Classe PC Dupuy de Lôme

EM2 : Étude des conducteurs dans l’ARQS
1
L’Approximation des régimes quasi-stationnaires
1.1
Condition et conséquences de l’ARQS
1.1.1
Condition d’application de l’ARQS
Voir la définition des potentiels retardés au chapitre précédent.
On cherche les conditions pour lesquelles on pourra négliger le temps de propagation de l’information. Cela
correspond alors à poser
(
V M; t
)=
y
dist:
1
4
P; t
:
::0
r
r
c :d
y
dist:
1
( )
4
P; t
:d
::0
r
:
Ce qui revient à vérifier t rc t, soit rc t 8 P M .
En considérant un phénomène sinusoïdal, le retard doit donc être négligeable devant la période T du système,
soit rc T
c
=
!
Les effets d’une distribution (D) de courants j (P; t) et de charges (P; t) avec
P 2 (D) sont observés en M . Tout régime sinusoïdal de longueur d’onde pourra
être étudié dans l’Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS) si
PM
Application
Ordres de grandeur de l’ARQS
Fréquence
EDF : N
= 50 Hz
Ordinateur : N
1.1.2
= 1 GHz
Longueur d’onde
= 6000 km
= 30 cm
Dimensions maximum des circuits
rmax
= 100 km
rmax
= 1 cm
Ondes et ARQS
Dans l’ARQS, les états électromagnétiques '(M; t) sont tous identiques à un même
instant t en tout point M . On néglige donc les pnénomènes ondulatoires dans l’ARQS.
2
2.1
Circuits électriques dans l’ARQS
Loi d’Ohm
Dans l’ARQS, on supposera que la mobilité des proteurs est indépendante de l’intensité du champ électrique.
On peut alors considéré un coefficient de mobilité tel que pour un porteur :
!
!
vp = E
En reprenant la définition du vecteur densité volumique de courant, on aboutit à la relation :
!j = ::!
E
p
Pour un conducteur dont la densité volumique de porteurs de charge peut être considérée comme uniforme ( un
conducteur métallique par exemple), cela revient à définir un coefficient de conductivité électrique etl que
!j = :!
E
Loi d’Ohm locale
Dans le référentiel du conducteur pouvant être considéré comme galiléen, le vecteur
!
!
densité de courant j et le champ électrique E peuvent êtres reliés par la loi d’Ohm 1
!j = :!
E
avec la conductivité du milieu
La conductivité d’un solide peut nous permettre de le classer en trois catégories : Métaux / semi-conducteurs
/ isolants
Métal : Sa conductivité est supérieure à 4 S:m
comme l’argent. Le cuivre est un bon conducteur.
10
1 et peut aller jusqu’à 109 S:m 1 pour des métaux nobles
8<<
Semi-conducteurs : Ils ont des conductivités moindres (
fortement d’influences variées, ce qui fait leur intérêt en électronique.
104 ), mais leur conductivité dépend
10
2.2
Effet Joule
Puissance volumique cédée aux porteurs de charge On a montrer que
Pv = !j :!
E soit ici
Pv = :E 2
!=
Dans le cadre du modèle de Drüde, on a la force volumique de frottement fv
expression de la puissance volumique
!
f :!
v =
v
n:m:
Effet Joule
!v :!v
!
=
n:m:
j2
n:q
( )2 =
j2
=
n:m:
!v
qe qui donne comme
:E 2
L’énergie fournie par le champ E aux porteurs de charges est entièrement dissipée
par echauffement du milieu conducteur.
1. Ohm : Physicien Allemand du XIII ime siècle
2.3
Équations de Maxwell dans l’ARQS
En étudiant l’équation de Maxwell-Ampère, on peut définir
!
– Les courants de conduction j
!
!
@E
– Les courants de déplacement jD 0 :
@t
!
!
En considérant un champ de type sinusoïdal de pulsation ! , cherchons la condition pour que kjD k k j k :
:E 0 :!:E , soit ! AN : ! 4 : :: 9 rad:s 1
0
On s’apreçoit que la condition de l’A.R.Q.S est plus restrictive que celle-ci.
=
10 36 10
!
!
@E
En régime quasi-stationnaire, on néglige les courants de déplacement jD = 0:
@t
!
devant devant les courants électriques j
On peut alors écrire les équations de Maxwell dans l’ARQS
t)
) = (M;
0
!
div B (M; t) = 0
!(
div E M; t
Maxwell-Gauss
Maxwell-Flux
2.4
On part de
8
>
<L’équation de Maxwell-Gauss :
>
:La loi d’Ohm locale :
!j = :!
E
!
) = @@tB (M; t)
!
!!
rot B (M; t) = 0 : j (M; t)
Maxwell-Ampère
Conservation de la charge
Temps de relaxation
!!(
rot E M; t
Maxwell-Faraday
!=
div E
0
, ce qui permet d’écrire
! = div j
0
! + @ = 0 ce qui donne
Or l’équation locale de conservation de la charge est div j
0
En posant @t
+ @
=0
@t
= 0 on en déduit la loi d’évolution de la charge dans le conducteur
t0
( ) = 0 :e
Or pour les conducteurs, > 104 ce qui donne < 10 14 s.
t
t
Neutralité du milieu Les conditions d’application de l’ARQS correspondent à peut donc en déduire que dans l’ARQS
T
1 m soit T 10
8
s. On
La densité locale de charges d’un conducteur est globalement nulle dans l’ARQS. L’équation locale de la conservation de la charge s’écrit alors
! !
div j
=0
Loi des Noeuds La loi des noeuds est une conséquences de cette loi de conservation de la charge dans l’ARQS.
t
! donc v !j :dS
! .
En effet, on a V div j
S
=0
=0
2.5
Equation de la diffusion
L’objectif est ici de déterminer la champ du vecteur densité de courants à l’intérieur d’un conducteur de conductivité . Rassemblons les équations propres au conducteur dans l’ARQS
!
– Loi de conservation de la charge : div j
B
!! : @ !
– Equation de Maxwell-Faraday : rot j
@t
!
!!
– Equation de maxwell-Ampère : rot B 0 : j
On en déduit que
!
!!
!!
@j
@B
!
!
rot rot j
:0 :
: rot
@t
@t
|
{z
}
{z
}
|
!
!
!
grad div j j
!!
@ rot B
=
=
=0
=
=
@t
! !
Dans un conducteur de conductivité , les vecteurs E et j vérifient l’équation de la diffusion du type
!
!
@X
X = : :
0
@t
Dans un conducteur de conductivité , les courants sont localisés sur une épaisseur Æ à la surface du conducteur,
appelée épaisseur de peau.
Æ diminue si on augmente ! et .
Un conducteur sera dit idéal si cette épaisseur est négligeable devant les caractéristiques de la section du conducteur.
Application
0
)
On considère un demi-plan de l’espace (x > ) conducteur, de conductivité . On définit le vecteur densité de
! j x :u! en tout point P x; y; z du conducteur. On donne la condition aux limites !j x ; t
courant j
z
!z .
j0 :cos !:t :u
!
Exprimer j en fonction de et ! .
@j
@2j x
– L’équation de la diffusion s’écrit ici
:0 :
2
@x
@t
– On associe à j x la représentation complexe j x; t
j0 x :ei:(!:t+'(x)) j 0 x :ei:(!:t) . On obtient alors
( )
= ()
(
( )=
()
–
( =0 )=
( )= ( )
@ 2 j (x)
= :0 :i:!:j 0 (x)
@x2
= ()
On associe à cette E.D. l’équation caractéristique r 2 = i:!::0 = e 2 :!::0
r
– On pose Æ
=
s
2
!::0
= e 4 :p!::0 = 1p+2i :p!::0
l’épaisseur de peau. On en déduit donc
1 + i :x
( ) = A:e Æ + B:e
– Le module de j (x) devant rester borné 8x > 0, cela impose
8
<z !/: A = 0
:z ! 0 : B = j
0
j x
.
1
Æ
i
:x
qui a pour solutions
Pour un demi-espace x >
0 de conductivité , on obtient
( )=
j x; t
x
Æ
:cos !:t
j0 :e
A titre d’exemple, pour le cuivre ( = 6:107
S:m
z
Æ
avec :Æ
1 ), on aura Æ =
8
>
>
<
=
s
2
!::0
9 mm pour une fréquence N = 50 Hz
65 m pour une fréquence N = 1 MHz
>
>
:
0; 9 mm pour une fréquence N = 5 GHz