Correction DS commun TS.09

Correction DEVOIR COMMUN TS
(3 heures)
Exercice 1 (6 points)
On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, S3, ….., Sn, ….. tels que :
• Le premier sac S1 contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
• Chacun des sac suivants S2, S3, ….., Sn, ….. contient 2 billes jaunes et 2 vertes.
Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs, effectués de la manière suivante :
• On tire au hasard une bille dans le sac S1 ;
• On place la bille tirée de S1 dans le sac S2 , puis on tire au hasard une bille dans S2 ;
• On place la bille tirée de S2 dans le sac S3 , puis on tire au hasard une bille dans S3 ;
• Et ainsi de suite…
Pour tout entier n ≥ 1 , on note En l’événement « la bille tirée dans le sac Sn est verte » on note p n = p ( E n ) .
1. Mise en évidence d’une relation de récurrence.
a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de p( E1 ) , p E1 ( E 2 ) et p E ( E 2 ) . En déduire la valeur de p( E 2 ) = p 2 .
1
Pour chaque tirage d’une bille dans le sac Sn celui-ci contient 5 billes,
le tirage s’effectuant au hasard il y a équiprobabilité entre les événements élémentaires
2
p( E1 ) =
, en effet le sac S1 contient 2 billes vertes favorables à l’évènement E1
5
3
pE1 ( E 2 ) = , en effet sachant que la bille tirée dans S1 est verte,
5
le sac S2 contient 3 billes vertes favorables à l’évènement E2
pE ( E 2 ) =
1
2
, en effet sachant que la bille tirée dans S1 est jaune,
5
le sac S2 contient 2 billes vertes favorables à l’évènement E2
je peux en déduire d’après la formule des probabilités totales avec p ( E1 ) = 1 − P ( E1 ) = 1 −
2 3
=
5 5
12
3 2 2 3 6
6
p2 = p( E 2 ) = pE1 ( E 2 ) × p( E1 ) + pE ( E2 ) × p( E1 ) = × + × =
+
=
1
5 5 5 5 25 25 25
b. A l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p ( E n+1 ) en fonction de p ( E n ) .En déduire une relation entre p n +1 et p n .
3
5
P ( En )
1 − P ( En )
En
En
2
5
2
5
3
5
En +1
En +1
En +1
En +1
1
2
3
2
p( E n+1 ) = pEn ( En+1 ) × p( En ) + pE ( En+1 ) × p( En ) = × p ( En ) + × 1 − P ( En )  = P ( En ) +
n
5
5
5
5
je peux en déduire pour tout entier n ≥ 1 , la relation : pn+1 =
1
2
pn +
5
5
2. Etude d’une suite.
2
1
2
et u n +1 = u n +
, pour tout n ≥ 1 .
5
5
5
1
a. Démontrer que pour tout n ≥ 1 on a u n ≤ .
2
1
Soit la proposition : « un ≤ » , montrons par récurrence qu’elle est vraie , pour n ≥ 1 .
2
On considère la suite ( u n ) définie par :
Initialisation :
Hérédité :
Conclusion :
u1 =
2
1
= 0, 4 donc « u1 ≤ »
5
2
1
je suppose la proposition vraie au rang n : « un ≤ »
2
montrons qu’elle est alors vraie au rang n +1
1
1
1 1
avec un ≤
j’obtiens :
un ≤ ×
2
5
5 2
1
2 1 2
un + ≤ +
5
5 10 5
1
2 5
un + ≤
5
5 10
1
donc « un +1 ≤ »
.
2
la proposition est vraie pour n = 1 , elle est héréditaire donc elle est vraie pour n ≥ 1 .
1
la suite ( un ) est majorée par
2
la proposition est vraie pour n = 1 , en effet u1 =
b. Démontrer que la suite ( u n ) est croissante.
2
2 4
1
4
−4
2 4
2 4
1
donc − un ≥
et − un ≥ − ≥ 0
un +1 − un =  un +  − un = − un avec un ≤
5
5 5
2
5
10
5 5
5 10
5
ainsi pour n ≥ 1 on a : un +1 − un ≥ 0 , la suite ( un ) est croissante
c. Justifier que la suite ( u n ) est convergente et déterminer sa limite.
1
2
1
2
4
2
2 1
par passage à la limite l = l + ⇔ l = ⇔ l = = ainsi
5 5
5
5
4 2
La suite ( un ) est croissante et majorée donc elle converge vers l avec l ≤
1
2
comme u n +1 = u n +
5
5
lim un =
n →+∞
1
2
3. Evolution des probabilités p(En).
a. A l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités p ( E n ) .
2
1
2
pn = p ( En ) avec p1 =
et pn +1 = pn +
5
5
5
1
1
, elle converge vers
2
2
1
si « n est grand nombre, la probabilité de tirer une boule verte dans le sac Sn est »
2
b. A l’aide de votre calculatrice, déterminer les valeurs de l’entier n pour lesquelles on a l’inégalité 0, 499 99 ≤ p ( En ) ≤ 0, 5 ?
donc d’après la question 2. la suite ( pn ) est croissante et majorée par
à la calculatrice, je trouve p6 = 0, 499 968 et p7 ≃ 0, 499 9936
1
comme la suite ( pn ) est croissante et majorée par
pour n ≥ 7 on a l’inégalité 0, 499 99 ≤ p( E n ) ≤ 0, 5
2
Exercice 2 (7 points)
Les trois questions sont indépendantes.
x −1
On considère la fonction f définie sur l’ensemble ℝ par f ( x ) = ( ax + b)e
+ c , où a, b et c sont trois réels que l’on
se propose de déterminer dans la première question.
La courbe C représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal est représentée ci-contre
• La courbe C passe par le point A(1 ; 5), elle admet la droite D comme tangente en ce point.
• Le point B(0 ; 2) appartient à la droite D.
•
La courbe C admet également une tangente horizontale au point d’abscisse
−
1
.
2
1. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
- A l’aide des informations données dans l’énoncé et du graphique, déterminer les valeurs de a, b et c.
j’obtiens l’équation : a + b + c = 5
La courbe C passe par A (1 ; 5 ) donc f (1) = 5
y − yA 2 − 5
La droite D est tangente en A donc f ' (1) = B
=3
=
xB − x A 0 − 1
avec f ' ( x ) = a.e x −1 + ( a x + b ) .e x −1 = e x −1. ( a x + a + b )
La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse −
j’obtiens l’équation : 2a + b = 3
1
 1
donc f '  −  = 0
2
 2
3
− 1
1

j’obtiens l’équation : e 2  a + b  = 0 ⇔ a + b = 0
2
2


a + b + c = 5
a + b + c = 5
a = 2



ainsi les trois réels a , b et c vérifient le système :  2a + b = 3 ⇔  −3b = 3
⇔  b = −1
c = 4
1
 a = −2b


 a+b = 0
2
x −1
d’où f ( x ) = (2 x − 1)e + 4
2. On admet pour la suite de l’exercice que, pour tout réel x, f ( x) = (2 x − 1)e x −1 + 4 .
a. Déterminer lim f ( x) .
x → +∞
lim f ( x ) = lim (2 x − 1)e x −1 + 4 = +∞
x →+∞
x →+∞
b. Vérifier que, pour tout réel x, f ( x) =
2 x − 1 = +∞
 xlim
→+∞
car 
lim e x −1 = lim e x × e −1 = +∞
x →+∞
 x →+∞
2 x 1 x
xe − e + 4 . En déduire lim f ( x) .
x → −∞
e
e
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2 x 1 x
xe − e + 4
e
e
x
 lim xe = 0
 x →−∞
car 
ex = 0
 xlim
→−∞
f ( x ) = (2 x − 1)e x −1 + 4 = 2 x.e x × e −1 − e x × e −1 + 4 =
2 x 1 x
xe − e + 4 = 4
x →−∞ e
e
lim f ( x ) = lim
x →−∞
La droite d’équation y = 4 est asymptote horizontale à la courbe C au voisinage de −∞
c. On note f ’ la fonction dérivée de f. Déterminer, pour tout réel x, l’expression de f ’(x).
f ' ( x ) = 2.e x −1 + ( 2 x − 1) .e x −1 = e x −1 . ( 2 x + 1)
d. Etablir le tableau de variation de f.
comme e x−−1 > 0 on a f ' ( x ) ≥ 0 ⇔ 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥
x
−1
2
d’où le tableau de variation de f
−1
2
0
–∞
f '( x )
–
+∞
+
+∞
4
f ( x)
 −1 
f 
 2 
3. Soit ∆ la partie du plan située entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1. On souhaite
calculer ici l’aire de la partie ∆ exprimée en unité d’aires.
1
a. A l’aide d’une intégration par parties calculer la valeur exacte de
J’utilise une intégration par parties avec u ' ( x ) = e x −1
∫ (2 x − 1)e
x −1
dx .
0
u ( x ) = e x −1
v ( x) = 2x −1 v '( x) = 2
1
1
3−e
1
 1 3
x −1
x −1
x −1
−1
x −1 1



 = 1 + − 2 1 −  = − 1 =
(2
x
−
1)e
dx
u.a
=
e
(2
x
−
1)
−
2.e
dx
=
1
−
−
e
−
2
e
(
)
∫0

 0 ∫0

0
e
e
 e e
1
b. En déduire la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au dixième, de la partie ∆ .
1
L’aire de la partie ∆ est égale à :
∫ f ( x ) dx
0
1
∫
1
1
1
0
0
0
3−e
3 + 3e
+ 4 (1 − 0) =
u.a
e
e
f ( x ) dx = ∫ (2 x − 1)e x −1 + 4 dx = ∫ (2 x − 1)e x −1dx + ∫ 4 dx =
0
1
∫ f ( x ) dx ≃ 4,1 u.a
0
Exercice 3 (7 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u ; v ) d’unité graphique 1 cm.
On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante :
z 3 + (−8 + i ) z 2 + (17 − 8i ) z + 17i = 0
(E).
Partie A – Résolution de l’équation (E)
1. Montrer que − i est solution de (E).
( −i )
+ ( −8 + i ) ( − i ) + (17 − 8i ) ( − i ) + 17 i = i + 8 − i − 17i + 8i 2 + 17i = 8 − 8 = 0 = 0
donc − i est solution de (E)
3
2
2. Déterminer les réels a, b et c tels que : z 3 + (−8 + i ) z 2 + (17 − 8i ) z + 17i = ( z + i )(az 2 + bz + c) .
( z + i )(az 2 + bz + c) = a .z 3 + ( b + i a ) . z 2 + ( c + i b ) .z + c i = z 3 + ( −8 + i ) z 2 + (17 − 8i ) z + 17 i
a = 1
a = 1

 b + i a = −8 + i

par identification : 
⇔  b = −8
 c + i b = 17 − 8i
 c = 17

 c i = 17i
3. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
L’équation z 3 + (−8 + i ) z 2 + (17 − 8i ) z + 17i = 0 (E).
s’écrit :
( z + i )( z 2 − 8 z + 17) = 0
z+i =0
ou
z 2 − 8 z + 17 = 0
2
z=−i
ou
∆ = ( −8 ) − 4 × 1×17 = −4 = 4i 2
δ = i 4 = 2 i vérifie : δ 2 = ∆
z=
S = { − i ; 4 − i ; 4 + i}
8 − 2i
= 4−i
2
ou
8 + 2i
= 4+i
2
z=
Partie B
On appelle A, B et C les points d’affixes respectives 4 + i , 4 − i et − i .
1. Placer les points sur une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice.
C'
B'
S
P
A
o
W
B
C
( C ')
A'
(C )
2. Le point Ω est le point d’affixe 2. On appelle S l’image de A par la rotation de centre Ω et d’angle de mesure
π
2
.
Calculer l’affixe s de S.
l’écriture complexe de la rotation de centre Ω et d’angle
ainsi : s = i ( 4 + i − 2 ) + 2 = 2i − 1 + 2 = 1 + 2i
π
2
s’écrit : z '− 2 = e
i
π
2
( z − 2)
3. Démontrer que les points B, A, S et C appartiennent à un même cercle (C) dont on déterminera le centre et le rayon.
Tracer (C).
ΩA = zA − 2 = 4 + i − 2 = 2 + i = 22 + 12 = 5 et ΩS = ΩA puisque S est l’image de A
ΩB = zB − 2 = 4 − i − 2 = 2 − i = 22 + ( −1) = 5
2
ΩC = zC − 2 = −i − 2 = −2 − i =
( −2 ) + ( −1)
2
2
= 5
ΩS = ΩA = ΩB = ΩC = 5
donc les points B , A , S et C appartiennent au cercle ( C ) de centre Ω d’affixe 2 et de rayon
5
4. A tout point M d’affixe z ≠ 2 , on associe le point M’ d’affixe : z ' =
iz + 10 − 2i
.
z−2
a. Déterminer les affixes des points A’, B’ et C’ associés respectivement aux points A, B et C.
z A' =
zB' =
zC' =
izA + 10 − 2i i ( 4 + i ) + 10 − 2i 2i + 9 ( 2i + 9 ) ( 2 − i ) −5i + 20
=
=
=
= 4− i
=
4+i− 2
2+i
5
5
zA − 2
izB + 10 − 2i i ( 4 − i ) + 10 − 2i 2i + 11 ( 2i + 11) ( 2 + i ) 15i + 20
=
=
=
= 4 + 3i
=
4−i−2
2−i
5
5
zB − 2
izC + 10 − 2i i ( − i ) + 10 − 2i −2i + 11 ( −2i + 11) ( −2 + i ) 15i − 20
=
=
= −4 + 3i
=
=
5
5
zC − 2
−i − 2
−2 − i
b. Vérifier que A’, B’ et C’ appartiennent à un cercle (C’) de centre P, d’affixe i . Déterminer son rayon et tracer (C’).
PA' = zA' − i = 4 − i − i = 4 − 2i = 42 + ( −2 ) = 20 = 2 5
2
PB' = zB' − i = 4 + 3i − i = 4 + 2i = 42 + 22 = 20 = 2 5
PC' = zC' − i = −4 + 3i − i = −4 + 2i =
( −4 )
2
+ 22 = 20 = 2 5
PA' = PB' = PC' = 2 5
donc les points A’ , B’ et C’ appartiennent au cercle ( C ' ) de centre P d’affixe i et de rayon 2 5
c. Pour tout nombre complexe z ≠ 2 , exprimer z '−i en fonction de z − 2 .
z '− i =
iz + 10 − 2i − i ( z − 2 )
iz + 10 − 2i
10
10
−i =
=
=
z−2
z−2
z−2
z−2
d. Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle (C). Démontrer que z '−i = 2 5 .
Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle ( C ) alors z − 2 = 5
par suite : z '− i =
10
10 10 5
=2 5
=
=
z−2
5
5
e. En déduire à quel ensemble appartiennent les points M’ associés aux points M du cercle (C).
M ∈ ( C ) ⇔ z − 2 = 5 ⇔ z '− i = 2 5 ⇔ M' ∈ ( C ')
Les points M’ associés aux points M du cercle ( C )
appartiennent au cercle ( C ' ) de centre P d’affixe i et de rayon 2 5