Groupes résolubles, groupes nilpotents

2016-2017 M401
Université Lille 1 Algèbre
Groupes résolubles, groupes nilpotents
Exercice 1 (p-groupes).
Soit pun nombre premier et Gun p-groupe, c’est-à-dire un groupe d’ordre
pα, pour un entier α.
1. Montrer que Z(G)6={1}(faire opérer Gsur lui-même par conjugai-
son, et écrire la formule des classes).
2. Montrer par récurrence l’existence d’une suite croissante de sous-
groupes Gβdistingués dans Gtelle que pour tout entier β, où 06
β6α,Gβest d’ordre pβ.
3. En déduire que tout groupe d’ordre p2est abélien.
Exercice 2 (Groupes dont les Sylows sont sous-distingués).
1. Soit Gun groupe d’ordre prqs, où pet qsont deux nombres premiers
distincts. On suppose que Gadmet deux suites de composition 1C
A1CA2C· · · CArCAr+1 C· · · CAr+s=Get 1CB1CB2C· · · C
BsCBs+1 C· · · CBr+s=Goù Arest d’ordre pret Bsest d’ordre
qs. Montrer que Gest le produit direct de Aret Bs.
2. Généraliser : un groupe fini est nilpotent si et seulement si tout sous-
groupe de Sylow est sous-distingué (i.e. apparaît dans une suite de
composition de G).
Exercice 3 (Suites de composition des groupes finis nilpotents).
Soit Gun groupe fini nilpotent et p1,· · · , psn’importe quelle combinaison
des nombres premiers dont le produit égale l’ordre de G. Montrer que Ga
une suite de composition
1 = AsC· · · CA1CA0=Gtelle que pour tout i,Ai−1/Aiest d’ordre pi.
Exercice 4 (Groupes d’ordre 825).
Soit Gun groupe d’ordre 825. Montrer que Gest résoluble.
Exercice 5 (Groupes d’ordre pq).
Soit Gun groupe d’ordre pq, où pet qsont deux nombres premiers distincts.
1. Montrer que Gest résoluble.
2. Montrer que :
Gest nilpotent ⇐⇒ Gest abélien ⇐⇒ Gest cyclique.
3. Est-ce-que Gest toujours nilpotent ?
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Exercice 6 (Groupes d’ordre pqr).
Soit Gun groupe d’ordre pqr, où p,qet rsont trois nombres premiers
distincts.
1. Montrer qu’un des groupes de Sylow doit être distingué.
2. En déduire que Gest résoluble.
Exercice 7 (Groupes d’ordre p2q).
Soit Gun groupe d’ordre p2q, où p,qet sont deux nombres premiers distincts.
1. Montrer qu’un des groupes de Sylow doit être distingué.
2. En déduire que Gest résoluble.
Exercice 8 (< x, y|x2=y3= (xy)4= 1 >).
1. Montrer le groupe Gengendré par les éléments xet y, avec les relations
x2=y3= (xy)4= 1 est un groupe résoluble fini, dont on donnera
l’ordre.
2. Donner les groupes dérivés successifs de G.
Exercice 9 (Groupes dérivés de Snet An).
1. Montrer que dans le groupe Sn, quelque soit le 3-cycle σ,σet σ2sont
conjugués. Montrer que la même propriété est vraie dans Ansi n>5.
2. En déduire que S0
n=Anet que, si n>5,A0 n=An.
Exercice 10 (Groupe spécial linéaire non résoluble).
Montrer que SL2(C)n’est pas résoluble.
Exercice 11 (S4est résoluble).
1. Montrer que l’ensemble Ddes éléments de S4qui sont produits de 2
transpositions à supports disjoints possède 3éléments qu’on explici-
tera.
2. Montrer que S4agit par conjugaison sur D.
3. Montrer qu’en numérotant les éléments de Darbitrairement de 1à3,
l’action de S4se traduit par l’existence d’un morphisme ρ:S4→S3.
4. Calculer le noyau de ρ.
5. Montrer que ρest surjectif.
6. En déduire que S4est résoluble.
Exercice 12 (Sous-groupe distingué minimal d’un groupe fini résoluble).
Soit Hun sous-groupe distingué minimal d’un groupe fini résoluble G.
1. Montrer que H0CGet que H06=H. En déduire que Hest abélien.
2. Montrer que pour tout nombre premier p,H(p) = {x∈H|xp= 1}
est un sous-groupe distingué de G.
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3. En déduire que Hest isomorphe à une somme directe de groupes
cycliques d’ordre ppour un nombre premier p.
Exercice 13 (Opérations sur les groupes résolubles).
1. Soit Het Kdeux sous-groupes distingués et résolubles d’un groupe
G. Montrer que HK est distingué et résoluble.
2. Soit Het Kdeux sous-groupes distingués d’un groupe Gtels que
G/H et G/K soient résolubles. Montrer que G/H ∩Kest résoluble.
Exercice 14 (Plus grand quotient résoluble).
Soit Gun groupe fini.
1. Montrer qu’il y a un unique sous-groupe distingué Kde Gtel que
(a) G/K est résoluble,
(b) si Nest un sous-groupe distingué et G/N est résoluble, alors N⊃
K.
2. Montrer que Kest caractéristique.
3. Montrer que K= [K, K]et que K= 1 ou Kn’est pas résoluble.
Exercice 15 (Suite centrale descendante).
Soit Gun groupe. On définit une suite de sous-groupes décroissante en posant
C0=Get Ci+1 est le groupe engendré par les commutateurs [g, h]avec g∈G
et h∈Ci. Montrer que Gest nilpotent si et seulement s’il existe un entier n
tel que Cn={e}.
Exercice 16 (Sous-groupe et quotient d’un groupe nilpotent).
1. Montrer qu’un sous-groupe ou un quotient d’un groupe nilpotent est
nilpotent.
2. Soit Gun groupe et H < Z(G)un sous-groupe central. Montrer que
Hest distingué dans Get que si G/H est nilpotent, Gest nilpotent.
Exercice 17 (Eléments d’ordres premiers entre eux dans un groupe nil-
potent).
Soient aet bdeux éléments d’un groupe nilpotent G, où am=bn= 1, et
m∧n= 1. On pose w=a−1b−1ab. Soit (Γi(G))ila suite centrale descendante
de G.
1. Montrer que si w∈Γi(G), alors wm∈Γi+1(G).
2. En déduire que si w∈Γi(G), alors w∈Γi+1(G).
3. Conclure que aet bcommutent.
Exercice 18 (Groupes de matrices triangulaires).
Soit Kun corps et G=GLn(K)le groupe linéaire sur K. On note B=
{[ai,j ]∈G/ai,j = 0 pour i > j}le groupe des matrices triangulaires supé-
rieures et U={[ai,j ]∈B/∀i ai,i = 1}le sous-groupe des matrices triangu-
laires supérieures à diagonale égale à l’identité.
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1. Soit, pour un entier 16r6n,
Nr={[ai,j ]∈ Mn(K)/ai,j = 0 pour i >j−r}
Montrer que les Nrvérifient : NrNr0⊂Nr+r0.
2. On pose Ur= 1 + Nr. Montrer que Urest un sous-groupe de U.
3. Montrer que si [Ur, U]< Ur+1 alors
1 = Un< Un−1<· · · < U2< U1=U
est une suite centrale pour U.
4. Montrer que [Ur, U]< Ur+1 (on pourra calculer le commutateur de
1+A∈Uret 1+B∈Uen posant C=A+B+AB et D=A+B+BA).
5. En déduire que la classe de nilpotence de Uest plus petite que n−1.
6. Montrer que [1+E1,2,1+E2,3,· · · ,1+En−1,n] = 1+E1,n et en déduire
la classe de nilpotence de U.
7. Montrer que Best résoluble de longueur dérivée inférieure à n.
Exercice 19 (Condition de nilpotence du groupe dihédral).
Montrer que le groupe dihédral Dnest nilpotent si et seulement si nest une
puissance de 2.
Exercice 20 (Sous-groupe distingué minimal d’un groupe nilpotent).
Soit Nun sous-groupe distingué non trivial d’un groupe nilpotent G. On
veut montrer que N∩Z(G)6= 1.
1. Soit (Zi(G))ila suite centrale ascendante de G. Montrer que pour
tout i>1on a [N∩Zi(G), G]< N ∩Zi−1(G).
2. Montrer qu’il existe un plus petit itel que N∩Zi(G)6= 1.
3. Montrer que pour cet ion a N∩Zi(G)< N ∩Z(G)et conclure.
4. Application 1 : en déduire qu’un sous-groupe distingué minimal d’un
groupe nilpotent est contenu dans le centre.
5. Application 2 : en déduire que si Aest un sous-groupe abélien distin-
gué maximal d’un groupe nilpotent G, alors A=CG(A).
Exercice 21 (Le critère de nilpotence de P.Hall).
1. Soit Kun groupe fini nilpotent et Lun sous-groupe de Ktel que
LK0=K, où K0est le sous-groupe dérivé. Montrer que L=K(on
pourra utiliser le fait qu’un groupe fini est nilpotent si et seulement
si tout sous-groupe maximal est distingué).
2. Soit Gun groupe fini. Si Ga un sous-groupe distingué Htel que
G/H0et Hsont nilpotents, montrer que Gest nilpotent.
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