propagation d`une onde de courant dans le conducteur central d`un

propagation d'une onde de courant dans le conducteur central d'un câble coaxial
Un câble coaxial très long comprend un conducteur central plein de
rayon R1 et un conducteur extérieur très mince de rayon R2 . Les
conducteurs sont supposés parfaits, et le milieu interconducteur est un
diélectrique parfaitement isolant de permittivité ε = ε0εr avec
εr = 9,0 . On admettra que les calculs sont les mêmes que dans le vide,
et qu'il suffit de remplacer ε0 par ε dans les équations de Maxwell.
r r r
L'espace est rapporté à la base cylindrique habituelle u r u θ , u z
r
E
r
B
R2
r
uz
Oz
R1
r
r
1. On suppose que le champ électrique en un point de l'isolant est de la forme E = E r ( r , z, t )u r ; en utilisant
r
r
l'équation de Maxwell-Faraday, montrer que le champ magnétique est de la forme B = B θ ( r , z, t ) u θ .
r
r
2. Que peut-on dire des champs E et B dans les conducteurs ? en utilisant les relations de passage des champs à
la surface du conducteur central (les rappeler sans démonstration), que peut-on dire de la localisation des charges
et des courants pour le conducteur central ?
3. Rappeler le théorême d'Ampère en régime permanent, puis sa généralisation en régime variable; en l'utilisant
r
sur un contour circulaire approprié, et en détaillant bien le calcul, trouver l'expression de B dans l'espace
interconducteur en fonction du courant I(z,t) transporté par le conducteur central .
r
4. Le diélectrique étant un isolant parfait mais dans lequel existe néanmoins le champ E( r, z, t ) , écrire l'équation
de Maxwell-Ampère, et en déduire une relation entre
r
∂E r
∂I
et
;
∂t
∂z
5. On utilise dorénavant la représentation complexe E( r, z, t ) , et on suppose que I( z, t ) = I m (z )e jωt avec
∂ I m (z)
r
I(z,t)= ℜe( I(z, t )) ; trouver l'expression de E( r, z, t ) en fonction de r,
r
∂z
et d'autres constantes.
r
6. En remplaçant E et B dans l'équation de Maxwell-Faraday, montrer que I m ( z ) vérifie l'équation différentielle
d2 Im
dz 2
+ εµ0ω2 I m = 0
et que I m = I 0 exp(− jkz) est solution de cette équation ; en déduire k.
7. Donner enfin l'expression de I(z, t ) puis de I(z,t) ; pourquoi peut-on parler d' "onde de courant" ? Dans quel
sens se propage-t-elle ? Quelle est sa célérité ? (rappel ε 0 µ 0 c 2 = 1 et c = 3,00 108 m.s-1 )
r
r
r
r
8. Déduire alors les expressions de E et B puis des champs réels E et B , ainsi que l'expression du vecteur de
r
Poynting P . Montrer que ces trois vecteurs se propagent, et préciser s'il s'agit d'une onde plane.
9. Calculer le flux du vecteur de Poynting à travers une section droite de l'isolant comprise entre R1 et R2 , sa
valeur moyenne, et en déduire la puissance moyenne transportée par le câble.
10*. Calculer l'énergie volumique électromagnétique moyenne en un point, et l'énergie contenue dans un tronçon
de câble de hauteur dz ; en déduire la vitesse de propagation de l'énergie. Conclure.
______________
formulaire en coordonnées cylindriques :
r r  1 ∂A z ∂A θ  r  ∂A r ∂A z  r
 1 ∂ ( rA θ ) 1 ∂A r  r
rotA = 
−
−
−
u r + 
u z
u θ + 
∂z 
∂r 
r ∂θ 
 r ∂θ
 ∂z
 r ∂r
* question plus difficile
r 1 ∂( rA ) 1 ∂A
∂A z
θ
r +
divA =
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
corrigé : Liaison par câble coaxial.
1. Le champ électrique est supposé radial et sa valeur ne dépend que de r, z et t. L'équation de Maxwell-Faraday
s'écrit:
rot E =
∂E r
∂B
uθ = −
∂z
∂t
donc le champ magnétique est orthoradial.
r
r
2. dans un conducteur réel les champs E et B tendent vers 0 à partir de la surface (effet de peau), dans un
conducteur parfait, ils sont nuls. D'après les relations de passage (cours) :
r
r
r
r
r
r v
r
r r
σ
B1T − B2 T = µ0 js ∧ n2→1
E1T − E 2 T = 0
B1 N = B2 N
( E1 − E 2 ). n2→1 =
ε0
r
r
r
r
ici, à l'extérieur du conducteur central E // ur est normal, et B // u θ tangentiel, donc il doit exister des
charges et courants surfaciques pour vérifier les relations de passage.
3. Le théorème d'Ampère (forme intégrale) appliqué à un cercle
d'axe Oz, soit (C), de rayon r, orienté par u θ , s'écrit:
∫
B ⋅ dl = µ 0 I enlacé + µ 0 ε
C
∂E
⋅ dS
S ∂t
∫∫
∫
R2
r
uz
Oz
R1
( I est surfacique )
S étant le disque limité par (C) de normale
r r
∂E
or E // u r donc
.dS = 0 et
∂t
r
E
r
B
uz .
r
B ⋅ dl = µ 0 I
soit
C
B θ 2 πr = µ 0 I
ou
r
µ I( z, t )
B( r , z , t ) = 0
uθ
2 πr
4. En tout point de l'espace entre les surfaces cylindriques, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit:
r
r
r
∂B θ
1 ∂ ( rB θ ) r
∂E
ur +
u z et rBθ = cte
rotB = µ 0 ε
car j est nul entre les conducteurs, avec rotB = −
∂z
r ∂r
∂t
∂E r
1 ∂I
∂B θ
µ ∂I
∂E
=−
ur = − 0
u r = µ0ε r u r
ou
il vient −
∂t
2 πε r ∂z
∂z
2 πr ∂z
∂t
5. En représentation complexe:
r
∂E
= jωE
∂t
d'où jωE r = −
1 ∂I
2 πrε ∂z
6. L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en notation complexe : rot E = −
rot E =
∂Er
∂z
uθ =
2
j  ∂ I m
2 πrεω  ∂z 2

E( M , t ) =
j ∂I
ur .
2 πrεω ∂z
∂B
jωt
soit avec I(z, t ) = I m (z )e
∂t

e jωt u = − jωB = − jω µ 0 I e jωt u
θ
θ.
m

2 πr

d'où en simplifiant l'équation cherchée:
d2 Im
proposée : en effet, si I m = I 0 exp(− jkz) ,
ou k = ω εµ 0 = ω ε 0µ 0 ε r =
et
dz 2
+ εµ 0 ω2 I m = 0 dont l'une des solutions est bien de la forme
∂2 Im
∂z 2
= (− jk )2 I m = − k 2 I m
d'où k 2 = µ 0 εω2
ω
εr
c
7. On a donc avec cette solution: I = I m (z ) exp( jωt ) = I 0 exp( − jkz ) exp( jωt ) = I 0 exp( j( ωt − kz ))
et
I(z,t) = Re( I ) = I0 cos(ωt - kz)
c'est une onde de courant plane progressive, se propageant suivant Oz dans le sens des z croissants.
sa célérité vϕ (ou vitesse de phase) est donnée par vϕ = ω /k = 1 / εµ 0 = c / ε r A.N : vϕ = 1,0 108 m.s-1
8. A partir de l'expression de
B( M , t ) =
I , on détermine les champs:
µ0
I 0 exp( j( ωt − kz ))u θ et
2 πr
E( M, t ) =
r
µ
B( M , t ) = 0 I 0 cos(ωt − kz ) u θ
2 πr
puis
avec les champs réels : P =
r
E( M , t ) =
et
r r
I 2
E∧B
= 0
µ0
4π 2 r 2
εr
1
1 k
I 0 exp( j( ωt − kz )) u r
  I 0 exp( j(ωt − kz )) u r =
2 πrε c
2 πrε  ω 
I0
2 πrcε 0 ε r
cos(ωt − kz ) u r =
µ0
cos 2 ( ωt − kz ) u z et
ε
P =
1
2 πr
µ0
I 0 cos(ωt − kz ) u r
ε
µ0
I 2
1
u z = 02 2
uz
ε
8π r cε 0 ε r
I02
8π r
2 2
r r* 
E
∧B 
remarque : on peut aussi écrire P = ℜe
à partir des expressions complexes
 2 


Ces champs sont ceux d'une onde électromagnétique progressive dans la direction Oz et le sens des z croissants à
ω
c
r
. L' onde n'est pas plane car bien que u z , E( M, t ) et B( M, t ) forment un
la vitesse de phase v Φ = =
k
εr
r
trièdre direct, ils dépendent de r et ne sont pas constants dans un plan perpendiculaire à k .
9. La puissance électromagnétique moyenne transportée dans le câble est par définition le flux de P à travers
r
r
une section droite de l'isolant avec d s = 2 πrdru z :
< P >=
∫∫ < P
> .dSu z =
sec tion
8π 2
µ0
ε
R2
1
R1
r2
∫
2 πr dr

r
r
r
B
R2
r
E
r
P
R1
µ0
R
I02
R
I 0 2 ln 2 =
ln 2
ε
R 1 4 πε 0c ε r
R1
1
4π
soit < P > =
I02
Oz

(on pouvait utiliser aussi < P >= ℜe E ∧ B *  )


r
 2µ 0 
10. l'énergie volumique s'écrit : u =
u=
εE 2
B2
non nulle dans le diélectrique, nulle dans les conducteurs
+
2
2µ 0
ε I 02 cos2 ( ωt − kz )
1 µ 02 I 02 cos2 (ωt − kz ) µ 0 I 02 cos2 ( ωt − kz )
+
=
,
2 4π 2 ε02 ε r r 2 c 2
2µ 0
4π2 r 2
4π2 r 2
et sa valeur moyenne
R2
intégrons sur un élément de volume compris entre z et z + dz : d E EM =
µ 0 I 02
∫ 8π r
2
2 πrdrdz =
2
R1
u =
µ 0 I 02
8π 2 r 2
µ 0 I 02  R 2 
dz
Ln

4π
 R1 
si l'énergie se propage à vitesse ve , l'énergie traversant une section entre t et t + dt se trouvait contenue dans le
volume dτ = Sdz avec dz = vedt on peut donc écrire :
d E EM =
∫∫∫
u dτ =dt
( V)
il reste v e =
∫∫
r r
P .d s
(S )
1
µ 0 ε 0c ε r
=
c
εr
soit
R 
R 
µ 0 I 02  R 2 
µ I2
I 02
dz = 0 0 Ln  2  v e dt =
Ln
Ln  2 dt



4π
R
4
π
R
4 πε 0c ε r
 1
 1
 R1 
l'énergie se propage également à la célérité
(c'est un cas particulier, dans certains milieux dispersifs on a v e = v g =
c
εr
et v e = v ϕ
dω
où vg est appelée "vitesse de groupe")
dk
_____________________