Compléments sur les groupes

I. El Hage
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1
Compléments sur les groupes
1 Quelques théorèmes
Soit
f :G
G un homomorphisme de groupes surjectif.
Nous allons désigner
par S G l’ensemble
des
sous-groupes
de
G
et
par
S
G
celui
des sous-groupes de
f
G contenant Ker f .
Théorème Il existe une bijection de S G sur S f G .
Démonstration
Soit ϕ l’application de S G dans S f G qui associe à H le sous groupe f 1 H de G. ϕ est injective, car nous avons
ϕH
ϕK
H
H
1
f f
1
f
K
f H
SG
et ϕ H
K
1
f f
K
vu que f est surjective. D’un autre côté, si H
H
H
1
f
S f G , alors
1
f
H
H
car nous avons
x
f
1
f H
1
D’où f f H
f x f H
y H f x
x
y Ker f
f y
H
x H
H. L’autre inclusion est évidente. Ainsi ϕ est surjective.
Théorème La bijection ϕ est croissante.
Démonstration Si H
K , alors
x ϕH
!
D’où ϕ H
#
f x
1
x f
f x
H
K
x f
H
1
!
"
K
ϕK
#
ϕ K .
Théorème
H
est un sous-groupe distingué de G si, et seulement si, le sous
groupe H ϕ H de G est distingué.
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2
Démonstration Si H est un sous-groupe distingué de G , alors nous avons
x
G, y
H
%$
f x
f x 1 yx
x 1 yx
G, f y
H
f x
1
f
H
1
f y f x
H
&
H
Réciproquement,
si le sous-groupe
H de G est distingué, alors H est un sous-groupe
.
En
effet,
si
x
G
et y H , alors
il existe x G et y H tels que
distingué
de
G
x
f x et y
f y (H
f f 1 H
f H car f est surjective). Nous avons
x
car x 1 yx
1
yx
'
f x
1
f y f x
f x 1 yx
f H
H
H.
Théorème Si H est distingué dans G et H
G H.
(
ϕ H , alors G H est isomorphe à
(
Démonstration L’application
g; G
f
G
(
p )
G H
où p est la surjection canonique qui est un homomorphisme de groupes. Il est surjectif
et son noyau est H car
x
(
Ker g
D’où G H
*,+
Im g
/.
p f x
g x
e
+
f x
H
+
-
x
H
(
G H.
2 Chaînes normales
Soient G1 et G2 deux sous-groupes de G tels que G1
G2 .
Définition On appelle chaîne normale de G entre G2 et G1 toute chaîne de sousgroupes de G
10!0!02
G1 H0 H1
Hn G2
telle que chaque
Hi ( soit un sous-groupe
distingué de son successeur Hi3 1 . Les groupes
quotients Fi Hi3 1 Hi pour i 0 4 1 45
55
4 n 1 sont appelés les facteurs de la chaîne.
Définition On appelle chaîne normale du groupe G toute chaîne normale de G
entre 6 e 7 et G.
Exemple Soit S3 le groupe des permutations de l’ensemble 6 1 4 2 4 3 7 et A3 le groupe
alterné d’ordre 3. La chaîne
6 i7
A3 S 3
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3
est une chaîne normale du groupe S3 .
Théorème Si f ; G
toute chaîne normale
G est un homomorphisme surjectif, alors f transforme
e7
6
H0
10!0!02
H1
Hn
G
8
de G en une chaîne normale
e
9
H0
10!0!02
H1
Hn
G
de G
et il ( existe
un homomorphisme
surjectif ui du facteur Fi
Fi Hi3 1 Hi pour i 0 4 1 4
55
5
4 n 1.
(
Hi3
1
Hi sur le facteur
Démonstration L’homomorphisme f transforme la chaîne
6
H0
10!0!02
H1
Hn
G
8
en la chaîne
e
e7
H0
9
10!0!02
H1
Hn
G
où Hi
f Hi pour i 0 4 1 45
55
4 n 1. Cette chaîne est normale, car l’image d’un sousgroupe distingué par un homomorphisme surjectif est un sous-groupe distingué. D’un
autre côté, L’application ui définie par
xy 1
ui pi x
pi f x
:
est bien définie, car nous avons
pi x
pi y
%$
Hi
f x f y
pi f x
;
1
1
f xy pi f y
f Hi
&
Hi
où pi et pi sont les surjections canoniques. Il est facile de vérifier que ui est un homomorphisme de groupes surjectif.
Théorème Si f ; G
male
8
G est un homomorphisme injectif, alors toute chaîne nore
1
de G est transformée par f 6
e7
9
H0
H1
10!0!02
Hn
G
en une chaîne normale
H0
H1
10!0!0
Hn
f
1
G
G
de f 1 G et il existe
un homomorphisme
injectif vi du facteur Fi
(
facteur Fi Hi3 1 Hi pour i 0 4 1 4
55
5
4 n 1.
Démonstration Soit Hi
G forment une chaîne
6
e7
H0
f
1
Hi pour i
H1
10!0!0
Hn
0 4 1 4
5
55
4 n
f
1
G
Hi3
(
1
Hi dans le
1. Les sous-groupes Hi de
G
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où H0
f
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1
H0
x
1
f
e
Hi3 1 , y Hi
e 7 . Cette chaîne est normale car nous avons
6
f x
$
Ker f
4
f x 1 yx
x 1 yx
Hi 3 1 , f y
Hi
f x
Hi
1
f y f x
&
Hi
L’application vi est définie comme l’application ui du théorème précédent. C’est un
homomorphisme de groupes. Il est injectif car nous avons
vi p i x
e
pi f x
f x
e
Hi
x f 1 Hi
<
pi x
e
Hi
Théorème Si chaque facteur d’une chaîne normale de G possède une chaîne normale, alors nous obtenons une chaîne normale de G en concaténant les différentes
chaînes des facteurs. Les facteurs de la nouvelle chaîne sont isomorphes aux facteurs
des chaînes des différents facteurs.
Démonstration Soit
e7
6
H0
H1
10!0!02
Hn
G
une chaîne normale de G et soit
e7
6
Ki = 0
Ki = 1
>0!0!02
Ki = ni
Fi
une chaîne normale du facteur Fi pour i 1 4 2 4
55
54 n 1. La surjection canonique pi ; Hi3
Fi transforme cette chaîne en une chaîne normale de G entre Hi et Hi3 1
Hi
où Li j
pi
1
e7
Li = 0
(
Ki j Li = j Hi
6
H0
Ln
Li = 1
>0!0!02
Li = ni
Hi 3
1
1
Ki = j . Il en résulte que la chaîne
?
L0 = 0
1= 0
Ln
L0 = 1
10!0!0
>0!0!02
1= 1
L0 = n0
Ln
1 = ni
H1
>0!0!02
Hn
Hn
1
G
(
est une chaîne normale de
G. Il nous reste à prouver que le facteur L i = j 3 1 Li = j est iso(
morphe au facteur Ki = j 3 1 Ki = j et ceci pour j 0 4 1 45
55
4 ni 1 et pour i 0 4 1 45
55
4 n 1. La
restriction de pi à Li = j 3 1 est un homomorphisme surjectif de Li = j 3 1 sur Ki = j 3 1 . Le dernier
théorème de
la section précédente
nous donne l’isomorphisme recherché (prendre
Ki = j et H Li = j ).
G Ki = j 3 1 , H
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3 Groupes résolubles
Définition On dit qu’un groupe G est résoluble si, et seulement si, il possède une
chaîne normale dont les facteurs sont abéliens.
Exemple Le groupe symétrique S3 est résoluble.
Théorème Tout groupe abélien est résoluble.
Démonstration Il suffit de prendre la chaîne 6 e 7
G.
Théorème Tout groupe cyclique est résoluble.
Démonstration Car un groupe cyclique est abélien.
Théorème Toute image par un homomorphisme d’un groupe résoluble est un
groupe résoluble.
Démonstration Si G est une image homomorphe
du groupe résoluble G, alors il
existe un homomorphisme surjectif f ; G
G . Si
e7
6
H0
H1
10!0!02
Hn
G
8
est une chaîne normale de G
à facteurs abéliens, alors la chaîne
e
H0
H1
10!0!02
Hn
G
9
où Hi
f Hi pour i 0 4 1 4
55
54 n 1 est normale et ses facteurs sont des images homomorphes
de ceux de la chaîne de G (par l’homomorphisme ui ). Il en résulte que la
chaîne G est une chaîne normale à facteurs abélien. Ceci prouve que G est résoluble.
Corollaire Tout groupe quotient d’un groupe résoluble est un groupe résoluble.
Démonstration En effet, un groupe quotient de G est une image homomorphe de
G par la surjection canonique.
Théorème Si f ; G
alors G est résoluble.
G est un homomorphisme injectif et si G est résoluble,
8
résoluble, alors il possède une chaîne normale
Démonstration Si G est
e
9
H0
H1
10!0!02
Hn
G
à facteurs abéliens. La chaîne
6
e7
H0
H1
10!0!02
Hn
G
où Hi f 1 Hi( pour i 0 4 1( 4
55
5
4 n est une chaîne normale et il existe homomorphisme
injectif vi ; Hi3 1 Hi
Hi 3 1 Hi . Il en résulte que les facteurs de la chaîne de G sont
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tous abéliens, ce qui prouve que G est résoluble.
Corollaire Tout sous-groupe K d’un groupe résoluble est un groupe résoluble.
Démonstration Il suffit d’appliquer le théorème précédent à l’injection canonique.
Théorème Si G possède une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes
résolubles, alors G est résoluble.
Démonstration Soit
6
e7
H0
H1
10!0!02
Hn
G
(
une chaîne normale de G telle que tous les facteurs Fi Hi3 1 Hi sont résolubles. Nous
avons démontré que l’on peut utiliser ces chaînes normales des facteurs pour construire
une chaîne normale de G dont les facteurs sont isomorphes aux facteurs des différentes
chaînes normales des facteurs. Mais les chaînes des Fi peuvent être choisies à facteurs
abéliens, il en résulte que les facteurs de la chaîne concaténée sont tous abéliens et G
est résoluble.
Théorème
Soit H un sous-groupe distingué de G. G est résoluble si, et seulement
(
si, H et G H sont résolubles.
(
Démonstration Si G est résoluble,( alors H et G H sont résolubles comme nous
l’avons vu. Réciproquement, si H et G H sont résolubles, alors
6
e7
H
G
est une chaîne normale de G dont les facteurs F1
solubles. Il en résulte que G est résoluble.
H
(
6
e7
H et F2
?
(
G H sont ré-
Dans la suite, nous allons prouver que G est résoluble si, et seulement si, G possède
une chaîne normale dont les facteurs sont des groupes cycliques d’ordres premiers. Il
est clair que si G satisfait cette condition, alors G est résoluble. Pour démontrer la réciproque, nous démontrons les théorèmes préliminaires suivants :
Théorème Si p est un facteur premier de l’ordre d’un groupe cyclique fini G, alors
G possède un élément d’ordre p.
Démonstration
Si a est un générateur de G, alors l’élément b
car b p e et p est premier.
n
a p est d’ordre p,
Théorème Si p est un facteur premier de l’ordre d’un groupe abélien fini G, alors
G possède un élément d’ordre p.
Démonstration Par récurrence sur l’ordre n de G. Si n 1, le théorème est vrai.
Supposons le théorème vrai pour tous les groupes finis d’ordre @ n et démontronsle pour les groupes finis d’ordre n. Soit G un tel groupe. Si G est cyclique, alors on
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est ramené au théorème
précédent.
Sinon, G possède un élément h d’ordre m tel que
1 ( @ m @ n. Soit H gr h le sous groupe de G engendré par h. Le groupe quotient
G H est d’un ordre @ n. Deux cas sont possibles :
1. p divise m : dans ce cas, p divise l’ordre du groupe H qui est d’ordre m @ n.
Ainsi H contient un élément d’ordre p.
(
(
2. p ne divise pas m : p ( divise l’ordre de G H car n m A ord
G H et p est
premier. Il existe
y G H d’ordre
p. L’élément
x ym vérife x B e (sinon
ym e
p p m p
m
p
p
et p divise m Ord y ) et x
y
y
e car y H (y
e) et m est
l’ordre de H. On en déduit que p est l’ordre de x car p est premier.
Corollaire Si G est un groupe abélien fini d’ordre non premier, alors G possède
un sous-groupe propre( c.a.d distint de 6 e 7 et G.
Démonstration Si p est un facteur
premier
de l’ordre de G, alors G possède un
élément d’ordre p. Le sous-groupe H gr a qui est le sous groupe de G engendré par
a est un sous-groupe propre de G.
Théorème Si G est un groupe résoluble, alors G possède une chaîne normale dont
les facteurs sont des groupes cycliques d’ordres premiers.
Démonstration Soit
6
e7
H0
H1
10!0!02
Hn
G
une chaîne normale à facteurs abéliens. Nous supposons que cette chaîne est la plus
longue des chaînes normales de G à facteurs abéliens. Si un facteur Fi n’était pas un
groupe cyclique d’ordre premier,
alors
Fi possède un sous-groupe propre et G possède
un sous-groupe H tel que Hi H Hi3 1 . H est distingué dans Hi3 1 , car si x Hi3 1
et y H, alors
x 1 yx y (Fi est abélien).
Il en résulte x 1 yxy 1 Hi H et x ( 1 yx
(
1
1
x
yxy y H. D’un autre côté, H Hi est abélien (sous-groupe de Fi ) et Hi 3 1 H est
abélien car nous avons
(
.
(
C( (
Hi3 1 H
Hi3 1 Hi
H Hi
(
C(
(
et Hi3 1 Hi
H Hi est abélien car c’est un quotient du groupe abélien Fi . Ainsi, si
nous insérons H entre Hi et Hi 3 1 nous obtenons une chaîne normale à facteurs abéliens
plus longue que la plus longue des telles chaînes.
4 Groupe dérivé
Définition Soit G un
groupe distinct de 6 e 7 . Pour tout a 4 b
a 1 b 1 ab sera noté a 4 b et appelé le commutateur de a et b.
G A G, l’élément
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Théorème Les propriétés suivantes sont vraies :
-
+
1. G est abélien
a 4 b e pour tout a 4 b G A G .
2. L’inverse d’un commutateur est un commutateur.
3. Si c est un commutateur, alors x 1 cx est un commutateur pour tout x
G.
Démonstration Ces propriétés sont faciles à vérifier.
Définition Le sous-groupe de G engendré par tous les commutateurs
a4 b , a4 b
G A G, sera appelé groupe dérivé du groupe G. Il sera noté G .
Théorème Le groupe dérivé G de G est l’ensemble des produits finis de commutateurs.
Démonstration Soit H l’ensemble des produits finis de commutateurs. H est un
sous-groupe de G et il contient tous les commutateurs. Il est le plus petit sous-groupe
de G qui contient tous les commutateurs car si un sous-groupe K de G contient tous les
commutateurs,
alors K contient tous les produits finie de commutateurs. Ainsi H K
et H G .
Théorème Le groupe dérivé G de G est un sous-groupe distingué de G.
y
Démonstration
Car, si y
0!0!0
c1 ct . Il en résulte
x 1 yx
x 1 c1
0!0!0
G , alors y est un produit fini de commutateurs, soit
ct x
x 1 c1 x
x 1 c2 x
0!0!0
x 1 ct x
G
car le conjugué d’un commutateur est un commutateur.
(
Théorème Si
H est un sous-groupe distingué de G, alors G H est abélien si, et
seulement si, G H.
Démonstration Si c
a 1 b 1 ab est un commutateur, alors
c
a 1 b 1 ab
Il en résulte c H qui
prouve
G
(
(
pour tout a 4 b G H A G H
1
a 1 b ab
D
1
a 1 b ab
e5
H. Réciproquement, si G
a 1 b 1 ab
a 1 b 1 ab
E
H, alors nous avons
e
(
et par suite G H est abélien.
(
Corollaire Soit G le groupe dérivé du goupe G. G G est abélien.
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Définition On définit, par récurrence, le groupe
dérivé d’ordre i comme étant
1G
le groupe dérivé du groupe G F i groupe G.
IH
: G F iG
1 GJ
GF i
. On définit G F 0 G comme étant le
Nous avons :
Théorème Si G est un groupe résoluble, et si
G0
G
0!0!0
G1
K
Gn
K
K
est une chaîne normale à facteurs abéliens, alors G F iG
Démonstration Par récurrence . Si i
avoir G F i G
)
Gi
Gi 3
1
Gi . Nous avons G F i 3
1G
H
G F iG
1G
H
J
G F iG
0 4 1 4
55
5
4 n.
G
Gi)
Gi 3
G F 0 G . Supposons
(
Gi) . Comme Gi Gi 3
J
Gi pour i
0, nous avons G0
et par suite
G F i3
e7
6
1
est abélien, on a
15
Théorème G est résoluble si, et seulement si, G F n G
6
e 7 pour certains n.
Démonstration Si G est résoluble et si
G
G0
0!0!0
G1
K
K
Gn
K
6
e7
est une chaîne normale à facteurs abéliens, alors G F n G
Gn 6 e 7 , d’où G F nG
n
G
Réciproquement, si G F
6 e 7 pour un entier naturel n, alors la chaîne
G
G F 0G
G
K
0!0!0
G F 1G
K
G F nG
K
est une chaîne normale à facteurs abéliens car G F i G G F i3
H
6
e7 .
e7
6
(
1G
est abélien car G F i 3
1G
G F iGLJ . Ainsi G est résoluble.
Théorème Le groupe alterné An n’est pas résoluble pour n M 5.
Démonstration
Nous allons démontrer que An) contient tous les cycles de longueur
3. Si abc est un tel cycle, alors
abc
adc bec acd bce
acd
1
bce
1
acd bce
An)
où d et e des éléments distincts et distinct de a 4 b 4 c (n M 5). Il en résulte que An , engendré par les cycles de longueur 3, est égal à son groupe dérivé An) . Ceci prouve que
An n’est pas résoluble pour n M 5, car son groupe dérivé de n’importe quel ordre est
distinct de 6 i 7 .
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Corollaire Le groupe symétrique Sn n’est pas résoluble pour n
M
5.
Démonstration Sinon, An serait résoluble.
Théorème Le groupe symétrique Sn est résoluble pour n N6 1 4 2 4 3 4 4 7 .
Démonstration Ceci est claire pour n
6
i7
où V est le groupe
V
6
W
i 4 12 34
1 4 2 4 3. Pour n
V
4
A4
13 24
4, nous avons la chaîne
S4
4
14 23
7
et W est un sous-groupe d’ordre 2 de V . Cette chaîne est normale. La seule vérification
à faire est que V est un sous-groupe distingué de A4 . Mais V est distingué dans S4 .
Ainsi la chaîne est normale. Les facteurs sont tous d’ordre 2 ou 3, ils sont abéliens. Il
en résulte que S4 est résoluble.