Groupes résolubles, groupes nilpotents

2016-2017
Université Lille 1
M401
Algèbre
Groupes résolubles, groupes nilpotents
Exercice 1 (p-groupes).
Soit p un nombre premier et G un p-groupe, c’est-à-dire un groupe d’ordre
pα , pour un entier α.
1. Montrer que Z(G) 6= {1} (faire opérer G sur lui-même par conjugaison, et écrire la formule des classes).
2. Montrer par récurrence l’existence d’une suite croissante de sousgroupes Gβ distingués dans G telle que pour tout entier β, où 0 6
β 6 α, Gβ est d’ordre pβ .
3. En déduire que tout groupe d’ordre p2 est abélien.
Exercice 2 (Groupes dont les Sylows sont sous-distingués).
1. Soit G un groupe d’ordre pr q s , où p et q sont deux nombres premiers
distincts. On suppose que G admet deux suites de composition 1 C
A1 C A2 C · · · C Ar C Ar+1 C · · · C Ar+s = G et 1 C B1 C B2 C · · · C
Bs C Bs+1 C · · · C Br+s = G où Ar est d’ordre pr et Bs est d’ordre
q s . Montrer que G est le produit direct de Ar et Bs .
2. Généraliser : un groupe fini est nilpotent si et seulement si tout sousgroupe de Sylow est sous-distingué (i.e. apparaît dans une suite de
composition de G).
Exercice 3 (Suites de composition des groupes finis nilpotents).
Soit G un groupe fini nilpotent et p1 , · · · , ps n’importe quelle combinaison
des nombres premiers dont le produit égale l’ordre de G. Montrer que G a
une suite de composition
1 = As C · · · C A1 C A0 = G telle que pour tout i, Ai−1 /Ai est d’ordre pi .
Exercice 4 (Groupes d’ordre 825).
Soit G un groupe d’ordre 825. Montrer que G est résoluble.
Exercice 5 (Groupes d’ordre pq).
Soit G un groupe d’ordre pq, où p et q sont deux nombres premiers distincts.
1. Montrer que G est résoluble.
2. Montrer que :
G est nilpotent ⇐⇒ G est abélien ⇐⇒ G est cyclique.
3. Est-ce-que G est toujours nilpotent ?
1
Exercice 6 (Groupes d’ordre pqr).
Soit G un groupe d’ordre pqr, où p, q et r sont trois nombres premiers
distincts.
1. Montrer qu’un des groupes de Sylow doit être distingué.
2. En déduire que G est résoluble.
Exercice 7 (Groupes d’ordre p2 q).
Soit G un groupe d’ordre p2 q, où p, q et sont deux nombres premiers distincts.
1. Montrer qu’un des groupes de Sylow doit être distingué.
2. En déduire que G est résoluble.
Exercice 8 (< x, y|x2 = y 3 = (xy)4 = 1 >).
1. Montrer le groupe G engendré par les éléments x et y, avec les relations
x2 = y 3 = (xy)4 = 1 est un groupe résoluble fini, dont on donnera
l’ordre.
2. Donner les groupes dérivés successifs de G.
Exercice 9 (Groupes dérivés de Sn et An ).
1. Montrer que dans le groupe Sn , quelque soit le 3-cycle σ, σ et σ 2 sont
conjugués. Montrer que la même propriété est vraie dans An si n > 5.
2. En déduire que Sn0 = An et que, si n > 5, A0n = An .
Exercice 10 (Groupe spécial linéaire non résoluble).
Montrer que SL2 (C) n’est pas résoluble.
Exercice 11 (S4 est résoluble).
1. Montrer que l’ensemble D des éléments de S4 qui sont produits de 2
transpositions à supports disjoints possède 3 éléments qu’on explicitera.
2. Montrer que S4 agit par conjugaison sur D.
3. Montrer qu’en numérotant les éléments de D arbitrairement de 1 à 3,
l’action de S4 se traduit par l’existence d’un morphisme ρ : S4 → S3 .
4. Calculer le noyau de ρ.
5. Montrer que ρ est surjectif.
6. En déduire que S4 est résoluble.
Exercice 12 (Sous-groupe distingué minimal d’un groupe fini résoluble).
Soit H un sous-groupe distingué minimal d’un groupe fini résoluble G.
1. Montrer que H 0 C G et que H 0 6= H. En déduire que H est abélien.
2. Montrer que pour tout nombre premier p, H(p) = {x ∈ H|xp = 1}
est un sous-groupe distingué de G.
2
3. En déduire que H est isomorphe à une somme directe de groupes
cycliques d’ordre p pour un nombre premier p.
Exercice 13 (Opérations sur les groupes résolubles).
1. Soit H et K deux sous-groupes distingués et résolubles d’un groupe
G. Montrer que HK est distingué et résoluble.
2. Soit H et K deux sous-groupes distingués d’un groupe G tels que
G/H et G/K soient résolubles. Montrer que G/H ∩ K est résoluble.
Exercice 14 (Plus grand quotient résoluble).
Soit G un groupe fini.
1. Montrer qu’il y a un unique sous-groupe distingué K de G tel que
(a) G/K est résoluble,
(b) si N est un sous-groupe distingué et G/N est résoluble, alors N ⊃
K.
2. Montrer que K est caractéristique.
3. Montrer que K = [K, K] et que K = 1 ou K n’est pas résoluble.
Exercice 15 (Suite centrale descendante).
Soit G un groupe. On définit une suite de sous-groupes décroissante en posant
C 0 = G et C i+1 est le groupe engendré par les commutateurs [g, h] avec g ∈ G
et h ∈ C i . Montrer que G est nilpotent si et seulement s’il existe un entier n
tel que C n = {e}.
Exercice 16 (Sous-groupe et quotient d’un groupe nilpotent).
1. Montrer qu’un sous-groupe ou un quotient d’un groupe nilpotent est
nilpotent.
2. Soit G un groupe et H < Z(G) un sous-groupe central. Montrer que
H est distingué dans G et que si G/H est nilpotent, G est nilpotent.
Exercice 17 (Eléments d’ordres premiers entre eux dans un groupe nilpotent).
Soient a et b deux éléments d’un groupe nilpotent G, où am = bn = 1, et
m∧n = 1. On pose w = a−1 b−1 ab. Soit (Γi (G))i la suite centrale descendante
de G.
1. Montrer que si w ∈ Γi (G), alors wm ∈ Γi+1 (G).
2. En déduire que si w ∈ Γi (G), alors w ∈ Γi+1 (G).
3. Conclure que a et b commutent.
Exercice 18 (Groupes de matrices triangulaires).
Soit K un corps et G = GLn (K) le groupe linéaire sur K. On note B =
{[ai,j ] ∈ G/ai,j = 0 pour i > j} le groupe des matrices triangulaires supérieures et U = {[ai,j ] ∈ B/∀i ai,i = 1} le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures à diagonale égale à l’identité.
3
1. Soit, pour un entier 1 6 r 6 n,
Nr = {[ai,j ] ∈ Mn (K)/ai,j = 0 pour i > j − r}
Montrer que les Nr vérifient : Nr Nr0 ⊂ Nr+r0 .
2. On pose Ur = 1 + Nr . Montrer que Ur est un sous-groupe de U .
3. Montrer que si [Ur , U ] < Ur+1 alors
1 = Un < Un−1 < · · · < U2 < U1 = U
est une suite centrale pour U .
4. Montrer que [Ur , U ] < Ur+1 (on pourra calculer le commutateur de
1+A ∈ Ur et 1+B ∈ U en posant C = A+B+AB et D = A+B+BA).
5. En déduire que la classe de nilpotence de U est plus petite que n − 1.
6. Montrer que [1+E1,2 , 1+E2,3 , · · · , 1+En−1,n ] = 1+E1,n et en déduire
la classe de nilpotence de U .
7. Montrer que B est résoluble de longueur dérivée inférieure à n.
Exercice 19 (Condition de nilpotence du groupe dihédral).
Montrer que le groupe dihédral Dn est nilpotent si et seulement si n est une
puissance de 2.
Exercice 20 (Sous-groupe distingué minimal d’un groupe nilpotent).
Soit N un sous-groupe distingué non trivial d’un groupe nilpotent G. On
veut montrer que N ∩ Z(G) 6= 1.
1. Soit (Z i (G))i la suite centrale ascendante de G. Montrer que pour
tout i > 1 on a [N ∩ Z i (G), G] < N ∩ Z i−1 (G).
2. Montrer qu’il existe un plus petit i tel que N ∩ Z i (G) 6= 1.
3. Montrer que pour cet i on a N ∩ Z i (G) < N ∩ Z(G) et conclure.
4. Application 1 : en déduire qu’un sous-groupe distingué minimal d’un
groupe nilpotent est contenu dans le centre.
5. Application 2 : en déduire que si A est un sous-groupe abélien distingué maximal d’un groupe nilpotent G, alors A = CG (A).
Exercice 21 (Le critère de nilpotence de P.Hall).
1. Soit K un groupe fini nilpotent et L un sous-groupe de K tel que
LK 0 = K, où K 0 est le sous-groupe dérivé. Montrer que L = K (on
pourra utiliser le fait qu’un groupe fini est nilpotent si et seulement
si tout sous-groupe maximal est distingué).
2. Soit G un groupe fini. Si G a un sous-groupe distingué H tel que
G/H 0 et H sont nilpotents, montrer que G est nilpotent.
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