Corrigés Maxwell

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Equations de Maxwell :
53. (M) On considère un conducteur chargé à l’équilibre, occupant le demi-espace x<0 (voir
figure ci-dessous).
a) Rappelez les propriétés macroscopiques du champ et du potentiel électrostatique pour un
conducteur chargé à l’équilibre.
Réponse : dans un conducteur chargé à l’équilibre le champ est nul à l’intérieur, donc le
potentiel est constant et la charge est surfacique. D’après le théorème de Coulomb le champ et
normal à la surface du conducteur et de norme constante
€
E=
σ
ε
0
au voisinage du conducteur.
b) Donnez l’énoncé complet du théorème de Gauss, sous sa forme intégrée et sa forme locale.
Cf. cours.
c) A l’échelle microscopique le conducteur possède en fait une densité volumique de charges ρ
donnée par :
€
ρ (x)= ρ
0exp( x
λ
),si x<0
ρ (x)=0,si x<0
$
%
&
'
&
1) Calculez le champ électrostatique en tout point de l’espace. On donne ici
€
div(E)=
∂ E
∂ x
. Tracez les variations de
€
E
, et donnez sa valeur limite loin à
l’intérieur du conducteur.
Le théorème de Gauss local donne directement l’équation
€
∂ E
∂ x=
ρ (x)
ε
0
, à résoudre dans le
conducteur et dans le vide :
a) dans le conducteur
€
∂ E
∂ x=
ρ
0exp(x/
λ )
ε
0
, ayant comme solution
€
E(x)=
λρ
0exp(x/
λ )
ε
0
+cte
Loin dans le conducteur
€
x→−∞,E(x)→0
, d’où cte=0.
b) Dans le vide on a simplement
€
∂ E
∂ x=0
, d’où
€
E(x)=cte =E(0) =
λρ
0
ε
0

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2) En déduire le potentiel électrostatique et tracer ses variations.
Par définition du potentiel on a
€
∂ V
∂ x=−E(x)
, d’où :
-à l’intérieur du conducteur
€
V(x)=−
λ
2
ρ
0exp(x/
λ )
ε
0
+cte1
-à l’extérieur du conducteur
€
V(x)=−
λρ
0
ε
0
x+cte2
Pour déterminer les deux constantes, il faut étudier les conditions aux limites. Dans cet
exercice, comme le conducteur occupe tout un demi-espace, il y a des charges à l’infini et le
potentiel à l’infini n’est pas nul. Cependant, comme le potentiel peut être défini à une constante
près (ce sont ses variations qui comptent), on peut choisir un point particulier comme origine
des potentiels. Prenons par exemple un potentiel nul à la surface du conducteur (x=0); cela
signifie que
€
cte2=0
et que
€
cte1=
λ
2
ρ
0
ε
0
.
Un exemple de densité de charges, champ et potentiel sont donnés dans le graphe suivant :
3) Que deviennent
€
E
et V quand λ tend vers 0 ? Comparez à la question a).
λ est la longueur caractéristique sur laquelle la densité de charges diminue dans le conducteur.
Si cette longueur devient nulle, cela signifie que la densité de charges est purement surfacique,
et on retrouve les propriétés macroscopiques d’un conducteur à l’équilibre.
54. (D) Calculez le champ crée dans tout l’espace par une sphère isolante ayant une densité

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volumique de charges ρ0=cte. Faites de même pour un cylindre infini chargé.
En coordonnées sphériques on a
€
div(A)=1
r2
∂ (r2Ar)
∂ r+1 rsin( θ )
∂ (A
θ
sin θ )
∂θ
+1
rsin( θ )
∂ A ϕ
∂ϕ
En coordonnées cylindriques on a
€
div(A)=1
ρ
∂ ( ρ A
ρ
)
∂ρ
+1
ρ
∂ A
θ
∂θ
+
∂ Az
∂ z
L’analyse des symétries de la distribution de charges permet de déduire la direction du champ
et les variables dont il dépend (exactement le même raisonnement que pour le théorème de
Gauss sous sa forme intégrée). On peut ensuite en déduire quels termes de la divergence sont
nuls, et intégrer l’équation différentielle résultante. Les conditions aux limites donnent la valeur
des constantes d’intégration. Vérifiez vos résultats avec les calculs effectués dans le cours.
55. (D) On considère un disque conducteur de rayon R à l’équilibre et d’épaisseur L. La densité
volumique de charges libres est ρ. Le disque est plongé dans un champ magnétique constant
parallèle à l’axe de rotation du disque
€
B=B0k
. On donne le rotationnel en coordonnées
cylindriques :
€
rot(A)=1
ρ
∂ Az
∂θ
−
∂ A
θ
∂ z
&
'
( )
*
+
u
ρ
+
∂ A
ρ
∂ z−
∂ Az
∂ρ
&
'
( )
*
+
u
θ
+1
ρ
∂ ( ρ A
θ
)
∂ρ
−
∂ A
ρ
∂θ
&
'
( )
*
+
k
a) Calculez un potentiel vecteur
€
A
, d’abord d’après l’équation locale, puis en utilisant le
théorème de Stokes sur un contour approprié. Pourquoi a-t-on écrit « un » potentiel vecteur et
non « le » potentiel vecteur ?
Par définition,
€
B=rot(A)
. En identifiant selon le vecteur portant B, on obtient
€
1
ρ
∂ ( ρ A
θ
)
∂ρ
−
∂ A
ρ
∂θ
&
'
( )
*
+ =B0
. Le système étant invariant par rotation autour de l’axe du disque, seul le
premier terme du membre de gauche est non nul. On a donc
€
1
ρ
∂ ( ρ A
θ
)
∂ρ
%
&
' (
)
* =B0
. On peut facilement
résoudre cette équation différentielle :
€
ρ A
θ
=B0
ρ
2
2+cte
ou
€
A
θ
=B0
ρ
2+cte ρ
. Pour ρ=0 le potentiel
vecteur doit être défini, on pose donc cte=0. D’où la forme d’un potentiel vecteur
€
A=A
θ
u
θ
=B0
ρ
2
u
θ
.
Selon les propriétés de l’opérateur nabla,
€
rot(grad(f)) =0
. Le potentiel vecteur n’est donc pas
unique : il est défini à un gradient près (en général on choisit le gradient du potentiel électrostatique).
b) Le champ magnétique appliqué est maintenant sinusoïdal :
€
B=B0cos( ω t)k
. Discutez les
propriétés de symétrie du champ électromoteur induit
€
E
. Calculez ce champ , d’abord d’après
la nouvelle forme de
€
A
, puis d’après l’équation de Maxwell-Faraday, et vérifiez que le résultat

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est identique. Calculez la force électromotrice e à partir de
€
E
et vérifiez que la loi de Faraday
sous sa forme intégrée est vérifiée.
D’après l’équation de Maxwell-Faraday,
€
rot(E)=−
∂ B
∂ t
, ce qui équivaut à
€
E=−
∂ A
∂ t
. Le
vecteur
€
−
∂ B
∂ t
étant selon le vecteur
€
+k
, le champ électromoteur sera selon
€
u
θ
. Le champ E « tourne
autour » de l’axe Oz dans le sens direct.
On calcule
€
E=−
∂ A
∂ t=−
∂
∂ t
B0cos( ω t)
ρ
2
&
'
( )
*
+
u
θ
=
ω B0 ρ
2sin(
ω t)u
θ
Et de même avec le rotationnel :
€
1
ρ
∂ ( ρ E
θ
)
∂ρ
%
&
' (
)
* =
ω B0sin( ω t)
. On résout cette équation différentielle de
la même manière qu’on a déterminé A à la question précédente, et on retrouve le résultat trouvé ci-
dessus.
La force électromotrice e dépend de la distance à l’axe (car le champ électromoteur également) e=e(ρ).
Par définition on a
€
de = +E⋅dl
. Pour calculer la circulation de E on choisit comme contour le cercle
de rayon ρ et de centre 0 :
€
e( ρ )=de
0
2 π
∫=E⋅dl =
0
2 π
∫
ω B0 ρ
2sin(
ω t)u
θ
⋅ ρ d θ u
θ
=
0
2 π
∫
ω B0 πρ
2sin(
ω t)
La forme intégrale de la loi de Faraday s’écrit
€
e( ρ )=−dΦ
dt =−d dt
B⋅d2S
∫∫
[ ]
=−d
dt
B0cos( ω t)k⋅ ρ d ρ d θ k
∫∫
[ ]
e( ρ )=−B0 πρ
2d
dt cos(
ω t)
[ ]
= ω B0 πρ
2sin(
ω t)
On retrouve bien le résultat précédent.
56. (D) On charge un condensateur plan de capacité C à travers une résistance R aux bornes
d’un générateur idéal de force électromotrice U constante. A t=0, le condensateur est déchargé.
On suppose que ses armatures sont circulaires de surface S, mais qu’elles peuvent être
considérées comme des plans infinis séparés par une distance de vide d.
a) Représentez le schéma électrique du circuit et déterminez la loi q(t), charge de l’armature
positive.
La loi des mailles donne
€
U−Ri −q
C=0avec i =dq dt
⇔U−Rdq
dt −q C=0
On résout cette équation par la méthode standard (solution générale de l’équation sans second

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membre puis solution particulière), et on obtient
€
q(t)=CU 1−exp −t
RC
#
$
% &
'
(
)
*
+
,
-
.
.
b) Déterminez le champ électrique
€
E(t)
entre les armatures (on le suppose nul ailleurs). On
supposera que la charge est uniformément répartie sur les armatures.
Le champ entre les armatures d’un condensateur plan dont les armatures portent une densité de
charges σ a été calculé dans le cours et de nombreux exercices, il s’écrit
€
E=
σ
ε
0
N
, où
€
N
est
le vecteur normal sortant de l’armature positive. Ici σ=σ(t)=q(t)/S, et par conséquent
€
E(t)=
σ (t)
ε
0
N=q(t)
ε
0SN=CU
ε
0S1−exp −t
RC
%
&
' (
)
*
+
,
-
.
/
0
N
.
c) En déduire qu’un champ magnétique
€
B
doit exister entre les armatures. Quelle en est la
source ?
Pour charger le condensateur il faut déplacer des charges du circuit pour les stocker dans les
armatures ; on a donc création d’un courant de déplacement
€
jd= ε
0
∂ E
∂ t
durant la charge du
condensateur. L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit dans le cas général
€
rot(B)= µ
0(j+jd)=
µ
0j+
ε
0
µ
0
∂ E
∂ t
. On se place en dehors des armatures, à l’intérieur du
condensateur, où il n’y a pas de courant :
€
j=0
, et on a alors
€
rot(B)= ε
0
µ
0
∂ E
∂ t
. La présence
d’un champ électrique variable induit la création d’un champ magnétique !
d) Quelle est la topographie du champ
€
B
(direction, variables dont il dépend) ? Pour cette
question on ne considère pas les armatures comme des plans infinis.
En suivant le raisonnement de l’exercice précédent, on voit que
€
∂ E
∂ t
est orienté selon le vecteur
€
+N
, et par conséquent le champ
€
B
« tourne » dans le sens direct autour d’un axe