1 Variables aléatoires à densité 2 Loi uniforme

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Variables aléatoires à densité
Le contenu de ce premier paragraphe ne fait pas partie des exigibles du programme de Mathématiques de
Terminale STL.
Son exposé a pour unique but de faciliter la compréhension des paragraphes suivants.
Définition
Soit Ω l’univers (i.e. l’ensemble des issues) d’une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire X définie sur Ω est dite continue lorsqu’elle peut prendre comme valeur tous les
réels d’un intervalle I de R, non vide et non réduit à un point.
Définition
Une fonction f définie sur R est appelée fonction de densité ou, par abus de langage, densité, si :
• f est continue et à valeurs positives sur R ;
• l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de f et par l’axe des abscisses est égale
à une unité d’aire.
Définition
Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire et X une variable aléatoire continue, définie sur Ω et de densité f .
On appelle probabilité de l’événement (X ∈ I), où I est un intervalle de R, et on note P (X ∈ I), l’aire
du domaine suivant :
{M (x; y); x ∈ I et 0 6 y 6 f (x)}
Propositions
Soient a et b deux réels tels que a < b et X une variable aléatoire continue, de densité f .
• La probabilité que X prenne la valeur a est nulle (i.e. P (X = a) = 0).
• P (X < a) = P (X 6 a) et P (X > a) = P (X > a)
• P (X ∈ [a; b]) = P (X ∈]a; b]) = P (X ∈ [a; b[) = P (X ∈]a; b[)
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Loi uniforme
Définition
Soient a et b deux réels tels que a < b.
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [a; b] lorsque, pour tout intervalle I inclus dans
[a; b], la probabilité de l’événement (X ∈ I) est égale à l’aire du domaine {M (x; y); x ∈ I et 0 6 y 6 f (x)}
1
où f est la fonction constante définie sur [a; b] par f (x) =
.
b−a
Dans ces conditions, la fonction f est appelée fonction de densité de la loi uniforme sur [a; b].
1
b−a
Cf
•
a
[
P (X ∈ I)
I
•
]
b
Proposition
Soient a, b, c et d quatre réels tels que a 6 c < d 6 b.
Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a; b] alors P (c 6 X 6 d) =
d−c
.
b−a
Définition
Soient a et b deux réels tels que a < b et X une variable aléatoire à densité sur [a; b] de fonction de
densité f .
Z
b
On appelle espérance de X le réel E(X) défini par E(X) =
x×f (x) dx.
a
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a; b] alors E(X) =
a+b
.
2
Définitions
Soient a et b deux réels tels que a < b et X une variable aléatoire à densité sur [a; b] de fonction de
densité f . On appelle :
Z b
• variance de X le réel V (X) défini par V (X) = (x−E(X))2 ×f (x) dx ;
a»
• écart-type de X le réel σ(X) défini par σ(X) =
V (X).
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a; b] alors V (X) =
3
(b − a)2
b−a
et σ(X) = √ .
12
12
Loi exponentielle
Définition
Soit λ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X, à valeurs dans [0; +∞[, suit la loi exponentielle de paramètre λ lorsque, pour
tout intervalle borné I inclus dans [0; +∞[, la probabilité de l’événement (X ∈ I) est égale à l’aire du
domaine {M (x; y); x ∈ I et 0 6 y 6 f (x)} où f est la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = λe−λx .
Dans ces conditions, la fonction f est appelée fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre λ.
Cf
P (X ∈ I)
[
I
]
Propositions
Soient c et d deux réels tels que 0 6 c < d.
Si une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors :
• P (c 6 X 6 d) = e−λc − e−λd ;
• P (X 6 d) = 1 − e−λd .
Définition
Soient λ un réel strictement positif et X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle
de paramètre λ.
Z
t
On appelle espérance de X, et on note E(X), le réel défini par E(X) = lim
fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre λ.
t→+∞ 0
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors E(X) =
x × f (x) dx, où f est la
1
.
λ
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Loi normale
Définition
Soient µ un réel et σ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ; σ) lorsque, pour tous réels a et b tels que a < b :
1 Å x − µ ã2
Z b
−
1
σ
f (x) dx avec f : x 7→ √ e 2
P (a 6 X 6 b) =
a
σ 2π
Dans ces conditions, la fonction f est appelée fonction de densité de la loi normale de paramètres µ et σ.
Remarque :
En pratique, on n’utilisera jamais cette égalité pour calculer une probabilité car on ne connaît pas de
primitive de la fonction f .
Dans le cadre de la loi normale, le calcul de probabilités est effectué à l’aide de la calculatrice.
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ; σ) alors E(X) = µ et σ(X) = σ.
Quelques informations sur la fonction de densité de la loi normale N (µ; σ)
1 Å x − µ ã2
−
1
σ
Soient µ un réel et σ un réel strictement positif, f : x 7→ √ e 2
et Cf sa représentation
σ
2π
graphique dans un repère orthogonal du plan.
Cf est une courbe « en cloche », également appelée « gausx=µ
Aire égale
sienne », située au-dessus de l’axe des abscisses (f est à valeurs
1
à 1 u.a.
√
strictement positives sur R).
σ 2π
Elle admet la droite d’équation x = µ pour axe de symétrie (on
dit aussi qu’elle est « centrée en µ »).
Cf
Enfin, l’aire du domaine compris entre Cf et l’axe des abscisses
(« aire sous Cf ») est égale à 1 u.a.
Pour une même valeur de µ, plus σ est grand, plus le sommet de
la courbe Cf est bas et plus la « cloche » est large.
Méthode : Utilisation de la calculatrice graphique
Soient µ un réel, σ un réel strictement positif et X une variable aléatoire suivant la loi normale N (µ; σ).
Obtenir le menu des distributions des lois de probabilités par : 2nd DISTR
• Pour calculer la probabilité P (a 6 X 6 b) où a et b sont deux réels connus tels que a < b :
normalFRép(a,b,µ,σ)
• Pour déterminer le réel a tel que P (X 6 a) = p où p est un réel connu appartenant à ]0; 1[ :
FracNormale(p,µ,σ)
La calculatrice graphique ne permet pas le calcul direct de probabilités telles que P (X 6 a) ou P (X > a)
mais on peut aisément contourner ce problème.
⋆ Si a 6 µ alors :
X6a
X>a
• P (X 6 a)= P (X 6 µ) − P (a 6 X 6 µ)
= 0,5 − P (a 6 X 6 µ)
• P (X > a)= P (a 6 X 6 µ) + P (X > µ)
= P (a 6 X 6 µ) + 0,5
⋆ Si a > µ alors :
a
µ
a
µ
X6a
X>a
• P (X 6 a)= P (X 6 µ) + P (µ 6 X 6 a)
= 0,5 + P (µ 6 X 6 a)
• P (X > a)= P (X > µ) − P (µ 6 X 6 a)
= 0,5 − P (µ 6 X 6 a)
µ
a
µ
a
Proposition
Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ; σ) alors :
P (X ∈ [µ − σ; µ + σ]) ≈ 0,683
P (X ∈ [µ−2σ; µ+2σ]) ≈ 0,954
≈ 0,683 u.a.
P (X ∈ [µ − 3σ; µ + 3σ]) ≈ 0,997
≈ 0,954 u.a.
µ−σ µ µ+σ
µ − 2σ
µ
≈ 0,997 u.a.
µ + 2σ
µ
µ − 3σ
µ + 3σ
Proposition
Si les conditions n > 30, np > 5 et n(1−p) > 5 sont vérifiées, alors la loi B (n; p) admet pour approximation
la loi»normale de même espérance et de même écart-type, c’est-à-dire la loi N (µ; σ) où µ = np et
σ = np(1 − p).
Remarque :
Intuitivement, les trois conditions à remplir traduisent le fait que n doit être suffisamment grand et p ni
trop voisin de 0, ni trop voisin de 1.
Exemple :
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté la probabilité P (X = k) en fonction de k quand X suit la loi
binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,2.
On constate qu’il y a une certaine analogie entre la représentation graphique de la répartition des probabilités de cette loi binomiale et la représentation
graphique√de la fonction de densité de la loi normale de
»
paramètres µ = np = 100 × 0,2 = 20 et σ = np(1 − p) = 100 × 0,2 × 0,8 = 4.
0.10
p(X = k)
n = 100 et p = 0.2
0.05
1
Cf où f : x 7→ √
4 2π
1
−
e 2
Ç
x − 20
4
å2
k
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95100
Complément (hors programme) : La correction de continuité
Si une variable aléatoire X suit la loi B (n; p) et si les conditions n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5 sont
vérifiées alors la loi de X est « proche » de celle de la variable aléatoire
» Y qui suit la loi normale de même
espérance et de même écart-type, i.e. N (µ; σ) avec µ = np et σ = np(1 − p).
Approcher une loi binomiale par une loi normale, c’est approcher une loi discrète (celle de X) par une loi
continue (celle de Y ).
Or, pour une loi normale, comme pour toute loi continue, la probabilité d’une valeur isolée est nulle. Il
semble donc difficile de calculer P (X = k), pour un entier k compris entre 0 et n, avec cette approximation.
Afin de remédier à ce problème, on utilise la correction de continuité, qui consiste à remplacer la probabilité
de l’événement (X = k) par celle que Y appartienne à l’intervalle de longueur 1, centré en k.
On utilise alors les règles d’approximation suivantes :
• on approxime P (X = k) par P (k − 0,5 6 Y 6 k + 0,5) ;
• on approxime P (X 6 k) par P (Y 6 k + 0,5) ;
• on approxime P (X < k) par P (Y 6 k − 0,5) ;
• on approxime P (X > k) par P (Y > k − 0,5) ;
• on approxime P (X > k) par P (Y > k + 0,5).