propagation d'une onde de courant dans le conducteur central d'un câble coaxial
Un câble coaxial très long comprend un conducteur central plein de
rayon R
1
et un conducteur extérieur très mince de rayon R
2
. Les
conducteurs sont supposés parfaits, et le milieu interconducteur est un
diélectrique parfaitement isolant de permittivité ε = ε
0
ε
r
avec
ε
r
= 9,0 . On admettra que les calculs sont les mêmes que dans le vide,
et qu'il suffit de remplacer ε
0
par ε dans les équations de Maxwell.
L'espace est rapporté à la base cylindrique habituelle
zr
u,uu
θ
1. On suppose que le champ électrique en un point de l'isolant est de la forme
rr
u)t,z,r(EE
=
; en utilisant
l'équation de Maxwell-Faraday, montrer que le champ magnétique est de la forme
θθ
=u)t,z,r(BB
.
2. Que peut-on dire des champs
et
dans les conducteurs ? en utilisant les relations de passage des champs à
la surface du conducteur central (les rappeler sans démonstration), que peut-on dire de la localisation des charges
et des courants pour le conducteur central ?
3. Rappeler le théorême d'Ampère en régime permanent, puis sa généralisation en régime variable; en l'utilisant
sur un contour circulaire approprié, et en détaillant bien le calcul, trouver l'expression de
dans l'espace
interconducteur en fonction du courant I(z,t) transporté par le conducteur central .
4. Le diélectrique étant un isolant parfait mais dans lequel existe néanmoins le champ
)t,z,r(E
, écrire l'équation
de Maxwell-Ampère, et en déduire une relation entre
t
E
r
∂
et
z
I
∂
∂
;
5. On utilise dorénavant la représentation complexe
)t,z,r(E
, et on suppose que
tj
m
e)z(I)t,z(I
ω
=
avec
I(z,t)=
))t,z(I(eℜ
; trouver l'expression de
)t,z,r(E
en fonction de r,
z
)z(I
m
∂
∂
et d'autres constantes.
6. En remplaçant
E
et
B
dans l'équation de Maxwell-Faraday, montrer que
)z(I
m
vérifie l'équation différentielle
0I
dz
Id
m
2
0
2
m
2
=ωεµ+
et que
)jkzexp(II
0m
−=
est solution de cette équation ; en déduire k.
7. Donner enfin l'expression de
)t,z(I
puis de I(z,t) ; pourquoi peut-on parler d' "onde de courant" ? Dans quel
sens se propage-t-elle ? Quelle est sa célérité ? (rappel
1c
2
00
=µε
et c = 3,00 10
8
m.s
-1
)
8. Déduire alors les expressions de
E
et
B
puis des champs réels
et
, ainsi que l'expression du vecteur de
Poynting
. Montrer que ces trois vecteurs se propagent, et préciser s'il s'agit d'une onde plane.
9. Calculer le flux du vecteur de Poynting à travers une section droite de l'isolant comprise entre R
1
et R
2
, sa
valeur moyenne, et en déduire la puissance moyenne transportée par le câble.
10*. Calculer l'énergie volumique électromagnétique moyenne en un point, et l'énergie contenue dans un tronçon
de câble de hauteur dz ; en déduire la vitesse de propagation de l'énergie. Conclure.
______________
formulaire en coordonnées cylindriques :
z
rzr
r
z
u
A
r
1
r)rA(
r
1
u
r
A
z
A
u
z
AA
r
1
Ator rrr
r
r
∂θ
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂θ
∂
=
θ
θ
θ
z
A
A
r
1
r)rA(
r
1
Adiv
zr
∂
∂
+
∂θ
∂
+
∂
∂
=
θ
* question plus difficile
z
u
R
2