où 1. - Cellule MathDoc

JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
PURES ET APPLIQUÉES
LEBESGUE, V.-A.
Sur l’intégrale R011−ρα
1−ρ=∑r1 s
−1
s+αoù α<1.
Journal de mathématiques pures et appliquées 2esérie, tome 1 (1856), p. 377-378.
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PURES ET APPLIQUÉES. 377
~<~M~
n
Tome ler ( 2e série).-OCTOBRE i856. ~8
SUR L'INTÉGRALE
II~a
00
rI. I1
f£f»=i(7-^) où .<
IS ou a <1
PAR M. V. A. LEBESGUE.
Problème. Si le nombre n est divisé successivement par les nombres
i, 2, 3, n, pour un certain nombre hde diviseurs, le rapport du
reste de la division an diviseur tombera au-dessous de a <iPour
les autres diviseurs, ce rapport sera = ou >«. On demande la li-
mite du rapport quand n devient de plus en plus grand.
Dans l'article précédent, M. Lejeune-Dirichlet atrouvé pour cette
limite
5=00
·lim n
h
=(1
I
l ')
limn= > \s I s -+- a)
]
5=1
Si on la met sous la forme
lim^=I + y \l L_],
n=1Zé is ,_(I_a)j'
2
en posant
et à cause de i-« = /3,
7=T|=7(I+7 + F + 7+-)' )
on aura
r:J;¡ 00
(1) hm =1Pi- 2
22
00
Comme Euler a donné les sommes 2 avec seize décimales, on trou-
I
vera facilement l'expression numérique de lim -•

378 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Quand on pose
ai V Pp
pps Lrs+a-`ps+a' a
on trouve
y (i__J_\ =£ + ,(£ + +
\s s+tzj a \p ip Zp
/il I
– '\a P Hp a -i i p- a h • • >
o \a
/'+a 2~-)-<!
OU
s
t
s-t-I a1 J p a + pJor
xp-~
t .~p.x°-'
CÎ,xy ) = -f p I– dx
~f ~+K/ a~J~ t-
mais
t – pj x<>-i dx;
donc enfin
y { ) – p dx = I 5L r/œ
I
i-~ xp i–~ •
en posant xp =<p.
Si l'on fait
~=f mP«d~, Oc p
a
on trouvera par les formules connues
2
(2) I« = – log 2/> – -COta7T + 2 COSOL 2 SU. log sili S. –
p
î =I
Cette formule suppose pimpair; pour/? pair, les limites de la somme
deviendraient i et i
2
De cette formule on tirerait encore
(3) I,_K-IK = + 7rcotaîr.
Mais la formule (t) paraît plus propre au calcul numérique, surtout
quand p n'est pas un petit nombre.