ECOLE POLYTECHNIQUE −Promotion X2014
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 2 (16 janvier 2017)
Etats du rayonnement quantifié libre – Deuxième partie
Nous poursuivons dans cette PC l’étude des états du champ de rayonnement quantifié libre.
Après avoir introduit les opérateurs de quadrature, nous étudions les états cohérents de Glauber
qui sont les états quantiques les plus proches des champs classiques.
1 Opérateurs de quadrature
Nous nous intéressons à un champ de rayonnement quantique libre monomode. Afin d’alléger les
notations, nous omettrons l’indice de mode ℓainsi que le vecteur polarisation ~εℓ. On introduit
alors les opérateurs de quadrature,
ˆ
Eθ
Q≡ −E nˆae−iθ + ˆa†e+iθoet ˆ
Eθ
P≡iEnˆae−iθ −ˆa†e+iθo,(1)
où θest une phase quelconque.
1. Montrer que ces opérateurs de quadrature sont hermitiens 1et calculer leur commutateur.
En déduire la relation d’incertitude sur ˆ
Eθ
Qet ˆ
Eθ
P.
2. Exprimer l’opérateur champ électrique ˆ
E(~r)à l’aide des opérateurs de quadrature ˆ
Eθ
Q
et ˆ
Eθ
P. Représenter leurs valeurs moyennes et leurs fluctuations dans le diagramme de
Fresnel. On notera hˆai ≡ α≡ |α|eiϕ.
3. Rappeler l’expression de la valeur moyenne de l’opérateur d’annihilation en fonction du
temps, hˆa(t)i. En déduire l’expression de la valeur moyenne du champ électrique en fonc-
tion du temps,
h~
E(~r, t)i= 2E|α|sin ωt −~
k·~r −ϕ,(2)
où E=p~ω/2ε0L3. La représenter dans le diagramme de Fresnel.
4. On considère ici un champ classique stochastique Ecl(~r, t)dont l’expression est donnée
par l’Eq. (2), avec de petites fluctuations d’amplitude, δ|α| ≪ |α|, et de phase, δϕ ≪2π.
(a) Calculer l’énergie du champ électromagnétique classique, Hcl =ε0
2Rd3~r ~
E2+c2~
B2,
et montrer que la quantité Ncl ≡ |α|2s’apparente au nombre de photons dans le champ.
(b) Ecrire alors les fluctuations stochastiques du champ électrique, δEcl (~r, t), et montrer
que la relation d’incertitude sur les quadratures du champ peut s’interpréter comme
une relation d’incertitude nombre de photons - phase.
1. Ce sont donc des observables. Nous verrons dans une PC ultérieure qu’elles sont mesurables en pratique.
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