propagation d`une onde de courant dans le conducteur central d`un

propagation d'une onde de courant dans le conducteur central d'un câble coaxial
Un câble coaxial très long comprend un conducteur central plein de
rayon R
1
et un conducteur extérieur très mince de rayon R
2
. Les
conducteurs sont supposés parfaits, et le milieu interconducteur est un
diélectrique parfaitement isolant de permittivité ε = ε
0
ε
r
avec
ε
r
= 9,0 . On admettra que les calculs sont les mêmes que dans le vide,
et qu'il suffit de remplacer ε
0
par ε dans les équations de Maxwell.
L'espace est rapporté à la base cylindrique habituelle
zr
u,uu
r
r
r
θ
1. On suppose que le champ électrique en un point de l'isolant est de la forme
rr
u)t,z,r(EE
r
r
= ; en utilisant
l'équation de Maxwell-Faraday, montrer que le champ magnétique est de la forme
θθ
=u)t,z,r(BB
r
r
.
2. Que peut-on dire des champs
E
r
et
B
r
dans les conducteurs ? en utilisant les relations de passage des champs à
la surface du conducteur central (les rappeler sans démonstration), que peut-on dire de la localisation des charges
et des courants pour le conducteur central ?
3. Rappeler le théorême d'Ampère en régime permanent, puis sa généralisation en régime variable; en l'utilisant
sur un contour circulaire approprié, et en détaillant bien le calcul, trouver l'expression de
B
r
dans l'espace
interconducteur en fonction du courant I(z,t) transporté par le conducteur central .
4. Le diélectrique étant un isolant parfait mais dans lequel existe néanmoins le champ )t,z,r(E
r
, écrire l'équation
de Maxwell-Ampère, et en déduire une relation entre
t
E
r
∂
∂
et
z
I
∂
∂
;
5. On utilise dorénavant la représentation complexe )t,z,r(E
r
, et on suppose que
tj
m
e)z(I)t,z(I
ω
= avec
I(z,t)=
))t,z(I(eℜ
; trouver l'expression de )t,z,r(E
r
en fonction de r,
z
)z(I
m
∂
∂
et d'autres constantes.
6. En remplaçant E
r
et B
r
dans l'équation de Maxwell-Faraday, montrer que )z(I
m
vérifie l'équation différentielle
0I
dz
Id
m
2
0
2
m
2
=ωεµ+
et que
)jkzexp(II
0m
−=
est solution de cette équation ; en déduire k.
7. Donner enfin l'expression de
)t,z(I
puis de I(z,t) ; pourquoi peut-on parler d' "onde de courant" ? Dans quel
sens se propage-t-elle ? Quelle est sa célérité ? (rappel 1c
2
00
=µε et c = 3,00 10
8
m.s
-1
)
8. Déduire alors les expressions de E
r
et B
r
puis des champs réels
E
r
et
B
r
, ainsi que l'expression du vecteur de
Poynting
P
r
. Montrer que ces trois vecteurs se propagent, et préciser s'il s'agit d'une onde plane.
9. Calculer le flux du vecteur de Poynting à travers une section droite de l'isolant comprise entre R
1
et R
2
, sa
valeur moyenne, et en déduire la puissance moyenne transportée par le câble.
10*. Calculer l'énergie volumique électromagnétique moyenne en un point, et l'énergie contenue dans un tronçon
de câble de hauteur dz ; en déduire la vitesse de propagation de l'énergie. Conclure.
______________
formulaire en coordonnées cylindriques :
z
rzr
r
z
u
A
r
1
r)rA( r
1
u
r
A
z
A
u
z
AA
r
1
Ator rrr
r
r
∂θ
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂θ
∂
=
θ
θ
θ
z
A
A
r
1
r)rA( r
1
Adiv
zr
∂
∂
+
∂θ
∂
+
∂
∂
=
θ
r
* question plus difficile
E
r
B
r
z
u
r
Oz
R
2
R
1

corrigé : Liaison par câble coaxial.
1. Le champ électrique est supposé radial et sa valeur ne dépend que de r, z et t. L'équation de Maxwell-Faraday
s'écrit:
t
B
u
z
E
Erot
r
∂
∂
−=
∂
∂
=
θ
donc le champ magnétique est orthoradial.
2. dans un conducteur réel les champs
E
r
et
B
r
tendent vers 0 à partir de la surface (effet de peau), dans un
conducteur parfait, ils sont nuls. D'après les relations de passage (cours) :
( ).
r r r
E E n
1 2 2 1 0
− =
→
σ
ε
r
r
r
E E
T T1 2
0− =
B B
N N1 2
=
r
r
r
v
B B j n
T T s1 2 0 2 1
− = ∧
→
µ
ici, à l'extérieur du conducteur central ru//E
r
r
est normal, et
θ
u//B
r
r
tangentiel, donc il doit exister des
charges et courants surfaciques pour vérifier les relations de passage.
3. Le théorème d'Ampère (forme intégrale) appliqué à un cercle
d'axe Oz, soit (C), de rayon r, orienté par
θ
u , s'écrit:
dS
t
E
IdB
S
0enlacé0
C
⋅
∂
∂
εµ+µ=⋅ ∫∫∫ l ( I est surfacique )
S étant le disque limité par (C) de normale
z
u .
or
r
u//E
r
r
donc 0dS.
t
E=
∂
∂
et IdB
0
C
µ=⋅
∫
l
r
soit
Ir2B
0
µ=π
θ
ou
θ
π
µ
=u
r2 )t,z(I
)t,z,r(B
0
r
4. En tout point de l'espace entre les surfaces cylindriques, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit:
t
E
Brot
0
∂
∂
εµ=
r
r
car j est nul entre les conducteurs, avec
z
r
u
r)rB( r
1
u
z
B
Brot r
r
∂
∂
+
∂
∂
−=
θθ
et rB
θ
= cte
il vient
r
r
0
r
0
r
u
t
E
u
z
I
r2
u
z
B∂
∂
εµ=
∂
∂
π
µ
−=
∂
∂
−
θ
ou
z
I
r2 1 t
E
r
∂
∂
πε
−=
∂
∂
5. En représentation complexe:
Ej
t
Eω=
∂
∂
r
d'où
z
I
r2 1
Ej
r
∂
∂
επ
−=ω
et
r
u
z
I
r2 j
)t,M(E ∂
∂
εωπ
=
.
6. L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en notation complexe :
t
B
Erot ∂
∂
−= soit avec
tj
m
e)z(I)t,z(I
ω
=
θ
ω
θ
ω
θ
π
µ
ω−=ω−=
∂
∂
εωπ
=
∂
∂
=ueI
r2
jBjue
z
I
r2 j
u
z
E
Erot
tj
m
0
tj
2
m
2
r
.
d'où en simplifiant l'équation cherchée:
0I
dz
Id
m
2
0
2
m
2
=ωεµ+
dont l'une des solutions est bien de la forme
proposée : en effet, si
)jkzexp(II
0m
−=
,
( )
m
2
m
2
2
m
2
IkIjk
z
I−=−=
∂
∂
d'où
2
0
2
kεωµ=
ou
rr000
c
kε
ω
=εµεω=εµω=
7. On a donc avec cette solution:
))kzt(jexp(I)tjexp()jkzexp(I)tjexp()z(II
00m
−ω=ω−=ω=
et I(z,t) = Re( I ) = I
0
cos( ω t - kz)
c'est une onde de courant plane progressive, se propageant suivant Oz dans le sens des z croissants.
sa célérité v
ϕ
(ou vitesse de phase) est donnée par v
ϕ
= ω /k =
r0
/c/1 ε=εµ A.N : v
ϕ
= 1,0 10
8
m.s
-1
E
r
B
r
z
u
r
Oz
R
2
R
1

8. A partir de l'expression de I , on détermine les champs:
θ
−ω
π
µ
=u))kzt(jexp(I
r2
)t,M(B
0
0
et
r
0
u))kzt(jexp(I
k
r2 1
)t,M(E −ω
ωεπ
=
r
0
r
u))kzt(jexp(I
cr2 1−ω
ε
επ
=
puis
θ
−ω
π
µ
=u)kztcos(I
r2
)t,M(B
0
0
r
et
r
0
0
r
r0
0
u)kztcos(I
r21
u)kztcos(
rc2
I
)t,M(E −ω
ε
µ
π
=−ω
εεπ
=
r
avec les champs réels :
z
2
0
22
2
0
0
u)kzt(cos
r4
I
BE
P−ω
ε
µ
π
=
µ
∧
=
r
r
et
z
r0
22
2
0
z
0
22
2
0
u
c
1
r8
I
u
r8
I
Pεεπ =
ε
µ
π
=
remarque : on peut aussi écrire
∧
ℜ= 2BE eP
*
rr
à partir des expressions complexes
Ces champs sont ceux d'une onde électromagnétique progressive dans la direction Oz et le sens des z croissants à
la vitesse de phase
r
c
k
vε =
ω
=
Φ
. L' onde n'est pas plane car bien que
z
u
r
,
)t,M(Bet)t,M(E
forment un
trièdre direct, ils dépendent de r et ne sont pas constants dans un plan perpendiculaire à
k
r
.
9. La puissance électromagnétique moyenne transportée dans le câble est par définition le flux de P à travers
une section droite de l'isolant avec
z
urdr2sd
r
r
π=
:
∫∫∫
π
ε
µ
π
=><>=<
2R
1R 2
0
2
2
0
z
tionsec
drr2
r
1
8
I
udS.PP
soit
1
2
r0
2
0
1
2
2
0
0
R
R
n
c4
I
R
R
nI
4
1
P ll
επε
=
ε
µ
π
=><
(on pouvait utiliser aussi
µ
∧
ℜ>=<
0
2*BE
eP
r
r
r
)
10. l'énergie volumique s'écrit :
0
22
2
B
2
E
uµ +
ε
= non nulle dans le diélectrique, nulle dans les conducteurs
22
22
0
2
0
0
22
r
2
0
2
22
0
r4
)kzt(cosI
21
cr4
)kzt(cosI
2
uπ−ωµ
µ
+
εεπ −ωε
= =
22
22
00
r4
)kzt(cosI
π−ωµ
, et sa valeur moyenne
22
2
00
r8
I
uπ
µ
=
intégrons sur un élément de volume compris entre z et z + dz : dz
R
R
Ln
4I
rdrdz2
r8
I
Ed
1
2
2
00
R
R22
2
00
EM
2
1
π
µ
=π
π
µ
=∫
si l'énergie se propage à vitesse v
e
, l'énergie traversant une section entre t et t + dt se trouvait contenue dans le
volume dτ = Sdz avec dz = v
e
dt on peut donc écrire :
∫∫∫∫∫ =τ=
)S()V(
EM
sd.PdtduEd
r
r
soit
dt
R
R
Ln
c4
I
dtv
R
R
Ln
4I
dz
R
R
Ln
4I
1
2
r0
2
0
e
1
2
2
00
1
2
2
00
επε
=
π
µ
=
π
µ
il reste
rr00
e
c
c
1
vε =
εεµ
= l'énergie se propage également à la célérité
r
c
ε
et
ϕ
=vv
e
(c'est un cas particulier, dans certains milieux dispersifs on a dk
d
vv
ge
ω
== où v
g
est appelée "vitesse de groupe")
_____________________
E
r
B
r
P
r
Oz
R
2
R
1