Partie 1

Chp4 Interactions: §1 diagrammes Feynman I-1 - 1
Chp4. Interactions §1. Introduction aux diagrammes de Feynman :
processus virtuels ou réels.
I1.1 Idées de base et définitions
On suppose que les particules de matière se propagent librement sauf en certains points de l'espace-
temps où elles interagissent par émission et absorption de bosons. → diagramme de Feynman1:
graphe permettant de représenter de manière symbolique le déroulement spatio-temporel des
processus d'interaction entre particules.
Chaque ligne orientée représente une particule qui peut être de 3 types: temps
electron Particule de matière
Antiparticule
Boson d'interaction
Symboles :
Un vertex est le point de rencontre de 3 lignes.
Illustrons les processus les plus simples d'interactions électromagnétiques pour des électrons e− et
des positrons e+.
1 Les règles de Feynman permettent d'associer à chaque diagramme une amplitude de transition @ permettent de
calculer une probabilité (P = A2), en clair des sections efficaces σ de réaction et des taux de désintégrations Γ.

Chp4 Interactions: §1 diagrammes Feynman I-1 - 2
@ Les processus électromagnétiques de base correspondent à des transitions dans lesquelles un
électron saute d'un état vers un autre avec émission (a) ou absorption (b) d'un photon (transitions
entre états à énergie positive) : e− → e− + γ (a)
e
− + γ → e− (b)
Ils peuvent être représentés par les diagrammes suivants :
où l'axe des temps va de la gauche vers la droite.
Il existe des diagrammes similaires pour les processus concernant les positrons :
e+ → e+ + γ (c)
e
+ + γ → e+ (d)
Les processus d'annihilation et de production de paires e+e− peuvent être représentés par les
diagrammes suivants:
e
+ + e− → γ (e)
γ → e+ + e− (f)
Chacun de ces processus de base est caractérisé par une amplitude proportionnelle au couplage du
photon aux particules chargées (ici e− ou e+) : @ la charge (ici |e|): A ÷ e
@ a une probabilité de se produire proportionnelle à e2 : σ ÷ A2 ÷ e2 ÷ α = constante de couplage
de l'interaction électromagnétique (constante de structure fine) :
απε
EM =≈≈
−
1
41 137 10
0
22
ech [sans dimension]
u
u
γ
Pe÷
F
H
G
I
K
J
2
3
2

Chp4 Interactions: §1 diagrammes Feynman I-1 - 3
I1.2 Processus (EM) virtuels ou réels
♦ A chaque vertex, il y a conservation :
- de la charge électrique e
γ
e
- de l'impulsion
- du moment angulaire
- de la charge de couleur
mais, pas conservation de l'énergie; prenons l'exemple de la réaction :
e
− → e− + γ
Dans le système au repos de l'électron initial, on a E ,0 E ,p pc, p
0e
bgbgaf
→
+
−
r
r
pc
mec2
B ∆E = Ef − Ei = Ee + pc − E0 = mc pc pc mc
e
24 22 e2
++−
B ∆E ≠0 et compris entre pc et 2pc :
p
cE2
p
c
<
<
∆
pour toute impulsion finie.
B ce processus à 1 vertex est qualifié de virtuel.
♦ Processus réels (au moins 2 vertex)
Pour qu'un processus réel puisse se réaliser, il faut combiner 2 (ou plus) processus virtuels tel que la
conservation de l'énergie ne soit violée que pendant un intervalle de temps, ∆t, très court,
compatible avec le principe d'incertitude :
∆
∆
t
⋅
≈
Eh (h ≈ 6,58 10−22 MeV.s)
et tel que l'énergie de l'état initial (avant interaction) soit égale à l'énergie de l'état final (après
interaction).
Ceci est illustré aux figures (A) et (B) qui représentent un processus où un électron émet un photon
qui est subséquemment absorbé par un second électron. Bien que la conservation de l'énergie soit
violée au 1er vertex, ceci peut être compensé par une violation similaire (de sens contraire) au 2d
vertex pour aboutir à une conservation globale de l'énergie.
@ En pratique, on ne dessine qu'un seul diagramme car on ne peut distinguer l'ordre du temps.
Ce diagramme représente une contribution au processus de diffusion élastique :
e
− + e− → e− + e−
contribution avec échange d'un seul photon : 1 photon échangé & 2 vertex.

Chp4 Interactions: §1 diagrammes Feynman I-1 - 4
Mais il existe d'autres processus qui contribuent à la diffusion ee, cette fois avec échange de
plusieurs photons, soit par exemple un échange de 2 photons B 4 vertex.
Autres exemples de diagrammes à 4
vertex :
Cependant, la contribution (à la section efficace de la diffusion ee) de tels diagrammes est beaucoup
plus petite car, comme chaque vertex représente un processus dont la probabilité est de l'ordre de α,
un diagramme à 4 vertex a une probabilité de l'ordre de α4 par comparaison avec un diagramme à 2
vertex avec une probabilité de l'ordre de α2 : α2 ÷ 10−4 α4 ÷ 10−8 .
B les processus avec échange de plusieurs photons peuvent être négligés en 1ière approximation.
♦ Examinons la contribution (à l'ordre le plus bas) au processus d'annihilation : e+ + e− → γ + γ
e+
e−
γ
γ
Probabilité proportionnelle à
α
2 soit
≈
10
−
4
L'annihilation en 3 photons peut se réaliser : e+ + e− → γ + γ + γ mais avec une probabilité
proportionnelle à
α
3 soit
≈
10
−
6
B processus ≈100 fois moins probable.
On parle alors de rapport : R = taux (e+ e− → 3γ) / taux (e+ e− → 2γ) = O(α) "de l'ordre de α".
Cette prédiction peut être testée pour des paires e+e− de petite énergie, en mesurant le taux de
désintégration du positronium (état lié e+e−) en 2γ et 3γ.
B La valeur expérimentale de R = 0,9 10−3. Elle est un peu plus petite que α (0,7 10−2) et certains
auteurs argumentent que α/2π = 1,2 10−3 est plus approprié comme mesure de l'intensité de
l'interaction électromagnétique. B ce qu'on entend par O(α) est 10−2 - 10−3.

Chp4 Interactions: §1 diagrammes Feynman I-1 - 5
I1.3 Interactions avec échange d'un boson X virtuel
♦ considérons une interaction (diffusion) entre 2 particules de matière (fermions) se réalisant
via l'échange d'une particule X (boson de masse MX). Au point d'espace-temps A, le fermion 1 (de
quadri-impulsion p1) émet un boson d'interaction X (de quadri-impulsion q); le fermion 2 (de
quadri-impulsion p2) absorbe le boson au point d'espace-temps B. On dit que le boson X véhicule
l'interaction entre les 2 fermions avec un couplage représenté par g ou g', (équivalent de e pour le
diagramme de gauche) de la particule 1 (&3) ou de la particule 2 (& 4) à la particule X
4
3
Plus généralement
12 34
+
→
+
1
2
e
γ p p
e
e
−
e−
B
g'
g
AX
Ex : diffusion
ep → ep
♦ → au vertex A, le fermion 3 a une quadri-impulsion p3 telle que : p3 = p1−q → q = |p1 – p3|
→ au vertex B, le fermion 4 a une quadri-impulsion p4 telle que : p4 = p2 +q
⇒ et globalement le processus conserve bien l'énergie-impulsion : p3 + p4 = p1 + p2
♦ Chaque vertex représente un processus virtuel c-à-d qu'il s'y passe une violation de l'énergie ∆E.
Au vertex "du haut", dans le système au repos de la particule incidente 1, on a (c =1) :
E,0 E,p E,p
01 3 X
bgbgb
→+−
g
r
r
avec E=
M E M p E M p
01 1 3 3
22 XX 22
et =+ = +&
@ ∆E = Ef − Ei = E3 + EX − E01 ∆E → 2p lorsque p → ∞
ou ∆E → M3 + MX −M1 ∆E → MX lorsque p → 0 avec 13
≡
@ cette violation de l'énergie ne peut pas durer plus de
∆
∆
t
≈
h/E.
@ ce qui se traduit en terme de distance par "pas plus loin" que ∆
∆
rc
Mc
X2
≈≈ =
hhc
ERportée de
l'interaction
♦ Le boson X échangé est virtuel car si on calcule le carré de la quadri-impulsion transférée c-à-d
la quadri-impulsion portée par X (cf. §B3.8), on a : q2 = |p1 − p3|2
=
+−
+
⋅
mm EE pp
1
23 213 1 3
22
r
r
qmEp p
2222 2
222 2=− 1
+
=
−
cos cos
θ
θ
bg avec particules identiques 13
≡
@ q2 est négatif. Or q2 représente aussi le carré de la quadri-impulsion du boson X Canal t
Quadri-vecteur
de genre temps
q2X
2X 2X 2
Ep=− =M
r
?
@ q2 ne peut pas être égal au carré de la masse du boson (puisque q0M
2X 2
<
≤
)
@ le temps "d'existence" du boson virtuel X c-à-d la durée de l'échange :
∆
∆∆tEtqM
X
≈⇒≈
−
hh
22
ch
B le boson échangé est virtuel (on dit aussi "hors de sa couche de masse") pendant la transition.