Classe PC Dupuy de Lôme

EM2 : Étude des conducteurs dans l’ARQS
1 L’Approximation des régimes quasi-stationnaires
1.1 Condition et conséquences de l’ARQS
1.1.1 Condition d’application de l’ARQS
Voir la définition des potentiels retardés au chapitre précédent.
On cherche les conditions pour lesquelles on pourra négliger le temps de propagation de l’information. Cela
correspond alors à poser
y y
Ce qui revient à vérifier , soit .
En considérant un phénomène sinusoïdal, le retard doit donc être négligeable devant la période du système,
soit
Les effets d’une distribution de courants et de charges avec
sont observés en . Tout régime sinusoïdal de longueur d’onde pourra
être étudié dans l’Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS) si
Application
Ordres de grandeur de l’ARQS
Fréquence Longueur d’onde Dimensions maximum des circuits
EDF :
Ordinateur :
1.1.2 Ondes et ARQS
Dans l’ARQS, les états électromagnétiques sont tous identiques à un même
instant en tout point . On néglige donc les pnénomènes ondulatoires dans l’ARQS.
2 Circuits électriques dans l’ARQS
2.1 Loi d’Ohm
Dans l’ARQS, on supposera que la mobilité des proteurs est indépendante de l’intensité du champ électrique.

On peut alors considéré un coefficient de mobilité tel que pour un porteur :
En reprenant la définition du vecteur densité volumique de courant, on aboutit à la relation :
Pour un conducteur dont la densité volumique de porteurs de charge peut être considérée comme uniforme ( un
conducteur métallique par exemple), cela revient à définir un coefficient de conductivité électrique etl que
Loi d’Ohm locale
Dans le référentiel du conducteur pouvant être considéré comme galiléen, le vecteur
densité de courant et le champ électrique peuvent êtres reliés par la loi d’Ohm 1
avec la conductivité du milieu
La conductivité d’un solide peut nous permettre de le classer en trois catégories : Métaux / semi-conducteurs
/ isolants
Métal : Sa conductivité est supérieure à et peut aller jusqu’à pour des métaux nobles
comme l’argent. Le cuivre est un bon conducteur.
Semi-conducteurs : Ils ont des conductivités moindres ( ), mais leur conductivité dépend
fortement d’influences variées, ce qui fait leur intérêt en électronique.
2.2 Effet Joule
Puissance volumique cédée aux porteurs de charge On a montrer que soit ici
Dans le cadre du modèle de Drüde, on a la force volumique de frottement qe qui donne comme
expression de la puissance volumique
Effet Joule
L’énergie fournie par le champ aux porteurs de charges est entièrement dissipée
par echauffement du milieu conducteur.
1. Ohm : Physicien Allemand du siècle

2.3 Équations de Maxwell dans l’ARQS
En étudiant l’équation de Maxwell-Ampère, on peut définir
– Les courants de conduction
– Les courants de déplacement
En considérant un champ de type sinusoïdal de pulsation , cherchons la condition pour que :
, soit AN :
On s’apreçoit que la condition de l’A.R.Q.S est plus restrictive que celle-ci.
En régime quasi-stationnaire, on néglige les courants de déplacement
devant devant les courants électriques
On peut alors écrire les équations de Maxwell dans l’ARQS
Maxwell-Gauss Maxwell-Faraday
Maxwell-Flux Maxwell-Ampère
2.4 Conservation de la charge
Temps de relaxation On part de L’équation de Maxwell-Gauss :
La loi d’Ohm locale : , ce qui permet d’écrire
Or l’équation locale de conservation de la charge est ce qui donne
En posant on en déduit la loi d’évolution de la charge dans le conducteur
Or pour les conducteurs, ce qui donne .
Neutralité du milieu Les conditions d’application de l’ARQS correspondent à soit . On
peut donc en déduire que dans l’ARQS
La densité locale de charges d’un conducteur est globalement nulle dans l’ARQS. L’équation locale de la conser-
vation de la charge s’écrit alors
Loi des Noeuds La loi des noeuds est une conséquences de cette loi de conservation de la charge dans l’ARQS.
En effet, on a tdonc v.

2.5 Equation de la diffusion
L’objectif est ici de déterminer la champ du vecteur densité de courants à l’intérieur d’un conducteur de conduc-
tivité . Rassemblons les équations propres au conducteur dans l’ARQS
– Loi de conservation de la charge :
– Equation de Maxwell-Faraday :
– Equation de maxwell-Ampère :
On en déduit que
Dans un conducteur de conductivité , les vecteurs et vérifient l’équation de la diffusion du type
Dans un conducteur de conductivité , les courants sont localisés sur une épaisseur à la surface du conducteur,
appelée épaisseur de peau.
diminue si on augmente et .
Un conducteur sera dit idéal si cette épaisseur est négligeable devant les caractéristiques de la section du conduc-
teur.
Application
On considère un demi-plan de l’espace ( ) conducteur, de conductivité . On définit le vecteur densité de
courant en tout point du conducteur. On donne la condition aux limites
.
Exprimer en fonction de et .
– L’équation de la diffusion s’écrit ici
– On associe à la représentation complexe . On obtient alors
– On associe à cette E.D. l’équation caractéristique qui a pour solutions
– On pose l’épaisseur de peau. On en déduit donc
– Le module de devant rester borné , cela impose
A
B
.

Pour un demi-espace de conductivité , on obtient
avec :
A titre d’exemple, pour le cuivre ( ), on aura
pour une fréquence
pour une fréquence
pour une fréquence