Thème 3 Théorie cinétique des gaz ∫ ∫

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Thème 3
Théorie cinétique des gaz
Questionnaire
1ère Question : Vrai ou Faux : un gaz parfait est caractérisé par les hypothèses suivantes :
 Les molécules constituant le gaz sont de dimensions négligeables par rapport à la
distance entre particules.
 Les collisions sont élastiques.
 Le milieu est isotrope
 Les molécules constituants le gaz ne sont pas toutes à la même température.
2ème Question : La température cinétique d’un gaz est définie à partir de l’énergie cinétique
moyenne c'est-à-dire à partir de :
 La vitesse moyenne des particules.
 La vitesse la plus probable.
 La vitesse quadratique.
 La vitesse de dérive du gaz.
Si l’on considère que les vitesses des particules dans un gaz sont régies par une distribution de
Maxwell–Boltzmann )(
υ
f, dans ce cas, nous avons :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=Tk
m
Tk
m
f
bb 2
exp4
2
)( 2
2
2/3
υ
υπ
π
υ
Vitesse moyenne : =⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅⋅=>< ∫∫ ∞∞
0
2
3
2/3
02
exp4
2
)(
υ
υ
υπ
π
υυυυ d
Tk
m
Tk
m
df
bb m
Tkb
⋅ π
8
Vitesse la plus probable : =⇔=⇔⇔ pppp d
df
imumf
υ
υ
υ
υυ 0
)(
max)( mTkb
2
Vitesse quadratique : =⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅=><= ∫∫ ∞∞
0
2
4
2/3
0
22 2
exp4
2
)(
υ
υ
πυ
π
υυυυυ d
Tk
m
Tk
m
df
bb
qd mTkb
3

2
2
Vitesse de dérive : La vitesse de dérive désigne la vitesse à laquelle un objet est déporté par
rapport à une trajectoire initiale ou prévue, sous l'influence de différents facteurs (le vent pour
un bateau ou un aéronef, un champ magnétique pour une particule électriquement chargée).
Energie Cinétique moyenne : =⋅>=<>=< 2
22
1
2
1qdc mmE
υυ
Tkb
2
3
3ème Question : La pression est homogène à :
 Une force par unité de surface.
 Un travail par unité de temps.
 Une masse volumique.
 Un nombre de moles par unité de volume.
Un petit rappel sur les unités et les équations homogènes ne fera pas de mal.
[Masse] = [kg] ; [Nbre mol] = [mol] ; [Volume] = [m3] ; [R] = [J.K-1.mol-1]
[Joules] = [mV2] = [kg•m2•s-2] ; [Force] = [mg] = [kg•m•s-2] ; [Travail] = [F.dL] = [kg•m2•s-2]
donc
Force par unité de surface : [Force] / [Surface] = [kg.m-1.s-2]
Travail par unité de temps : [Travail] / [Temps] = [kg.m2.s-3]
Masse volumique : [Masse] / [Volume] = [kg.m-3]
Nombre de moles par unité de volume : [Nbre mol] / [Volume] = [mol.m-3]
Et la pression : 21
3
11
][ ][][][
][ ][][][
][ −−
−−
⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=smkg
mKmolKJmol
VTRmoldeNbre
P

3
3
Exercices
Exercice 1 :
Calculer la distance moyenne entre deux particules dans l’air pour des conditions normales (P
= 1 atm et T = 273 K). Vérifier alors que la taille des particules est petite devant la distance
moyenne entre particules.
Toutes les particules dans l’air sont contenues dans un volume V qui impose la distance
moyenne entre deux particules. Considérons une mode d’air, soit 23 10022141179,6 ⋅=
A
N
particules dans cette mole. Ces particules occupent un volume V qui vaut V=22,4 litres pour
une mole. On peut donc remonter au volume moyen occupé par une seule particule,
soit Amoyen NV=
υ
. Si l’on considère que ce volume moyen occupé par une particule est un
cube, nous obtenons :
nm
N
V
d
N
V
dd
AA
moyen 3
3
1
33 =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒=⇒= υ
On sait que l’ordre de grandeur de la dimension d’un atome est celui d’un atome d’hydrogène
H, dont le rayon de Bohr (taille de l’atome H) est AaO529,0
=
. On peut donc en conclure que
la taille d’une molécule d’oxygene O2 ou d’azote N2 est de l’ordre de 1A soit 0,1nm. La taille
des particules (0,1nm) est donc bien inférieure à la distance moyenne entre particules (3nm).
Exercice 2 :
On considère un gaz parfait monoatomique, le néon, de densité atomique volumique nv, dans
des conditions T et P de pression et de température. On assimile les atomes de néon à des
sphères dures de rayon RNe = 1,6.10-10 m. La masse molaire du néon s'élève à 20,2 g/mol.
Pour info : Rappeler l'expression de la vitesse quadratique moyenne des atomes de néon. La
calculer dans les conditions normales de température et de pression (P = 1 atm et T = 273 K).
M
RT
m
Tkb
qd 3
3==
υ
soit 1
355,18
2,20 27331,83 −
⋅=
××
=sm
qd
υ
1. Calculer la densité atomique volumique nv.
La densité volumique représente le nombre de particules par unité de volume soit :
Tk P V
N
nn
b
tot
OV ⋅
=== soit 325
23
5
Vm/particules108,2
2731038,1 10013,1
n⋅=
×⋅
×
=−

4
4
2. Donner l’ordre de grandeur du libre parcours moyen l et la fréquence de collision ν.
La théorie cinétique des fluides permet d'accéder à la fréquence des collisions col
ν
et au libre
parcours moyen L. Le libre parcours moyen L se définit comme la distance parcourue par une
particule entre deux chocs successifs (vitesse moyenne rapportée au nombre de collisions) et
la fréquence des collisions représente le nombre de chocs col N
Δ
par unité de temps.
col
col
col L
t
N
ν
υ
ν
><
=
Δ
Δ
=;
Pour l'évaluer, on fait appel à la notion de cylindre de collision.
Soit d le diamètre des particules se déplaçant en ligne droite entre deux chocs. Il suffit de
positionner quelques particules environnantes et regarder si elles peuvent entrer en collision
(oui) ou pas (non). Pour qu’il y ait collision, il suffit donc que le centre de chaque particule
soit contenu dans un cylindre de rayon d. Dès que le centre se trouve en dehors de ce cylindre,
la collision ne peut avoir lieu. On peut donc caractériser chaque particule par sa surface de
collision S= π ×d 2.
Pendant un temps Δt, une particule parcourt donc la distance tD
Δ
×
=
υ
. Ces particules iront
frappées d’autres particules dans un volume tdDSV Δ×=×=
υπ
2. Si tot
N désigne le nombre
total de particules contenues dans ce volume V, le nombre total de chocs ΔNc se produisant
pendant l'intervalle de temps Δt sera donné par le produit du nombre total de particules tot N et
de la fraction volumique occupée par le cylindre de collision. Toutefois comme la particule A
n'est pas immobile, la vitesse qu'il faut prendre en compte pour calculer la longueur du
cylindre n'est pas la vitesse moyenne des particules >
<
υ
mais leur vitesse relative moyenne
>< relative
υ
qui dépend de la masse réduite µ :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛Δ⋅><⋅
×=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛Δ×
×=Δ Vt N
Vtpendantparcouruelongueur
NN relative
tottotcol
υσ
σ ___

5
5
La loi de distribution des vitesses de Maxwell permet d'accéder à cette vitesse relative
moyenne qui ne dépend que de la température T du milieu et de la masse m des particules qui
entrent en collision:
relative
b
b
relative
b
relative
relative Tk
d
TkTk
df
μπ
υ
υμ
υπ
π
μ
υυυυ
⋅
=⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅⋅=>< ∫∫ ∞∞ 8
2
exp4
2
)(
0
2
3
2/3
0
comme mmm
relative
211
1
21
=+=
μ
alors m
Tkb
relative ⋅
=><
π
υ
4
La fréquence des collisions col
ν
sera donc:
T
N
R
N
M
Pd
Tmk
Pd
m
Tk
d
V
N
V
N
t
N
AA
b
btot
relative
totcol
col
⋅
⋅
⋅=
⋅
⋅=⋅⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>=<⋅⋅=
Δ
Δ
=
π
π
π
π
π
πυσ
ν
22
2444
On en déduit le libre parcours moyen L:
222 222
1
8
1
dP
T
N
R
dP
Tk
d
N
V
m
Tk
LA
b
tot
b
colcol
πππ
πνν
υ
⋅
=
⋅
=⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⋅
⋅=
><
=
Correction de Philippe :
Le Libre parcours moyen est donné par la relation suivante :
()
2
2
11
e
N
Rn
n
L
π
συ
υ
⋅
=
⋅
=
Où σ est la section efficace (en m²) de collision élastique. Pour des sphères dures, cette
section efficace vaut 2
e
N
R πσ =. Dans ce cas, la fréquence de collision est donnée par la
relation suivante :
m
Tk
LmoyenparcoursLibre moyenneVitesse Lb
col
π
υ
τ
ν
8
11 ⋅== ><
==
Où τ est le temps moyen entre deux collisions.
Applications numériques :
(
)
sec5
273
10022141179,6 31,8 10022141179,6 102,20
10013,1106,12
4
2323
3
5
2
10 parchocsXXXXXX
col ⋅⋅=
×
⋅
×
⋅
⋅
⋅×⋅××
⋅= −
−
π
π
ν