Etats comprimés du rayonnement 1 Génération d`états comprimés

ECOLE POLYTECHNIQUE −Promotion X2014
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected]ytechnique.fr)
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 5 (6 février 2017)
Etats comprimés du rayonnement
Nous avons vu à la PC2 que les états cohérents de Glauber (états quasi-classiques) sont les
états minimaux et symétriques au sens de la relation d’incertitude de Heisenberg, i.e. ∆EP=
∆EQ=Eℓ. Bien que l’on ne puisse pas réduire les fluctuations des deux quadratures à la fois, on
peut réduire les fluctuations de l’une au détriment de l’autre. Nous étudions dans cette PC un
processus non linéaire permettant de générer de tels états comprimés du rayonnement à partir
d’états quasi-classiques.
1 Génération d’états comprimés
Un cristal paramétrique est un milieu non linéaire dans lequel un photon de fréquence Ω(mode
L) peut être converti en deux photons de fréquences ωet ω′(modes ℓet ℓ′), avec Ω = ω+ω′.
On considère ici le cas dégénéré pour lequel ℓ=ℓ′. La conversion de photons est décrite par le
hamiltonien
ˆ
H=ˆ H0+ˆ Vavec ˆ H0=~Ωˆ A†ˆ
A+~ωˆa†ˆaet ˆ V=gˆ
Aˆa†2+ˆ A†ˆa2,
où ˆaet ˆ Asont les opérateurs d’annihilation d’un photon, respectivement dans les modes ℓet L,
et gest une constante de couplage. Le cristal est éclairé par un faisceau incident de fréquence Ω
initialement dans l’état cohérent |α0iL. On suppose que le paramètre α0est réel afin de simplifier
les notations. Le mode ℓest initialement vide.
On donne enfin quelques commutateurs qui pourront être utiles dans la suite :
[ˆa, ˆa†ˆa] = ˆa; [ˆa, (ˆa†)2] = 2ˆa†; [ˆa†ˆa, (ˆa†)2] = 2(ˆa†)2; [ˆa2,(ˆa†)2] = 4ˆa†ˆa+ 2.
1. Le faisceau incident est suffisamment intense pour n’être que très faiblement atténué par le
processus paramétrique. Son état à l’instant test donc approximativement l’état cohérent
de paramètre α0(t) = α0e−iΩt(voir PC2). Justifier brièvement que si l’on ne s’intéresse
qu’à l’état du mode ℓ, il est légitime de remplacer le hamiltonien stationnaire ˆ Hpar le
hamiltonien dépendant du temps
ˆ
H′(t) = ~ωˆa†ˆa+gα0e−iΩtˆa†2+e+iΩtˆa2.
2. On se place à présent en représentation de Heisenberg. Ecrire les équations d’évolution
des opérateurs ˆa(t)et ˆa†(t). On pourra introduire le paramètre γ= 2gα0/~.
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3. Ecrire les équations d’évolution à l’aide des opérateurs ˜a(t)≡ˆa(t)e+iωt et ˜a†(t)≡
ˆa†(t)e−iωt.
4. On introduit alors les opérateurs de quadrature réduits
ˆ
Q(t) = −1
√2ˆa(t)e+iωt √i+√iˆa†(t)e−iωtet ˆ
P(t) = +i
√2ˆa(t)e+iωt √i−√iˆa†(t)e−iωt.
On pourra noter qu’ils correspondent, en représentation de Schrödinger, aux quadratures
habituelles du mode ℓavec θ=π/4, divisées par √2Eℓ(voir notations de la PC2). Montrer
que l’évolution temporelle des opérateurs ˆ P(t)et ˆ Q(t)est donnée par
d
dt ˆ
Q(t) = −γˆ Q(t)et d
dt ˆ
P(t) = +γˆ P(t).
5. En déduire les expressions des valeurs moyennes, hQ(t)iet hP(t)i, et des fluctuations,
∆Q(t)et ∆P(t), des quadratures réduites en fonction du temps t.
6. Exprimer ˆ Q2+ˆ P2en fonction de l’opérateur nombre de photons dans le mode ℓ. Evaluer
le nombre moyen de photons dans ce mode à l’issue de l’interaction. En déduire un critère
de validité du traitement précédent en fonction des paramètres α0et get du temps t.
7. Soit Tle temps total d’interaction dans le milieu non linéaire. Exprimer l’opérateur champ
électrique après la traversée du milieu en fonction des quadratures ˆ Q(T)et ˆ P(T), du temps
tet de la postion ~r. Montrer que pour l’état du rayonnement préparé à la sortie du milieu
non linéaire les fluctuations du champ électrique, ∆E, peuvent être plus petites ou plus
grandes que dans le vide selon l’instant et la position auxquelles on les mesure. Représenter
à un instant donné les fluctuations de l’amplitude complexe du champ électrique.
2 Réduction du bruit quantique dans une mesure
On effectue une mesure des quadratures par détection homodyne à l’aide d’une lame semi-
réfléchissante (voir PC3). Pour cela, on injecte un état cohérent |αidans la voie 1de la lame et
l’état |φiidont on veut mesurer les quadratures dans la voie 2, puis on effectue des mesures de la
différence des nombres de photons dans les deux voies de sortie 3et 4de la lame, via l’opérateur
ˆ
D≡ˆa†
3ˆa3−ˆa† 4ˆa4.
1. Montrer que, dans ces conditions, on obtient
hDi=−|α|
Ehφi|ˆ
Eϕ
Q|φiiet ∆D2=|α|2
E2hφi|(∆ ˆ
Eϕ
Q)2|φii+hφi|ˆ
N2|φii
où α≡ |α|eiϕ.
2. En déduire une méthode pour mesurer les quadratures d’un champ quantique.
3. On injecte d’abord le vide dans la voie d’entrée 2(|φii=|0i). Déterminer les valeurs de
hDiet ∆D2. Interpréter physiquement le résultat.
4. On injecte à présent dans la voie 2l’état comprimé généré ci-dessus. Montrer que, pour
un choix approprié du paramètre e2γT , on peut réduire considérablement le bruit sur la
mesure de l’observable ˆ D.
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