TD : Electromagnétisme 2

PSI Brizeux
EXERCICES Électromagnétis me 2
Equations de Maxwell - Induction
 E21 Densité de charges dans les conducteurs
On considère un conducteur ohmique de conductivité γ. Comment évolue la densité de charge globale ρ en un
point du conducteur où on la suppose égale à ρ0 à l’instant t = 0 ? Evaluer pour un conducteur comme le cuivre le
temps caractéristique d’évolution. Que se passe-t-il alors si l’on injecte une charge dans un conducteur
primitivement neutre ?
 E22 Vecteur de Poynting et effet Joule
Un fil conducteur cylindrique, de rayon a, de conductivité γ, est parcouru par un courant de densité uniforme j
parallèle à son axe.
1°) Déterminer l’expression du vecteur de Poynting sur la surface latérale du conducteur. Calculer alors le flux
de ce vecteur à travers la surface d’une hauteur H de fil. Commenter.
!
2°) Le conducteur possède une conductivité thermique λ. La température sur son axe est T0. Déterminer sa
température de surface ainsi que le flux thermique qui y est évacué.

E23 Vecteur de Poynting dans un condensateur plan
Un condensateur plan a des armatures circulaires de rayon R, distantes de e dans le vide. On néglige les
effets de bord et on suppose qu’à tout instant, le champ électrique entre les armatures est uniforme.
1°) Déterminer le vecteur de Poynting et calculer son flux sortant à travers la surface latérale cylindrique
de rayon R.
2°) Comparer ce flux à la dérivée, par rapport au temps, de l ‘énergie électrostatique. Interpréter et
justifier.
 E24 Champs et énergie dans un câble coaxial
Entre les armatures d'un câble coaxial de rayons intérieur a et extérieur b, aux parois parfaitement conductrices
(on admettra que dans un conducteur parfait le champ électromagnétique variable est identiquement nul) , règne un
champ électromagnétique dont le vecteur E est de la forme :
(
)
E = E(r) exp jkz " #t er en coordonnées cylindriques;
!
Le champ B , lui, sera cherché sous la forme : B = B 0 (r) exp( jkz " #t)
!
!
!
1°) Sachant que E(r) tend vers une limite E0 quand r tend vers a, calculer E(r). Calculer B 0(r).
! Calculer les densités surfaciques !
!
2°)
de courant
et
! de charge apparaissant sur les armatures du câble. Quelle est
la relation traduisant la conservation locale de la charge ?
3°) Déterminer le vecteur de Poynting et la densité d’énergie électromagnétique.
Vérifier la relation de
!
conservation de l’énergie entre les armatures du câble.
4°) En utilisant l’énergie localisée entre les armatures, montrer qu’on peut associer à ce câble une capacité et
une inductance linéiques que l’on déterminera en fonction des caractéristiques géométriques du câble.
Rép : E(r) = a/r E0 ; B0 =
ka
k
E ; σ = ε0E0 exp j(kz - ωt) ; js =
E exp j(kz - ωt) ; k2c2 = ω2 et divjs + ∂σ/∂t = 0
rω 0
ωµ0 0
PSI Brizeux
 E25 Courants de Foucault - Champ magnétique induit
Un cylindre métallique de conductivité γ, de rayon a et de longueur l est placé à l’intérieur d’un long solénoïde
de même rayon a que le cylindre et possédant n spires par unité de longueur toutes parcourues par un courant
alternatif de basse fréquence et d’intensité i(t) = I0cos(ωt).
1°) Déterminer la densité volumique de courant induit dans le cylindre en fonction de I0, n, γ et ω.
2°) En déduire le champ magnétique crée à l’intérieur du cylindre par ce courant. Quelle hypothèse a permis de
négliger ce champ pour la résolution de la première question ?
 E26 Rotation d’une tige par induction
A l'intérieur d'un long solénoïde comportant n spires par unité de longueur, on place une tige isolante de
longueur 2a, uniformément chargée avec la densité linéique λ. La tige, centrée sur l'axe du solénoïde, est
mobile autour de celui-ci. Son moment d'inertie par rapport à cet axe sera noté J.
On fait passer le courant dans le solénoïde de 0 à I. Etudier le mouvement de la barre en négligeant les
champs qu'il produit.
Rép : mouvement de rotation de pulsation : ω = -
"µ0 na 3
I
3J
 E27 Entraînement par induction
!
Un cerceau isolant, de masse m et rayon a, uniformément chargé avec la densité λ, est mobile sans
frottement autour de l'axe orthogonal à son plan et passant par son centre O. Une petite spire, de même
centre et de même axe, de rayon r << a, est parcourue par un courant i(t) qui croît linéairement de 0 à I
pendant le temps τ. Etudier l'évolution de la vitesse angulaire du cerceau, initialement immobile.
 E28 Dissipation d’énergie par courants de Foucault
Un barreau conducteur (conductivité σ) a la forme d'un cylindre de rayon a et de hauteur H. Il est soumis à
un champ magnétique sinusoïdal parallèle à son axe.
1°) Déterminer la puissance moyenne dissipée dans le barreau en négligeant les phénomènes d'autoinduction.
2°) On remplace le système précédent par N barreaux de même hauteur, de rayon plus faible, mais occupant
globalement le même espace (on supposera que N est suffisamment grand pour négliger l'espace vide entre les
barreaux) . Calculer la nouvelle puissance moyenne dissipée . Commenter.
$ dB '2 4
1
Rép : P = "#H &
) a ; P’ = P/N.
8
% dt (
 E29 Translation d’une tige par induction
!
Deux rails conducteurs horizontaux supportent deux tiges conductrices mobiles sans frottement qui se
déplacent perpendiculairement aux rails. L'écartement des rails étant a, la masse de chaque tige m et leur
résistance R (seules résistances non négligeables du circuit) , l'ensemble est placé dans un champ magnétique
uniforme et constant, orthogonal au plan des rails.
On communique aux deux tiges des vitesses initiales v10 et v20. Etudier leur mouvement ultérieur.
t
t
v " v20 " #
mr
v "v "
v +v
v +v
Rép : v1 = 10
e + 10 20 et v2 = 20 10 e # + 10 20 , avec " =
( aB )2
2
2
2
2
!
!
!
!
!
PSI Brizeux
 E210 Rails de Laplace
Deux rails conducteurs horizontaux de résistance négligeable supportent une tige conductrice de résistance r,
mobile sans frottement et qui glisse perpendiculairement aux rails. L'écartement des rails est a, et la masse de la
tige m.
La tige est reliée en son milieu à un ressort de raideur k dont l’autre extrémité est fixée et dont l’axe est
parallèle à celui des rails.
Le circuit des rails est fermé sur une résistance extérieure R variable.
Le dispositif est soumis à l’action d’un champ magnétique permanent B vertical, permanent et uniforme.
On écarte la tige de la quantité a, puis on l’abandonne sans vitesse initiale.
1°) Ecrire l’équation différentielle du mouvement de la tige. On exprimera le facteur de qualité Q0 de
l’oscillateur et sa pulsation propre ω0 en fonction des caractéristiques
du problème.
!
2°) Pour quelle valeur R = R0 de la résistance le retour de la tige à sa position d’équilibre est-il atteint le plus
rapidement ?
3°) Une source idéale de tension de f.é.m. e(t ) = e0 cos !t est maintenant branchée entre les deux rails.
On pose V0 = X 0!0 =
Bae0
R km
. On définit VM comme étant l’amplitude de la vitesse de la tige en régime
sinusoïdal forcé. Le graphe ci-dessous donne la représentation de VM / V0 en fonction de ! / !0 .
Déduire de ce graphe, la valeur du facteur de qualité du système.
VM/V0
ω/ω0
 E211 Le cadre résiste
x
L
Un fil, supposé infini, est parcouru par un courant électrique I. Un cadre métallique de hauteur H et de largeur a
est positionné dans le même plan vertical que le fil. Le cadre peut se déplacer librement suivant x et se trouve
initialement à une distance L supposée très grande devant a. On note R la résistance électrique du cadre.
PSI Brizeux
x?
1°) Quelle force doit exercer un opérateur sur le cadre pour le faire avancer à vitesse constante V0 selon l’axe
2°) L’opérateur impose au cadre un mouvement sinusoïdal de faible amplitude δ (très petite devant L) suivant x.
Déterminer la puissance moyenne qu’il doit fournir pour entretenir ce mouvement.
3°) L’opérateur applique sur le cadre une force sinusoïdale d’amplitude constante suivant x. Déterminer
l’amplitude du mouvement du cadre en fonction de la pulsation ω.
 E212 Percussion électromagnétique
Une barre cylindrique de rayon r et de longueur a, chargée uniformément en
volume avec une charge totale Q0, est suspendue par une de ses extrémités à un
point fixe O. Cette barre peut tourner autour de l’axe (Oy) sans frottements.
On applique un champ magnétique uniforme et stationnaire B = B0 e y .
x
O
B
On relie O à la terre et la barre se décharge en une durée τ (on suppose la
charge q(t) toujours uniformément répartie à l’instant t).
z
1°) Expliquer qualitativement pourquoi la barre se met en mouvement. A
quelle condition sur a, g et τ peut-on négliger le mouvement de la barre pendant
la durée τ ? On supposera cette condition remplie par la suite.
2°) Déterminer la densité de courant j(z,t) dans la barre en fonction de dQ et des caractéristiques de la barre.
dt
3°) Déterminer la vitesse angulaire acquise par la barre à l’instant τ.
 E213 Freinage par induction
Afin de freiner une luge en fin de piste, on imagine le dispositif suivant : on fixe un cadre métallique sous la
luge et installe, en bout de piste (horizontale), un dispositif qui crée un champ magnétique stationnaire et
perpendiculaire à la piste.
Pour simplifier l’étude, on supposera le champ magnétique uniforme dans une zone de largeur d et d’intensité
B = 1,0 T.
cadre
patins
L
l
vue du dessus
La luge et son passager arrivent en fin de piste à une vitesse V0. Après avoir établi l’équation différentielle
vérifiée par la vitesse de l’ensemble, déterminer la diminution de vitesse à la sortie de la zone de champ
magnétique. On distinguera les deux cas L > d et L < d et on donnera le cas le plus favorable.
Avec V0 = 30 m.s-1, combien de zones de champ magnétique identiques doit-on placer successivement pour
arrêter complètement la luge ? Quelle distance doit séparer chaque zone pour optimiser le freinage en ayant une
distance d’arrêt minimale ?
On prendra : masse de la luge et de son passager : m = 100 kg ; l = 30 cm ; L = d = 50 cm ; le cadre est en
cuivre de résistivité ρ = 1,7.10-8 Ω.m, de section S = 2,5 mm2.
PSI Brizeux
 E214 Modifications d’un mouvement pendulaire par induction
Une tige conductrice OB, de masse négligeable et de
longueur 2l porte en B une masse ponctuelle M. Elle fait partie
du circuit électrique suivant : Le milieu de la tige A est en
contact électrique mobile sans frottement avec un conducteur
circulaire et le circuit est fermé en incluant un dipôle
électrocinétique X ( X = R, L ou C ). L'ensemble est plongé
dans un champ magnétique uniforme et constant parallèle à
l'axe de rotation de la tige.
O
X
A
Celle-ci étant écartée de sa position d'équilibre d'un petit
angle "0 et lâchée sans vitesse initiale, étudier son mouvement
ultérieur suivant la nature de X.
!
Rép : X = R :
X=L:
d 2"
d 2"
dt 2
+ 2#$0
+ #2" =
d"
+ $20" = 0 avec ω0 =
dt
B
B
B2 l 2
g
et 2σω0 =
2l
16MR
B2 l 2
B2 l 2
θ0 avec : "2 =
+ "20
16ML
16ML
!
! 2Mgl
2
dt 2
! d 2"
X=C
+ #'2 " = = 0 avec ω’ =
2
4Ml 2 + B2 l 4C / 4
dt
!
!
!
! E216 Roues de Barlow
!
Deux roues de Barlow identiques de masse m et de rayon a sont plongées dans un champ magnétique
uniforme B orthogonal à leur plan. Elles sont branchées en série avec un condensateur C et une inductance L.
A t = 0, le condensateur est déchargé, une roue est immobile et l'autre lancée avec la vitesse angulaire ω0.
Déterminer la charge du condensateur et les vitesses angulaires des deux roues en fonction du temps.
!
B
S1
L
Rép : d2i/dt2 + Ω2i = 0 avec Ω2 =
!
!
1
( Ba 2 )2
+
LC
2JL
S2
C
PSI Brizeux
 E215 Pendules couplés par induction
Le dispositif étudié comporte deux pendules identiques OA1 et OA2 . Chaque pendule OAi est constitué d’une
barre de longueur a et de masse négligeable, et d’une masselotte m accrochée en Ai. Les deux masselottes glissent
sans frottement sur une piste circulaire de centre O et de rayon a, de part et d’autre pour qu’il n’y ait aucun contact
entre elles et qu’elles puissent se croiser.
!
!
Tous les éléments du dispositif sont conducteurs, et rseuls les pendules ont une résistance électrique non nulle.
r
L’ensemble est plongé dans un champ magnétique B = B e z uniforme et constant.
Initialement, le pendule OA1 est immobile dans sa position d’équilibre, et le pendule OA2 est abandonné sans
vitesse initiale depuis la position "2 (t = 0) = "0 .
!
!
!
!
1°) Décrire qualitativement l’évolution du système.
2°) Déterminer les équations différentielles vérifiées par "1 et "2 dans le cas des petites oscillations ; en déduire
les équations différentielles vérifiées par u = "1 + "2 et v = "1 # "2 .
3°) Dans le cas d’un amortissement faible (hypothèse que l’on précisera), établir les expressions de "1 (t) et
!
!
"2 t . Représenter l’allure de "1 t et "2 t . Conclusion.
!
4°) Effectuer un bilan de puissance
sur le !
système.
()
()
()
!
!
!