Chapitre 10 : L`induction électromagnétique

Solutionnaire Physique 1, Électricité et Magnétisme, Harris Benson
CHAPITRE 10
L INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
10R1
1- Déplacer l aimant de façon à modifier le champ magnétique autour de la boucle, et modifier ainsi le flux
magnétique qui la traverse.
2- Modifier la forme de la boucle de fil de façon à modifier l aire de la boucle exposée au flux magnétique de
l aimant.
3- Modifier l orientation de la boucle de fil par rapport à l aimant. Le flux magnétique traversant la boucle sera
alors modifié.
10R3
Le vecteur A est perpendiculaire à la surface à travers laquelle le flux circule, et est placé dans le sens selon
lequel l angle qu il fait avec le vecteur champ magnétique est inférieur à 90°. Ce sens donnera une valeur
positive au flux magnétique la traversant.
10Q2
a) Le fil étant perpendiculaire à la boucle de courant, aucun flux magnétique ne traverse la boucle, peu importe
l intensité du courant (ou ses variations), car le fil (vertical) crée autour de lui un champ circulaire dans un plan
horizontal.
b) Si le fil est à l horizontale et passe par le centre exact de la boucle de courant, il crée d un côté un flux
magnétique traversant la boucle vers le haut, et de l autre un flux de même grandeur la traversant vers le bas.
Ainsi, peu importe le courant, le flux résultant traversant la boucle est toujours nul, et l intensité du courant
n aura aucune influence.
10Q3
Si l anneau tourne sur lui-même, son aire exposée au flux magnétique ne change pas. L intensité du champ
demeure la même, et l aimant ne se déplace pas. Il n y aura donc aucune f.é.m. induite par ce mouvement de
rotation.
10Q4
Le barreau aimanté (un aimant permanent) émet un flux magnétique vers le haut. L anneau, en s approchant de
l aimant par le haut est donc traversé par un flux vers le haut de plus en plus grand. La variation de ce flux peut
donc être représentée vers le haut (flux montant qui augmente).
Selon la loi de Faraday, la variation du flux étant vers le haut ( d / dt ) dirigée vers le haut, on inverse cette
direction en raison du signe « - » de l équation et représente par le pouce cette la direction obtenue (vers le bas).
Les doigts représentent maintenant la direction du courant, une rotation horaire dans l anneau, ce qui en fait un
électroaimant dont le nord pointe vers le bas. Cette orientation d aimantation est opposée à celle de l aimant
permanent et le repoussera. On a donc une répulsion entre l aimant et l anneau lorsque ce dernier tombe au
dessus de l aimant. Cela aura pour effet de réduire l accélération de sa chute (mais pas de le ralentir, il accélèrera
quand même, mais à un taux plus faible).
Analyse alternative : selon la loi de Lenz, si c est la chute de l anneau qui génère un courant par induction, on
peut automatiquement conclure que la force magnétique qui résultera du phénomène d induction agira de façon à
s opposer à cette chute de l anneau. On perçoit donc encore une force de répulsion qui tendra à freiner la chute
de l anneau.
10Q12
ANTIHORAIRE. Selon le sens du courant dans le fil, le champ qu il crée sous lui est perpendiculaire au plan de
l illustration en sens sortant (de la page). La boucle rectangulaire est donc traversée par un flux sortant.
Si le courant diminue, ce flux diminue également, ce qui correspond à une variation d
Cette variation induira un courant en sens antihoraire dans la boucle conductrice.
entrant dans la page.
10Q17
OUI. Ce n est pas le champ produit par une bobine qui induit un courant dans l autre, mais la variation de ce
champ. Donc même si le courant est momentanément nul dans la première bobine, si ce courant est en train de
varier (par exemple passer d une direction à l autre) le champ qu elle crée variera et cela induira un courant dans
la seconde bobine.
10Q20
Il sera attiré.
D abord, selon le circuit illustré, si on ferme l interrupteur le courant circulera en sens horaire (vu du haut) dans
la boucle principale. Selon la règle de la main droite, ce sens de rotation du courant crée un champ magnétique
orienté vers le bas. La boucle supérieure peut donc être vue comme un électroaimant dont le pole nord pointe
vers le bas. Aussi, le flux magnétique ainsi produit et dirigé vers le bas traverse également la boucle inférieure.
Ce flux sera constant si le courant est constant dans la boucle du haut.
La question mentionne cependant qu on ouvre l interrupteur. Le courant va donc diminuer dans la boucle du
haut. Le flux (vers le bas) qui traverse la boucle inférieure va donc diminuer. La variation de flux peut donc être
représentée par une direction inverse au flux, donc vers le haut, indiquée avec le pouce. Après inversion de cette
direction (en raison du signe « - » dans la loi de Faraday), les doigts enroulés indiquent un sens de rotation
horaire pour cette boucle inférieure. Ce sens du courant produit donc un électroaimant dont le nord pointe
également vers le bas, et le sur vers le haut.
À noter que même si le courant diminue dans la boucle du haut, celle-ci continue de produire un champ vers le
bas, mais simplement décroissant. Ainsi, on a deux électroaimants, présentant l un à l autre leurs pôles de signes
contraires, ce qui produit une force d attraction. La boucle du bas est donc attirée vers le haut, vers la boucle
principale.
Une analyse alternative utiliserait le sens des courants dans les deux boucles. Nous avons déjà démontré que les
deux courants circulent en sens horaire. On peut par ailleurs voir les deux boucles comme deux fils parallèles,
disposés de façon circulaire; et deux fils parallèles qui portent des courants dans la même direction subissent une
attraction l un vers l autre, ce qui nous amène à la même conclusion que le raisonnement précédent.
10Q21
Si l avion se dirige vers le nord dans un champ vertical vers le bas, chaque électron libre dans
l aile subira une force vers l est (une charge négative est poussée dans la direction inverse du
résultat de v B ).
Ainsi, c est l extrémité ouest de l aile qui portera un excédent de charges positives.
10Q22
Cette question comprend une partie du raisonnement déjà rencontré à la question 20.
L augmentation du courant dans l une des boucles produira un flux magnétique dans l autre boucle qui induira
un courant en sens contraire.
10E1
Le flux magnétique est donné par
B A BA cos . Trouvons la valeur du flux avant et après la rotation.
D abord, avant la rotation, si le champ est perpendiculaire, le vecteur qui représente l aire est parallèle au champ,
donc
0 .
Avant :
BA cos
BL l cos 0
BLl
0,2 T 0,12 m 0,07 m 1,68 mWb
Après la rotation de 120°, l angle entre B et A est de 120°, si on conserve la référence avec l orientation
initiale :
BA cos
BL l cos 120
La variation est donc
f
BLl cos 120
0,2 T 0,12 m 0,07 m cos 120
0,84 mWb - 1,68 mWb
i
-0,84 mWb
-2,52 mWb
10E3
Le solénoïde crée à l intérieur de lui un champ parallèle à son axe, champ dont l intensité est donnée par
B
0 nI . Le flux magnétique ainsi créé traverse la bobine circulaire à l intérieur, avec l angle indiqué de 37°
par rapport à la perpendiculaire.
Si le courant chute, le flux diminuera dans la boucle intérieure, ce qui induira en elle une f.é.m. donnée par :
N
Donc :
N
d
,
dt
d
dt
où
N
BA cos , et où B
d BA cos
dt
N
d
0 nI
0 nIA cos
dt
Toutes les variables sauf le courant sont constantes et peuvent être sorties de la dérivée :
N
0 nA cos
d I
dt
Par ailleurs, si le courant de 4 A augmente de 25 % en 0,1 s et qu on cherche la valeur moyenne de son effet sur
la f.é.m., on pourra assumer qu il sera de 5 A après 0,1 s et que :
I
I
t
I0
t
5A 4A
0,1 s
1A
0,1 s
10
A
s
Finalement :
N
0 nA cos
Donc :
d I
dt
N
0 nA cos
I
t
5 4
10
7 N
A2
1000
sp
m
0,0008 m 2 cos 37
1A
0,1 s
4,01 10
5
V
40,1 V
10E4
a) Le fait que l aire du cadre de courant augmente induite un courant, et l intensité de ce courant est directement
liée au taux d augmentation de l aire. La variation de l aire induira une f.é.m. puisque :
N
d
où
dt
On trouve donc
BA cos , l aire étant égale à A
N
d BA cos
dt
N
d BLl cos
dt
En retirant de la dérivée les valeurs constantes :
Le terme
L l.
N
Aussi :
d BLl cos
dt
d BLl
dt
BL
0 et N
1
d BLl
dt
dl
dt
dl
représente directement la vitesse, c est la variation le position de la tige mobile, la variation de la
dt
longueur du rectangle qu elle crée. On a donc :
BL
dl
dt
BLv , dont on ne conservera que la valeur absolue :
Par ailleurs, la f.é.m. est liée au courant et à la résistance du circuit par :
On peut finalement écrire :
BLv
RI
RI
0,2 2 A
0,25 T 0,05 m
RI
BL
v
BLv
32
m
s
b) La tige mobile portant un courant subira une force magnétique, puisqu elle se trouve dans un champ durant
de son mouvement. En fonction de sa vitesse, la force qu elle subit est F Il B . Le module sera :
F
IlB
2 A 0,05 m 0,25 T
0,025 N , force qui s oppose au mouvement, donc : F
0,025i N .
Pour maintenir cette vitesse constante, on doit appliquer en retour une force opposée, soit F
0,025i N
10E5
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
10E10
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10E11
a) Connaissant la résistance du circuit, il nous faut également connaître la f.é.m. induite pour calculer le courant
qui y circule, à partir de
RI . Cette f.é.m. est produite par la variation de l aire du cadre conducteur à travers
lequel le flux magnétique augmente :
N
d
où
dt
BA cos , l aire étant égale à A
L l.
Puisque le champ magnétique est perpendiculaire au cadre, on aura
0 , et N 1 puisque le cadre ne constitue
qu un circuit simple pour le courant. En associant toutes ces équations, on aura :
Donc :
d
dt
N
N
d BA cos
dt
N
d BLl cos
dt
d BLl
dt
BL
dl
dt
BLv
À noter que la vitesse v de la tige est égale à la variation de longueur l par rapport au temps. Aussi, le signe
négatif pourrait être négligé puisqu il ne détermine que le sens du courant et non son intensité, mais puisqu on
nous donne aussi une vitesse négative, gardons-le pour qu il puisse être annulé. Donc :
RI
BLv
I
0,45 T 0,24 m
BLv
R
2,7
30
m
s
1,2 A
b) La tige mobile portant un courant subira une force magnétique, puisqu elle se trouve dans un champ durant
de son mouvement. En fonction de sa vitesse, la force qu elle subit est F Il B . Le module sera :
F
IlB 1,2 A 0,24 m 0,45 T
0,130 N
c) En mécanique, une expression de la puissance lorsqu une force sert à maintenir une vitesse de déplacement
constante, est P F v . Ici la force à appliquer est parallèle à la vitesse (et dans la même direction), donc :
P
F v
F v
0,130 N 30
m
s
3,89 W .
d) En principe, on devrait s attendre à trouver la même puissance qu en c), puisque tout la puissance mécanique
déployée est absorbée par le circuit électrique. Cependant, on peut tout de même la calculer par l approche de
l électricité :
P VI
I
BLvI
0,45 T 0,24 m
30
m
s
1,2 A
3,89 W
10E15
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10E19
La force électromotrice maximale générée par une bobine en rotation dans un champ est donnée par
Ainsi, pour connaître la vitesse angulaire :
12 V
Nc 2 B
NAB
180 0,08 m
2
130
0,08 T
NAB .
rad
s
10E22
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10E27
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10P2
Dans l entourage du fil, le champ n est pas uniforme. Dans le plan du cadre, en tout point, le champ est
perpendiculaire au cadre, mais n a pas la même intensité, puisque chaque point de l ouverture se trouve à une
distance différente du fil qui produit le champ. Puisqu on se questionne sur le courant induit au moment précis
où la tige est à une distance d de la résistance, on considèrera sa distance au fil à cet endroit, soit R a d . Le
champ a cet endroit, créé par un fil infini, est donc :
0I
2 R
B fil
0I
2 a d
L augmentation de l aire du cadre permet donc à un champ de « cette » intensité d augmenter le flux traversant
l ouverture. On considèrera donc l augmentation du flux produite durant l intervalle de temps infinitésimal dt
contenu dans l équation de la f.é.m. :
N
d
où
dt
BA cos , l aire étant égale à A l d .
Puisque le champ magnétique est perpendiculaire au cadre, on aura
0 , et N 1 puisque le cadre ne constitue
qu un circuit simple pour le courant. En associant toutes ces équations, on aura :
Donc :
N
d
dt
N
d BA cos
dt
Le courant est lié à cette f.é.m. par
N
d Bld cos
dt
RI , donc : I
I cadre
Blv
R
2 a d
R
lv
0 I fil lv
R2 a d
4
10
0,05
Bl
dd
dt
BLv
Blv
.
R
R
Et puisque le champ est produit par le fil vertical avec B fil
0 I fil
d Bld
dt
0 I fil
2 a d
, on peut écrire finalement :
7 N
A2
15 A 0,4 m 0,25
2
0,01 m 0,05 m
m
s
1,00 10
4
A