Fonctions harmoniques et distribution asymptotique des valeurs

Fonctions harmoniques et distribution asymptotique
des valeurs propres du laplacien
Par Gilles STUPFLER
sous la direction de M. Vilmos KOMORNIK
19 septembre 2007
Table des matières
Introduction
2
1 Fonctions harmoniques
1.1 Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Solution du problème de Dirichlet pour un disque . . . . .
1.2.1 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Une autre expression . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Des hypothèses moins fortes . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Propriétés fondamentales des fonctions harmoniques
1.3 Existence d’une solution au problème de Dirichlet . . . . .
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3
3
5
5
7
8
9
16
2 Distribution des valeurs propres du laplacien
2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Eléments théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Formule de Gauss-Ostrogradski, formule de Green
2.2.2 Rappels sur les séries de Fourier . . . . . . . . . .
2.3 Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Propriétés des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Etude asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Un cas particulier : le rectangle . . . . . . . . . .
2.5.2 Estimation des valeurs propres pour le rectangle .
2.5.3 Cas du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Cas du triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Cas d’un ouvert connexe borné de classe C 1 . . .
2.5.6 Estimation du terme d’erreur . . . . . . . . . . .
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25
25
26
26
27
27
31
40
40
42
48
50
52
60
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Annexe
62
Théorème de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Lemme 2.5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Remerciements
71
Notations
72
1
Introduction
De nombreux problèmes physiques se ramènent à la résolution d’une équation dans
laquelle intervient le laplacien ∆1 . Citons quelques exemples :
1. En électromagnétisme, l’équation donnant le potentiel électrostatique V créé par
une distribution volumique de charge ρ est ∆V = ρ/0 , où 0 est la permittivité
du vide (équation de Poisson).
2. En thermodynamique, l’équation donnant la distribution de la température T dans
un solide, en régime stationnaire, est ∆T = 0 (équation de la chaleur).
3. Toujours en thermodynamique, l’équation donnant la diffusion des molécules dans
un fluide en régime stationnaire est ∆c = 0, où c est la concentration des ces
molécules (deuxième loi de Fick).
1
4. L’équation des ondes ∆u − 2 utt = 0 apparaît en électromagnétisme, ou en acousc
tique.
L’opérateur laplacien apparaît donc dans des domaines variés de la physique, et la
résolution d’une équation comportant un laplacien est en général assez difficile. Le but de
ce mémoire est de présenter quelques propriétés du laplacien qui sont utiles pour résoudre
certains problèmes physiques. On étudiera en premier lieu l’équation ∆u = 0 avec des
conditions aux limites particulières, appelées conditions de Dirichlet. On verra que les
fonctions solutions d’un tel type de problème ont des propriétés surprenantes. Ensuite, on
se focalisera plus particulièrement sur la distribution asymptotique des valeurs propres
du laplacien sur un domaine connexe borné ayant une frontière de classe C 1 . Ceci a un
intérêt en physique des ondes, et plus particulièrement en acoustique : en effet, on peut
prédire les notes produites par un tambour simplement en le regardant, si on connaît la
distribution asymptotique des valeurs propres du laplacien sur un ouvert dont l’aire est
celle de la membrane du tambour. On étudiera à cet effet un cas simple, qui est celui
d’un domaine rectangulaire de R2 , pour ensuite étendre les résultats.
1
Les notations utilisées sont rappelées à la fin de ce mémoire.
2
Chapitre 1
Fonctions harmoniques
L’objectif de cette partie est d’étudier quelques propriétés des solutions de l’équation
∆u = 0, d’introduire la notion de problème de Dirichlet, et de montrer l’existence et
l’unicité de la solution à ce type de problème sous certaines hypothèses. On munit R2
de la norme euclidienne k · k2 , et on note d(x, y) = kx − yk2 .
Pour plus d’informations, se reporter à [1].
1.1
Premiers résultats
Commençons par définir notre cadre de travail :
Définition 1.1.1. Soient U un ouvert de R2 , et u : U → R une fonction de classe C 2 .
Si ∆u = 0 sur U , alors u est dite harmonique sur U .
Exemples :
2
2
1. La fonction u définie par u(x, y) = x2 −
√ y2 est 2harmonique sur U = R .
2. La fonction u définie par u(x, y) = ln( x + y ) est harmonique sur U = (R∗ )2 .
Dans toute la suite de ce chapitre, on note O un ouvert connexe borné non vide de R2 .
Il est clair que l’ensemble des fonctions harmoniques sur O est un R-espace vectoriel. On
définit ensuite ce qu’est un problème de Dirichlet : soit f une application continue sur
Fr(O). Le problème de Dirichlet consiste à trouver une fonction harmonique u continue
sur O telle que :
8
∆u = 0 sur O
<
:
u=f
sur F r(O).
Un exemple de problème de Dirichlet concret est la détermination de la température
à l’intérieur d’un corps, connaissant la température à l’interface entre ce corps et l’air
ambiant. Avec ces deux définitions, on peut déjà établir quelques résultats spectaculaires,
dont le
Théorème 1.1.2. (Théorème du minimum et du maximum)
Soit u une application harmonique sur O et continue sur O. Alors, on a :
∀ (x, y) ∈ O, inf u ≤ u(x, y) ≤ sup u.
F r(O)
F r(O)
Autrement dit, sur O, u ne peut prendre de valeurs plus grandes que son maximum sur
F r(O) et plus petites que son minimum sur F r(O).
3
Démonstration. Notons m = sup u, et supposons que u prenne en un point de O une
F r(O)
valeur strictement plus grande que m. Alors M = sup u > m, et ce maximum est atteint
O
en un certain point P ∈ O. On déplace l’origine du repère jusqu’en P , ce qui ne change
rien quant à l’harmonicité de u. On considère alors l’application v : O → R2 définie par :
M −m 2
∀ (x, y) ∈ O, v(x, y) = u(x, y) +
(x + y 2 ),
2d2
où d est le diamètre de O pour la norme euclidienne. Alors v(0, 0) = u(0, 0) = M , et
d’autre part, on a :
M −m
M +m
∀ (x, y) ∈ Fr(O), v(x, y) < m +
=
< M,
2
2
donc v atteint son maximum en un point de O. Pourtant, on a, sur O :
M −m
M −m
∆v(x, y) = ∆u(x, y) + 2
=2
> 0,
2
d
d2
mais une fonction atteignant son maximum en un point ne peut avoir aucune de ses
dérivées partielles strictement positive en ce point, d’où la contradiction recherchée.
Pour prouver l’assertion sur le minimum, on refait la démonstration avec la fonction
−u.
Une application harmonique a donc un comportement très particulier sur O. On déduit
de ce théorème l’unicité de la solution au problème de Dirichlet :
Corollaire 1.1.3. Il y a unicité de la solution au problème de Dirichlet.
Démonstration. Si u1 et u2 sont solutions d’un même problème de Dirichlet, alors on a
u1 − u2 ≡ 0 sur Fr(O). Le théorème précédent implique
∀ (x, y) ∈ O, 0 ≤ u1 (x, y) − u2 (x, y) ≤ 0,
soit : ∀ (x, y) ∈ O, u1 (x, y) = u2 (x, y).
Pour finir ce paragraphe, démontrons un lemme qui sera très utile pour la suite :
Lemme 1.1.4. Soit (un ) une suite d’applications harmoniques sur O et continues sur
F r(O). Si la suite (un ) converge uniformément sur F r(O), alors elle converge uniformément sur O.
Démonstration. Soit ε > 0. Appliquons le critère de Cauchy uniforme à la suite (un ) :
∃N ∈ N, ∀ p, q ∈ N, p, q > N ⇒ ∀ (x, y) ∈ Fr(O) |up (x, y) − uq (x, y)| < ε.
Mais les fonctions (un ) sont toutes harmoniques, donc la fonction up − uq est également
harmonique pour tous entiers p et q : up − uq satisfait le théorème du minimum et du
maximum, et on a :
∃N ∈ N, ∀ p, q ∈ N, p, q > N ⇒ ∀ (x, y) ∈ O
|up (x, y) − uq (x, y)| < ε
ce qui prouve que la suite (un ) converge uniformément sur O.
Ces quelques propriétés vont nous permettre de montrer l’existence d’une solution au
problème de Dirichlet pour un disque, le but étant ensuite de généraliser ceci à un ouvert
connexe borné possédant certaines propriétés topologiques.
4
1.2
Solution du problème de Dirichlet pour un disque
Soit f = f (s) une fonction continue sur le bord d’un disque de centre A et de rayon
1, où s désigne l’abscisse curviligne d’un point du cercle mesurée à partir d’un certain
point M du cercle. On suppose que f (0) = f (2π). Le but est de construire une fonction
u continue sur le disque fermé, harmonique sur l’intérieur du disque et égale à f sur le
bord du disque. On fait alors un changement d’origine et d’axes, de sorte que la nouvelle
origine soit le centre du cercle, et que l’axe des x passe par le point s = 0. On passe alors
en coordonnées polaires (r, θ), en prenant comme pôle notre nouvelle origine, et comme
axe polaire le nouvel axe des x. L’équation du cercle est alors r = 1, et on peut écrire
f (s) = f (θ). Après ces quelques simplifications, nous pouvons commencer à résoudre le
problème.
1.2.1
Résolution du problème
On procède par analyse-synthèse.
Analyse : Supposons que f soit continue et de classe C 1 par morceaux (nous montrerons
plus tard que cette hypothèse est inutile). En coordonnées polaires, l’équation ∆u = 0
devient :
1
1
urr + ur + 2 uθθ = 0 .
(1.1)
r
r
Cherchons une solution de cette équation sous la forme u(r, θ) = v(r)w(θ). En remplaçant dans (1.1), on obtient :
v 00 (r)w(θ) +
soit :
–
v 0 (r)w(θ) v(r)w00 (θ)
+
=0
r
r2
™
v 0 (r) r2
v (r) +
=
r
v(r)
00
|
{z
indépendant de θ
−
}
|
w00 (θ)
w(θ)
{z
= λ ∈ R.
}
indépendant de ρ
Il s’agit de discuter les valeurs possibles de λ. En écrivant que v 00 + λv = 0, et que
v(0) = v(2π), on constate que v est 2π-périodique, et donc que λ = n2 , n ∈ N. On a
alors v(θ) = an cos(nθ) + bn sin(nθ), an , bn ∈ R. On a ainsi r2 v 00 (r) + rv 0 (r) − n2 v(r) = 0.
Cette équation est linéaire homogène du second ordre, donc l’ensemble de ses solutions
est un espace vectoriel de dimension 2. On constate qu’elle admet les deux solutions
linéairement indépendantes r 7→ rn et r 7→ r−n . Mais puisque r 7→ r−n est discontinue
en r = 0, on en déduit que les solutions de (1.1) continues sur D(A, 1) sont de la forme :
un (r, θ) = rn [an cos(nθ) + bn sin(nθ)].
a0
Dans le cas n = 0, on obtient la solution u0 (r, θ) = constante qu’on choisit de noter .
2
Considérons maintenant la fonction
u(r, θ) =
X
a0 +∞
+
rn [an cos(nθ) + bn sin(nθ)] .
2
n=1
Si les suites (an ) et (bn ) sont bornées par un certain réel M , alors on a :
|u(r, θ)| ≤
X
M +∞
+
2M rn
2
n=1
5
∀ r, θ ∈ [0, 1[×[0, 2π],
ce qui montre que u(r, θ) est bien définie sur D(A, 1). Si on se donne de plus r < 1, et
un réel r1 tel que r < r1 < 1, alors on a
u(r, θ) −
n
X
uk (r, θ)
k=0
=
+∞
X
k=n+1
+∞
X
≤
≤
k=n+1
+∞
X
uk (r, θ)
|uk (r, θ)|
2M r1k .
k=n+1
P
Donc la série nk=0 uk (r, θ) converge uniformément vers u(r, θ) sur D(A, r1 ). Les un étant
des fonctions continues sur ce disque, u est continue sur D(A, r1 ), donc sur D(A, r) pour
tout r < 1. En faisant tendre r vers 1, on obtient que u est continue sur D(A, 1).
On montre de même que u est de classe C ∞ sur D(A, 1), sachant que rn = o(1/nk ) pour
tout entier k > 0 et tout r < 1. On peut donc dériver terme à terme la fonction u, et
on remarque alors que u est harmonique sur D(A, 1). De plus, on a
u(1, θ) =
X
a0 +∞
+
[an cos(nθ) + bn sin(nθ)] .
2
n=1
Synthèse : Si on prend alors
a0 =
1
π
Z
2π
0
f (ψ) dψ , an =
1
π
Z
0
2π
f (ψ) cos(nψ) dψ , bn =
1
π
Z
2π
f (ψ) sin(nψ) dψ ,
0
c’est-à-dire les coefficients de Fourier de f , on a
u(1, θ) = f (θ),
et les suites (an ) et (bn ) sont clairement bornées. Il ne reste qu’à vérifier que u, définie
de cette manière, est continue sur D(A, 1). On a :
|u(1, θ)| ≤
X
|a0 | +∞
+
|an | + |bn |,
2
n=1
et cette somme converge car f est continue et de classe C 1 par morceaux. La série
u(r, θ) =
X
a0 +∞
+
rn [an cos(nθ) + bn sin(nθ)] .
2
n=1
avec an et bn les coefficients de Fourier de f est donc harmonique sur D(A, 1), continue
sur D(A, 1) et égale à f sur C(A, 1) : u est la solution du problème de Dirichlet considéré.
6
1.2.2
Une autre expression
A partir de l’expression de u obtenue au paragraphe précédent, il est possible d’exprimer
u sous forme d’une intégrale. Soit r < 1, on a :
X
a0 +∞
u(r, θ) =
+
rn [an cos(nθ) + bn sin(nθ)]
2
n=1
1
2π
=
Z
+∞
X
2π
f (ψ) dψ +
0
rn
n=1
1
π
Z
2π
f (ψ) cos(nψ) cos(nθ) dψ
0
1
+
π
Z
2π
f (ψ) sin(nψ) sin(nθ) dψ
0
soit, avec cos(nψ) cos(nθ) + sin(nψ) sin(nθ) = cos(n(ψ − θ)),
Z
1
u(r, θ) =
2π
Or on a
+∞
X
r
n
n=1
1
π
+∞
X
2π
f (ψ) dψ +
0
Z
2π
r
n
n=1
1
π
Z
f (ψ) cos(n(ψ − θ)) dψ
0
f (ψ) cos(n(ψ − θ)) dψ
0
2π
≤2
+∞
X
sup |f (ψ)| rn
n=1 ψ∈[0,2π]
par inégalité de la moyenne, donc on peut appliquer le théorème de Beppo-Levi : on a
1
u(r, θ) =
2π
Z
"
2π
f (ψ) 1 + 2
0
+∞
X
#
n
r cos(n(ψ − θ)) dψ.
n=1
Par ailleurs :
1+2
+∞
X
n
r cos(n(ψ − θ)) = 1 + 2 Re
+∞
X
!
n in(ψ−θ)
r e
n=1
n=1
rei(ψ−θ)
= 1 + 2 Re
1 − rei(ψ−θ)
!
Et, en multipliant numérateur et dénominateur de la fraction par le conjugué du dénominateur :
rei(ψ−θ)
rei(ψ−θ) − r2
=
1 − rei(ψ−θ)
1 − 2r cos(ψ − θ) + r2
d’où :
1+2
+∞
X
rn cos(n(ψ − θ)) = 1 + 2
n=1
r cos(ψ − θ) − r2
1 − 2r cos(ψ − θ) + r2
1 − 2r cos(ψ − θ) + r2 + 2r cos(ψ − θ) − 2r2
1 − 2r cos(ψ − θ) + r2
+∞
X
1 − r2
soit 1 + 2
rn cos(n(ψ − θ)) =
.
1 − 2r cos(ψ − θ) + r2
n=1
=
Finalement, on a
∀ r < 1 u(r, θ) =
1
2π
Z
2π
f (ψ)
0
7
1 − r2
dψ,
1 − 2r cos(ψ − θ) + r2
intégrale qui est aussi appelée intégrale de Poisson.
Si le cercle n’est pas de rayon 1, mais de rayon R, l’intégrale devient :
1 Z 2πR
R2 − r 2
∀ r < R u(r, θ) =
f (s) 2
ds
2πR 0
R − 2rR cos( Rs − θ) + r2
(on remplace r par
1.2.3
r
et la variable d’intégration devient s = Rψ).
R
Des hypothèses moins fortes
Pour finir la discussion sur la résolution du problème de Dirichlet pour un cercle, on va
montrer que l’hypothèse "f de classe C 1 par morceaux" est inutile. Supposons que f est
continue, sans autre hypothèse de régularité.
R2 − r 2
est de classe
Remarquons que l’application h : (s, r, θ) 7→ 2
R + r2 − 2Rr cos( Rs − θ)
C ∞ en chacune des trois variables, en tout (s, r, θ) ∈ [0, 2πR] × [0, R[×[0, 2π]. Donc, en
notant comme précédemment
1 Z 2πR
R2 − r 2
∀ r < R u(r, θ) =
f (s) 2
ds,
2πR 0
R − 2rR cos( Rs − θ) + r2
u est de classe C ∞ , car l’intégration se fait sur un compact. On a par ailleurs ∆h = 0
(par un calcul fastidieux qui ne sera pas détaillé ici), ce qui implique ∆u = 0. Donc u
est harmonique sur D(A, R). Montrons maintenant que la fonction ũ définie par :
8
u(r, θ) si r < R
>
<
ũ(r, θ) = >
:
f (Rθ)
si r = R
est continue sur le disque fermé D(A, 1).
Par un théorème de Stone-Weierstrass, puisque f est continue, soit (fn ) une suite de
polynômes convergeant uniformément vers f sur C(A, 1). Alors la suite de fonctions
un (r, θ) =
R2 − r 2
1 Z 2πR
fn (s) 2
ds,
2πR 0
R − 2rR cos( Rs − θ) + r2
vérifie toutes les propriétés établies en 1.2.1, puisque les (fn ) sont de classe C ∞ . En
particulier, on a un (R, θ) = fn (Rθ), donc la suite (un ) converge uniformément sur le
bord du disque. Puisque les (un ) sont harmoniques sur D(A, 1), par le lemme 1.1.4, la
suite (un ) converge uniformément sur le disque fermé, ce qui implique que ũ = lim un
n→∞
est continue sur le disque fermé, en tant que limite uniforme de fonctions continues.
8
1.2.4
Propriétés fondamentales des fonctions harmoniques
Dans cette section, nous allons montrer quelques résultats utiles sur les fonctions harmoniques. Les preuves de toutes ces propriétés sont basées sur le fait que toute application
harmonique est représentable sous la forme d’une intégrale de Poisson.
Théorème 1.2.1. (“Moyenne arithmétique”)
Soit D un disque ouvert de R2 . Supposons u harmonique sur D et continue sur D. Alors
la valeur de u au centre de D est égale à la moyenne des valeurs de u sur F r(D).
Démonstration. On déplace l’origine du repère au centre du disque, et on écrit u sous
la forme d’une intégrale de Poisson :
∀ r < R u(r, θ) =
R2 − r 2
1 Z 2πR
f (s) 2
ds,
2πR 0
R − 2rR cos( Rs − θ) + r2

1 Z 2πR
s‹
f (s) ds, soit
, et on a donc u(0, θ) =
avec : ∀ s ∈ [0, 2πR], f (s) = u R,
R
2πR 0
Z 2πR

‹
1
s
u(0, θ) =
u R,
ds. En d’autres termes, la valeur de u au centre du disque
2πR 0
R
est la moyenne arithmétique des valeurs de u sur le bord du disque, ce qu’on voulait
montrer.
Montrons maintenant un résultat puissant concernant l’analyticité d’une fonction harmonique :
Théorème 1.2.2. Soit u une fonction harmonique sur un ouvert connexe borné non
vide O. Alors, en tout point (x0 , y0 ) de O, u est analytique en x et y.
Démonstration. Soit (x0 , y0 ) ∈ O, et soit R > 0 tel que D((x0 , y0 ), R) ⊂ O. On déplace
l’origine du repère en (x0 , y0 ), pour pouvoir écrire la formule habituelle : si un point
(x, y) ∈ D((x0 , y0 ), R) a pour coordonnées polaires (r, θ),
R2 − r 2
1 Z 2πR
u(r, θ) =
f (s) 2
ds.
2πR 0
R − 2rR cos( Rs − θ) + r2
Nous allons maintenant démontrer un lemme de calcul :
R2 − r 2
2R
Lemme 1.2.3. ∀ r < R, ∀ ψ, θ,
= −1 + Re
.
R2 + r2 − 2rR cos(ψ − θ)
R − rei(θ−ψ)
Démonstration du lemme. On a
−1 +
2R
R + rei(θ−ψ)
=
R − rei(θ−ψ)
R − rei(θ−ψ)
(R + rei(θ−ψ) )(R − rei(ψ−θ) )
=
(R − rei(θ−ψ) )(R − rei(ψ−θ) )
R2 − Rrei(ψ−θ) + Rrei(θ−ψ) − r2
=
R2 + r2 − 2rR cos(ψ − θ)
R2 − r2 + 2iRr sin(θ − ψ)
=
R2 + r2 − 2rR cos(ψ − θ)
et on prend la partie réelle des deux membres, ce qui montre le résultat annoncé.
9
Par ailleurs, on a :
2
R
iReiψ
,
=
2
R − rei(θ−ψ)
i[Reiψ − reiθ ]
ce qui permet d’écrire :
"
#
iR exp (i Rs )
1 Z 2πR
1 Z 2πR
u(x, y) = −
f (s) ds + 2 Re
f (s)
ds .
2πR 0
2πR 0
i[R exp (i Rs ) − r exp (iθ)]
Notons à présent z = x + iy = r exp (iθ) et α = R exp (i Rs ), on a, puisque f donne les
valeurs de u sur le bord du disque :
–
™
1 Z 2πR
1 I f (α) dα
u(x, y) = −
f (s) ds + Re
,
2πR 0
iπR
α−z
I
où représente l’intégration sur le bord du disque.
Par le théorème de la moyenne arithmétique, la première intégrale vaut −u(0, 0). La
1
1
=
, est une application analytique en z
deuxième intégrale, en écrivant
α−z
α[1 − αz ]
(on peut intégrer terme à terme car une série entière est normalement convergente sur
tout compact inclus dans son disque de convergence).
Donc u, partie réelle d’une application analytique en z, est analytique en x et y.
Le théorème de la moyenne arithmétique permet aussi d’améliorer le théorème du minimum et du maximum :
Théorème 1.2.4. (Théorème du minimum et du maximum, forme forte)
Soit O une partie ouverte connexe bornée non vide de R2 . Soit u une application harmonique sur O. S’il existe A ∈ O tel que u(A) = sup u, alors u est constante.
O
Démonstration. Soient un tel point A, et ρ > 0 tel que D(A, ρ) ⊂ O. Alors, par le
théorème de la moyenne arithmétique, u(A) est la moyenne des valeurs prises par u sur
la frontière de D(A, ρ). Mais u atteint son maximum en A, donc les valeurs prises par u
sur la frontière du disque sont inférieures ou égales à u(A). Ainsi, u est nécessairement
constante sur la frontière du disque. En répétant cette démonstration pour tout r < ρ,
on obtient que u est constante sur D(A, ρ) et sur sa frontière. Donc : u est constante
sur D(A, ρ).
Soit maintenant B ∈ D(A, ρ). Il existe ρ0 > 0 tel que D(B, ρ0 ) ⊂ O. Par ce qui précède,
u(B) = u(A), et la même idée montre que u est constante sur D(B, ρ0 ).
Soit alors C ∈ O. O étant connexe, il existe un chemin γ ⊂ O continu joignant A à C
(car dans RN , connexe ⇔ connexe par arcs). Le lemme de topologie suivant va permettre
de conclure :
Lemme 1.2.5. Pour tout ouvert borné O ⊂ RN et tout chemin γ ⊂ O continu, on a
d(γ, F r(O)) =
inf
x ∈ γ, y ∈ F r(O)
10
d(x, y) > 0.
Démonstration du lemme. Par propriété de la borne inférieure, soient deux suites (xn )
et (yn ) de points de γ et Fr(O) respectivement, telles que
d(xn , yn ) −
−−→ d(γ, F r(O)).
n→∞
γ est fermé (c’est un chemin) et borné, donc est un compact de RN , donc on peut extraire
une suite (xnk ) de (xn ) qui converge vers x ∈ γ. De même, Fr(O) étant un fermé borné,
c’est un compact de RN , donc on peut extraire une suite (ynkp ) de (ynk ) qui converge
vers y ∈ Fr(O). Alors on a d(γ, F r(O)) = d(x, y). Or par définition x ∈ γ ⊂ O, donc il
existe ρ0 > 0 tel que D(x, ρ0 ) ⊂ O. Et ainsi d(γ, F r(O)) = d(x, y) > ρ0 > 0.
On revient à la démonstration du théorème : on construit alors une suite finie de disques
D1 , . . . , Dn tels que le centre de D1 soit A, le centre de Dn soit C, le centre de Dk pour
S
2 ≤ k ≤ n−1 soit l’intersection de γ avec Dk−1 , et tels que γ ⊂ nk=1 Dk ; ceci est possible
précisément car la distance de γ à la frontière de O est strictement positive, disons ρ0 ,
et ainsi chaque disque peut être pris de rayon ρ0 , et "couvre" une longueur de chemin
au moins égale à ρ0 . Puisque γ a une longueur L finie, cette construction nécessite au
maximum E(L/ρ0 ) + 1 disques. Un raisonnement identique à celui fait précédemment
montre que u est constante sur chaque Dk , et en particulier u(C) = u(A). Donc u est
constante sur O.
Nous allons maintenant montrer deux théorèmes sur la convergence de fonctions harmoniques, dus à Harnack.
Théorème 1.2.6. (Premier théorème de Harnack)
Soit (un ) une suite de fonctions harmoniques sur O et continues sur O. Si la suite (un )
converge uniformément sur F r(O), alors elle converge uniformément sur O vers une
fonction u harmonique sur O.
Démonstration. Par le lemme 1.1.3, on sait que (un ) converge uniformément sur O.
Notons donc u = lim un , et montrons que u est harmonique sur O. Soit A ∈ O, et
n→∞
R > 0 tel que D(A, R) ⊂ O. Comme on l’a déjà fait plusieurs fois, on déplace l’origine
du repère en A, et on représente les (un ) sous la forme d’une intégrale de Poisson :
1
∀ r < R un (r, θ) =
2π
Z
2π
0
fn (ψ)
R2 − r 2
dψ
R2 − 2rR cos(θ − ψ) + r2
où les (fn ) sont les fonctions donnant les valeurs des (un ) sur la frontière du disque.
Puisque la suite (fn ) converge uniformément sur [0, 2π] (c’est la traduction du fait que
la suite (un ) converge uniformément sur Fr(O)), et que la suite (un ) converge en tout
point de D(A, R) vers u, on peut passer à la limite dans l’égalité précédente et intervertir
limite et intégrale :
1
∀ r < R u(r, θ) = lim un (r, θ) =
n→+∞
2π
Z
2π
0
R2 − r 2
lim fn (ψ) 2
dψ
n→+∞
R − 2rR cos(θ − ψ) + r2
ce qui donne enfin :
1
∀ r < R u(r, θ) =
2π
Z
2π
f (ψ)
0
R2 − r 2
dψ
R2 − 2rR cos(θ − ψ) + r2
où f désigne la limite uniforme des fn , qui est continue. L’application u est donc harmonique en tout point de O.
11
Théorème 1.2.7. (Deuxième théorème de Harnack)
Soit (un ) une suite de fonctions positives, harmoniques sur O. S’il existe A ∈ O tel que
(un ) converge en A, alors (un ) converge uniformément sur tout compact de O vers une
fonction harmonique sur O.
Avant de commencer la démonstration de ce théorème, montrons un lemme de topologie
très utile :
Lemme 1.2.8. Soit K ⊂ RN un compact, U ⊂ RN un ouvert borné tel que K ⊂ U .
Alors on a
d(K, F r(U )) =
inf
x ∈ K, y ∈ F r(U )
d(x, y) > 0.
En particulier, si un compact K de RN est contenu dans une boule ouverte de rayon R,
il existe ε > 0 tel que K soit contenu dans une boule de même centre et de rayon R + ε.
Démonstration du lemme. Soient (xn ), (yn ) deux suites de points de K, F r(U ) respectivement, telles que
d(xn , yn ) −
−−→ d(K, F r(U )).
n→∞
Puisque K est compact, on extrait une sous-suite (xnk ) de (xn ) qui converge vers x ∈ K.
Puisque F r(U ) est un fermé borné, donc un compact de RN , on extrait une sous-suite
(ynkp ) de (ynk ) qui converge vers y ∈ F r(U ). D’où d(K, F r(U )) = d(x, y). Or x ∈ K ⊂ U ,
donc il existe r > 0 tel que D(x, r) ⊂ U . Ceci montre que d(K, F r(U )) = d(x, y) > r > 0,
d’où le lemme.
Démonstration du théorème. On va procéder par étapes. Soit un tel point A.
Première étape : on montre d’abord que (un ) converge uniformément sur tout disque
D(A, R) tel que D(A, R) ⊂ O. Soit un tel disque, et puisque O est ouvert, soit ε > 0 tel
que D(A, R + ε) ⊂ O. On représente à nouveau (un ) par une intégrale de Poisson, en
ayant au préalable déplacé l’origine en A :
∀ r < R + ε un (r, θ) =
1
2π
Z
2π
0
un (R + ε, ψ)
(R + ε)2 − r2
dψ.
(R + ε)2 − 2r(R + ε) cos(θ − ψ) + r2
(R + ε)2 − r2
. Puisque | cos(θ − ψ)| ≤ 1, on
Notons h(r, θ, ψ) =
(R + ε)2 − 2r(R + ε) cos(θ − ψ) + r2
a les inégalités :
(R + ε)2 − r2
(R + ε)2 − r2
≤
h(r,
θ,
ψ)
≤
(R + ε)2 + r2 + 2r(R + ε)
(R + ε)2 + r2 − 2r(R + ε)
soit, en factorisant :
(R + ε − r)(R + ε + r)
(R + ε − r)(R + ε + r)
≤ h(r, θ, ψ) ≤
2
(R + ε + r)
(R + ε − r)2
et enfin :
(R + ε − r)
(R + ε + r)
≤ h(r, θ, ψ) ≤
.
(R + ε + r)
(R + ε − r)
12
Puisque les un sont positives, on peut multiplier ces inégalités par un (R + ε, ψ) sans en
changer le sens, ce qui donne :
1 (R + ε − r)
1
1 (R + ε + r)
un (R + ε, ψ) ≤
h(r, θ, ψ) un (R + ε, ψ) ≤
un (R + ε, ψ),
2π (R + ε + r)
2π
2π (R + ε − r)
d’où, par intégration :
1 (R + ε − r) Z 2π
1 (R + ε + r) Z 2π
un (R + ε, ψ) dψ ≤ un (r, θ) ≤
un (R + ε, ψ) dψ,
2π (R + ε + r) 0
2π (R + ε − r) 0
et finalement, grâce au théorème de la moyenne arithmétique :
(R + ε − r)
(R + ε + r)
un (A) ≤ un (r, θ) ≤
un (A).
(R + ε + r)
(R + ε − r)
Alors, si (un ) converge en A, (un ) converge sur tout le disque fermé D(A, R) (car l’inégalité est valable pour tout r < R + ε), et la convergence est uniforme sur le cercle (car
les membres de gauche et de droite de l’inégalité ne dépendent pas de ψ). Donc par le
premier théorème de Harnack, (un ) converge uniformément sur le disque fermé D(A, R)
vers une fonction harmonique sur D(A, R).
Deuxième étape : On montre que (un ) converge en tout point de O : soit B ∈ O.
O étant connexe, on peut relier A à B par un chemin γ ⊂ O continu. Par le lemme 1.2.5,
on a d(γ, F r(O)) = δ > 0. Soit R > 0 tel que D(A, R) ⊂ O. Soit A2 ∈ γ ∩ Fr(D(A, R)).
On a, par définition de δ, D(A2 , δ/2) ⊂ O et ce qui a été fait à l’étape 1 montre que
(un (A2 )) converge, donc (un ) converge uniformément sur D(A2 , δ/2) ⊂ O.
Soit A3 ∈ γ ∩ Fr(D(A2 , δ/2)), on a D(A3 , δ/2) ⊂ O, et par ce qui précède (un (A3 ))
converge donc (un ) converge uniformément sur D(A3 , δ/2) ⊂ O.
On peut construire un nombre fini de tels points Ak , k = 1, . . . , N , de sorte que
S
B ∈ D(AN , δ/2) et que γ ⊂ N
k=1 D(Ak , δ/2). Alors (un (B)) converge, et puisque (un )
converge uniformément sur D(AN , δ/2), la limite des (un ) est harmonique au voisinage
de B.
Troisième étape : On va montrer que (un ) converge uniformément sur les compacts
de O. Soit K ⊂ O un compact, par la propriété de Borel-Lebesgue on peut le recouvrir
par un nombre fini de disques D1 , . . . , Dp tels que D1 ⊂ U, . . . , Dp ⊂ U . Par ce qui a
été fait précédemment, (un ) converge en tous les centres des Dk . Donc, (un ) converge
uniformément sur tous les Dk : (un ) converge uniformément sur K.
La convergence des suites de fonctions harmoniques est donc très régulière. Mais si le
comportement des fonctions harmoniques est très régulier, il n’en est pas moins surprenant, comme le montre le résultat suivant :
13
Théorème 1.2.9. (Théorème de Liouville)
Soit une application u, harmonique sur R2 , qui est bornée. Alors u est constante.
Démonstration. Puisque u est bornée, quitte à ajouter une constante à u, on peut supposer que u est positive. Montrons que pour tout point M de R2 , u(M ) = u(O), où O
est l’origine du plan.
On passe en coordonnées polaires : soient (r, θ) les coordonnées polaires de M , et soit
r > 0 tel que M ∈ D(0, r). On représente u sous la forme d’une intégrale de Poisson, et
comme dans la démonstration du deuxième théorème d’Harnack, on montre que :
∀ R > r,
R+r
R−r
u(O) ≤ u(M ) ≤
u(O)
R+r
R−r
D’où en faisant tendre R vers l’infini (ce qui est possible car u est harmonique sur R2 ),
on obtient u(O) ≤ u(M ) ≤ u(O), et donc u(M ) = u(O) pour tout M .
Pour finir ce paragraphe, énonçons et démontrons le célèbre théorème de la singularité
apparente :
Théorème 1.2.10. (Théorème de la singularité apparente)
Soit A un point du plan. On suppose que u est une application harmonique et bornée
sur un voisinage épointé W de A, c’est-à-dire qu’il existe V , un voisinage de A, tel que
W = V \ {A}. Alors u se prolonge par continuité en A en une application harmonique
sur V tout entier.
Démonstration. On déplace l’origine au point A. Soit R > 0 tel que D(A, R) ⊂ V . Soit
u1 une application harmonique sur D(A, R) et égale à u sur la frontière de D(A, R)
(cela existe car on a prouvé l’existence d’une solution au problème de Dirichlet pour un
cercle), et notons v = u − u1 . Nous allons montrer que v est identiquement nulle sur
D(A, R) \ {A}, après quoi on prolongera v par continuité en posant v(A) = 0, ce qui
prouvera le théorème.
On sait déjà que v est nulle sur C(A, R). Soit ε ∈ ]0, R[, on considère l’application ωε
définie par :
ln(AP/R)
∀ P ∈ D(A, R) \ {A}, ωε (P ) = M
ln(ε/R)
où on a posé M =
sup
|v|, fini par hypothèse.
D(A,R)\{A}
Cette application a les propriétés suivantes :
1. ωε induit une application harmonique sur D(A, R) \ {A} : en effet, on peut écrire :
∀ P ∈ D(A, R) \ {A}, si r = AP , ωε (P ) = M
ln(r/R)
,
ln(ε/R)
1
1
et le membre de droite est une application f vérifiant frr + fr + 2 fθθ = 0 ;
r
r
2. ωε est nulle sur C(A, R) ;
3. ωε vaut M sur C(A, ε).
14
Soit maintenant P dans la couronne D(A, R) \ D(A, ε). L’application v − ωε est harmonique sur cette couronne, donc atteint son maximum sur sa frontière. Et on a :
1. v − ωε est nulle sur C(A, R) ;
2. ∀P ∈ C(A, ε), (v − ωε )(P ) ≤ sup v − M ≤ sup |v| − M = 0.
W
W
v − ωε est alors négative ou nulle ; de même, −v − ωε est négative ou nulle. D’où :
∀P ∈ D(A, R) \ D(A, ε), |v(P )| ≤ M
ln(r/R)
.
ln(ε/R)
Le membre de gauche de cette inégalité est indépendant de ε : en faisant tendre ε vers
0 par valeurs supérieures, on obtient :
∀ε > 0, ∀P ∈ D(A, R) \ D(A, ε), v(P ) = 0.
Ce qui signifie que pour tout point P de W , on a v(P ) = 0, ce qu’on voulait montrer.
15
1.3
Existence d’une solution au problème de Dirichlet
L’idée de la preuve ci-dessous a été donnée par Poincaré.
Nous avons d’abord besoin de quelques définitions : soit v une application continue sur
un ouvert connexe borné non vide O ⊂ R2 . On notera D un disque ouvert inclus dans
O, et (v)D une application continue égale à v sur O \ D et harmonique sur D.
On a clairement :
v harmonique sur O ⇔ (v)D ≡ v
∀ D ⊂ O.
Remarquons enfin que (v)D existe est est unique, puisqu’on a montré l’existence d’une
solution au problème de Dirichlet pour un disque, et l’unicité de la solution au problème
de Dirichlet dans le cas général (nous utiliserons cette unicité plusieurs fois).
Cette nouvelle notion nous permet de définir quelques concepts utiles :
Définition 1.3.1. (Applications sub et superharmoniques)
1. v est dite superharmonique sur O si pour tout disque ouvert D ⊂ O, (v)D ≤ v ;
2. v est dite subharmonique sur O si pour tout disque ouvert D ⊂ O, (v)D ≥ v ;
3. Si f est une fonction continue sur F r(O), si v est superharmonique (respectivement
subharmonique) sur O, et si v ≥ f (respectivement v ≤ f ) sur F r(O), alors v est dite
fonction supérieure (respectivement inférieure) pour f .
Montrons quelques propriétés de ce type de fonctions, qui seront nécessaires pour la
démonstration. Dans toute la suite O désignera un ouvert connexe borné non vide.
Proposition 1.3.2. (Sur les fonctions sub et superharmoniques)
1. Toute application harmonique est superharmonique et subharmonique.
2. Si v est superharmonique et u est harmonique, alors v + u et v − u sont superharmoniques.
3. La somme d’un nombre fini d’applications superharmoniques est superharmonique.
4. Si v est superharmonique et w est subharmonique, alors v − w est superharmonique.
Démonstration.
1. Ce point est clair puisque : v harmonique sur O ⇔ (v)D ≡ v
∀ D.
2. Soit D un disque ouvert. Si v1 et v2 sont deux applications continues sur O, on a
par unicité de la solution au problème de Dirichlet (v1 + v2 )D = (v1 )D + (v2 )D et
de même (−v1 )D = −(v1 )D . Donc, si v est superharmonique et u est harmonique,
on a (v + u)D = (v)D + (u)D ≤ v + u et (v − u)D = (v)D − (u)D ≤ v − u. Ce qui
montre que v + u et v − u sont superharmoniques.
3. C’est une conséquence du fait que (v1 +v2 +. . .+vN )D = (v1 )D +(v2 )D +. . .+(vN )D
(toujours par unicité de la solution au problème de Dirichlet) : si v1 , . . . , vN sont
N applications superharmoniques, on peut écrire :
(v1 + v2 + . . . + vN )D = (v1 )D + (v2 )D + . . . + (vN )D ≤ v1 + v2 + . . . + vN .
Ce qui montre la superharmonicité de (v1 + v2 + . . . + vN )D .
4. Si w est subharmonique, alors (w)D ≥ w ⇒ (−w)D ≤ −w : −w est superharmonique. Et on sait que la somme de deux applications superharmoniques est
superharmonique, ce qui montre le résultat annoncé.
16
Proposition 1.3.3. Toute application v, superharmonique sur O, atteint son minimum
(sur O) en un point de F r(O).
Démonstration. Soit v une application superharmonique. Remarquons que v atteint son
minimum m sur O car c’est un fermé borné de R2 , donc un compact de R2 .
Soit P ∈ O tel que v(P ) soit minimal.
1. Si P ∈ Fr(O), il n’y a rien à montrer.
2. Si P ∈ O, montrons que, pour tout disque ouvert D ⊂ O de centre P , on a :
v(M ) = m ∀ M ∈ Fr(D).
Supposons que cette affirmation soit fausse, donc qu’il existe un disque ouvert
D ⊂ O de centre P et un point N ∈ Fr(D) tel que v(N ) = α > m. Alors, puisque
v est superharmonique, on a :
(v)D (P ) ≤ v(P ) = m
et
∀M ∈ Fr(D) (v)D (M ) = v(M ) ≥ m.
Donc (v)D , qui est harmonique, atteint son minimum (sur D) en un point de D :
(v)D est donc constante sur D. Pourtant (v)D (N ) = v(N ) = α > m. On a une
contradiction : l’hypothèse de départ était donc absurde.
Notons à présent
r = d(P, F r(D)) =
inf
M ∈F r(D)
d(P, M )
et D0 le disque ouvert de centre P et de rayon r. Alors Fr(D0 ) ∩ Fr(O) 6= ∅, donc
il existe Q ∈ Fr(D0 ) ∩ Fr(O). Et on a v(Q) = m, donc v atteint son minimum en
Q ∈ Fr(O).
D’où le théorème dans tous les cas.
Proposition 1.3.4. Soit f une fonction continue sur F r(O). Pour toute fonction supérieure v pour f et toute fonction inférieure v pour f , on a l’inégalité v ≥ w.
Démonstration. Par le point 4. de la proposition 1.3.2, v − w est superharmonique, et
par la proposition 1.3.3, v − w atteint son minimum en un point P ∈ Fr(O). Et on a
v(P ) ≥ f (P ), w(P ) ≤ f (P ), donc (v − w)(P ) ≥ 0. Ainsi v ≥ w.
Proposition 1.3.5. Si f est une fonction continue sur F r(O), et v1 , . . . , vN sont N
fonctions supérieures pour f , alors v = min{v1 , . . . , vN } est aussi une fonction supérieure
pour f .
Démonstration. v est continue sur O et on a v ≥ f car vi ≥ f pour i = 1, . . . , N . Il
reste à montrer que v est superharmonique.
Soit donc D ⊂ O un disque ouvert. Soit P ∈ D, il existe i, 1 ≤ i ≤ N tel que
v(P ) = vi (P ), et on a v(P ) = vi (P ) ≥ (vi )D (P ) car les vi sont, en particulier, superharmoniques. Le lemme suivant va permettre de conclure :
Lemme 1.3.6. Soient deux applications f et g continues sur O telles que f ≤ g. Alors,
pour tout disque ouvert D ⊂ O, on a (f )D ≤ (g)D .
Démonstration du lemme. Par hypothèse f − g est négative sur O, donc la fonction
harmonique (f − g)D , qui est égale à f − g sur O \ D et donc en particulier sur Fr(D), a,
par le principe du maximum, un maximum négatif sur D. Donc sur D, (f −g)D ≤ 0. Par
unicité de la solution au problème de Dirichlet, on a (f )D −(g)D ≤ 0 sur D : (f )D ≤ (g)D
sur D. Puisque sur O \ D, (f − g)D = f − g ≤ 0, on a (f )D ≤ (g)D .
17
On revient à la démonstration du théorème : puisque vi ≥ v, on a
v(P ) = vi (P ) ≥ (vi )D (P ) ≥ (v)D (P ). Donc (v)D ≤ v pour tout disque ouvert D ⊂ O.
Finalement v est superharmonique sur O : c’est une fonction supérieure pour f .
Proposition 1.3.7. Si f est une fonction continue sur F r(O), et si v est une fonction
supérieure pour f , alors pour tout disque ouvert D ⊂ O, (v)D est aussi une fonction
supérieure pour f .
Démonstration. Soit D ⊂ O un disque ouvert. Puisque (v)D coïncide avec v sur O \ D,
il est clair que (v)D = v ≥ f sur Fr(O).
Il reste à prouver que pour tout disque ouvert D1 ⊂ O, ((v)D )D1 ≤ (v)D , et il suffit de
prouver cette inégalité (I) sur D1 .
1. Si D1 ⊂ D, c’est clair car (v)D , harmonique sur D, est superharmonique sur
D1 ⊂ D.
2. Si D1 ⊂ O \ D, on a, pour P ∈ D1 , ((v)D )D1 (P ) = (v)D1 (P ) (car (v)D = v
sur O \ D), et par superharmonicité, on a (v)D1 (P ) ≤ v(P ) = (v)D (P ), d’où
((v)D )D1 (P ) ≤ (v)D (P ).
3. Sinon, sur Fr(D1 ), on a (v)D ≤ v car v est superharmonique. Donc sur D1 , on a
((v)D )D1 ≤ (v)D1 ≤ v, la dernière inégalité résultant du fait que v est superharmonique. Puisque (v)D et v coïncident sur O \ D, on a l’inégalité (I) sur O \ D.
(I) est ainsi vraie sur Fr(D) et Fr(D1 ) : (I) est vraie sur Fr(D) ∩ Fr(D1 ). Or, on
a le résultat suivant :
Lemme 1.3.8. Soit (X, T ) un espace topologique, et A, B deux parties de X.
Alors on a : F r(A ∩ B) ⊂ F r(A) ∩ F r(B).
Démonstration du lemme. Il suffit de montrer que, puisque Fr(Y ) = Y \ Y̊ :
1. A ∩ B ⊂ A ∩ B ;
˚
×
2. Å ∩ B̊ ⊂ A
∩ B.
1. Cette inclusion découle du fait que A ∩ B est un fermé contenant A ∩ B, et par
définition, A ∩ B est le plus petit fermé contenant A ∩ B.
2. L’inclusion voulue est claire car Å ∩ B̊ est un ouvert contenu dans A ∩ B, et
˚
×
A
∩ B est le plus grand ouvert contenu dans A ∩ B.
On revient à notre théorème : (I) est donc vraie sur Fr(D ∩ D1 ) ; comme (v)D et
((v)D )D1 sont harmoniques sur D ∩ D1 , (I) est vraie sur D ∩ D1 par le principe du
maximum.
D’où l’inégalité dans tous les cas.
18
On dispose maintenant de tous les outils pour démontrer l’existence de la solution au
problème de Dirichlet. Soit O un ouvert connexe borné non vide de Rn , f une fonction
continue sur Fr(O). On cherche à résoudre le problème
8
∆u = 0 sur O
<
:
u=f
sur F r(O).
La famille F des fonctions supérieures pour f est non vide, car c = sup f est une telle
O
application. Définissons une application u par : ∀ M ∈ O, u(M ) = inf w(M ).
w∈F
Théorème 1.3.9. u est harmonique sur O.
Démonstration. Il suffit de montrer que pour tout disque ouvert D ⊂ O, u est harmonique sur D. Soit donc un tel disque ouvert D, et soit Ω son centre. Soit ε > 0.
Par définition de u, il existe une fonction supérieure v1 telle que v1 (Ω) < u(Ω)+ε. Quitte
à remplacer v1 par (v1 )D , qui est aussi une fonction supérieure (proposition 1.3.7), et
telle que (v1 )D (Ω) ≤ v1 (Ω) < u(Ω) + ε (la première inégalité vient du fait que v1 est
supérieure), on peut supposer que v1 est harmonique.
Il existe une fonction supérieure ϕ2 telle que ϕ2 (Ω) < u(Ω)+ε/2. Alors ψ2 = min(v1 , ϕ2 )
est une application supérieure (proposition 1.3.5) qui est inférieure à v1 . Et finalement
v2 = (ψ2 )D est harmonique, supérieure pour f , inférieure à v1 en tout point, et vérifie
v2 (Ω) < u(Ω) + ε/2.
On construit ainsi une suite (vk ) de fonctions harmoniques sur D, décroissante, minorée
par le minimum de f sur O, donc convergente, et vérifiant :
ε
∀ k ∈ N∗ , vk (Ω) < u(Ω) + k−1 .
2
Par le deuxième théorème de Harnack, (vk ) converge uniformément sur D vers une
fonction harmonique v. Montrons que ∀ M ∈ D, u(M ) = v(M ).
Supposons que ce soit faux. Alors, puisque u = inf w, et que v est harmonique, donc
w∈F
superharmonique et supérieure pour f (car vk ≥ f donc à la limite v ≥ f ), il existe
une fonction supérieure w et un point P ∈ D tel que w(P ) < v(P ). Notons D0 le
disque ouvert de centre Ω et de rayon ΩP , de sorte que P ∈ Fr(D0 ). Alors chaque
fonction wk = (min(w, vk ))D0 est une fonction supérieure (par la proposition 1.3.5). Et
puisque (vk ) converge uniformément sur D, (vk ) converge en particulier uniformément
sur D0 , donc (wk ) converge uniformément sur D0 vers une application harmonique sur
D0 (premier théorème de Harnack), qui est (min(w, v))D0 .
Or : (min(w, v))D0 (Ω) < v(Ω). En effet, (min(w, v))D0 − v est harmonique sur D0 , donc
sa valeur au centre du cercle est égale à la moyenne arithmétique de ses valeurs sur
Fr(D0 ). Et puisque w(P ) < v(P ), il existe un voisinage X de P où w(M ) < v(M ), donc
(min(w, v))D0 − v est strictement négative sur X et négative sur Fr(D0 ). Par le théorème
de la moyenne arithmétique, on a alors (min(w, v))D0 (Ω) − v(Ω) < 0.
Et on a : ∀ k ∈ N∗ , u(Ω) ≤ vk (Ω) < u(Ω) +
ε
2k−1
19
: à la limite k → ∞, v(Ω) = u(Ω).
Finalement on a (min(w, v))D0 (Ω) < u(Ω), et par les propositions 1.3.5 et 1.3.7,
(min(w, v))D0 est une fonction supérieure pour f . Il y a contradiction avec la définition
de u. L’hypothèse de départ était donc absurde : on a alors u(M ) = v(M ) ∀ M ∈ D, ce
qu’on voulait montrer. Puisque v est harmonique, u est harmonique également.
Il reste à étudier le comportement de u sur Fr(O). On a le résultat suivant :
Théorème 1.3.10. (“Barrière”)
Soit Q ∈ F r(O), alors u(Q) = f (Q) si on a la condition suivante :
il existe une fonction ωQ , superharmonique sur O, continue sur O, telle que :
1. ωQ (Q) = 0 ;
2. ∀ P ∈ O, P 6= Q ⇒ ωQ (P ) > 0.
ωQ est appelée barrière.
Démonstration. Soit ε > 0, par continuité de f , il existe un voisinage de Q noté UQ , tel
que
∀ P ∈ UQ ∩ Fr(O), f (Q) − ε < f (P ) < f (Q) + ε.
De plus, par continuité de ωQ , il existe α ∈ R∗+ tel que
∀ P ∈ O \ UQ , ωQ (P ) ≥ α.
En effet O \ UQ est un compact, donc ωQ (P ) admet un minimum sur cet ensemble, et il
est atteint ; puisque ωQ ne prend que des valeurs strictement positives en-dehors de UQ ,
ce minimum α est aussi strictement positif.
Soient alors, pour C > 0, les fonctions φC et ψC définies par :
φC (P ) = f (Q) − ε − CωQ (P ), ψC (P ) = f (Q) + ε + CωQ (P ).
Alors : pour C suffisamment grand, φC et ψC sont respectivement inférieures et supérieures pour f .
Montrons la deuxième affirmation :
∀ C ∈ R+ , ψC est superharmonique car ωQ l’est. Par définition de UQ , et parce que ωQ
est à valeurs positives, on a :
∀ P ∈ UQ ∩ Fr(O), ψC (P ) = f (Q) + ε + CωQ (P ) ≥ f (Q) + ε ≥ f (P ).
En un point P ∈ Fr(O) \ (UQ ∩ Fr(O)), on a ωQ (P ) ≥ α > 0. En prenant
1
C≥
α
"
#
sup
f (M ) − f (Q) − ε ,
M ∈F r(O)
on a ψC (P ) ≥ f (P ). Ainsi, pour C assez grand (disons supérieur à C0 ), ψC est supérieure
pour f , et la même idée montre que pour C supérieur à C1 , φC est inférieure pour f .
Soit donc C ≥ max(C0 , C1 ), on a, par définition de u :
f (Q) − ε = φC (Q) ≤ u(Q) ≤ ψC (Q) = f (Q) + ε.
En effet, la première inégalité vient du fait que u est la borne inférieure des fonctions
supérieures w pour f , qui vérifient toutes l’inégalité φC (Q) ≤ w(Q), par la proposition
1.3.4, donc u vérifie également cette inégalité. La deuxième inégalité est vraie car ψC
est une fonction supérieure pour f .
Il ne reste qu’à faire tendre ε vers 0+ pour obtenir u(Q) = f (Q).
20
Sous la condition d’existence de la barrière, on a donc existence et unicité de la solution
au problème de Dirichlet. Il reste à savoir sous quelles conditions cette barrière existe.
On a le résultat suivant :
Théorème 1.3.11. Tout point Q d’un ouvert O borné simplement connexe de R2 vérifie
la condition d’existence de la barrière.
Corollaire 1.3.12. Soit O un ouvert borné simplement connexe de R2 et f une fonction
continue sur Fr(O). Il y a existence et unicité de la solution au problème
8
∆u = 0 sur O
<
:
u=f
sur F r(O).
Démonstration. Soit O ⊂ R2 un ouvert borné simplement connexe, et Q ∈ Fr(O).
Notons d le diamètre de O. On déplace l’origine du repère en Q ; puisque O est simplement connexe, et que Q ∈ Fr(O), il existe une demi-droite D passant par O telle que
D ∩ O = ∅. On fait ensuite une rotation du repère de sorte que D devienne la partie
négative de l’axe des abscisses (ce qui ne change rien à l’harmonicité des fonctions).
On identifie alors C à R2 , et on définit une fonction log comme étant la détermination
principale du logarithme (dans notre nouveau repère), c’est à dire l’unique fonction ϕ
définie sur U = C \ R− et telle que exp(ϕ(z)) = z, qui coïncide avec la fonction logarithme népérien sur R∗+ .
Finalement, on définit deux fonctions p et q par :
8
x + iy
>
<p(x, y) = Re log
2d ∀ z ∈ U, z = x + iy, >
x + iy
:q(x, y) = Im log
,
2d
et une fonction ωQ par
∀ x, y tels que z = x + iy ∈ U,
ωQ (x, y) = −
p(x, y)
.
+ q 2 (x, y)
p2 (x, y)
Alors : ωQ est la barrière souhaitée.
En effet, calculons p et q. Soient r et s les deux fonctions définies par
8
<
r(x, y) = Re(log(x + iy))
:s(x, y) = Im(log(x + iy)).
∀ z ∈ U, z = x + iy,
On a, par définition de la fonction log,
∀ x, y tels que z = x + iy ∈ U,
exp(log(x + iy)) = exp(r(x, y) + is(x, y)) = x + iy.
En prenant successivement le module et un argument de cette égalité, on obtient
 ‹
√
y
r(x, y) = ln( x2 + y 2 ), s(x, y) = arctan
+ 2kπ, k ∈ Z.
x
Et puisque log coïncide avec ln sur R∗+ , on a log(1) = 0, soit
log(1) = 0 = r(1, 0) + is(1, 0) = ln(1) + i arctan(0) + 2ikπ ⇒ k = 0.
Finalement, on a :
∀ x, y tels que z = x + iy ∈ U,
 ‹
√
y
r(x, y) = ln( x2 + y 2 ), s(x, y) = arctan
.
x
21
On a alors l’expression de ωQ :
√
ln
∀ x, y tels que z = x + iy ∈ U,
√
ωQ (x, y) = −
2
ln
x2 + y 2
2d
x2 + y 2
2d
!
!

2
+ arctan
y‹
x
.
Il reste à vérifier que ωQ satisfait aux conditions prescrites en 1.3.10.
1. On a, en passant en coordonnées polaires x = r cos θ, y = r sin θ,
Œ

r‹
ln
2d

r ‹ ln
2d
‚
−→ 0
≤
−
|ωQ (r cos θ, r sin θ)| =

‹

‹
2
r
sin θ
r
π ρ→0
2
2
2
ln
+ arctan
ln
+
2d
cos θ
2d
4
donc on peut prolonger ωQ de manière continue en (0,0) (donc en Q, puisque c’est
l’origine du repère) en posant ωQ (0, 0) = 0.
2. Soit
√ (x, y) ∈ O \ {Q}. On a 0 <
0 < x2 + y 2 < 2d. D’où :
(x, y) ∈ O \ {Q} ⇒ 0 <
√
x2
+
√
x2 + y 2 ≤ d par définition de D, et ainsi
√
y2
< 2d ⇒ − ln
x2 + y 2
2d
!
> 0 ⇒ ωQ (x, y) > 0.
3. Il reste à montrer que ωQ est superharmonique. Pour cela, il suffit de voir que ωQ est
harmonique sur O. C’est un calcul très long, qui peut être un peu écourté en remarquant
que les deux fonctions p et q sont harmoniques également, et qu’elles vérifient les relations
‚
∂p
∂x
Œ2
‚
∂p
+
∂y
Œ2
‚
=
∂q
∂x
Œ2
‚
∂q
+
∂y
Œ2
=
1
,
x2 + y 2
∂p ∂q ∂p ∂q
+
= 0.
∂x ∂x ∂y ∂y
ωQ est donc une barrière, d’où la proposition.
Cependant, cette démonstration n’est valable que dans le cas où O est simplement
connexe. Par exemple, si O est la région délimitée par deux cercles concentriques de
rayon différent, et que Q est un point du cercle intérieur, alors le logarithme n’est plus
une application (au sens où le logarithme peut prendre deux valeurs différentes au même
point). On remplace donc la condition du théorème 1.3.10 par la condition plus générale
suivante :
Théorème 1.3.13. (“Barrière 2”)
Soit Q ∈ F r(O), alors u(Q) = f (Q) si on a la condition suivante :
pour tout voisinage VQ de Q, il existe une fonction ΩQ , appelée barrière, superharmonique sur UQ = O ∩ VQ , ayant les propriétés suivantes :
1. ΩQ est continue sur UQ ;
2. ΩQ (Q) = 0 ;
3. ∀ P ∈ UQ , P 6= Q ⇒ ΩQ (P ) > 0.
Ces trois propriétés en impliquent une quatrième :
4. ∃k > 0, ∀ P ∈ F r(UQ ) ∩ O, ΩQ (P ) ≥ k.
22
Démonstration. On va montrer que si le point Q satisfait la condition du théorème
1.3.13, il satisfait également la condition du théorème 1.3.10. Soit VQ un voisinage de
Q, et avec les notations de l’énoncé, une fonction ΩQ possédant toutes les propriétés
prescrites. Notons ωQ la fonction définie par :
8
2
min
ΩQ (P ), 1
k
>
>
<
∀ P ∈ O, ωQ (P ) = >
>
:
1
si P ∈ UQ
si P ∈
/ UQ .
On va montrer que cette fonction possède toutes les propriétés demandées en 1.3.10.
1. La fonction ωQ est continue sur O (car ΩQ l’est, et par la propriété 4. de l’énoncé) ;
2. ωQ (Q) = 0 (car ΩQ (Q) = 0) ;
3. ωQ > 0 sur O \ {Q} ;
4. il reste à montrer que ωQ est superharmonique sur O, donc que pour tout disque
ouvert D ⊂ O, (ωQ )D ≤ ωQ .
Au préalable, on note O1 l’ensemble des points où ωQ prend la valeur 1. Avec cette
notation, ωQ est égale à 1 sur O1 , et à k2 ΩQ sur O \ O1 .
Soit D ⊂ O un disque ouvert.
1. Si D ⊂ O1 , le point 4. est clair, car une application harmonique sur un ouvert
atteint son maximum sur la frontière de cet ouvert. Donc pour tout point M de
D ⊂ O1 , on a (ωQ )D (M ) ≤ 1 = ωQ (M ).
2. Si D ⊂ O
\ O1 , ©puisque la fonction ΩQ est superharmonique sur UQ , la fonc¦
tion min k2 ΩQ , 1 est aussi superharmonique sur UQ (voir la démonstration de
la proposition 1.3.5), et par hypothèse D ⊂ O \ O1 ⊂ UQ . Le point 4. se déduit
clairement de cette dernière remarque.
3. Sinon, D contient à la fois des points de O1 et de O \ O1 .
Sur D ∩ O1 , la fonction ωQ est égale à 1, et la fonction (ωQ )D , qui est harmonique
sur D, atteint son maximum sur Fr(O), qui est inférieur ou égal à 1. Donc le point
4. est vrai sur D ∩ O1 .
U = D ∩ (O \ O1 ) est un ouvert, car O1 est un fermé en tant qu’image réciproque
du fermé {1} par l’application continue ωQ . Sur cet ouvert, la fonction ωQ est superharmonique et la fonction (ωQ )D est harmonique, donc la différence ωQ −(ωQ )D
est superharmonique sur U . Par la proposition 1.3.3, on a l’inégalité suivante :
∀ P ∈ U, (ωQ − (ωQ )D )(P ) ≥ inf (ωQ − (ωQ )D ).
F r(U )
Or on a Fr(U ) ⊂ Fr(D) ∩ Fr(O \ O1 ) ⊂ Fr(D), donc
∀ P ∈ U, (ωQ − (ωQ )D )(P ) ≥ inf (ωQ − (ωQ )D ) = 0
F r(D)
par définition de (ωQ )D . Donc l’inégalité est vraie sur U .
23
Avant de conclure, donnons une définition :
Définition 1.3.14. On dit qu’un chemin fermé Γ entoure un point Q ∈ R2 si le point
Q appartient à la composante connexe bornée de R2 \ Γ.
Fig. 1.1 – Exemple
Dans le cas n = 2, on a le résultat suivant :
Proposition 1.3.15. Soit O un ouvert connexe borné et Q ∈ F r(O). Avec les notations
précédentes, s’il existe un voisinage UQ de Q tel qu’il n’existe aucun chemin fermé
Γ ⊂ UQ ∩ O entourant Q, alors Q vérifie la condition du théorème 1.3.13.
Démonstration. On déplace l’origine au point Q et on prend un voisinage WQ ⊂ UQ
(toujours pour la topologie induite sur O) tel que la distance de tout point M ∈ WQ à
Q soit inférieure à un réel c, où c < 1. On choisit alors une détermination du logarithme
sur UQ , qu’on note log. On désigne par p et q les parties réelle et imaginaire de log, et
on définit
p
.
ΩQ = − 2
p + q2
Alors ΩQ possède toutes les propriétés demandées en 1.3.13 (ceci se prouve comme en
1.3.11).
Ayant montré cette proposition, on constate qu’on a maintenant l’existence de la solution au problème de Dirichlet pour une classe plus large d’ouverts connexes bornés
(notamment pour notre contre-exemple précédent, avec deux cercles concentriques).
Néanmoins, il est intéressant de voir qu’il n’y a pas existence de la solution au problème
de Dirichlet pour tout ouvert connexe borné. A cet effet, considérons l’exemple suivant :
Proposition 1.3.16. Soit U un disque ouvert D privé de son centre. Il n’existe aucune
fonction u continue sur U et harmonique sur U qui soit nulle sur F r(U ) et qui prenne
la valeur 1 au centre du disque D.
Démonstration. On raisonne par l’absurde. Supposons qu’il existe une telle fonction u.
Alors par le théorème de la singularité apparente, u se prolonge en une application ũ
qui est harmonique sur D. Puisque ũ est harmonique sur D et nulle sur Fr(D), par
le théorème du minimum et du maximum, ũ est identiquement nulle sur D. Et par
hypothèse ũ vaut 1 au centre du disque, ce qui est absurde.
On a donc montré qu’il existait des problèmes de Dirichlet n’ayant pas de solution sur
un ouvert connexe borné.
24
Chapitre 2
Distribution des valeurs propres du
laplacien
Dans cette partie, nous allons nous intéresser à l’équation
∆u + λu = 0
sur un ouvert connexe borné O ayant une frontière de classe C 1 (on dira, pour abréger,
que O est un ouvert C 1 ) pour certains types de conditions aux limites. On montrera en
particulier que cette équation n’admet de solution non triviale que pour un ensemble
dénombrable de valeurs de λ ; en notant (λn ) la suite de ces valeurs ordonnées dans
l’ordre croissant, on calculera un équivalent de λn .
Pour des informations supplémentaires, se référer à [2] et [3].
2.1
Motivation
On étudie dans ce paragraphe des fonctions dépendant des deux coordonnées spatiales
x, y et du temps t. Dans ce contexte, le laplacien d’une fonction u est toujours
∆u = uxx + uyy .
Considérons l’équation
∆u = utt
(E)
à résoudre sur un ouvert connexe borné O, avec, par exemple, la condition aux limites
u = 0 sur Fr(O). On cherche une solution sous la forme u(x, y, t) = v(x, y)g(t). On
obtient immédiatement, en remplaçant dans (E), l’équation :
g∆v = g 00 v ⇔
∆v
v
|{z}
=
indépendant de t
g 00
g
|{z}
indépendant de x,y
d’où on déduit l’équation
∆v + λv = 0.
25
(Eλ )
= −λ ∈ R
Il s’agit donc de déterminer le paramètre λ de sorte qu’il existe une fonction v de classe
C 2 sur O qui ne soit pas identiquement nulle, qui vérifie l’équation (Eλ ) et qui soit
nulle sur Fr(O) : si λ0 est une telle valeur, et si u0 est une solution de l’équation (Eλ0 ),
alors on dit que λ0 est une valeur propre et u0 est une fonction propre pour l’équation
(Eλ ). C’est pourquoi ce problème est appelé problème aux valeurs propres. Dans notre
étude, nous nous placerons, pour simplifier, dans le cas d’un rectangle [0, a] × [0, b] pour
l’étude asymptotique (après quoi on généralisera, dans le cas à deux variables), le cas
d’un rectangle quelconque s’en déduisant par translation.
Rappelons d’abord quelques éléments d’analyse dont nous nous servirons pour résoudre
ce problème.
2.2
2.2.1
Eléments théoriques
Formule de Gauss-Ostrogradski, formule de Green
On rappelle ici la formule de Gauss-Ostrogradski :
Théorème 2.2.1. (Formule de Gauss-Ostrogradski)
Soit f~ : R2 → R2 un champ de vecteurs de classe C 1 sur un ouvert U . Si la frontière Γ
de U est une courbe continue de classe C 1 par morceaux, on a :
ZZ
div(f~) dx dy =
Z
U
f~ · ~n ds.
Γ
La démonstration de ce théorème est longue : elle est donnée en annexe.
On va déduire de ce résultat une autre formule : la formule de Green.
Soit un domaine G ayant une frontière Γ représentable par une fonction continue et de
classe C 1 par morceaux. Soit v une fonction continue de classe C 1 par morceaux sur G,
et u une fonction de classe C 1 et de classe C 2 par morceaux sur G. On a :
ZZ
ZZ
G
p(ux vx + uy vy ) + quv + v[(pux )x + (puy )y − qu] dx dy =
G
(pvux )x + (pvuy )y dx dy.
Et donc, par la formule de Gauss-Ostrogradski, en notant Q[u, v] = p(ux vx + uy vy ) + quv
et L[u] = (pux )x + (puy )y − qu :
ZZ
Z
Q[u, v] + vL[u] dx dy =
Γ
G
pv[ux n1 + uy n2 ]ds
si ~n a pour composantes (n1 , n2 ). Et, pour tout vecteur m
~ = (m1 , m2 ), on a
∂u
= ux m 1 + uy m 2 ,
∂m
d’où la formule de Green :
ZZ
ZZ
Z
−vL[u] dx dy +
Q[u, v] dx dy =
G
G
pv
Γ
∂u
ds.
∂n
Dans le cas p = 1, q = 0, ceci donne :
ZZ
ZZ
G
(ux vx + uy vy ) dx dy = −
26
Z
v∆u dx dy +
G
v
Γ
∂u
ds.
∂n
2.2.2
Rappels sur les séries de Fourier
On rappelle ici quelques résultats sur les séries de Fourier :
Théorème 2.2.2. (Théorème de Dirichlet)
Soit T > 0 et f une application continue par morceaux T -périodique. Si f est de classe
C 1 par morceaux, alors f est somme de sa série de Fourier en tout point.
Corollaire 2.2.3. Soit a > 0 et f : [0, a] → R une application de classe C 1 par morceaux. Si f vérifie une des deux conditions
Z
∀ n ∈ N∗
ou
a
f (t) sin
0
Z
nπt
a
nπt
∀n ∈ N
f (t) cos
0
a
alors f est identiquement nulle sur [0, a].
a
dt = 0
dt = 0
Idée de la démonstration. Si f vérifie la première condition, on construit l’unique application g qui soit 2a-périodique, impaire, et qui coïncide avec f sur [0, a]. Alors g vérifie
les hypothèses du théorème de Dirichlet, donc est somme de sa série de Fourier, qui est
nulle, car tous ses coefficients sont nuls, puisque f vérifie la première condition.
Si f vérifie la deuxième condition, on construit l’unique application h qui soit
2a-périodique, paire, et qui coïncide avec f sur [0, a], et on fait le même raisonnement.
2.3
Premiers résultats
Dans les sections 2.3 et 2.4, O désignera un ouvert connexe borné C 1 de frontière Γ.
Considérons le problème aux valeurs propres de l’équation
∆v + λv = 0
(2.1)
∂u
sur O, avec la condition aux limites u = 0 ou la condition ∂n
+ σu = 0 où σ est une
fonction continue sur Γ, toujours positive sauf mention contraire.
Dans toute la suite, on notera
Z
σϕ2 ds,
D[ϕ] = D[ϕ] +
Γ
ZZ
(ϕ2x + ϕ2y ) dx dy,
où D[ϕ] =
OZZ
ϕ2 dx dy.
et H[ϕ] =
O
Ces trois expressions sont des fonctionnelles quadratiques, de fonctionnelles polaires
associées
Z
D[ϕ, ψ] = D[ϕ, ψ] +
avec D[ϕ, ψ] =
σϕψ ds,
Γ
ZZ
(ϕx ψx
O ZZ
et H[ϕ, ψ] =
ϕψ dx dy.
O
27
+ ϕy ψy ) dx dy,
Si on a H[ϕ, ψ] = 0, on dira que ϕ et ψ sont orthogonales.
Les fonctions ϕ et ψ sont supposées continues sur O et de classe C 1 par morceaux sur
O au sens suivant :
Définition 2.3.1. Une fonction f est dite continue par morceaux sur un ouvert O si O
peut être partitionné en un nombre fini d’ouverts O1 , . . . , Ok tels que les Oi aient des
frontières continues de classe C 1 par morceaux, et si f est continue sur tout fermé inclus
dans un des Oi .
Nous allons trouver les valeurs propres en considérant le problème comme un problème
de minimisation. Si la condition aux limites est u = 0, on impose que ϕ et ψ soient
continues sur O et soient nulles sur Γ.
Les conditions pré-citées sont appelées conditions d’admissibilité. On a le théorème
suivant :
Théorème 2.3.2. La fonction admissible ϕ qui minimise D[ϕ] sous la condition
H[ϕ] = 1 est une fonction propre u1 de l’équation (2.1) et satisfait la condition aux
∂u
limites ∂n
+ σu = 0. La valeur propre correspondante est λ1 = D[u1 ].
Si la condition H[ϕ, u1 ] = 0 est rajoutée à la condition H[ϕ] = 1, la solution du problème
est également une fonction propre u2 de l’équation (2.1) qui satisfait la même condition
aux limites. La valeur propre associée est λ2 = D[u2 ].
Les problèmes de minimisation successifs D[ϕ] = inf D[ψ] sous les conditions H[ϕ] = 1
et H[ϕ, ui ] = 0, i = 1, . . . , k−1 définissent les fonctions propres uk de l’équation (2.1) qui
∂u
+ σu = 0. Les valeurs propres associées sont les λk = D[uk ].
satisfont à la condition ∂n
Remarques :
1. Si la condition aux limites est u = 0, il ne faut pas oublier de rajouter dans les
conditions des problèmes de minimisation la condition ϕ = 0 sur Γ.
2. On omet généralement la condition de normalisation H[ϕ] = 1, et on cherche à
minimiser le quotient D[ϕ]/H[ϕ]. La fonction propre obtenue est alors, à un facteur
constant près, la fonction recherchée dans le théorème.
Démonstration du théorème. Le fait que notre problème de minimisation possède des
solutions est un résultat d’analyse fonctionnelle, que nous admettons ici.
Il nous faut montrer que les solutions de ce problème sont des fonctions propres de notre
équation, et que les valeurs propres obtenues sont toutes les valeurs propres. Ce dernier
point sera montré plus tard, une fois que nous aurons établi d’autres résultats.
Commençons donc par la solution du premier problème : cette fonction u1 minimise
D[ϕ] sous l’hypothèse H[ϕ] = 1. Notons λ1 = D[u1 ]. Si ψ est une fonction admissible
pour le problème et si α est une constante réelle, on a par définition de u1 et λ1 :
D[u1 + αψ]
≥ λ1
H[u1 + αψ]
⇔
D[u1 + αψ] ≥ λ1 H[u1 + αψ]
2α(D[u1 , ψ] − λ1 H[u1 , ψ]) + α2 (D[ψ] − λ1 H[ψ]) ≥ 0
€
Š
α
⇔ 2α D[u1 , ψ] − λ1 H[u1 , ψ] + (D[ψ] − λ1 H[ψ]) ≥ 0.
2
⇔
28
On s’est servi ici du fait que
D[u1 ]
= λ1 .
H[u1 ]
On obtient :
∀ α > 0, D[u1 , ψ] − λ1 H[u1 , ψ] + α2 (D[ψ] − λ1 H[ψ]) ≥ 0
et ∀ α < 0, D[u1 , ψ] − λ1 H[u1 , ψ] + α2 (D[ψ] − λ1 H[ψ]) ≤ 0
donc, en faisant tendre α vers 0, on a
D[u1 , ψ] − λ1 H[u1 , ψ] ≥ 0 et D[u1 , ψ] − λ1 H[u1 , ψ] ≤ 0.
Finalement, on a D[u1 , ψ] = λ1 H[u1 , ψ] ∀ ψ.
On utilise la formule de Green pour transformer l’expression de D[u1 , ψ] :
ZZ
D[u1 , ψ] =
ZZ
=
Z
O
((u1 )x ψx + (u1 )y ψy ) dx dy +
Z
Γ
σu1 ψ ds
Z
∂u1
−ψ∆u1 dx dy + ψ
ds + σu1 ψ ds
O
Γ
Γ
∂n
ZZ
et, puisque D[u1 , ψ] = λ1 H[u1 , ψ] = λ1
–
ZZ
∀ ψ,
O
O
™
ψ λ1 u1 + ∆u1
u1 ψ dx dy, on a
Z
–
™
∂u1
dx dy − ψ
+ σu1 ds = 0.
Γ
∂n
(2.2)
On en déduit facilement, en prenant alternativement des fonctions ψ continues à support
compact nulles soit sur O soit sur Fr(O), qu’on a
8
>
>
>
<
∆u1 + λ1 u1 = 0 sur O
>
>
>
:
∂u1
+ σu1 = 0
∂n
sur Fr(O).
Considérons à présent la solution du deuxième problème de minimisation : cette fonction
u2 minimise D[ϕ] sous les hypothèses H[ϕ] = 1 et H[ϕ, u1 ] = 0. Notons λ2 = D[u2 ]. Si
on refait la démonstration précédente, on obtient l’équation suivante
D[u2 , ψ] = λ2 H[u2 , ψ].
(2.3)
mais seulement sous la condition H[ψ, u1 ] = 0 (en effet la somme u2 + αψ est aussi
orthogonale à u1 sous cette hypothèse). Il nous faut donc adapter la démonstration :
si g est une fonction continue de classe C 2 par morceaux sur O, alors la fonction
ω = g − H[u1 , g]u1 est orthogonale à u1 .
De plus, puisqu’on a D[u1 , ψ] = λ1 H[u1 , ψ] ∀ ψ, en substituant u2 à ψ et en tenant
compte de l’orthogonalité de u1 et u2 , on a D[u1 , u2 ] = 0.
En substituant finalement ω, qui est orthogonale à u1 , à ψ dans l’équation (2.3), on a :
–
∀g
™
D[u2 , g] − λ2 H[u2 , g] + H[u1 , g] D[u1 , u2 ] − λ2 H[u1 , u2 ] = 0,
et donc
∀g
D[u2 , g] = λ2 H[u2 , g].
29
(2.4)
On termine la démonstration comme avant, ce qui donne :
8
>
>
>
<
∆u2 + λ2 u2 = 0 sur O
>
>
>
:
∂u2
+ σu2 = 0
∂n
sur Fr(O).
On montre par récurrence que les fonctions ui vérifient le système
8
>
>
>
<
∆ui + λi ui = 0 sur O
>
>
>
:
∂ui
+ σui = 0 sur Fr(O).
∂n
(on adapte la démonstration précédente en retranchant à une fonction quelconque g sa
projection sur le sous-espace Vect(u1 , . . . , ui−1 ), et la nouvelle fonction obtenue vérifie
les conditions d’orthogonalité voulues...).
On a de plus les relations D[ui , uk ] = λi δik , H[ui , uk ] = δik , et les inégalités successives
λi−1 ≤ λi , puisqu’à chaque étape la classe de fonctions admissibles dans le problème de
minimisation est un sous-ensemble de la précédente.
Ce théorème comporte pourtant un défaut : pour définir la n-ième valeur propre, on
doit faire référence aux précédentes. On va donc y apporter une amélioration : dans un
des problèmes de minimisation, on conserve la condition H[ϕ] = 1 et on remplace les
conditions d’orthogonalité par les conditions
H[ϕ, vi ] = 0 i = 1, . . . , n − 1
où v1 , . . . , vn−1 sont n − 1 fonctions continues par morceaux sur O. Sous ces conditions,
les fonctionnelles D[ϕ] admettent une borne inférieure, qui dépend des vk , et qui sera
notée d(v1 , . . . , vn−1 ).
Théorème 2.3.3. Soit CM(O) l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur O.
∂u
La n-ième valeur propre λn pour la condition aux limites ∂n
+ σu = 0 est telle que :
λn = sup d(v1 , . . . , vn−1 )
CM(O)
et cette borne supérieure est atteinte pour vi = ui , i = 1, . . . , n − 1.
Si la condition aux limites est u = 0, cette condition est rajoutée aux conditions d’admissibilité des fonctions ϕ.
Démonstration. On sait déjà que λn = d(u1 , . . . , un−1 ) par le théorème précédent. Soient
maintenant v1 , . . . , vn−1 ∈ CM(O), montrons que d(v1 , . . . , vn−1 ) ≤ λn .
Pour cela, il suffit de trouver une fonction ϕ, orthogonale aux vi , telle que D[ϕ] ≤ λn .
P
Analyse : Soient (c1 , . . . , cn ) n constantes réelles. Considérons la fonction ϕ = ni=1 ci ui .
Le système de conditions H[ϕ, ui ] = 0, i = 1, . . . , n − 1 est un système linéaire homogène de n − 1 équations à n inconnues, donc il existe un n-uplet (c1 , . . . , cn ) satisfaisant à ces conditions, et il est défini à un facteur multiplicatif près. La condition
P
P
P
H[ϕ] = ni=1 nj=1 ci cj H[ui , uj ] = ni=1 c2i = 1 est une condition de normalisation qui
détermine le facteur de proportionnalité. Il existe donc un n-uplet satisfaisant à ces
conditions.
30
Synthèse : Soit un tel n-uplet. Se rappelant que D[ui , ui ] = λi δij ,
D[ϕ] =
n X
n
X
ci cj D[ui , uj ] =
n
X
i=1 j=1
c2i λi
≤
i=1
n
X
!
c2i
λn = λn
i=1
car λi ≤ λn , i = 1, . . . , n. Finalement D[ϕ] ≤ λn , donc d(v1 , . . . , vn−1 ) ≤ λn .
On dit que λn est un maximum-minimum de la fonctionnelle D[ϕ].
Le théorème que nous venons de montrer est très important, car il permet de traiter de
la n-ième valeur propre sans faire référence aux précédentes, idée que nous exploiterons
plusieurs fois dans la résolution de notre problème.
2.4
Propriétés des valeurs propres
S
Remarquons d’abord que, si O s’écrit comme réunion disjointe ni=1 Oi où les Oi sont
des ouverts, alors l’ensemble des valeurs propres et des fonctions propres de O est la
réunion des ensembles des valeurs propres et des fonctions propres de tous les Oi , au
sens où chaque fonction propre est identiquement nulle sur tous les Oi sauf un.
En effet, il suffit de voir que, pour tout i, si f est une fonction propre d’un des Oi pour
la valeur propre µ, alors la fonction g, qui vaut f sur Oi et 0 ailleurs, est une fonction
propre de O, pour la valeur propre µ, de même que toute combinaison linéaire de telles
fonctions propres pour la même valeur propre.
Réciproquement, si h est une fonction propre de O pour la valeur propre λ, alors il existe
un entier j tel que h ne soit pas identiquement nulle sur un des Oj . Alors la restriction
h |Oj est une fonction propre de Oj . On écrit donc que
h=
n
X
h |Oj
j=1
et les termes dans la somme sont soit nuls, soit des fonctions propres des Oj pour la
même valeur propre λ, ce qui prouve notre affirmation. Celle-ci sera importante plus
tard dans notre propos.
La propriété du maximum-minimum des valeurs propres est très importante en physique. En effet, toute contrainte supplémentaire sur un système vibrant peut être exprimée mathématiquement, et se traduit ainsi comme un renforcement des conditions
d’admissibilité des fonction ϕ : la valeur du minimum-maximum, et donc des fréquences
propres, augmente. Inversement, si on retire une contrainte, on enlève une condition
d’admissibilité, ce qui diminue la valeur des fréquences possibles. D’où la proposition
suivante :
Proposition 2.4.1. Si un système vibrant est soumis à des contraintes supplémentaires,
la fréquence du mode fondamental et des harmoniques augmente. Inversement, si des
contraintes sont retirées, la fréquence du mode fondamental et des harmoniques diminue.
Ce principe conduit à des résultats très importants sur la distribution des valeurs
propres : nous allons en énoncer (et démontrer) quelques-uns ici.
31
Théorème 2.4.2. Supposons que O1 , . . . , Ok soient k ouverts connexes bornés C 1 deux
à deux disjoints et inclus dans O. Soit κ ∈ R, notons Ai (κ) (respectivement A(κ)) le
nombre de valeurs propres inférieures à κ de l’équation ∆u + λu = 0, avec la condition
aux limites u = 0 sur F r(Oi ) (respectivement F r(O)). Alors on a l’inégalité
k
X
Ai (κ) ≤ A(κ).
i=1
On peut formuler ce théorème de façon équivalente : pour la condition aux limites u = 0,
la n-ième valeur propre λn pour O est inférieure ou égale à λ∗n , où λ∗n est le n-ième
élément de la suite des valeurs propres des Oi ordonnées par ordre croissant et avec
multiplicité.
Démonstration. Dans le problème du maximum-minimum qui définit
λn , on
impose que
€S
Š
k
chaque fonction admissible ϕ soit nulle sur les Fr(Oi ) et sur O \
i=1 Oi . Ceci correspond à une contrainte supplémentaire, donc la valeur du maximum-minimum augmente.
Et le nouveau problème obtenu définit précisément λ∗n , donc on a λn ≤ λ∗n , ce qu’on
voulait montrer.
On tire de ce théorème un corollaire important :
Corollaire 2.4.3. Pour la condition aux limites u = 0, la n-ième valeur propre de O
est toujours inférieure à la n-ième valeur propre de toute partie ouverte de O.
Le théorème admet une contrepartie pour la condition aux limites
∂u
∂n
=0:
S
Théorème 2.4.4. Supposons que O = ki=1 Oi , où les O1 , . . . , Ok sont des ouverts
connexes bornés C 1 qui sont disjoints. Soit κ ∈ R, notons Bi (κ) (respectivement B(κ))
le nombre de valeurs propres inférieures à κ de l’équation ∆u+λu = 0, avec la condition
∂u
= 0 sur F r(Oi ) (respectivement F r(O)). Alors on a l’inégalité
aux limites ∂n
B(κ) ≤
k
X
Bi (κ).
i=1
∂u
On peut formuler ce théorème de façon équivalente : pour la condition aux limites ∂n
= 0,
∗
∗
la n-ième valeur propre µn pour O est supérieure ou égale à µn , où µn est le n-ième
élément de la suite des valeurs propres des Oi ordonnées par ordre croissant et avec
multiplicité.
Démonstration. Dans le problème du maximum-minimum définissant µn , on autorise les
fonctions ϕ à être discontinues aux interfaces Fr(Oi ), ce qui correspond à un allègement
des conditions, donc la valeur du maximum-minimum diminue. Et le nouveau problème
obtenu définit précisément µ∗n (le fait d’autoriser les fonctions à être discontinues permet
d’avoir des fonctions identiquement nulles sur tous les Oi sauf un, et ainsi d’obtenir les
fonctions propres des Oi pour ce type de problème). Donc µ∗n ≤ µn , ce que nous voulions
montrer.
On va maintenant classer les conditions aux limites, suivant qu’elles soient plus ou moins
restrictives. On a le théorème suivant :
32
Théorème 2.4.5. Soit λn la n-ième valeur propre de l’équation ∆u + λu = 0 pour O
avec la condition aux limites u = 0, et soit µn la n-ième valeur propre pour la condition
∂u
+ σu = 0 sur une partie Γ1 ⊂ Γ de la frontière, et u = 0 sur Γ \ Γ1 . Alors
aux limites ∂n
µn ≤ λ n .
Démonstration. Dans le problème définissant µn , on a la condition d’admissibilité ϕ = 0
sur Γ1 , et pour λn , on a la condition d’admissibilité ϕ = 0 sur Γ. Cette dernière est
plus restrictive que la première car Γ1 ⊂ Γ. Donc µn ≤ λn .
Si les valeurs propres peuvent être classées en fonction des conditions aux limites, elles
peuvent aussi l’être suivant les valeurs de σ :
∂u
Théorème 2.4.6. Si, dans la condition aux limites ∂n
+σu = 0, on remplace la fonction
σ par une fonction σ1 ≥ σ (respectivement σ1 ≤ σ), alors la n-ième valeur propre
augmente (respectivement diminue).
Z
σϕ2 ds. Donc, à ϕ fixée, si σ est rempla-
Démonstration. On a D[ϕ] = D[ϕ] +
Γ
cée par σ1 ≥ σ (respectivement σ1 ≤ σ), alors D[ϕ] augmente (respectivement diminue). Donc d(v1 , . . . , vn−1 ) augmente (respectivement diminue) aussi, pour toutes
v1 , . . . , vn−1 ∈ CM(O), puis, en prenant le sup, sup d(v1 , . . . , vn−1 ) augmente (resCM(O)
pectivement diminue). Autrement dit, les valeurs propres augmentent (respectivement
diminuent).
Ainsi, si on augmente σ progressivement de σ ≡ 0 jusqu’à σ ≡ ∞, chaque valeur propre
µn augmente jusqu’à atteindre la valeur propre λn , car lorsque σ ≡ 0, on a la condition
∂u
= 0, et lorsque σ ≡ ∞, on a la condition aux limites u = 0.
aux limites ∂n
∂u
Autrement dit, la condition aux limites ∂n
= 0 est la moins restrictive, tandis que la
condition aux limites u = 0 est la plus restrictive.
Théorème 2.4.7. Pour toute condition aux limites, si (λn ) est la suite des valeurs
propres du problème, on a lim λn = +∞.
n→+∞
Démonstration. Ce résultat est une conséquence de l’étude asymptotique 2.5.
Ceci nous permet de montrer que l’ensemble des fonctions propres obtenues en résolvant
les problèmes de minimisation successifs constitue l’ensemble de toutes les fonctions
propres. Auparavant, montrons un théorème plus général :
Théorème 2.4.8. Le système de fonctions propres associé aux minimisations successives du quotient D[ϕ]/H[ϕ] est complet, au sens où, pour toute fonction f admissible au
P
problème, et tout ε > 0, il existe n ∈ N∗ et α1 , . . . , αn n réels tels que, si ωn = ni=1 αi ui
(où u1 , . . . , un sont les n premières fonctions propres), on ait H[f −ωn ] < ε. La meilleure
P
2
approximation est obtenue pour αi = H[f, ui ], et on a H[f ] = +∞
i=1 (H[f, ui ]) .
33
Démonstration. Soit f une fonction admissible pour le problème et n ∈ N∗ . Notons
P
ρn = f − ni=1 ci ui , où ci = H[f, ui ]. On a, pour tout entier i, 1 ≤ i ≤ n :
n
X
H[ρn , ui ] = H[f, ui ] −
k=1
n
X
= H[f, ui ] −
ck H[uk , ui ]
ck δik
(orthogonalité)
k=1
= H[f, ui ] − ci
= H[f, ui ] − H[f, ui ] = 0
et
D[ρn , ui ] = D[f, ui ] −
= D[f, ui ] −
n
X
k=1
n
X
ck D[uk , ui ]
ck λk δik
k=1
= D[f, ui ] − λi ci
= D[f, ui ] − λi H[f, ui ]
= 0
(car f est admissible, voir preuve du théorème 2.3.2).
Puisque ∀ i, 1 ≤ i ≤ n, H[ρn , ui ] = 0, et que ρn est admissible, on a par minimalité de
λn+1 :
D[ρn ]
≥ λn+1 ⇔ D[ρn ] ≥ λn+1 H[ρn ]
H[ρn ]
(∗).
Par ailleurs,
"
D[f ] = D[ρn ] + 2D
= D[ρn ] + D
n
X
#
ci ui , ρn + D
i=1
"
n
X
"
n
X
#
ci ui
i=1
#
c i ui
(D[ui , ρn ] = 0).
i=1
Pn
Or D[
M ∈ R tel que
Ainsi,
Pn
2
i=1 ci D[ui , ui ]
Pn
2
i=1 ci λi ≥ M .
i=1 ci ui ]
=
=
Pn
2
i=1 ci λi
D[ρn ] = D[f ] − D[
, donc, puisque lim λn = +∞, il existe
Pn
n→+∞
i=1 ci ui ]
≤ D[f ] − M .
La suite (D[ρn ]) est donc majorée. En utilisant l’inégalité (∗), on a
∀ n ∈ N∗ .
λn+1 H[ρn ] ≤ D[f ] − M
Puisque lim λn = +∞, on a par cette inégalité lim H[ρn ] = 0. Enfin, on a
n→+∞
n→+∞
"
H[ρn ] = H f −
n
X
#
c i ui
"
= H[f ] − 2H f,
i=1
"
n
X
= H[f ] − H
n
X
i=1
34
i=1
n
X
ci ui ,
i=1
n
X
i=1
= H[f ] −
ci ui + H
c2i
"
n
X
i=1
= H[f ] − 2H ρn +
"
#
#
ci ui − 2
n
X
i=1
n
X
#
ci ui
#
ci ui + H
ci H[ρn , ui ]
i=1
"
n
X
i=1
#
ci ui
P
2
vers +∞ dans l’égalité ci-dessus). De
ce qui donne H[f ] = +∞
i=1 ci (en faisant tendre n
Pn
plus, si α1 , . . . , αn sont n réels, on a, avec ωn = i=1 αi ui :
"
H[f − ωn ] = H[f ] − 2H f,
n
X
#
"
αi ui + H
n
X
i=1
= H[f ] − 2
n
X
= H[f ] +
αi ui
i=1
αi H[f, ui ] +
i=1
n €
X
#
n
X
αi2
i=1
αi − H[f, ui ]
Š2
i=1
−
n
X
(H[f, ui ])2
i=1
n
X
(H[f, ui ])2 ,
≥ H[f ] −
i=1
avec égalité si et seulement si αi = H[f, ui ] ∀ i. La meilleure approximation est donc
obtenue pour αi = H[f, ui ] ∀ i. D’où le théorème.
Corollaire 2.4.9. Toutes les valeurs propres de l’équation sont obtenues au cours de la
résolution des problèmes de minimisation successifs du théorème 2.3.2, et le système de
fonctions propres obtenu lors de ce processus engendre l’ensemble des fonctions propres.
Démonstration. Remarquons d’abord que, si ui et uk sont deux fonctions propres associées respectivement à deux valeurs propres distinctes µi et µk , on a
ZZ
(µi − µk )
ZZ
O
ui uk dx dy =
ZZ
ZZ
µi u i u k −
O
=
O
=
Γ
™
∂ui
∂uk
− uk
ui
ds
∂n
∂n
ZZ
”
−
ZZ
O
+
–
Z
=
Γ
µk uk ui dx dy
(ui ∆uk − uk ∆ui ) dx dy
–
Z
O
O
”
—
(ui )x (uk )x + (ui )y (uk )y dx dy
—
(ui )x (uk )x + (ui )y (uk )y dx dy
™
∂uk
∂ui
ui
− uk
ds.
∂n
∂n
On a utilisé la formule de Green pour l’avant-dernière égalité. La dernière intégrale est
∂u
clairement nulle si la condition aux limites est u = 0 ; si celle-ci est ∂n
+ σu = 0, on a
–
Z
Γ
™
Z
”
—
∂uk
∂ui
ui
− uk
ds =
− σui uk + σui uk ds = 0.
Γ
∂n
∂n
ZZ
D’où, puisque (λi − λk ) 6= 0, H[ui , uk ] =
ui uk dx dy = 0.
O
Supposons alors qu’il existe une valeur propre µ qui ne soit pas obtenue lors du processus
de minimisation : µ 6= λn ∀ n ∈ N∗ . Notons v la fonction propre associée ; par hypothèse
v n’est pas identiquement nulle. On a, par le théorème précédent, et en se servant de la
remarque ci-dessus :
H[v] =
+∞
X
+∞
X
i=1
i=1
(H[v, ui ])2 =
35
0 = 0.
ZZ
Puisque H[v] =
recherchée.
v 2 dx dy = 0 et que v est continue, on a v ≡ 0, d’où la contradiction
O
S’il existe une fonction propre w dont la valeur propre associée est un élément de la suite
des λn , disons λi , notons v1 , . . . , vk les fonctions propres associées à λi , obtenues au
P
cours des minimisations successives, et notons g = w − kj=1 H[w, vj ]vj . g est également
une fonction propre associée à λi , donc elle est orthogonale à toutes les fonctions propres
associées à des valeurs propres différentes de λi . De plus,
∀j , 1 ≤ j ≤ k,
H[g, vj ] = H[w, vj ] − H[w, vj ] = 0
donc g est orthogonale à toutes les fonctions propres (un ). Comme précédemment,
H[g] =
+∞
X
2
(H[g, ui ]) =
i=1
+∞
X
0 = 0.
i=1
Donc, g, qui est continue, est nulle : g ∈ Vect(v1 , . . . , vk ). Ainsi, le système de fonctions
propres obtenu au cours des minimisations successives engendre l’ensemble des fonctions
propres.
Ce corollaire achève la démonstration du théorème 2.3.2.
Avant de déterminer la distribution asymptotique des valeurs propres, il nous faut un
théorème sur le comportement des valeurs propres lorsqu’on "déforme" le domaine considéré, au sens suivant :
Définition 2.4.10. (Déformation d’un domaine G en un domaine G0 )
Soit G un domaine ouvert connexe borné. Considérons la transformation
¨
X = x + g(x, y)
Y = y + h(x, y)
(2.5)
où g et h sont deux fonctions de classe C 1 sur G qui sont, ainsi que leurs dérivées partielles premières, majorées en valeur absolue par un nombre ε > 0. Notons G0 le domaine
image de G par cette transformation. Alors on dit que G0 est une déformation de G à
la précision ε.
On a le théorème suivant :
Théorème 2.4.11. Soit G un domaine ouvert connexe borné du plan, de frontière Γ,
une courbe continue et de classe C 1 par morceaux. Pour tout 0 < ε ≤ 1/4 et toute
condition aux limites considérée, si G0 est une déformation de G à la précision ε, alors
il existe η(ε) > 0 tel que pour tout n et pour toute condition aux limites considérée, si
µn (respectivement µ0n ) désigne la n-ième valeur propre de l’équation ∆u + λu = 0 pour
le domaine G (respectivement pour le domaine G0 ), alors
µ0n
− 1 < η(ε).
µn
De plus lim+ η(ε) = 0.
ε→0
36
Démonstration. Soit G0 une déformation du domaine G à la précision ε ; on reprend
les notations de la définition. Soit ϕ une fonction admissible pour le problème. On va
montrer qu’on peut exprimer x et y en fonction de X et Y . Pour cela, considérons la
fonction f : R4 → R2 définie par
‚
f (x, y, X, Y ) =
x + g(x, y) − X
y + h(x, y) − Y
Œ
.
f est de classe C 1 car g et h sont de classe C 1 sur G. La différentielle de f au point
(x, y, X, Y ) a pour matrice
‚
La matrice extraite
1 + gx (x, y)
gy (x, y)
−1 0
hx (x, y)
1 + hy (x, y) 0 −1
‚
1 + gx (x, y)
gy (x, y)
hx (x, y)
1 + hy (x, y)
Œ
.
Œ
a pour déterminant (1 + gx (x, y))(1 + hy (x, y)) − gy (x, y)hx (x, y). En considérant les
conditions imposées à g, h et leurs dérivées partielles, on a l’inégalité
∀ x, y ∈ G (1 + gx (x, y))(1 + hy (x, y)) − gy (x, y)hx (x, y) ≥ 1 − 2ε − 2ε2 > 0
car ε ≤ 1/4. Donc on peut appliquer le théorème des fonctions implicites à f , pour en
déduire que x et y peuvent s’écrire en fonction de X et Y .
On considère alors une fonction Φ telle que Φ(X, Y ) = ϕ(x, y). On a, par différentiation
d’une fonction composée
∂
∂Φ
∂g
∂Φ
∂h
∂ϕ
(x, y) =
(Φ(x+g(x, y), y+h(x, y))) =
(X, Y )(1+ (x, y))+
(X, Y ) (x, y)
∂x
∂x
∂X
∂x
∂Y
∂x
et de même
∂ϕ
∂Φ
∂g
∂Φ
∂h
(x, y) =
(X, Y ) (x, y) +
(X, Y )(1 +
(x, y)).
∂x
∂X
∂y
∂Y
∂y
Au moyen du changement de variables
¨
X = x + g(x, y)
Y = y + h(x, y)
de jacobien
−1
1 + gx (x, y)
hx (x, y) J(x, y) =
gy (x, y)
1 + hy (x, y)
=
1
,
(1 + gx (x, y))(1 + hy (x, y)) − gy (x, y)hx (x, y)
et en considérant x, y comme des fonctions de X, Y , on a l’égalité
–
ZZ
D[ϕ] =
G0
[ΦX (X, Y )(1 + gx (x, y)) + ΦY (X, Y )hx (x, y)]2
™
2
+[ΦX (X, Y )gy (x, y) + ΦY (X, Y )(1 + hy (x, y))] J(x, y) dX dY.
On fixe un point A ∈ Γ, et on mesure l’abscisse curviligne de Γ à partir de A. On
désigne par S l’abscisse curviligne d’un point de la frontière Γ0 de G0 mesurée à partir
de l’image de A par la transformation (2.5), et on se donne une fonction Σ telle que
σ(x(s), y(s)) = Σ(X(S), Y (S)).
37
Avec ces notations, on a
Z
Z
σ(x(s), y(s))ϕ2 (x(s), y(s)) ds =
Σ(X(S), Y (S))Φ2 (X(S), Y (S))
0
Γ
Γ
On note maintenant
ds
dS.
dS
Z
ZZ
(Φ2X + Φ2Y ) dXdY , D0 [Φ] = D0 [Φ] +
0
D0 [Φ] =
G
Γ0
Σ Φ2 dS.
L’intégrande de D0 [Φ] diffère de celle de D[ϕ] par le facteur J(x, y), qui tend vers 1
uniformément en x et y lorsque ε → 0, et par des termes en ΦX , ΦY , Φ2X , Φ2Y multipliés
par des termes qui tendent vers 0 lorsque ε → 0 (grâce aux conditions vérifiées par g, h
et leurs dérivées partielles). En utilisant l’inégalité
2
ZZ
G0
ZZ
ΦX ΦY dXdY ≤
G0
(Φ2X + Φ2Y ) dXdY
on obtient une relation de la forme
D[ϕ] = (1 + δ1 (ε))D0 [Φ]
où lim δ1 (ε) = 0. De plus, si Γ (respectivement Γ0 ) sont paramétrées par (x(t), y(t))
ε→0
(respectivement (X(t), Y (t))) pour t ∈ [0, 1], on a les relations
ds È 0 2
dS È 0 2
= x (t) + y 0 (t)2 et
= X (t) + Y 0 (t)2
dt
dt
donc par dérivation d’une fonction composée,
ds
ds dt
=
dS
dt dS
est du type 1 + fε (S) où fε (S) tend uniformément vers 0 quand ε → 0 (grâce aux
conditions imposées aux dérivées partielles de g et h).
D’où
Z
Z
Z
Z
2 ds
2
2
Σ
Φ
dS
=
Σ
Φ
dS
+
Σ
Φ
f
dS
=
(1
+
δ
(ε))
Σ Φ2 dS
ε
2
Γ0
Γ0
Γ0
Γ0
dS
où lim δ2 (ε) = 0. Ceci donne la relation
ε→0
D[ϕ] = (1 + δ3 (ε))D0 [Φ].
où lim δ3 (ε) = 0.
ε→0
Il nous reste à transformer les conditions de normalisation et d’orthogonalité de ϕ dans
le problème du maximum-minimum. On a les expressions
ZZ
ZZ
2
ϕ dx dy =
G
ZZ
et
G
ϕvi dx dy =
ZZ
G0
G0
Φ2 J(x, y) dX dY = 1
ΦVi J(x, y) dX dY = 0,
i = 1, . . . , n − 1
si v1 , . . . , vn−1 sont n − 1 fonctions continues par morceaux sur G et V1 , . . . , Vn−1 sont
n − 1 fonctions continues par morceaux sur G0 telles que Vi (X, Y ) = vi (x, y).
On note à présent
ψ(X, Y ) =
ÈRR
Φ(X, Y )
et Wi (X, Y ) = Vi (X, Y )J(x, y),
2
−1 (X, Y ) dx dy
G ϕ (x, y)J
38
et on a
RR
ZZ
2
ψ dX dY =
0
G
ZZ
ZZ
ΦVi J(x, y) dX dY =
0
et
RR
G
G0
Φ2 J(x, y) dX dY
=1
2
G Φ J(x, y) dX dY
G
i = 1, . . . , n − 1.
ψWi dX dY = 0,
En remarquant que
ZZ
‹
ϕ2 (x, y)J −1 (X, Y ) dx dy D0 [ψ]
D0 [Φ] =
G
et que
ZZ
‹
G
ϕ2 (x, y)J −1 (X, Y ) dx dy = 1 + δ4 (ε) (où lim δ4 (ε) = 0),
ε→0
on a l’égalité
D[ϕ] = (1 + δ(ε))D0 [ψ]
(2.6)
où lim δ(ε) = 0. La fonction ψ satisfait les conditions d’admissibilité du problème du
ε→0
maximum-minimum pour la n-ième valeur propre pour le domaine G0 . Le domaine de
variabilité des fonctions Wi est l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur G0 .
Donc le maximum-minimum du membre de gauche de l’équation (2.6) ne diffère de celui
du membre de droite que par le terme δ(ε). Ainsi, il existe η(ε) > 0 tel que
µ0n
− 1 < η(ε).
µn
et vérifiant lim η(ε) = 0.
ε→0
39
2.5
Etude asymptotique
Le but de cette section est de trouver un équivalent simple de la n-ième valeur propre
de l’équation ∆u + λu = 0, pour toute condition aux limites.
2.5.1
Un cas particulier : le rectangle
Soit un rectangle R = [0, a] × [0, b], avec a, b deux réels. On va résoudre l’équation
∂u
= 0 sur Fr(R),
∆u + λu = 0 avec, dans un premier temps, la condition aux limites ∂n
et ensuite avec la condition aux limites u = 0 sur Fr(R).
Premier cas : Montrons que les fonctions


nπx ‹
mπy ‹
um,n (x, y) = cos
cos
a
b
m, n = 0, 1, 2, . . .
sont les fonctions propres de notre équation.
Clairement
π 2 n2
π 2 m2
u
et
(u
)
=
−
um,n ,
m,n
m,n
yy
a2
b2
(um,n )xx = −
donc :
‚
∆um,n + π
2
Œ
n2 m2
+ 2 um,n = 0.
a2
b
On remarque ensuite que la dérivée normale de um,n est nulle sur la frontière, c’est à
dire sur {M = (x, y) ∈ R2 , M ∈ R et (x = 0 ou x = a) ou (y = 0 ou y = b)}.
En effet, sur les côtés verticaux du rectangle, la dérivée normale est égale (au signe
près) à la dérivée par rapport à x, ce qui fait apparaître un sinus qui est nul sur les côtés
verticaux. Sur les côtés horizontaux du rectangle, la dérivée normale est égale (toujours
au signe près) à la dérivée par rapport à y, ce qui fait aussi apparaître un sinus, nul sur
les côtés horizontaux.
Donc les um,n sont des fonctions propres de notre équation, pour les valeurs propres
‚
λm,n = π
2
Œ
n2 m2
+ 2 ,
a2
b
m, n = 0, 1, 2, . . .
Il reste à montrer que ce sont toutes les fonctions propres. Auparavant, montrons un
lemme :
Lemme 2.5.1. Soit f une application de classe C 1 sur le rectangle R = [0, a] × [0, b]. Si
f vérifie une des deux conditions
ZZ
∀ m, n ∈ N∗
ou

f (x, y) sin
R
ZZ
∀ m, n ∈ N

f (x, y) cos
R
alors f est nulle sur R.
40

nπx ‹
mπy ‹
sin
dx dy = 0
a
b

mπy ‹
nπx ‹
cos
dx dy = 0
a
b
Démonstration du lemme. La démonstration étant identique dans les deux cas, supposons que f vérifie la première condition. On a alors
Z
∀ m, n ∈ N∗

f (x, y) sin
0
Z
soit, en notant fn (y) =
b Z a
0

a
f (x, y) sin
0
nπx ‹
dx,
a
Z
∀ m, n ∈ N∗

nπx ‹ ‹
mπy ‹
dx sin
dy = 0,
a
b

b
0
fn (y) sin
mπy ‹
dy = 0.
b
Cette égalité implique que pour tout n, la fonction fn est nulle sur [0, b], soit
Z
∀ m, n ∈ N∗
∀ y ∈ [0, b],

a
f (x, y) sin
0
nπx ‹
dx = 0
a
et ainsi, f (x, y) = 0 sur R.
Nous pouvons maintenant montrer que les um,n sont toutes les fonctions propres de
notre problème. Soit f une fonction propre de l’équation avec les mêmes conditions aux
limites que précédemment, notons µ la valeur propre associée.
– Si µ est distincte de toutes les λm,n , on sait que f est orthogonale à toutes les
um,n . Par le lemme 2.5.1, f est nulle, d’où une contradiction.
– S’il existe un couple d’entiers (i, j) tel que µ = λi,j , notons w1 , . . . , wk les éléments
de la famille des um,n , de valeur propre associée λi,j . Dans l’esprit de la preuve du
corollaire 2.4.9, on définit
ω=f−
k
X
H[f, wl ]
l=1
wl
.
H[wl , wl ]
ω est orthogonale à toutes les um,n , donc est nulle, par le lemme 2.5.1. Ainsi,
f ∈ Vect(w1 , . . . , wk ).
On a ainsi montré que les um,n sont les seules fonctions propres de l’équation considérée
∂u
pour la condition aux limites ∂n
= 0.
Deuxième cas : Montrons que les fonctions

vm,n (x, y) = sin

nπx ‹
mπy ‹
sin
a
b
m, n = 1, 2, . . .
sont les fonctions propres de notre équation.
On a immédiatement
(vm,n )xx = −
π 2 n2
π 2 m2
v
et
(v
)
=
−
vm,n ,
m,n
m,n yy
a2
b2
d’où :
‚
∆vm,n + π
2
Œ
n2 m2
+ 2 vm,n = 0.
a2
b
On constate aussi que vm,n = 0 sur la frontière de R.
41
Donc les vm,n sont des fonctions propres de notre équation, pour les valeurs propres
‚
λm,n = π
2
Œ
n2 m2
+ 2 ,
a2
b
m, n = 1, 2, . . ..
La même idée que dans le premier cas montre que les vm,n sont les seules fonctions
propres de notre équation.
Maintenant que nous avons trouvé toutes les valeurs propres dans ces deux cas, nous
allons chercher une estimation de la n-ième valeur propre pour toute condition aux
limites. Pour cela, on va trouver ces estimations dans les deux cas précédents, et on
appliquera ensuite les théorèmes 2.4.5 et 2.4.6.
2.5.2
Estimation des valeurs propres pour le rectangle
Soit λ ∈ R+ . Notons A(λ) (respectivement B(λ)) le nombre de valeurs propres inférieures
∂u
= 0).
à λ dans le problème avec condition aux limites u = 0 (respectivement ∂n
Avec ces notations, on a
¨
∗
A(λ) = card m, n ∈ N ,
n2 m2
λ
+ 2 ≤ 2
2
a
b
π
«
et
«
¨
B(λ) = card m, n ∈ N,
λ
n2 m2
+ 2 ≤ 2 .
2
a
b
π
On remarque que B(λ) est exactement le nombre de points à coordonnées entières
contenus dans le secteur
¨
«
x2 y 2
λ
2
D = (x, y) ∈ R , x ≥ 0, y ≥ 0, 2 + 2 ≤ 2
a
b
π
λ
x2 y 2
c’est-à-dire, le secteur délimité par le quart d’ellipse 2 + 2 = 2 situé dans le quadrant
a
b
π
supérieur droit.
Dans la suite de ce calcul, on note E ce quart d’ellipse.
Fig. 2.1 – Les points et l’ellipse
On associe à chaque point M de N2 le carré d’aire 1 dont il est le sommet inférieur
gauche, que nous appellerons carré entier associé à M :
42
Fig. 2.2 – Carré entier associé à (2, 1)
On constate alors que les carrés entiers associés aux points à coordonnées entières de D
forment un recouvrement de D. Notons S la réunion de ces carrés. L’aire de S est égale
au nombre de points à coordonnées entières de D, soit B(λ), multiplié par l’aire d’un
tel carré, soit 1. Ainsi l’aire de S est égale à B(λ), et puisque D ⊂ S, on a une inégalité
sur les aires, soit, en notant AD l’aire de D :
AD ≤ B(λ).
x2
y2
On peut réécrire l’équation de l’ellipse comme a√λ + b√λ = 1 : le quart d’ellipse
( π )2 ( π )2
√
√
ab
π a λ b λ
·
=λ .
a donc pour aire AD = ·
4
π
π
4π
Ainsi
λ
ab
≤ B(λ).
4π
Notons maintenant T l’ensemble des carrés entiers qui sont traversés par l’ellipse, c’està-dire qui ne soient pas entièrement contenus dans D, et R(λ) = card(T ).
Fig. 2.3 – Un élément de T
43
Alors S \ T est inclus dans D, ce qui donne une autre inégalité sur les aires :
B(λ) − R(λ) ≤ λ
ab
4π
puisque l’aire de S \ T est égale à B(λ) − R(λ) multiplié par l’aire d’un carré entier, qui
est 1. Finalement :
ab
B(λ) − R(λ) ≤ λ
≤ B(λ).
(2.7)
4π
Il reste à trouver un ordre de grandeur de R(λ). Pour cela, remarquons que, pour λ assez
grand, la longueur de l’arc d’ellipse contenu dans deux carrés adjacents qu’elle traverse
est supérieure à 1. On se place dans ce cas.
Fig. 2.4 – Méthode de majoration
ø
Sur cet exemple, l’aire du carré vert sera inférieure soit à la longueur AC,
soit à la
ø
longueur BD.
L’aire de T est R(λ), et l’idée précédente va permettre de majorer cette aire : écrivons
que R(λ) − 2 est l’aire totale de T 0 , où T 0 est obtenu en retirant à T les deux carrés
ayant un côté commun soit avec l’axe (Ox), soit avec l’axe (Oy).
Fig. 2.5 – Représentation de T 0
Sur ce dessin, l’aire de T 0 est égale à la somme des aires de tous les carrés colorés. Notons
C1 , . . . , Ck ces carrés (numérotés dans le sens horaire, i.e. sur le dessin C1 est le carré
marron, C2 le carré rouge, ..., Ck le carré mauve), C0 le carré ayant un côté contenu
44
dans l’axe (Oy) et Ck+1 celui ayant un côté contenu dans l’axe (Ox). Enfin, définissons
les points A0 , . . . , Ak+2 par
A0 = E ∩ (Oy),
Ak+2 = E ∩ (Ox),
Aj = E ∩ Cj−1 ∩ Cj ,
j = 1, . . . , k + 1.
Pour tout entier j compris entre 1 et k, on majore alors l’aire de Cj par la longueur
ÿ
A
j−1 Aj+1 . D’où
k
X
R(λ) − 2 ≤
ÿ
A
j−1 Aj+1 .
j=1
Or
k
X
ÿ
A
j−1 Aj+1 =
j=1
k
X
ü
ü
A
j−1 Aj + Aj Aj+1
j=1
=
k−1
X
ü
A
j Aj+1 +
j=0
≤2
k
X
ü
A
j Aj+1
j=1
k+1
X
ü
A
j Aj+1 .
j=0
Notons L =
k+1
X
ü
A
j Aj+1 la longueur du quart d’ellipse. En le paramétrant par
j=0
√
√
•
b λ
π˜
a λ
cos(t), y(t) =
sin(t), pour t ∈ 0, ,
x(t) =
π
π
2
on a :
L =
Z π È
2
0
Z π
s
a2 λ 2
b2 λ
sin
(t)
+
cos2 (t) dt
π2
π2
2
=
0
Z π
√
=
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
2
λ
|
0
s
a2
b2
2
sin
(t)
+
cos2 (t) dt
2
π2
π
{z
}
indépendant de λ, noté I
√
= I λ.
Finalement, on a
√
R(λ) − 2 ≤ 2I λ.
√
Signalons au passage qu’on peut obtenir l’inégalité plus fine R(λ) − 1 ≤ 2I λ (en
comptant d’une manière légèrement différente), dont nous n’avons pas besoin ici. En
effet, notre inégalité montre que
R(λ)
2I
2
≤ √ + −−−−→ 0,
λ
λ λ λ→+∞
45
donc, en se rappelant de la double inégalité (2.7), on a
B(λ) R(λ)
ab
B(λ)
−
≤
≤
,
λ
λ
4π
λ
ce qu’on peut réécrire comme
ab
B(λ)
ab R(λ)
≤
≤
+
,
4π
λ
4π
λ
et finalement
ab
B(λ)
=
.
λ→+∞
λ
4π
On a, plus précisément, une relation du type
√
ab
B(λ) = λ
+ O( λ).
4π
Une telle relation est aussi valable pour A(λ). En effet, A(λ) ne diffère de B(λ) que
par le nombre de points éléments de D à coordonnées entières et situés sur les axes, ce
qu’on peut également interpréter comme la somme des parties entières des longueurs
respectives du demi-grand axe et du demi-petit axe de l’ellipse. On a donc
√
√
√
a λ b λ
B(λ) − A(λ) ≤
+
= α λ,
π
π
où α est indépendante de λ. Ainsi :
√
√
ab
B(λ) = A(λ) + K λ ⇒ A(λ) = λ
+ O( λ).
4π
lim
Pour obtenir un équivalent de la n-ième valeur propre λn (quand les valeurs propres
sont ordonnées par ordre croissant), par exemple dans le problème avec la condition aux
limites u = 0, on écrit A(λn ) = n, ce qui donne
4π
λn
=
.
n→+∞ n
ab
Cette relation est aussi valable pour l’autre problème considéré.
On peut maintenant étendre ce résultat à un autre type de domaine.
lim
Définition 2.5.2. On dit qu’un ouvert connexe O ⊂ R2 est un ouvert-carré si O peut
s’écrire comme la réunion d’un nombre fini de carrés de même aire.
Soient O un ouvert-carré, et λ ∈ R+ . Notons A(λ) le nombre de valeurs propres inférieures à λ pour la condition aux limites u = 0 sur Fr(O) et B(λ) le nombre correspon∂u
dant pour la condition aux limites ∂n
= 0 sur Fr(O).
Puisque O est un ouvert-carré, notons C1 , . . . , Ck k carrés de côté a dont la réunion
est égale à O, et AR1 (λ), . . . , ARk (λ), BR1 (λ), . . . , BRk (λ) les nombres correspondants à
∂u
A(λ) et B(λ) pour les conditions aux limites u = 0 sur Fr(Rj ) et ∂n
= 0 sur Fr(Rj ).
Par ce qui précède, on a
8
>
>
>
>
<
∀ j = 1, . . . , k,
>
>
>
>
:
ARj (λ) = λ
BRj (λ) = λ
46
√
a2
+ O( λ)
4π
√
a2
+ O( λ).
4π
Par les théorèmes 2.4.2, 2.4.4 et 2.4.5, on a les inégalités suivantes :
k
X
ARj (λ) ≤ A(λ) ≤ B(λ) ≤
j=1
k
X
BRj (λ).
j=1
Or on a
√
ka2
ARk (λ) = λ
+ O( λ)
4π
j=1
k
X
et
k
X
BRk (λ) = λ
j=1
√
ka2
+ O( λ).
4π
Et donc, on peut écrire
λ
√
√
ka2
ka2
+ θ(λ) λ ≤ A(λ) ≤ B(λ) ≤ λ
+ η(λ) λ.
4π
4π
où θ et η sont des fonctions bornées.
En remarquant finalement que ka2 est l’aire A de O, on a des relations du type
A(λ) = λ
√
A
+ O( λ)
4π
B(λ) = λ
√
A
+ O( λ).
4π
et
On peut estimer la n-ième valeur propre λn en écrivant A(λn ) = n, et on obtient
lim
n→+∞
λn
4π
=
.
n
A
Les théorèmes 2.4.5 et 2.4.6 montrent par double encadrement que ce type d’estimation
est valable pour toute condition aux limites considérée. On a le théorème suivant :
Théorème 2.5.3. (Estimation des valeurs propres pour un domaine-carré)
∂u
Soit O un ouvert-carré d’aire A. Pour la condition aux limites u = 0 ou ∂n
+ σu = 0,
où σ est une fonction continue positive sur F r(O), le nombre A(µ) de valeurs propres
de l’équation ∆u + λu = 0 inférieures à une certaine borne positive µ est équivalent à
A
µ 4π
. Plus précisément :
∃ µ0 ∈ R + , ∃ C ∈ R + , µ ≥ µ0 ⇒
C
4πA(µ)
− 1 < √ .
Aµ
µ
Pourtant, le calcul d’une estimation pour une figure géométrique quelconque peut être
bien plus complexe, comme on va le voir dans le cas du disque.
47
2.5.3
Cas du disque
Pour simplifier, on considère que l’ouvert O est un disque ouvert de rayon 1.
Dans ce paragraphe, on ne considère que la condition aux limites u = 0 sur Fr(O).
L’équation ∆u + λu = 0 devient, en coordonnées polaires (r, θ) :
1
1
urr + ur + 2 uθθ + λu = 0.
r
r
On cherche une solution sous la forme u(r, θ) = v(r)w(θ). Sous cette forme, l’équation
ci-dessus devient
1 0
1
00
w(θ) v (r) + v (r) + λv(r) = − 2 v(r)w00 (θ)
r
r
ou encore
r2
w00 (θ)
1 0
00
= −
= k ∈ R.
v (r) + v (r) + λv(r)
r
v(r)
w(θ)
|
{z
}
|
{z
}
indépendant de r
indépendant de θ
La fonction w étant nécessairement 2π-périodique, on peut écrire k = n2 , n ∈ N. Ceci
nous donne l’équation
r2 v 00 (r) + rv 0 (r) + [λr2 − n2 ]v(r) = 0.
Avant de continuer, signalons qu’on peut déduire de la formule de Green une propriété
importante des valeurs propres de l’équation ∆u + λu = 0. Soit λ une valeur propre de
cette équation, et v une fonction propre associée. On a
ZZ
ZZ
G
(vx2 + vy2 ) dx dy = −
Z
v∆v dx dy +
G
Z
v
Si la condition aux limites est u = 0, on a
Γ
v
Γ
∂v
ds.
∂n
∂v
ds = 0, d’où
∂n
ZZ
ZZ
G
(vx2 + vy2 ) dx dy = λ
v 2 dx dy.
G
Donc : une valeur propre de l’équation ∆u + λu = 0 avec condition aux limites u = 0
est toujours positive.
Revenons
√ à notre étude : puisque λ est positive, on peut faire le changement de variable
ρ = r λ, et l’équation devient
r2 λ
√ dv
d2 v
+
r
λ + [λr2 − n2 ]v = 0
dρ2
dρ
ou encore
–
™
d2 v 1 dv
n2
+
v = 0.
+
1
−
dρ2 ρ dρ
ρ2
L’équation ci-dessus est appelée équation de Bessel d’ordre n.
On cherche une solution développable en série entière vn (ρ) =
∞
X
aj ρj ; en dérivant
j=0
terme à terme et en reportant dans l’équation, on a
∞
X
j=2
j(j − 1)aj ρ
j−2
+
∞
X
‚
jaj ρ
j−2
j=1
48
n2
+ 1− 2
ρ
Œ
∞
X
j=0
aj ρ j = 0
soit, en groupant les termes :
−
∞
X
n2
a1
2
[1
−
n
]
+
[j(j − 1)aj + jaj + aj−2 − n2 aj ] ρj−2 = 0.
a
+
0
ρ2
ρ
j=2
On en déduit la relation de récurrence donnant les aj :
8
>
<
>
:
a0 = 0 si n 6= 0, quelconque sinon
a1 = 0 si n 6= 1, quelconque sinon
∀ j ≥ 2, (n2 − j 2 )aj = aj−2
A partir de là, en se servant de la relation de récurrence, il est facile de voir que les aj
sont donnés par
8
>
<
>
:
Si on choisit an =
aj = 0 si j < n
an = quelconque
∀ j ≥ n + 1, (n2 − j 2 )aj = aj−2
1
, après calculs, la solution vn obtenue est
2n n!
vn (ρ) =
∞
X
(−1)j
ρn+2j .
n+2j j! (n + j)!
2
j=0
La série entière ci-dessus converge sur tout R (car ρn+2j << (n + j)!), donc c’est effectivement une solution de notre équation. vn est appelée fonction de Bessel d’ordre
n.
√
La √
condition aux limites étant u = 0, cela impose que, puisque ρ = r λ, on ait
vn ( λ) = 0. Autrement dit, les valeurs propres de l’équation ∆u + λu = 0 dans le
cas d’un disque avec condition aux limites u = 0 sont les carrés des zéros des fonctions
de Bessel. On constate que cette étude est nettement plus difficile que la précédente.
Puisque l’étude exacte semble très complexe, on va s’attacher à obtenir une estimation
asymptotique indépendante de l’ouvert connexe borné C 1 considéré. Mais avant cela, il
nous faut établir quelques résultats sur les triangles rectangles.
49
2.5.4
Cas du triangle rectangle
∂u
Dans tout ce paragraphe, on s’intéresse à la condition aux limites ∂n
= 0.
Soit T un triangle rectangle isocèle de côté a. Considérons le carré C déduit de T par
réflexion par rapport à son hypoténuse. Si u est une fonction propre pour le triangle et
pour la valeur propre λ, désignons par v la fonction qui coïncide avec u sur T et qui, en
un point M de C \ T , prend la valeur u(N ) où N est l’image de M par cette réflexion.
∂u
= 0 sur Fr(C) ; c’est
Alors v est continue sur C et satisfait à la condition aux limites ∂n
même une fonction propre pour C, pour la valeur propre λ.
La n-ième valeur propre pour T est donc aussi une valeur propre pour C. Il est donc
clair que la n-ième valeur propre pour le carré C est inférieure à la n-ième valeur propre
pour le triangle T . En d’autres termes :
Proposition 2.5.4. Soit un triangle rectangle isocèle T de côté a et un carré C de
côté a. Soit λ un réel, et BT (λ) (respectivement BC (λ)) le nombre de valeurs propres
inférieures à λ pour T (respectivement C). Alors, on a
BT (λ) ≤ BC (λ).
√
Soit maintenant T un triangle rectangle rectangle quelconque de côtés a, b, et a2 + b2 .
On suppose que b ≤ a, et que le côté de longueur a (respectivement b) est sur l’axe des
abscisses (respectivement l’axe des ordonnées).
Au moyen du changement de variables
8
<
X=x
:Y = ay/b
de jacobien
−1
1 0 J(x, y) =
0 a/b
b
= ,
a
on transforme le triangle T en un triangle T 0 isocèle rectangle de côté a. L’expression
de la fonctionnelle D[ϕ] devient
–
ZZ
D[ϕ] =
™
ϕ2X
T0
a2
b
+ 2 ϕ2Y
dX dY
b
a
et la condition de normalisation H[ϕ] = 1 devient
ZZ
H[ϕ] =
T
ϕ2
0
b
dX dY = 1.
a
Les conditions d’orthogonalité H[ϕ, vi ] = 0 restent inchangées.
Notons µn la n-ième valeur propre pour le triangle T . Alors, µn est le maximum-minimum
de l’intégrale
™
–
ZZ
a2 2 b
2
D[ϕ] =
ϕX + 2 ϕY
dX dY
T0
b
a
sous la condition H[ϕ] = b/a, ce qui revient, en minimisant les quotients D[ϕ]/H[ϕ], à
considérer que µn est le maximum-minimum de l’intégrale
–
ZZ
D[ϕ] =
T0
™
ϕ2X
a2
b
+ 2 ϕ2Y
dX dY.
b
a
50
Puisque a ≥ b, on a
–
ZZ
D[ϕ] =
T0
–
™
ϕ2X
™
ZZ
a2
+ 2 ϕ2Y dX dY ≥
ϕ2X + ϕ2Y dX dY.
T0
b
Le maximum-minimum du membre de gauche, qui est µn , est donc supérieur ou égal
à celui du membre de droite, qui est la n-ième valeur propre pour le triangle rectangle
isocèle de côté a, elle-même supérieure à la n-ième valeur propre pour le carré de côté
a. En d’autres termes :
√
Proposition 2.5.5. Soit un triangle rectangle T de côtés a, b et a2 + b2 (a ≥ b), et
un carré C de côté a. Soit λ un réel, et BT (λ) (respectivement BC (λ)) le nombre de
valeurs propres inférieures à λ pour T (respectivement C). Alors, on a
BT (λ) ≤ BC (λ).
On a de même la proposition suivante :
Proposition 2.5.6. Soit un rectangle R de côtés a et b (a ≥ b), et un carré C de côté a.
Soit λ un réel, et BR (λ) (respectivement BC (λ)) le nombre de valeurs propres inférieures
à λ pour R (respectivement C). Alors, on a
BR (λ) ≤ BC (λ).
Cette proposition se prouve de la même façon, par le même changement de variables que
pour le triangle rectangle. Ces résultats, en association avec le théorème 2.4.4, montrent
qu’il est possible d’obtenir un majorant du nombre de valeurs propres inférieures à une
certaine borne, lorsque le domaine considéré est composé d’un nombre fini de triangles
rectangles et de carrés.
On a maintenant tous les outils pour établir les résultats concernant la distribution
asymptotique des valeurs propres pour un domaine connexe borné de classe C 1 quelconque.
51
2.5.5
Cas d’un ouvert connexe borné de classe C 1
Soit O un tel ouvert. Dans un premier temps, on ne considère que la condition aux
∂u
= 0. On va approcher O par des ouverts-carrés, et déduire des paragraphes
limites ∂n
2.5.2 et 2.5.3 la distribution des valeurs propres du laplacien sur O. Notons Γ la frontière
de O. On divise le plan en carrés identiques de côté a.
Fig. 2.6 – L’approximation
Soit α > 0, on prend a > 0 suffisamment petit de sorte que, pour toute portion de
frontière contenue dans un des carrés, la variation de l’angle entre le vecteur normal à
Γ et l’axe des abscisses soit inférieure à α.
Comme sur la figure précédente, on associe à la frontière r domaines adjacents E1 , . . . , Er
de deux types différents :
1. soit Ei est délimité par deux segments perpendiculaires [AB] et [AC] de la subdivision, dont la longueur est comprise entre a et 3a, et une partie BC de la frontière
(fig. 2.7) ;
2. soit Ei est délimité par un segment [AB] de la subdivision, deux segments perpendiculaires [AC] et [BD], dont la longueur est comprise entre a et 3a, et une
portion CD de la frontière (fig. 2.8).
S
On note S = ri=1 Ei (c’est le domaine blanc), de sorte que O \ S (le domaine rouge) est
un ouvert-carré, composé de k carrés C1 , . . . , Ck de côté a.
Remarquons enfin qu’on a ar ≤ P où P est le périmètre de O.
52
Soit λ > 0. On note à présent, pour tout i entre 1 et r, BEi (λ) le nombre de valeurs
propres de l’équation inférieures à λ pour le domaine Ei . On va majorer BEi (λ) : pour
cela, il nous suffit de trouver un minorant pour la n-ième valeur propre de Ei .
Fig. 2.7 – Type 1
Fig. 2.8 – Type 2
Pour cela, on prend un point de la frontière et on trace la tangente à la frontière en
ce point. On obtient, selon les cas, un triangle rectangle AB 0 C 0 (fig. 2.7) ou un trapèze
ABC 0 D0 (fig. 2.8). Si α est suffisamment petit, la longueur des côtés de ces figures est
inférieure à 4a (car on avait choisi le maillage de telle sorte que la longueur de chacun des
côtés soit inférieure à 3a). On se place donc dans ce cas, et on prend a suffisamment petit,
de sorte que la variation de l’angle que fait le vecteur normal avec l’axe des abscisses
soit inférieure à α.
On va maintenant déformer les domaines Ei comme en 2.4.10.
1. Si Ei est un domaine du premier type, on considère un repère polaire de pôle A.
Soient ρ = f (θ) (respectivement ρ = g(θ)) l’équation polaire de BC (respectivement [B 0 C 0 ]). Les équations
8
>
>
<
φ=θ
>
>
:
R=ρ
g(θ)
g(θ) − f (θ)
=ρ+ρ
f (θ)
f (θ)
représentent une application qui transforme Ei en le triangle rectangle AB 0 C 0 .
2. Sinon, on considère un repère orthonormé d’origine A, tel que [AB] soit contenu
dans l’axe des abscisses du repère. On note y = f (x) (respectivement y = g(x))
l’équation de CD (respectivement [C 0 D0 ]). Comme précédemment, le système
d’équations
8
>X = x
>
<
>
>
:
Y =y
g(x)
g(x) − f (x)
=y+y
f (x)
f (x)
définit une application transformant Ei en le trapèze ABC 0 D0 .
Dans la suite, on notera Ei0 le domaine obtenu par déformation de Ei .
53
Les transformations présentées ici sont de la forme de celle définie en 2.4.10.
Pour montrer cela, considérons par exemple le cas d’un domaine Ei du second type. Il
s’agit de montrer que l’application h définie par
∀ x, y ∈ Ei ∪ Ei0 , h(x, y) = y
g(x) − f (x)
f (x)
est, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, bornée par un réel qui tend vers
0 lorsque a → 0.
Notons M le point d’intersection de CD et [C 0 D0 ], et (xM , yM ) les coordonnées de M .
On a l’égalité f (xM ) = g(xM ).
Pour tout point (x, y) appartenant à Ei ∪ Ei0 , on a
∂h
g 0 (x)f (x) − f 0 (x)g(x)
g(x) − f (x)
∂h
(x, y) = y
(x, y) =
.
et
2
∂x
(f (x))
∂y
f (x)
Commençons par remarquer que
|f (x) − g(x)| =
Z
Z
≤
x
xM
x
0
0
(f (t) − g (t)) dt
|f 0 (t) − g 0 (t)| dt
xM
≤ (x − xM ) sup |f 0 − g 0 |
[0,a]
0
≤ a · sup |f − g 0 |.
[0,a]
Or f est affine, donc f 0 est une constante. Le terme |f 0 (t) − g 0 (t)| représente donc la
valeur absolue de l’angle fait par la tangente à la frontière de O au point t avec la droite
[CD]. Par ailleurs, si β > 0 est un angle donné, il est possible de réduire suffisamment
a de sorte que, pour toute portion de frontière contenue dans un des Ei , la variation de
l’angle formé par le vecteur normal à la frontière avec l’axe des abscisses soit inférieure
à β, et ceci indépendamment de l’indice i. On a ainsi l’inégalité
|f (x) − g(x)| ≤ a · ψ(a) où lim ψ(a) = 0
a→0
et ψ(a) est une quantité indépendante de i.
Ceci nous permet d’écrire
|f (x) − g(x)|
|f (x)|
aψ(a)
≤ 4a ·
a
= 4aψ(a).
|h(x, y)| = |y|
et
|f (x) − g(x)|
|f (x)|
aψ(a)
≤
a
= ψ(a).
|hy (x, y)| =
54
Pour la dérivée partielle hx , c’est un peu plus long. On a d’abord
|g 0 (x)f (x) − g(x)f 0 (x)|
|f (x)|2
|g 0 (x)f (x) − g(x)f 0 (x)|
≤ 4a ·
a2
–
™
4
0
0
0
· |g (x) − f (x)| · |f (x)| + |f (x) − g(x)| · |f (x)|
=
a
–
™
4
0
≤
· ψ(a) · 4a + aψ(a) · |f (x)|
a
|hx (x, y)| = |y|
Puisque f est affine, on a
|f 0 (x)| =
|f (a) − f (0)|
|f (a)| + |f (0)|
8a
≤
≤
= 8.
a
a
a
Finalement,
–
™
4
|hx (x, y)| ≤
· ψ(a) · 4a + aψ(a) · 8
a
≤ 48ψ(a).
Ainsi, h et ses dérivées partielles sont bornées par un réel κ(a), qui tend vers 0 quand
a tend vers 0, et qui est indépendant de i. Le même genre de résultat se prouve de la
même façon pour un domaine Ei du premier type.
Par le théorème 2.4.11, les n-ièmes valeurs propres µn et µ0n de Ei et Ei0 vérifient une
relation du type
µ0n
− 1 ≤ η(a)
µn
où lim η(a) = 0, et cette quantité est indépendante de n.
a→0
Les nombres BEi (λ) et BEi0 (λ) (ce dernier désignant le nombre de valeurs propres inférieures à λ pour le domaine Ei0 ) satisfont donc à une inégalité analogue :
BEi0 (λ)
− 1 ≤ δ(a)
BEi (λ)
où lim δ(a) = 0.
a→0
55
(2.8)
Le domaine Ei0 est soit un triangle rectangle, dont les côtés adjacents à l’angle droit ont
une longueur inférieure à 4a, soit un trapèze, et cette dernière figure peut être considérée
comme la réunion d’un rectangle dont les côtés ont une longueur inférieure à 3a, et d’un
triangle rectangle, dont les côtés adjacents à l’angle droit ont une longueur inférieure à
3a. Grâce aux résultats du paragraphe 2.5.3, on a une inégalité du type
√
BEi0 (λ) ≤ K1 a2 λ + K2 a λ
où K1 et K2 sont deux constantes, qu’on peut choisir indépendantes de a, i et λ. En
effet, d’une part, le produit K1 a2 est relié à l’aire du carré qu’on choisit en 2.5.3, qui est
majorée par 16a2 (puisque les côtés des polygones ont, par construction, une longueur
inférieure √
à 4a). D’autre part, si√on revient au paragraphe 2.5.2, on s’aperçoit que le
terme en λ est majoré par 2I λ + 2, où I est la longueur d’un quart de cercle de
rayon compris entre a/π et 4a/π. On peut ainsi écrire
1
4a
· 2π ·
= 2a
4
π
donc I ≤ aJ où J est une constante indépendante de a.
Ainsi, par (2.8), on a
√
BEi (λ) ≤ c1 a2 λ + c2 a λ
I≤
(2.9)
c1 et c2 étant deux constantes, indépendantes de a, i et de λ.
On va maintenant calculer un équivalent de A(λ), le nombre de valeurs propres pour O
∂u
inférieures ou égales à λ avec la condition aux limites ∂n
+ σu = 0, où σ est une fonction
positive continue sur Fr(O). Pour le carré Ci , 1 ≤ i ≤ r, on note Ai (λ) (respectivement
Bi (λ)) le nombre de valeurs propres pour la condition aux limites u = 0 (respectivement
∂u
= 0).
∂n
On sait, par 2.5.2, que
√
√
a2
a2
+ O( λ) et Bi (λ) = λ
+ O( λ).
4π
4π
Par une méthode analogue à celle qui a été utilisée pour un ouvert-carré, on a
Ai (λ) = λ
k
X
Ai (λ) ≤ A(λ) ≤
i=1
k
X
Bi (λ) +
i=1
r
X
BEi (λ).
i=1
Or, on sait que
√
ha2
+ O( λ),
4π
i=1
k
√
X
ha2
Bi (λ) = λ
+ O( λ),
4π
i=1
r
√
X
BEi (λ) ≤ c1 a2 rλ + K λ,
k
X
Ai (λ) = λ
i=1
où K est une constante indépendante de a et λ.
D’où l’inégalité
–
™
√
√
ha2
ha2
λ
+ O( λ) ≤ A(λ) ≤ λ
+ c1 a2 r + O( λ).
4π
4π
56
(2.10)
Puisque ar ≤ P , la quantité a2 r tend vers 0 lorsque a tend vers 0, et de plus, si l’aire
de O est notée A :
∀ ε > 0, ∃ a0 > 0, a ≤ a0 ⇒ |ha2 − A| <
Aε
.
3
Soit ε > 0, puis un tel a0 . Soit a ≤ a0 tel que toutes les inégalités ci-dessus soient
valables. L’inégalité (2.10) se réécrit
‚
ha2
1
+O √
A
λ
Œ
–
™
‚
Œ
‚
Œ
4πA(λ)
ha2 c1 4π 2
1
≤
≤
+
a r +O √
Aλ
A
A
λ
Aε
ε
ha2
ε
Puisque |ha − A| <
, on a − <
− 1 < . D’où
3
3
A
3
2
‚
1
ε
1− +O √
3
λ
Œ
4πA(λ)
ε c1 4π 2
1
≤
≤1+ +
a r+O √ .
Aλ
3
A
λ
c1 4π 2
Et puisque c1 est indépendante de a, lim
a r = 0. Ainsi, pour a suffisamment petit,
a→0 A
disons a ≤ a1 ,
‚
ε
1
1− +O √
3
λ
Œ
‚
Œ
ε ε
4πA(λ)
1
≤1+ + +O √ .
≤
Aλ
3 3
λ
Finalement, pour λ suffisamment grand, disons λ ≥ λ0 ,
1−ε≤
4πA(λ)
≤ 1 + ε.
Aλ
Ceci signifie que
∀ ε > 0, ∃ λ0 , λ ≥ λ0 ⇒
1−ε≤
4πA(λ)
≤ 1 + ε.
Aλ
Donc
4πA(λ)
= 1.
λ→+∞
Aλ
lim
En résumé, on a un théorème :
Théorème 2.5.7. Soit O un ouvert connexe borné de classe C 1 . Pour la condition aux
∂u
limites u = 0 ou ∂n
+ σu = 0, où σ est une fonction continue positive sur F r(O), le
nombre A(µ) de valeurs propres de l’équation ∆u + λu = 0 inférieures à une certaine
A
borne positive µ est équivalent à µ 4π
, où A est l’aire de O. En d’autres termes,
4πA(µ)
= 1.
µ→+∞
Aµ
lim
Ainsi, on a l’équivalent de la n-ième valeur propre λn :
λn
∼
n→+∞
57
n
4π
.
A
∂u
On avait imposé que, si la condition aux limites était ∂n
+ σu = 0, la fonction σ soit
positive. On va montrer que le théorème précédent reste valable même si σ prend des
valeurs négatives sur tout ou partie de la frontière. Pour cela, nous aurons besoin de
l’inégalité suivante :
Lemme 2.5.8. Soit O un ouvert connexe borné C 1 . Soit ϕ une fonctionZZcontinue sur O et
de classe C 1 sur O, et σ une fonction continue sur Γ. Notons D[ϕ] =
(ϕ2x + ϕ2y ) dx dy
O
ZZ
2
et H[ϕ] =
ϕ dx dy. On a :
O
∃ C, α ∈ R+ ,
Z
2
È
È
σϕ ds ≤ C D[ϕ] H[ϕ] + αH[ϕ],
Γ
et les constantes C, α sont indépendantes de ϕ.
La démonstration de ce lemme est longue et technique : elle est donnée en annexe.
Soit O un ouvert connexe borné C 1 de frontière Γ. Soit σ une fonction continue quelconque sur Γ, notons µn la n-ième valeur propre de l’équation ∆u + λu = 0 avec la
∂u
+ σu = 0 sur Γ, et λn la n-ième valeur propre de cette équation
condition aux limites ∂n
pour la condition u = 0 sur Γ. On sait que µn ≤ λn (par le théorème 2.4.5).
Pour prouver l’affirmation, nous allons encadrer D[ϕ], puis utiliser la propriété du
maximum-minimum des valeurs propres pour obtenir un encadrement de µn . Il suffit
donc de se restreindre aux fonctions ϕ telles que µn ≤ D[ϕ] ≤ λn + 1, puisque c’est
parmi ces fonctions que se trouvera une fonction ϕ telle que D[ϕ] = µn . On supposera
de plus que H[ϕ] = 1, ce qui revient à normaliser les fonctions ϕ.
Soit une telle fonction ϕ. Par le lemme précédent :
∃ C, α ∈ R+ ,
Z
2
È
σϕ ds ≤ C D[ϕ] + α
Γ
et les constantes C, α sont indépendantes de ϕ.
Par définition de D[ϕ], on en déduit l’inégalité
È
È
D[ϕ] − C D[ϕ] − α ≤ D[ϕ] ≤ D[ϕ] + C D[ϕ] + α.
(2.11)
Puisque D[ϕ] ≤ λn + 1, on a
È
D[ϕ] − C D[ϕ] − α − 1 ≤ λn .
È
Pour n suffisamment grand, disons supérieur à N0 , on a 12 D[ϕ] ≥ C D[ϕ] + α + 1, car
le maximum-minimum de D[ϕ], qui est la n-ième valeur propre pour le problème avec
∂u
condition aux limites ∂n
= 0, tend vers +∞. D’où, pour N ≥ N0 :
D[ϕ] ≤ 2λn .
Or λn = n
√
4π
+ θ(n) n, où θ est bornée, donc en réutilisant l’inégalité (2.11) :
A
√
√
D[ϕ] − K n ≤ D[ϕ] ≤ D[ϕ] + K n
(2.12)
où K est une constante indépendante de ϕ.
58
Cette relation est également valable pour le minimum des différents membres de l’inégalité avec les conditions d’orthogonalité H[ϕ, vk ] = 0 pour des fonctions v1 , . . . , vn−1
données, et donc est aussi valable pour le maximum-minimum de ces expressions. Le
maximum-minimum de D[ϕ] est la n-ième
√ valeur propre ρn pour la condition aux limites
∂u
4π
=
0,
et
on
sait
que
ρ
=
n
+
O(
n). On a donc
n
∂n
A
µn = n
√
4π
+ O( n)
A
ce que nous voulions prouver.
Nous avons finalement obtenu la loi asymptotique pour un ouvert connexe borné de
classe C 1 . L’objet du prochain paragraphe est d’obtenir un ordre de grandeur du terme
.
d’erreur A(λ) − 4πA(λ)
Aλ
59
2.5.6
Estimation du terme d’erreur
Pour obtenir cette estimation, il faut affiner l’approximation de l’ouvert O par les carrés.
On commence par partitionner le plan avec des carrés de côté 1 : on note k0 (éventuellement nul) le nombre de tels carrés contenus dans O, et C10 , . . . , Ck00 ces carrés. On divise
maintenant chaque carré de la partition en 4 carrés de côté 1/2, et on note k1 le nombre
de tels carrés contenus dans O qui ne sont pas contenus dans un des Ci0 ; on désigne par
C11 , . . . , Ck11 ces carrés. Par récurrence, après m itérations de ce procédé, on a km carrés
C1m , . . . , Ckmm , de côté 1/2m , qui sont contenus dans O mais dans aucun autre des carrés
précédents.
Comme dans le paragraphe précédent, on construit E1 , . . . , Er les r domaines adjacents
à la frontière ; le nombre a est égal à 1/2m . On a les inégalités
ki
≤ P,
2i
i = 0, . . . , m − 1,
r
≤P
2m
(2.13)
où, comme avant, P désigne le périmètre de O.
On note Aji (λ) (respectivement AEi (λ)) le nombre de valeurs propres inférieures à λ
pour le domaine Qji (respectivement Ei ) avec la condition aux limites u = 0, et Bij (λ)
(respectivement BEi (λ)) le nombre de valeurs propres inférieures à λ pour le domaine
∂u
= 0. On a :
Qji (respectivement Ei ) avec la condition aux limites ∂n
k
j
m X
X
k
Aji (λ)
≤ A(λ) ≤
j=0 i=1
j
m X
X
j=0 i=1
Bij (λ) +
r
X
BEi (λ).
i=1
On sait, avec les paragraphes 2.5.2 et 2.5.4, que
k
j
m X
X
j=0 i=1
Bij (λ)
™
kj
kj √
c1
c2 √
+
BEi (λ) ≤
+ K j λ + 2m rλ + m r λ
λ
2j
4π2
2
2
2
i=1
j=0
–‚ m
™
–‚ m
™
Œ
Œ
√
X
X
kj
kj
c1
c2
K j + mr
= λ
+ 2m r + λ
2j
2
2
2
j=0 4π2
j=0
–‚ m
™
–‚ m
Œ
Œ
™
√
X
X k
kj
c1
r
j
≤ λ
+ 2m r + K1 λ
+ m
2j
j
2
2
j=0 4π2
j=0 2
r
X
m
X
–
où K, c1 , c2 sont des constantes indépendantes de m et λ, et K1 = max(K, c2 ).
Or, par les inégalités (2.13), on a
‚
‚
m
X
m
X
kj
j
j=0 2
Œ
+
r
≤ P (m + 2).
2m
Œ
kj
Et la différence A −
est d’ordre 1/22m (c’est l’aire de la réunion
2j
4π2
j=0
2m
majorée par 36r/2 ), donc on peut écrire
–‚
m
X
kj
2j
j=0 4π2
Œ
™
c1
r
P c3
+ 2m r ≤ A + c3 2m ≤ A + m .
2
2
2
où c3 est une constante indépendante de m et λ.
60
Sr
i=1
Ei ,
Le membre de droite de l’inégalité est donc majoré par

√
√ ‹
P c3
c3
A
1
A + m λ + P (m + 2) λ = λ
+ P λ m + K1 (m + 2) λ .
4π
2
4π
2
Pour m ≥ 2, on a 2m ≥ m + 2 ; en notant C = P · max(c3 , 2K1 ), on a finalement
A
A(λ) ≤ λ
+C
4π
‚
√
λ
+m λ
m
2
Œ
où C est une constante, indépendante de λ et de m (car C est construite en prenant
successivement des maximums de constantes ne dépendant ni de λ ni de m).
Une étude de la fonction
√
λ
x 7→ x + x λ
2
montre qu’elle admet un minimum en x0 =
est négatif, donc x0 ≤
‚
C
ln(λ) ln(ln(2))
+
. Puisque ln(2) < 1, ln(ln(2))
ln(4)
ln(4)
ln(λ)
= x1 . On choisit maintenant m = E(x1 ), et on obtient
ln(4)
√
λ
+
m
λ
2m
Œ
≤
=
=
=
≤
!
ln(λ) √
C
λ
+
ln(λ)
−1
ln(4)
ln(4)
2
–
‚
Œ
™
ln(2) · ln(λ)
ln(λ) √
C exp ln(λ) −
+
λ
ln(4)
ln(4)
–
‚
™
Œ
ln(λ)
ln(λ) √
C exp ln(λ) −
λ
+
2
ln(4)
–
™
√
ln(λ) √
C λ+
λ
ln(4)
√
2C λ ln(λ) pour λ suffisamment grand.
λ
Finalement
√
A
+ 2C λ ln(λ).
(2.14)
4π
Puisque le membre de gauche de l’inégalité ne différait du membre de droite que par le
c1
c2 √
terme 2m rλ + m r λ, le membre de gauche a également la forme (2.14).
2
2
A(λ) ≤ λ
Par ailleurs, l’inégalité (2.12) montre que ce résultat est valable même si σ n’est plus
une fonction positive.
D’où le théorème :
Théorème 2.5.9. (Estimation du terme d’erreur)
Soit O un ouvert connexe borné de classe C 1 . Soit A(µ) le nombre de valeurs propres
de l’équation ∆u + λu = 0 inférieures à une certaine borne positive µ pour la condition
∂u
aux limites u = 0 ou ∂n
+ σu = 0, où σ est une fonction continue sur F r(O). Alors
A(µ) − µ
A
√
= O( µ ln(µ)).
4π
61
Annexe
Théorème de Gauss-Ostrogradski
Soit P : R2 → R une fonction continue telle que la dérivée partielle Py soit continue.
Considérons un “trapèze curviligne de première espèce” (T ), c’est-à-dire un domaine du
plan délimité par une courbe (∂T ) = (P QRS) telle que (P S) et (QR) soient parallèles
à l’axe (Oy), et que (P Q) et (SR) puissent être paramétrées de la façon suivante :
(P Q) : y = y0 (x), x ∈ [a, b]
(SR) : y = Y (x), x ∈ [a, b]
avec y0 et Y des fonctions continues (voir figure ci-dessous). a est l’abscisse commune
de P et S, et b est celle de Q et R.
Fig. 2.9 – Trapèze curviligne de première
espèce
ZZ
Calculons l’intégrale
T
Py dx dy. Par le théorème de Fubini, on a :
ZZ
Z
T
Py dx dy =
b
a
Z b
=
‚Z
Œ
Y (x)
y0 (x)
Py dy dx.
Z
P (x, Y (x)) dx −
a
b
a
62
P (x, y0 (x)) dx.
Et on a :
Z
b
Z
a
b
Z
P (x, Y (x)) dx =
a
P (x, y) dx,
Z
P (x, y0 (x)) dx =
(SR)
P (x, y) dx.
(P Q)
Remarquons ensuite que
Z
Z
P (x, y) dx =
P (x, y) dx = 0,
(QR)
(SP )
puisque (QR) et (SP ) sont parallèles à (Oy). On a donc :
ZZ
Z
T
Py dx dy =
Z
P (x, y) dx −
(SR)
Z
=
P (x, y) dx
(QP )
Z
=
Z
P (x, y) dx +
(SR)
P (x, y) dx
(QP )
Z
Z
−
P (x, y) dx −
(QR)
Z
=
P (x, y) dx
(SP )
Z
P (x, y) dx +
(SR)
Z
Z
P (x, y) dx +
(RQ)
ZZ
P (x, y) dx
(P S)
Z
Py dx dy = −
P (x, y) dx
(QP )
+
T
(P Q)
P (x, y) dx +
(SR)
soit
P (x, y) dx
Z
P (x, y) dx.
∂T
Il faut faire attention au signe devant l’intégrale curviligne : la convention est, pour
l’intégrale, qu’on parcourt le chemin dans le sens direct. On a donc le résultat suivant :
Proposition. Soit T un trapèze curviligne de première espèce délimité par son bord ∂T .
Si P : R2 → R est une fonction continue sur T telle que sa dérivée partielle Py soit
continue sur T , alors
ZZ
Z
T
Py dx dy = −
P (x, y) dx.
∂T
Nous allons étendre ce résultat à d’autres types de domaines. Remarquons que si un
domaine D du plan est décomposable en deux trapèzes curvilignes de première espèce,
alors on a
ZZ
Z
D
Py dx dy = −
63
P (x, y) dx.
∂D
Fig. 2.10 – Le domaine D
En effet, par hypothèse, on peut décomposer D comme sur la figure ci-dessus. Notons
D1 et D2 les deux domaines délimités par (P QT U ) et (QRST ) respectivement. On a
alors :
ZZ
ZZ
D
Py dx dy =
ZZ
D1
Py dx dy +
D2
Z
= −
Py dx dy
Z
P (x, y) dx −
∂D1
P (x, y) dx.
∂D2
puisque la proposition a déjà été montrée pour D1 et D2 . Et on a :
Z
Z
−
Z
P (x, y) dx −
∂D1
Z
P (x, y) dx = −
∂D2
P (x, y) dx −
Z
(P Q)
−
Z
P (x, y) dx −
Z
(T U )
−
P (x, y) dx
(U P )
Z
P (x, y) dx −
Z
(QR)
−
P (x, y) dx
(RS)
Z
P (x, y) dx −
(ST )
Z
P (x, y) dx
(QT )
P (x, y) dx
(T Q)
Z
P (x, y) dx +
On a
(QT )
P (x, y) dx = 0, et donc, en regroupant les termes restants,
(T Q)
on constate que
Z
−
Z
Z
P (x, y) dx −
∂D1
Z
P (x, y) dx = −
∂D2
P (x, y) dx −
Z
(P R)
−
Z
P (x, y) dx −
Z
(SU )
= −
P (x, y) dx
∂D
et finalement
ZZ
Z
D
Py dx dy = −
ce qui constitue le résultat voulu.
64
P (x, y) dx
(RS)
P (x, y) dx.
∂D
P (x, y) dx
(U P )
On en déduit l’important résultat suivant :
Proposition. Soit D un domaine du plan qu’il est possible de partitionner en un nombre
fini de trapèzes curvilignes de première espèce. Si P : R2 → R est une fonction continue
sur D telle que sa dérivée partielle Py soit continue sur D, alors on a
ZZ
Z
D
Py dx dy = −
P (x, y) dx.
∂D
si ∂D est le bord du domaine D.
On peut maintenant étendre ce résultat aux domaines bornés délimités par une courbe
continue :
Proposition. Soit D un domaine du plan tel que ∂D soit une courbe continue. Si
P : R2 → R est une fonction continue sur D telle que sa dérivée partielle Py soit
continue sur D, alors on a
ZZ
Z
D
Py dx dy = −
P (x, y) dx.
∂D
Démonstration. Premier cas : Si D est un polygone quelconque, le théorème est vrai,
car on peut décomposer un polygone en triangles et en trapèzes curvilignes de première
espèce, comme le montre la figure suivante :
Fig. 2.11 – Un polygone D
et le triangle est un cas particulier de trapèze curviligne.
Deuxième cas : Si D est un domaine quelconque, on approxime ∂D par une “ligne
polygonale” LN , c’est-à-dire une juxtaposition de segments [Ai Ai+1 ] où les Ai sont des
points de ∂D, pour i = 1, . . . , N , avec A1 = AN (de sorte que LN soit fermée). On note
KN le polygone délimité par LN , et on choisit les lignes polygonales de manière que la
longueur du plus grand côté de LN tende vers 0 quand N tend vers +∞.
65
On a alors, puisque le théorème est vrai pour KN :
ZZ
KN
ZZ
Py dx dy = −
P (x, y) dx.
LN
ZZ
On a lim
N →+∞
Z
KN
Py dx dy =
D
Py dx dy, et on a le résultat suivant :
Lemme. Pour toute courbe fermée L continue, si les LN sont des lignes polygonales
approximant L au sens précédent, on a, avec les mêmes notations :
Z
Z
lim
N →+∞ LN
P (x, y) dx =
P (x, y) dx
L
Z
et lim
Z
N →+∞ LN
P (x, y) dy =
P (x, y) dy.
L
Démonstration du lemme. Il suffit de montrer la première égalité, la démonstration de
la seconde étant identique. Soit ε > 0. Notons ∆xi = Ai Ai+1 et Pi = P (Ai ). Soit N0 le
rang à partir duquel
Z
L
P (x, y)dx −
X
Pi ∆xi ≤ ε
i
et tel qu’on ait :
∀ i, ∀M ∈ [Ai Ai+1 ],
|P (M ) − Pi | ≤ ε
(c’est possible car P est continue sur les Lk , qui sont des compacts, donc est uniformément continue sur les Lk , et la longueur du plus grand segment composant les Lk tend
vers 0). Soit N ≥ N0 .
On sait que, d’une part
Z
P (x, y) dx =
LN
X
Z
P (x, y) dx,
[Ai Ai+1 ]
i
et d’autre part
X
Pi ∆xi =
i
D’où :
Z
P (x, y) dx =
X
Z
[Ai Ai+1 ]
i
X
LN
Pi ∆xi +
X
i
Pi dx.
Z
[Ai Ai+1 ]
i
[P (x, y) − Pi ] dx,
Et enfin :
Z
Z
P (x, y) dx −
L
P (x, y) dx
LN
=
Z
L
−
≤
X
Pi ∆xi
i
X
Z
L
+
P (x, y) dx −
Z
[Ai Ai+1 ]
i
[P (x, y) − Pi ] dx
P (x, y) dx −
X
i
X
Z
[Ai Ai+1 ]
Pi ∆x
i
L
Z
P (x, y) dx −
LN
P (x, y) dx ≤ ε + ε
X
Ai Ai+1
i
≤ ε(1 + L).
66
i
|P (x, y) − Pi | dx
de sorte que
Z
D’où le lemme.
Il ne reste qu’à faire tendre N vers +∞ pour obtenir
ZZ
Z
D
Py dx dy = −
P (x, y) dx.
∂D
ce qui achève la démonstration du théorème.
On énonce maintenant des résultats analogues, pour la dérivée suivant la première variable.
Soit Q : R2 → R une fonction continue telle que la dérivée partielle Qx soit continue.
Considérons un “trapèze curviligne de deuxième espèce” (T 0 ), c’est-à-dire un domaine du
plan délimité par une courbe (∂T 0 ) = (P QRS) telle que (P Q) et (SR) soient parallèles
à l’axe (Ox), et que (P S) et (QR) puissent être paramétrées de la façon suivante :
(P S) : x = x0 (y), y ∈ [c, d]
(QR) : x = X(y), y ∈ [c, d]
avec x0 et X des fonctions continues (voir figure ci-dessous). c est l’ordonnée commune
de P et Q, et d est celle de R et S.
Fig. 2.12 – Trapèze curviligne de deuxième
espèce
On montre de la même façon que précédemment la proposition suivante :
67
Proposition. Soit T 0 un trapèze curviligne de seconde espèce délimité par son bord ∂T 0 .
Si Q : R2 → R est une fonction continue sur T 0 telle que sa dérivée partielle Qx soit
continue sur T 0 , alors
ZZ
Z
T
Qx dx dy =
0
∂T 0
Q(x, y) dy.
et sa généralisation :
Proposition. Soit D un domaine du plan tel que ∂D soit une courbe continue. Si
Q : R2 → R est une fonction continue sur D telle que sa dérivée partielle Qx soit
continue sur D, alors
ZZ
Z
T0
Qx dx dy =
∂T 0
Q(x, y) dy.
De tous ces résultats, on déduit un théorème de Gauss :
Théorème. (Formule de Gauss)
Soit D un domaine du plan tel que ∂D soit une courbe continue. Si P : R2 → R et
Q : R2 → R sont deux fonctions continues sur D telle que les dérivées partielles Py et
Qx soient continues sur D, alors on a
ZZ
Z
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
D
∂D
(Qx − Py ) dx dy.
On va déduire de ce résultat une autre formule. En remplaçant dans cette expression P
par −Q et Q par P , on obtient :
ZZ
Z
P (x, y) dy − Q(x, y) dx =
D
∂D
(Px + Qy ) dx dy.
On sait que, si s est l’abscisse curviligne d’un point de la courbe, l’angle α(s) entre l’axe
(Ox) et le vecteur tangent local T~ vérifie cos(α(s)) = x0 (s), sin(α(s)) = y 0 (s). On a
donc, si s varie entre 0 et S :
Z
Z
S
P (x, y) dy − Q(x, y) dx =
∂D
Z
S
=
Z
[P (x(s), y(s))y 0 (s) − Q(x(s), y(s))x0 (s)] ds
0
[P (x(s), y(s)) sin(α(s)) − Q(x(s), y(s)) cos(α(s))] ds
0
[P (x(s), y(s)) sin(α(s)) − Q(x(s), y(s)) cos(α(s))] ds.
=
∂D
Si β(s) désigne l’angle que fait ~n avec l’axe (Ox), on a β(s) = α(s) −
Z
π
, et donc :
2
Z
P (x, y) dy − Q(x, y) dx =
∂D
[P (x(s), y(s)) cos(β(s)) + Q(x(s), y(s)) sin(β(s))] ds.
∂D
D’où le résultat final :
Théorème. (Formule de Gauss-Ostrogradski)
Soit f~ : R2 → R2 un champ de vecteurs de classe C 1 sur un ouvert U . Si la frontière Γ
de U est une courbe continue de classe C 1 par morceaux, on a :
ZZ
div(f~) dx dy =
U
Z
f~ · ~n ds.
Γ
68
Lemme 2.5.8
Pour démontrer ce lemme, nous avons d’abord besoin d’un autre résultat :
Lemme. Soit O ⊂ R2 un ouvert connexe borné C 1 de frontière Γ. Il existe un champ de
vecteurs F~ : O → R2 de classe C ∞ tel que
F~ · ~n ≥ 1 sur Γ.
Démonstration du résultat préliminaire. Soit A ∈ Fr(O), considérons le point B de R2
−→
−→
tel que BA = 2 ~n(A), de sorte que BA·~n(A) = 2. Puisque O est de classe C 1 , l’application
−−→
M 7→ ~n(M ) est continue, donc l’application M 7→ BM · ~n(M ) est continue. Il existe
alors VA , un voisinage ouvert de A tel que
−−→
∀ C ∈ VA ∩ Fr(O), BC · ~n(C) > 1.
Il est clair que
[
Fr(O) ⊂
VA ;
A∈F r(O)
puisque Fr(O) est un compact de R2 , on peut extraire de ce recouvrement un sousrecouvrement fini : il existe un entier k > 0, k points A1 , . . . , Ak ∈ Fr(O) et les points
B1 , . . . , Bk correspondants tels que
Fr(O) ⊂
k
[
VAi .
i=1
On se donne enfin une partition de l’unité associée à VA1 , . . . , VAk , c’est-à-dire des fonctions θi : R2 → R (1 ≤ i ≤ k) de classe C ∞ telles que
1. θi ≥ 0 ∀ i,
2. ∀ i, θi est identiquement nulle en-dehors d’un compact KAi ⊂ VAi ,
3.
Pk
i=1 θi
≡ 1.
On définit alors un champ de vecteurs F~ par
∀ M ∈ R2 , F~ (M ) =
k
X
−−→
θi (M )Bi M .
i=1
F~ est le champ de vecteurs recherché. En effet, il est clairement de classe C ∞ , et, si on se
donne un point M ∈ Fr(O) ainsi que l’ensemble I des indices i pour lesquels θi (M ) 6= 0,
on a
F~ (M ) · ~n(M ) =
k
X
i=1
=
X
−−→
θi (M )Bi M · ~n(M )
−−→
θi (M )Bi M · ~n(M )
i∈I
≥
X
θi (M )
i∈I
=
k
X
θi (M )
i=1
= 1.
69
Démonstration du lemme 2.5.8. On se donne un champ de vecteurs F~ = (F1 , F2 ) comme
précédemment. En notant ~n = (n1 , n2 ), on a, à l’aide du théorème de Gauss-Ostrogradski :
ZZ
ZZ
ZZ
~ dx dy +
u(F~ · ∇u)
2
O
div(F~ ) u2 dx dy = 2
O
O
[F1 (u2 )x + F2 (u2 )y ] dx dy
ZZ
+
O
Z
[(F1 )x + (F2 )y ] u2 dx dy
u2 (F~ · ~n) ds
=
Γ
Z
u2 ds.
≥
Γ
On conclut en remarquant que
ZZ
ZZ
2
O
~ dx dy ≤ kF~ k∞, O
u(F~ · ∇u)
O
(uux + uuy ) dx dy
ÊZZ
≤ kF~ k∞, O
√
≤
ÊZZ
ZZ
u2
O
O
ÊZZ
2kF~ k∞, O
u2x
ZZ
u2
+
O
O
u2y
ZZ
O
(u2x + u2y ) ·
u2
O
√
√ √
√
(on a utilisé ici l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité a + b ≤ 2 a + b) ; par
ailleurs
ZZ
ZZ
2
~
~
div(F ) u dx dy ≤ k div(F )k∞, O
u2 dx dy.
O
O
Soit maintenant σ une fonction continue
sur Fr(O) et ϕ une fonction continue sur O et
√
1
~
de classe C sur O. Notons K1 = 2kF k∞, O , K2 = k div(F~ )k∞, O , on a
Z
Γ
2
σϕ ds
Z
ϕ2 ds
≤ sup |σ|
Γ
Γ
È
È
≤ K1 · sup |σ| D[ϕ] H[ϕ] + K2 · sup |σ|H[ϕ].
Γ
Γ
Finalement, en notant C = K1 · sup |σ| et α = K2 · sup |σ| qui sont deux constantes
Γ
Γ
indépendantes de ϕ, on a
Z
2
È
È
σϕ ds ≤ C D[ϕ] H[ϕ] + αH[ϕ].
Γ
70
Remerciements
Merci à M. Vilmos KOMORNIK, pour son aide et ses conseils très précieux.
71
Notations
– Re(z) : partie réelle du nombre complexe z.
– D((x0 , y0 ), R) : disque ouvert de centre (x0 , y0 ) et de rayon R.
– D((x0 , y0 ), R) : disque fermé de centre (x0 , y0 ) et de rayon R.
– C((x0 , y0 ), R) : cercle de centre (x0 , y0 ) et de rayon R.
– X : adhérence de l’ensemble X.
– X̊ : intérieur de l’ensemble X.
– Fr(X) = X \ X̊ : frontière de l’ensemble X.
– δij = 1 si i = j, 0 sinon : le symbole de Kronecker.
– ~n(M ) : vecteur normal unitaire sortant à une courbe en un point M .
– E(x) : partie entière du réel x.
Les notations suivantes concernent les fonctions de deux variables et les champs de
vecteurs.
– fx : dérivée partielle première de la fonction f par rapport à la variable x.
– fxx : dérivée partielle seconde de la fonction f par rapport à la variable x.
∂f
– ∂n
: dérivée normale de la fonction f .
~ = (fx , fy ) : gradient de f .
– ∇f
– div(F~ ) = (F1 )x + (F2 )y : divergence du champ de vecteurs F~ = (F1 , F2 ).
~ ) = fxx + fyy : laplacien de f .
– ∆f = div(∇f
72
Bibliographie
[1] I. G. Petrovsky. Lectures on partial differential equations. Interscience Publishers,
Londres, 1954.
[2] R. Courant and D. Hilbert. Methods of mathematical physics, Vol. 1. Interscience
Publishers, Londres, 1953.
[3] G. M. Fichtenholz. Differential und Integralrechnung, Vol. 3. Deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin, 1987.
73