Chapitre 10 CONDITIONS D`OPTIMALIT´E ET ALGORITHMES

Chapitre 10
CONDITIONS D’OPTIMALIT´ E
ET ALGORITHMES
Exercice 10.1.1 Montrer que la d´erivabilit´e de Jen uimplique la continuit´e de Jen
u. Montrer aussi que, si L1, L2v´erifient
J(u+w)≥J(u) + L1(w) + o(w),
J(u+w)≤J(u) + L2(w) + o(w),(10.1)
alors Jest d´erivable et L1=L2=J0(u).
Correction. Si Jest d´erivable au sens de Fr´echet en u, il existe une forme lin´eaire
continue Ltelle que
J(u+w) = J(u) + L(w) + o(w).
Ainsi,
|J(u+w)−J(u)|≤kLkkwk+|o(w)|.
Le terme de droite convergeant vers z´ero lorsque wtend vers z´ero, Jest continue
en u.
Consid´erons une fonction Jv´erifiant (10.1). De
J(u+w)≥J(u) + L1(w) + o(w)
et
−J(u+w)≥ −J(u)−L2(w) + o(w),
on d´eduit que
0≥(L1−L2)(w) + o(w).
Ainsi, pour tout r´eel α > 0,
0≥(L1−L2)(w) + o(αw)
α
(on applique l’in´egalit´e pr´ec´edente `a αw et on divise par α). En faisant tendre α
vers z´ero, on obtient que pour tout w,
0≥(L1−L2)(w).
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178 CHAPITRE 10. CONDITIONS D’OPTIMALIT ´ E ET ALGORITHMES
Cette in´egalit´e appliqu´ee −w, nous donne l’in´egalit´e inverse et finalement l’´egalit´e
L1(w) = L2(w). Il en d´ecoule que Jest d´erivable au sens de Fr´echet et que J0=
L1=L2.
Exercice 10.1.2 (essentiel !) Soit aune forme bilin´eaire sym´etrique continue sur
V×V. Soit Lune forme lin´eaire continue sur V. On pose J(u) = 1
2a(u, u)−L(u).
Montrer que Jest d´erivable sur Vet que hJ0(u), wi=a(u, w)−L(w)pour tout
u, w ∈V.
Correction. Il suffit de d´evelopper l’expression J(u+w). On obtient
J(u+w) = J(u) + a(u, w)−L(w) + a(w, w)/2.
La forme bilin´eaire a´etant continue, a(w, w) est un petit o de kwk. La fonction J
est donc d´erivable et
hJ0(u), wi=a(u, w)−L(w).
Exercice 10.1.3 Soit Aune matrice sym´etrique N×Net b∈RN. Pour x∈RN, on
pose J(x) = 1
2Ax ·x−b·x. Montrer que Jest d´erivable et que J0(x) = Ax −bpour
tout x∈RN.
Correction. C’est un cas particulier de l’Exercice pr´ec´edent. On a
J(x+y) = J(x)+(Ax −b)·y+Ay ·y/2.
Ainsi, Jest d´erivable et si on identifie RNet son dual `a l’aide du produit scalaire
euclidien, on obtient
J0(x) = Ax −b.
Exercice 10.1.4 On reprend l’Exercice 10.1.2 avec V=L2(Ω) (Ω´etant un ouvert
de RN), a(u, v) = RΩuv dx, et L(u) = RΩfu dx avec f∈L2(Ω). En identifiant Vet
V0, montrer que J0(u) = u−f.
Correction. D’apr`es l’Exercice 10.1.2,
hJ0(u), wi=a(u, w)−L(w),
d’o`u
hJ0(u), wi=ZΩ uw −fwdx = (u−f, w)L2(Ω).
En identifiant L2(Ω) et son dual `a l’aide du produit scalaire L2(Ω), on obtient
J0(u) = u−f.
Exercice 10.1.5 On reprend l’Exercice 10.1.2 avec V=H1
0(Ω) (Ω´etant un ouvert
de RN) que l’on munit du produit scalaire
hu, vi=ZΩ (∇u· ∇v+uv)dx.

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On pose a(u, v) = RΩ∇u· ∇v dx, et L(u) = RΩfu dx avec f∈L2(Ω). Montrer (au
moins formellement) que J0(u) = −∆u−fdans V0=H−1(Ω). Montrer que, si on
identifie Vet V0, alors J0(u) = u0o`u u0est l’unique solution dans H1
0(Ω) de
−∆u0+u0=−∆u−fdans Ω
u0= 0 sur ∂Ω
Correction. D’apr`es le r´esultat ´etabli `a l’Exercice 10.1.2, la fonction Jest d´erivable
et pour tout w∈H1
0(Ω) on a
hJ0(u), wi=ZΩ∇u· ∇w−fwdx.
Si uappartient `a H2(Ω) alors J0(u) appartient au dual de L2(Ω). Suite `a une
int´egration par partie, on obtient
hJ0(u), wi=−ZΩ (∆u+f)wdx.
Aussi, si on identifie L2(Ω) et son dual `a l’aide du produit scalaire L2(Ω), on obtient
J0(u) = −∆u−f. Si on utilise le produit scalaire H1(Ω) pour associer une fonction
`a J0(u), on obtient ´evidemment un autre r´esultat. Soit vl’´el´ement de H1
0(Ω) associ´e
`a J0(u) par identification de H1
0(Ω) et son dual `a l’aide du produit scalaire H1(Ω).
En d’autres termes, vest l’unique ´el´ement de H1
0(Ω) tel que pour tout w∈H1 0(Ω),
ZΩ∇v· ∇w+vw dx =hJ0(u), wi=ZΩ∇u· ∇w+fw dx.
Par int´egration par partie, on en d´eduit que vest solution du probl`eme aux limites
v´erifi´e par u0. Ainsi v=u0et, si on identifie H1
0(Ω) et son dual `a l’aide du produit
scalaire H1,J0(u) = u0.
Exercice 10.1.6 Soit Ωun ouvert born´e de RN(on pourra se restreindre au cas o`u
N= 1 avec Ω =]0,1[). Soit L=L(p, t, x)une fonction continue sur RN×R×Ω,
d´erivable par rapport `a pet tsur cet ensemble, de d´eriv´ees partielles ∂L
∂p et ∂L ∂t Lipschit-
ziennes sur cet ensemble. On pose V=H1
0(Ω) et J(v) = ZΩ
L(∇v(x), v(x), x)dx.
1. Montrer que Jest d´erivable sur H1
0(Ω) et que
hJ0(u), wi=
ZΩ∂L
∂p (∇u(x), u(x), x)· ∇w(x) + ∂L ∂t (∇u(x), u(x), x)w(x)dx .
2. Si N= 1 et Ω =]0,1[, montrer que, si u∈H1
0(0,1) satisfait J0(u)=0, alors u
v´erifie d
dx ∂L ∂p u0(x), u(x), x−∂L ∂t u0(x), u(x), x= 0 ,(10.2)
presque partout dans l’intervalle ]0,1[.

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3. Si Lne d´epend pas de x(i.e. L=L(p, t)) et si uest une solution de classe
C2(]0,1[) de l’´equation diff´erentielle (10.2), montrer que la quantit´e
Lu0(x), u(x)−u0(x)∂L
∂p u0(x), u(x)
est constante sur l’intervalle [0,1].
Correction.
1. Tout d’abord, comme Lest d´erivable par rapport `a pet t, de d´eriv´ees Lip-
schitziennes, on a
L(p+q, t +s, x)−L(p, t, x)−∂L
∂p (p, t, x)·q−∂L ∂t (p, t, x)s≤K 2(|q|2+|s|2).
(10.3)
En particulier,
L(p, t, x)≤C(1 + |p|2+t2),
et Jest correctement d´efini. On v´erifie ´egalement que
M(u)·w=ZΩ∂L
∂p (∇u, u, x)· ∇w+∂L ∂t (∇u, u, x)wdx
est une forme lin´eaire continue sur H1(RN×R×Ω). Enfin, d’apr`es l’in´egalit´e
(10.3)
|J(u+w)−J(u)−M(u)·w| ≤ K
2kwk2
H1.
La fonction Jest donc d´erivable en ude d´eriv´ee M(u).
2. Si J0(u) = 0, on a pour tout w∈H1
0(0,1),
Z1
0∂L
∂p (u0, u, x)·w0+∂L ∂t (u0, u, x)wdx = 0.
On en d´eduit que ∂L/∂p(u0, u, x) appartient `a H1(0,1) et que
d
dx ∂L ∂p (u0, u, x)−∂L ∂t (u0, u, x)=0
presque partout.
3. Comme uest de classe C2, les calculs suivants sont licites :
d
dx L(u0, u)−u0∂L ∂p (u0, u)=d(L(u0, u)) dx −u00∂L ∂p −u0d dx ∂L ∂p (u0, u)
=u0∂L
∂t (u0, u)−d dx ∂L ∂p (u0, u)= 0.
et L(u0, u)−u0∂L/∂p(u0, u) est constant sur l’intervalle [0,1].

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Exercice 10.1.7 Montrer qu’une fonction Jd´erivable sur Vest strictement convexe
si et seulement si
J(v)> J(u) + hJ0(u), v −ui ∀u, v ∈Vavec u6=v ,
ou encore
hJ0(u)−J0(v), u −vi>0∀u, v ∈Vavec u6=v .
Correction. Notons tout d’abord, que ces ´equivalences ont ´et´e ´etablies dans le
cours dans le cas convexe avec des in´egalit´es larges.
Soit June fonction d´erivable. Prouvons tout d’abord que Jest strictement
convexe si et seulement si
J(v)> J(u) + hJ0(u), v −ui ∀u, v ∈Vavec u6=v.
Soit June fonction strictement convexe, uet v∈Vtels que u6=v. On a
Ju+v
2≥J(u) + DJ0(u),v−u 2E.
De plus
Ju+v
2<J(u) + J(v) 2.
Ainsi,
J(v)> J(u) + hJ0(u), v −ui.
R´eciproquement, si Jv´erifie cette derni`ere in´egalit´e, pour tout couple (u, v), Jest
convexe. Ainsi, pour tout uet v, non seulement l’in´egalit´e pr´ec´edente est v´erifi´ee,
mais on a
2Ju+v
2≥2J(v) + hJ0(u), u −vi.
En sommant ces deux in´egalit´es, on obtient
2Ju+v
2> J(u) + J(v).
Reste `a prouver l’´equivalence entre la stricte convexit´e et la deuxi`eme in´egalit´e.
Si Jest une fonction strictement convexe, on vient de prouver que
J(v)> J(u) + hJ0(u), v −ui.
En commutant uet vdans cette in´egalit´e, on obtient
J(u)> J(v) + hJ0(v), u −vi.
Par sommation, on en d´eduit que
0>hJ0(v)−J0(u), u −vi.
R´eciproquement, si une fonction Jv´erifie cette in´egalit´e pour tout couple (u, v), elle
est convexe. Ainsi,
Ju+v
2≥J(u) + DJ0(u),u−v 2E