Etats du rayonnement quantifié libre – Deuxième partie 1

ECOLE POLYTECHNIQUE − Promotion X2014
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 2 (16 janvier 2017)
Etats du rayonnement quantifié libre – Deuxième partie
Nous poursuivons dans cette PC l’étude des états du champ de rayonnement quantifié libre.
Après avoir introduit les opérateurs de quadrature, nous étudions les états cohérents de Glauber
qui sont les états quantiques les plus proches des champs classiques.
1
Opérateurs de quadrature
Nous nous intéressons à un champ de rayonnement quantique libre monomode. Afin d’alléger les
notations, nous omettrons l’indice de mode ℓ ainsi que le vecteur polarisation ~εℓ . On introduit
alors les opérateurs de quadrature,
n
o
n
o
ÊQθ ≡ −E â e−iθ + ↠e+iθ
et
ÊPθ ≡ i E â e−iθ − ↠e+iθ ,
(1)
où θ est une phase quelconque.
1. Montrer que ces opérateurs de quadrature sont hermitiens 1 et calculer leur commutateur.
En déduire la relation d’incertitude sur ÊQθ et ÊPθ .
2. Exprimer l’opérateur champ électrique Ê(~r) à l’aide des opérateurs de quadrature ÊQθ
et ÊPθ . Représenter leurs valeurs moyennes et leurs fluctuations dans le diagramme de
Fresnel. On notera hâi ≡ α ≡ |α|eiϕ .
3. Rappeler l’expression de la valeur moyenne de l’opérateur d’annihilation en fonction du
temps, hâ(t)i. En déduire l’expression de la valeur moyenne du champ électrique en fonction du temps,
~ r , t)i = 2E|α| sin ωt − ~k · ~r − ϕ ,
hE(~
(2)
p
où E = ~ω/2ε0 L3 . La représenter dans le diagramme de Fresnel.
4. On considère ici un champ classique stochastique Ecl (~r, t) dont l’expression est donnée
par l’Eq. (2), avec de petites fluctuations d’amplitude, δ|α| ≪ |α|, et de phase, δϕ ≪ 2π.
R
~ 2 + c2 B
~2 ,
(a) Calculer l’énergie du champ électromagnétique classique, Hcl = ε20 d3~r E
et montrer que la quantité Ncl ≡ |α|2 s’apparente au nombre de photons dans le champ.
(b) Ecrire alors les fluctuations stochastiques du champ électrique, δEcl (~r, t), et montrer
que la relation d’incertitude sur les quadratures du champ peut s’interpréter comme
une relation d’incertitude nombre de photons - phase.
1. Ce sont donc des observables. Nous verrons dans une PC ultérieure qu’elles sont mesurables en pratique.
1
2
Etats cohérents de Glauber
Nous cherchons ici à construire les états quantiques du champ monomode les plus proches des
états classiques. La discussion précédente montre qu’il est naturel de chercher ces états comme
ceux dont les fluctuations des quadratures ÊQθ et ÊPθ sont indépendantes de la phase θ et minimales. De tels états sont appellés états quasi-classiques ou états cohérents de Glauber.
1. Justifier qu’il suffit de rechercher les états tels que ∆ÊQθ = E pour toutes les valeurs
de θ. Calculer alors (∆ÊQθ )2 et montrer que les états de Glauber sont les états propres de
l’opérateur d’annihilation â.
2. Déterminer l’expression générale de l’état cohérent |αi, de valeur propre
α ∈ C pour
P
l’opérateur â. On pourra l’écrire dans la base des états nombre, |αi = n cn |ni, et établir
une relation de récurrence sur les coefficients cn . On fera le choix de phase h0|αi ∈ R, où
|0i est le vide de rayonnement.
3. L’état |αi est-il un état propre de l’opérateur de création ↠?
4. (Question facultative) Montrer que les états cohérents vérifient la relation de fermeture
Z 2
d α
|αihα| ℓ = 1ℓ ,
π
R∞
2
où d2 α ≡ dRe(α)dIm(α), mais ne sont pas orthogonaux. On donne 0 dr r 2n+1 e−r =
n!/2.
5. Calculer la moyenne et les fluctuations du nombre de photons pour un état cohérent |αi.
6. Déterminer les expressions du champ électrique moyen, des quadratures moyennes et de
leurs fluctuations carrées. Commenter.
7. Montrer que si le champ est préparé dans un état cohérent |α0 i alors il reste dans un état
cohérent au cours de son évolution libre et déterminer son paramètre α(t).
8. Représenter un état cohérent monomode en fonction du temps d’une part et dans le
diagramme de Fresnel d’autre part.
2