Modèle mathématique.

Master 2 EADM 2011-2012
UE 19
DOSSIER PS 9
Capes Externe
Epreuve sur dossier
Thème : Lois de probabilité au lycée
L’exercice proposé au candidat
Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent
être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de
troupeaux sur la route, etc. …
Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en
kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un incident. On admet que D
1
suit la loi exponentielle de paramètre
.
82
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis au millième.
1)
Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit :
a) comprise entre 50 et 100 km ;
b) supérieure à 300 km.
2)
Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la
probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?
3)
Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident.
é
b) Calculer la limite de I (A) lorsque A tend vers + .
4)
L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars
entre l’entreprise et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux à deux
1
indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre  = .
82
d étant un nombre réel positif, on note Xd la variable aléatoire égale au nombre d’autocars
n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.
a) Déterminer la loi de Xd.
b) Calculer le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d
kilomètres.
Master 2 EADM 2011-2012
UE 19
Capes Externe
Epreuve sur dossier
La réponse d’un élève à la question 2
Comme l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, on a D > 350, et comme il
va parcourir 25 kilomètres de plus sans incident, ça fait 375 kilomètres et D  375.
On calcule donc P (D  375 sachant que D > 350).
P (D  375  D > 350)
Donc : P =
P (D > 350)
P (D  375  D > 350) = P (D  375) – P (D  349)
= (1 -
-(1 -
 0,004.
P (D > 350) = 1 – P (D  349) = 1 – (1  0,014.
On trouve : P = 0,285.
Et comme D mesure la distance avec un incident, il faut calculer le contraire,
ce qui fait 1 – 0,285 = 0,715.
Le travail à exposer devant le jury
1.
2.
3.
4.
5.
Quelles sont les connaissances et les compétences mises en œuvre dans cet exercice ?
Analyser et commenter la réponse de l’élève à la question 2.
Quelle propriété de la loi exponentielle est illustrée par la question 2 ?
Proposer une correction de la question 3, telle que vous l’exposeriez devant une classe de
Terminale.
Présenter plusieurs exercices se rapportant au thème « Lois de probabilité au lycée ».