texte de la PC - Ecole polytechnique

ECOLE POLYTECHNIQUE −Promotion X2015
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY431.html
RELATIVITÉ ET PRINCIPES VARIATIONNELS (PHY431)
Petite Classe 8 (10 janvier 2017)
Un zest de relativité générale et quelques rappels sur les processus
collisionnels
Cette PC est consacrée d’une part à l’étude de l’une des premières applications de la relativité
générale (avance du périhélie de Mercure) et d’autre part à quelques rappels concernant les
processus réactionnels.
1 Le problème de Kepler (suite)
Nous reprenons le problème de Kepler abordé dans le cadre de la dynamique hamiltonienne
classique à la PC7. Nous l’appliquons ici à la planète Mercure. L’orbite (classique) de cette
dernière est elliptique avec une très faible excentricité (orbite quasi-circulaire de rayon moyen
r≃55 ×106km). Au niveau classique, nous avions montré que le vecteur de Runge-Lenz,
~
K≡~p ×~
L
m−k~r r,(1)
est une quantité conservée. Dans la formule ci-dessus, nous avons noté k≡GMm où G=
6,67 ×10−11 m3/kg.s2est la constante de gravitation universelle, M≃2×1030kg est la masse
du Soleil et mest la masse de Mercure. De plus, nous avions montré que le vecteur ~ Kpointe
dans la direction du périhélie.
Nous nous intéressons à présent aux corrections de la trajectoire induites par la relativité générale.
1. Le Soleil étant supposé statique et à symétrie sphérique, on utilise la métrique de Schwarz-
schild,
g00 = 1 −RS/r ,grr =−1
1−RS/r ,gθθ =−r2,gϕϕ =−r2sin2θ,
où RS= 2GM/c2est le rayon de Schwarzschild.
(a) Justifier que l’on peut utiliser le lagrangien
L=m
2(1 −RS/r) (c˙
t)2−1
1−RS/r ˙r2−r2˙
θ2+ sin2θ˙ϕ2,(2)
˙x=dx/dτ représente la dérivée par rapport au temps propre τ.
1

(b) A l’aide des variables cycliques du lagrangien, déterminer les quantités conservées.
Justifier que le mouvement est plan, de sorte que l’on peut se limiter au plan θ= 0.
(c) En déduire que l’équation des trajectoires peut s’écrire
m˙r2
2+L2 2mr2−GMm r−GML2 mc2
1
r3=1 2E2 mc2−mc2,(3)
où Lest le moment cinétique et Eest l’énergie.
(d) Ecrire la limite non-relativiste du membre de droite de l’équation ci-dessus. En dé-
duire que dans cette limite, les corrections relativistes sont décrites par le hamiltonien
perturbatif
δH =−GML2
mc2
1
r3.(4)
2. Nous utilisons à présent une description classique avec le hamiltonien H=Hcl +δH.
(a) Montrer que l’équation d’évolution du vecteur de Runge-Lenz s’écrit
d~ K
dt =3kL2 m3c2
~
L×~r
r5.(5)
(b) En déduire que l’angle de rotation du périhélie par période classique s’écrit
δΘ≃6πGM
rc2(6)
pour une orbite quasi-circulaire de rayon moyen r.
(c) En déduire la précession du périhélie de Mercure en secondes d’arc par siècle.
2 Seuil de réaction
On considère un processus réactionnel de la forme
a1+a2+... →b1+b2+...
où au moins l’une des particules initiales ou finales est massive. L’état initial est donné, c’est-à-
dire que l’on suppose connues les quadri-impulsions de toutes les particules aj, et on cherche à
savoir s’il existe un état des particules b1,b2, ... satisfaisant les lois de conservation fondamentales.
1. Les réactions suivantes sont-elles possibles ?
(a) Désintégration d’un photon (γ) en un électron (e−) et un positron (e+) ;
(b) Emission d’un photon par un électron.
2. Que se passe-t-il lorsqu’un corps massif (X) intervient dans les réactions ci-dessus ? En
d’autres termes, les réactions X +γ→X+e−+e+et X +e−→X+e−+γsont-elles
possibles ?
3. Production de paires electron-positron par des photons. Un photon de très haute énergie
(rayon gamma) produit par certaines sources astrophysiques peut interagir avec un photon
de basse énergie pour former une paire électron-positron.
2

(a) Exprimer le pseudo-module carré de la quadri-impulsion des deux photons incidents
en fonction de leurs énergies E1et E2et de l’angle θformé par leurs vecteurs d’onde.
(b) Ecrire la condition de seuil.
(c) A quelle énergie minimale le photon de haute énergie peut-il réagir un photon de basse
énergie E1= 1eV pour former une paire électron-positron ?
4. La coupure GHZ. Les protons (mp≃0,94GeV/c2) de très haute énergie qui constituent la
majeure partie des rayons cosmiques peuvent interagir avec les photons de basse énergie
du rayonnement fossile (Eγ∼7×10−4eV à T≃2,7K), Le processus élémentaire s’écrit
p+γ→∆+,
où ∆+est un état intermédiaire de masse m∆≃1,23GeV/c2. Ce dernier se désintègre
alors en un neutron (n) et un pion positif (π+) ou en un proton (p) et un pion neutre
(π0). Déterminer l’énergie minimale du proton pour que la réaction puisse avoir lieu. On
pourra supposer qu’elle est très supérieure à son énergie de masse.
3 Désintégration d’une particule en mouvement
On considère une particule ade masse maen mouvement à la vitesse ~vadans le référentiel inertiel
(R). Celle-ci se désintègre en deux particules b1et b2de masses m1et m2.
1. On étudie tout d’abord la désintégration dans le référentiel du centre de masse, (R∗).
(a) Quelle condition doivent satisfaire les masses pour que la réaction puisse avoir lieu ?
(b) Déterminer alors les énergies et impulsions des particules produites. Montrer que ~p1
∗
et ~p2
∗décrivent une sphère.
2. On étudie à présent la désintégration dans le référentiel (R)du laboratoire.
(a) Exprimer les énergie et impulsion de b1dans (R)en fonction de celles dans (R∗).
(b) Montrer que ~p1décrit une ellipse dont on déterminera les paramètres.
(c) En déduire qu’il existe une valeur critique vc
ade la vitesse de la particule aau-delà de
laquelle l’angle entre les vitesses de aet b1est bornée supérieurement.
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