Et
l’énergie stockée dans la bobine vaut : Uém t
()≈B0
2
2 μ
0
cos2 ω t
()
.l. π R2. On vérifie
aisément que : dUém
dt =−Pext , ce qui traduit la conservation de l’énergie.
IV. L’ARQS : premier contact
1. ♦ Dans un système à dominante électrique comme le condensateur, on voit de voir que le
champ électrique a la même structure qu’en électrostatique en basse fréquence (cf. IV. 2). Donc
l’équation de Maxwell-Faraday se réduit à rot
E
=
0.
En revanche, le champ magnétique étant dû aux variations du champ électrique (cf. calcul), il
nous faut garder l’équation de Maxwell-Ampère intégrale : rotB =
μ
0j+
ε
0
∂ E
∂ t
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
.
2. ♦ Dans un système à dominante magnétique comme le solénoïde, le champ magnétique a la
même expression qu’en statique en basse fréquence (cf. IV.2). Donc l’équation de Maxwell-
Ampère s’écrit de manière approchée : rotB =
μ
0j.
Par contre, le champ électrique, ainsi qu’on l’a vu est induit par les variations du champ
magnétique. Donc, il faut conserver l’équation de Maxwell-Faraday intégrale : rotE =−
∂ B
∂
t.
3. Non, on ne peut pas parler sans ambiguïté de l’ARQS, et encore moins énoncer les équations
de Maxwell dans ladite approximation.
V. Potentiels retardés. Définition de l’ARQS
1. L’équation de Maxwell-Thomson di
v
B
=
0 équivaut à l’existence d’un potentiel vecteur
A
tel que
B
=rot
A
.
L’équation de Maxwell-Faraday, qu’on peut formuler ainsi : rot E +
∂ A
∂ t
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =0, implique
l’existence d’un potentiel scalaire V tel que E+
∂ A
∂
t=−gradV .
2.
A
est défini à un gradient près : A1=A+gradΦ convient tout aussi bien ; puisqu’il donne
le même champ magnétique
B
. Du coup, le potentiel scalaire
V
1 défini par :
V1=V−
∂
Φ
∂
t+cste(t) convient puisqu’associé à A1=A+gradΦ, il donne le bon champ
électrique
E
.
Conclusion : les couples A,V
[
]
et A1,V1
[
]
sont équivalents.
On choisit alors la jauge de Lorentz : divA +1
c2
∂
V
∂
t=0.
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