Partie 1

Chp4 Interactions: §1 diagrammes Feynman
I-1 - 1
Chp4. Interactions §1. Introduction aux diagrammes de Feynman :
processus virtuels ou réels.
I1.1
Idées de base et définitions
On suppose que les particules de matière se propagent librement sauf en certains points de l'espacetemps où elles interagissent par émission et absorption de bosons. → diagramme de Feynman1:
graphe permettant de représenter de manière symbolique le déroulement spatio-temporel des
processus d'interaction entre particules.
Chaque ligne orientée représente une particule qui peut être de 3 types:
temps
Symboles :
electron
Particule de matière
Antiparticule
Boson d'interaction
Un vertex est le point de rencontre de 3 lignes.
Illustrons les processus les plus simples d'interactions électromagnétiques pour des électrons e− et
des positrons e+.
1
Les règles de Feynman permettent d'associer à chaque diagramme une amplitude de transition @ permettent de
calculer une probabilité (P = A2), en clair des sections efficaces σ de réaction et des taux de désintégrations Γ.
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@ Les processus électromagnétiques de base correspondent à des transitions dans lesquelles un
électron saute d'un état vers un autre avec émission (a) ou absorption (b) d'un photon (transitions
(a)
entre états à énergie positive) :
e− → e− + γ
(b)
e− + γ → e−
Ils peuvent être représentés par les diagrammes suivants :
où l'axe des temps va de la gauche vers la droite.
Il existe des diagrammes similaires pour les processus concernant les positrons :
e+ → e+ + γ
(c)
(d)
e+ + γ → e+
Les processus d'annihilation et de production
diagrammes suivants:
e+ + e − → γ
γ → e+ + e −
de paires e+e− peuvent être représentés par les
(e)
(f)
Chacun de ces processus de base est caractérisé par une amplitude proportionnelle au couplage du
photon aux particules chargées (ici e− ou e+) : @ la charge (ici |e|): A ÷ e
@ a une probabilité de se produire proportionnelle à e2 : σ ÷ A2 ÷ e2 ÷ α = constante de couplage
de l'interaction électromagnétique (constante de structure fine) :
1 e2
1
α EM =
≈
≈ 10−2 [sans dimension]
4 πε 0 hc 137
u
u
F2 I
P ÷ G eJ
H3 K
2
γ
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I-1 - 3
I1.2 Processus (EM) virtuels ou réels
♦ A chaque vertex, il y a conservation :
- de la charge électrique
- de l'impulsion
- du moment angulaire
- de la charge de couleur
mais, pas conservation de l'énergie; prenons l'exemple de la réaction :
e− → e− + γ
r
r
Dans le système au repos de l'électron initial, on a E 0 ,0 → E e , p + pc, − p
b g b g a
e
e
γ
f
mec2
B ∆E = Ef − Ei = Ee + pc − E0 = m 2e c 4 + p 2 c 2 + pc − m e c 2
B ∆E ≠0 et compris entre pc et 2pc : pc < ∆ E < 2pc pour toute impulsion finie.
B ce processus à 1 vertex est qualifié de virtuel.
pc
♦ Processus réels (au moins 2 vertex)
Pour qu'un processus réel puisse se réaliser, il faut combiner 2 (ou plus) processus virtuels tel que la
conservation de l'énergie ne soit violée que pendant un intervalle de temps, ∆t, très court,
compatible avec le principe d'incertitude : ∆t ⋅ ∆ E ≈ h ( h ≈ 6,58 10−22 MeV.s)
et tel que l'énergie de l'état initial (avant interaction) soit égale à l'énergie de l'état final (après
interaction).
Ceci est illustré aux figures (A) et (B) qui représentent un processus où un électron émet un photon
qui est subséquemment absorbé par un second électron. Bien que la conservation de l'énergie soit
violée au 1er vertex, ceci peut être compensé par une violation similaire (de sens contraire) au 2d
vertex pour aboutir à une conservation globale de l'énergie.
@ En pratique, on ne dessine qu'un seul diagramme car on ne peut distinguer l'ordre du temps.
Ce diagramme représente une contribution au processus de diffusion élastique :
e− + e − → e− + e −
contribution avec échange d'un seul photon : 1 photon échangé & 2 vertex.
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Mais il existe d'autres processus qui contribuent à la diffusion ee, cette fois avec échange de
plusieurs photons, soit par exemple un échange de 2 photons B 4 vertex.
Autres exemples de diagrammes à 4
vertex :
Cependant, la contribution (à la section efficace de la diffusion ee) de tels diagrammes est beaucoup
plus petite car, comme chaque vertex représente un processus dont la probabilité est de l'ordre de α,
un diagramme à 4 vertex a une probabilité de l'ordre de α4 par comparaison avec un diagramme à 2
vertex avec une probabilité de l'ordre de α2 : α2 ÷ 10−4 α4 ÷ 10−8 .
B les processus avec échange de plusieurs photons peuvent être négligés en 1ière approximation.
♦ Examinons la contribution (à l'ordre le plus bas) au processus d'annihilation : e+ + e− → γ + γ
e−
e
γ
+
Probabilité proportionnelle à α2 soit ≈ 10−4
γ
L'annihilation en 3 photons peut se réaliser : e+ + e− → γ + γ + γ mais avec une probabilité
proportionnelle à α3 soit ≈ 10−6
B processus ≈100 fois moins probable.
On parle alors de rapport : R = taux (e+ e− → 3γ) / taux (e+ e− → 2γ) = O(α) "de l'ordre de α".
Cette prédiction peut être testée pour des paires e+e− de petite énergie, en mesurant le taux de
désintégration du positronium (état lié e+e−) en 2γ et 3γ.
B La valeur expérimentale de R = 0,9 10−3. Elle est un peu plus petite que α (0,7 10−2) et certains
auteurs argumentent que α/2π = 1,2 10−3 est plus approprié comme mesure de l'intensité de
l'interaction électromagnétique. B ce qu'on entend par O(α) est 10−2 - 10−3.
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I1.3
I-1 - 5
Interactions avec échange d'un boson X virtuel
♦ considérons une interaction (diffusion) entre 2 particules de matière (fermions) se réalisant
via l'échange d'une particule X (boson de masse MX). Au point d'espace-temps A, le fermion 1 (de
quadri-impulsion p1) émet un boson d'interaction X (de quadri-impulsion q); le fermion 2 (de
quadri-impulsion p2) absorbe le boson au point d'espace-temps B. On dit que le boson X véhicule
l'interaction entre les 2 fermions avec un couplage représenté par g ou g', (équivalent de e pour le
diagramme de gauche) de la particule 1 (&3) ou de la particule 2 (& 4) à la particule X
Ex : diffusion
ep → ep
e−
e−
e
g
A
1
γ
p
e
3
X
B
g'
2
p
Plus généralement
1+ 2 → 3+ 4
4
♦
→ au vertex A, le fermion 3 a une quadri-impulsion p3 telle que : p3 = p1−q
→ au vertex B, le fermion 4 a une quadri-impulsion p4 telle que : p4 = p2 +q
⇒ et globalement le processus conserve bien l'énergie-impulsion :
p3 + p4 = p1 + p2
→ q = |p1 – p3|
♦ Chaque vertex représente un processus virtuel c-à-d qu'il s'y passe une violation de l'énergie ∆E.
Au vertex "du haut", dans le système au repos de la particule incidente 1, on a (c =1) :
r
r
E 01 ,0 → E 3 ,p + E X , − p
avec E 01 = M1 et E 3 = M 32 + p 2 & E X = M 2X + p 2
@
∆E = Ef − Ei = E3 + EX − E01
∆E → 2p lorsque p → ∞
→ M3 + MX −M1
∆E → MX lorsque p → 0 avec 1 ≡ 3
ou
∆E
b
g b g b
g
@ cette violation de l'énergie ne peut pas durer plus de ∆t ≈ h / ∆ E .
@ ce qui se traduit en terme de distance par "pas plus loin" que ∆r ≈
hc
hc
≈
=R
∆E M X c 2
portée de
l'interaction
♦ Le boson X échangé est virtuel car si on calcule le carré de la quadri-impulsion transférée c-à-d
r r
la quadri-impulsion portée par X (cf. §B3.8), on a : q2 = |p1 − p3|2 = m12 + m 23 − 2 E1 E 3 + 2 p1 ⋅ p 3
q 2 = 2 m2 − 2 E 2 + 2 p 2 cos θ = 2 p 2 cos θ − 1 avec particules identiques 1 ≡ 3
@ q2 est négatif. Or q2 représente aussi le carré de la quadri-impulsion du boson X
Canal t
r2 ?
2
2
2
Quadri-vecteur
q = EX − pX = MX
de genre temps
@ q2 ne peut pas être égal au carré de la masse du boson (puisque q 2 < 0 ≤ M 2 )
b
g
X
@ le temps "d'existence" du boson virtuel X c-à-d la durée de l'échange :
h
h
∆t ≈
⇒ ∆t ≈
2
∆E
q − M2
c
X
h
B le boson échangé est virtuel (on dit aussi "hors de sa couche de masse") pendant la transition.
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I-1 - 6
♦ Feynman voit la probabilité de l'interaction 1 + 2 → 3 + 4 via l'échange du boson X en 3 "étapes":
1/ probabilité que la particule X soit émise (ou absorbée) par 1 : ÷ g (constante de couplage de
l'interaction liant 1 à X)
2/ probabilité que la particule X se propage d'un vertex à l'autre, c-à-d la probabilité que le boson se
1
propage avec une quadri-impulsion q : donnée par le propagateur ∝ 2
q − M 2X
@ la probabilité est d'autant plus petite que le boson X est loin de sa couche de masse.
3/ probabilité que la particule X soit absorbée (ou émise) par 2 ÷ g' (constante de couplage de
l'interaction liant X à 2)
g ⋅ g'
@ amplitude de transition ∝ 2
q − M 2X
♦ interaction électromagnétique : véhiculée par des photons (mγ = 0) @ de portée infinie
@ le photon est virtuel dans les diffusions entre particules chargées.
e⋅e
Ex : amplitude de transition pour la diffusion e-p : A ÷ 2 @ σ ÷ A2
q
♦interaction faible : véhiculée par des particules lourdes (bosons massifs mW ≈ mZ ≈100 GeV/c2)
hc
@ portée très courte : R =
≈ 2⋅10 −3 fm h c =197 MeV ⋅ fm .
M W c2
B on fera très souvent l'approximation de l'interaction faible locale comme si la portée était nulle,
ce qui correspond à la limite MX → ∞.
a
νµ
−
µ
g
W− g
GF ÷ g2
e−
νe
f
Exemple d'interaction faible : la désintégration du muon µ
g2
@ amplitude A ∝ 2
q − M 2W
Approximation d'interaction locale
@ une seule constante de couplage : la constante de Fermi GF (mesurée
1
dans les désintégrations faibles / à partir de τµ) car : τ µ ÷ 2 5
G F ⋅ mµ
GF
@ G F = 1166
,
⋅ 10−5 GeV −2 en fait:
,
⋅ 10 −5 GeV −2
3 = 1166
hc
a f
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I-1 - 7
I1.4 Etude d'une réaction de formation
♦ Considérons une réaction de formation
1+2
1
→ X →
3+4
3
gA
INTERACTION avec
"formation" de la particule X
virtuelle ou réelle
X
Bg
2
4
temps
L'axe des temps est horizontal : l'événement B est survenu après l'événement A.
♦ La conservation de l'énergie-impulsion s'écrit à chaque vertex p1 + p2 = q et q = p3 +p4
⇒ q2 = (p1 + p2)2 = (p3 +p4)2 est positif quel que soit le référentiel d'espace-temps
⇒ ici : q2 = s
⇒ mais pas nécessairement égal au carré de la masse invariante de la particule X !!!
Canal s
Quadri-vecteur
de genre espace
♦ Si mX est la masse invariante de la particule X, l'amplitude de Feynman associée au diagramme
g ⋅g
est ∝ 2 A B2
Et, lorsque q2 = mX2, la particule est réelle !
q − mX
@ l'amplitude de transition serait infinie. En réalité, ce n'est pas le cas, car (les relations sont
complexes) mX n'est pas complètement réel mais contient une petite partie imaginaire :
avec mXR et Γ réels
mX = mXR + iΓ
2
@ q ne peut jamais être exactement égal à mX2.
@ Pour q 2 = s = m X , l'amplitude de Feynman n'est pas infinie mais donne néanmoins une
probabilité de transition qui présente un maximum, une bosse caractéristique d'une résonance
centrée sur mX et de largeur à mi-hauteur Γ (Breit-Wigner).
♦ Exemple 1 : formation de ∆++ processus FORT
section efficace π±p → π±p en fonction de
l'énergie dans le système du centre de
masse. Ces probabilités de diffusion
passent par des états résonants dont le ∆.
Diagramme de Feynman avec formation
de la particule - résonance ∆++
u
d
d
u
u
b g
∆++ uuu
u
d
d
u
u
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♦ Exemple 2 : annihilations e e
+
e−
e
−
I-1 - 8
processus électrofaible
τ− ou q
γ, Z
0*
+
τ+ ou q
Le diagramme montre comment l'énergie peut se transformer en matière : si l'énergie initiale (p1 + p2
= q = s ) est très élevée, la particule virtuelle (γ ou Z0) peut être (pendant un temps très bref) très
loin de sa couche de masse et elle peut se matérialiser en des particules "3 et 4" beaucoup plus
lourdes que 1 et 2 (e+ e−)
e−
τ−
+ −
+ −
+ −
0
e
e
→
τ
τ
ou
e
e
→
cc
J
/
Ψ
Ex
Z
+
@ on simule des "mini big-bangs"
e
τ+
b g
• Au LEP, le boson Z0 a été réellement formé
lorsque s = mZ @ observé comme une résonance.
Avec une très courte durée de vie (≈10−25 s), le
parcours du Z est trop petit pour pouvoir être observé
directement (avec v ≈c : parcours < fm) @ Z se
désintègre pratiquement dans la région de l'espace où
il a été créé et c'est à travers ses produits de
désintégration qu'il a été possible de l'identifier et de
l'étudier
• Au LEP, phase 2, à partir de
Z0 virtuel.
e−
e+
Z0*
ΓZ ≈ 2,5 GeV
s = 2 mW , on a créé une paire de particules W+W− avec formation d'un
q
−
W
4 jets de
q'
particules
q
W+
q'
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I1.5 Propagation d'un quark rouge
• Il émet tout d'abord un photon virtuel γ : aucun nombre quantique du quark ne change. Entre les 2
vertex, le boson et le fermion sont virtuels. On dit que l'on a une transition virtuelle ("boucle"). Si p
est la quadri-impulsion du quark rouge incident, la conservation de l'énergie-impulsion aux vertex
ne contraint pas les quadri-impulsions du boson et du fermion virtuels, si ce n'est que la somme des
2 quadri-impulsions doit être égale à p; si q est la quadri-impulsion du boson virtuel, la quadriimpulsion du fermion virtuel est p−q; mais q peut prendre n'importe quelle valeur.
• Puis il réabsorbe le photon. Plus tard, il émet un W+ qui change les propriétés faible et
électromagnétique du quark d'une unité : le quark u rouge devient un quark d rouge avant de
réabsorber le W+. Le quark u émet alors un gluon virtuel rouge/anti-vert ce qui change le quark u
rouge en quark u vert. Redevenu un quark u rouge par réabsorption du gluon rouge/anti-vert, il
peut aussi émettre un Z0 virtuel et le réabsorber
• Les photons sont les bosons avec le plus long parcours. Ce parcours sera d'autant plus long que
l'énergie des γ est petite (inverse de l'écart par rapport à la couche de masse).
Les bosons de jauge faibles massifs peuvent parcourir ≈10−18 m. Les gluons sont confinés dans les
10−15 m (en dehors de cette région la force forte se manifeste via des pions cf. §I2.4.f).