Partie 1 - Thermodynamique

UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER - GRENOBLE 1
L2 - PHY231 - Juin 2006 - Epreuve Terminale 2
Durée : 3 heures (Thermodynamique+Ondes)
Formulaire manuscript A4 recto-verso et calculatrice autorisés
Les sujets Ondes et Thermodynamique seront rendus sur des copies séparées
Partie 1 - Thermodynamique
Les 2 exercices sont indépendants.
Exercice 1 - Diagramme de Raveau
On considère une machine ditherme (en contact avec 2 sources) dans lequel un fluide subit un
cycle de transformations, a priori quelconques (réversibles ou pas). Ce fluide échange :
avec le milieu extérieur
du travail
de la chaleur avec la source froide (à température constante ) : de la chaleur avec la source chaude (à température constante ) : On appelle diagramme de Raveau, la représentation de en fonction de . On tracera un plan
(ordonnée) en fonction de (abscisse) dans lequel seront présentés les résultats ci-après.
et .
1)a) En utilisant le premier principe, donner une relation liant :
b) Après avoir rappelé le signe de
pour les cycles moteurs et récepteurs, tracer dans le plan
( ) la droite séparant ces 2 types de machines. On indiquera clairement les 2 zones.
2)a) Démontrer, en utilisant le second principe, l’inégalité de Clausius :
(1)
On indiquera dans quel cas on a l’égalité et l’inégalité stricte.
b) L’inégalité précédente définit 2 zones dans le plan ( ) : une zone interdite par le second
principe et une zone autorisée. Tracer qualitativement (on remarquera que ) la droite
séparant les 2 zones et hachurer la zone où se trouvent les machines thermiques interdites par le
second principe.
3)a) Rappeler le principe de fonctionnement d’un réfrigérateur. On précisera ce qui joue le rôle
et .
de la source froide et de la source chaude et on indiquera le signe des grandeurs
Indiquer sur le plan ( ) où se trouvent les réfrigérateurs autorisés par le second principe.
b) On rappelle que l’efficacité du réfrigérateur ( "!$#&% ) est définie par :
' "!$#&%)( (2)
Exprimer '*+!$#&% en fonction des chaleurs et uniquement.
c) Dans le cas réversible, exprimer ,*+!$#&% en fonction de et uniquement.
À température intérieure du réfrigérateur constante, montrer que l’efficacité est plus faible en été.
Calculer la valeur de l’efficacité pour un réfrigérateur maintenu à 5 -/. dans une température ambiante de 20 -/. .
1
4) Dans le cas irréversible, montrer que
*+!$#&% (3)
En déduire l’expression de
! , le travail minimal à fournir pour faire passer de la chaleur
d’un corps froid vers un corps chaud. Commenter le résultat en utilisant l’énoncé de Clausius.
Exercice 2 - Cycle d’Otto
On se propose d’étudier le cycle d’Otto, qui n’est autre que le cycle du moteur à explosion. Le
système est constitué par le mélange air-essence contenu dans un cylindre. Au cours d’un cycle, ce
mélange, que l’on considère comme un fluide parfait, subit successivement les 4 transformations
réversibles suivantes:
) vers l’état B (
).
Une combustion isochore de l’état B vers l’état C (
).
Une détente adiabatique de l’état C vers l’état D (
).
Une compression adiabatique de l’état A ( Un refroidissement isochore de l’état D vers l’état A.
On donne les valeurs suivantes: )(43 51 , ) ( 6 87 , 9 (;:-.
( ! #"%$ '& $ , ( ( -))+,* ( .#/#0 , ( 21 ,
% . , et 9 (=< 0#. % . .
1) Représenter de manière schématique le cycle d’Otto dans un diagramme de Clapeyron (P,V).
Justifier qualitativement vos choix.
2)a) Déterminer les valeurs numériques de : > le nombre de moles ainsi que P, V et T pour chacun
des états A, B, C et D. On résumera les valeurs dans un tableau.
b) Exprimer pour ce gaz les coefficients .@? et .A en fonction de R. Conclure sur la nature de ce
gaz.
3)a) Calculer les travaux et chaleurs échangés au cours des 4 transformations constituant le cycle.
Conclure sur la nature du cycle.
b) Exprimer le rendement B du cycle en fonction des températures. Application numérique.
c) Déterminer la variation d’entropie du système lors de chacune des transformations. En déduire
la variation d’entropie totale. Conclure.
?ED
$-I
4) On appelle C ( ?GF le taux de compression du cycle. Montrer que B (
HC .
Tracer (qualitativement) la variation de B en fonction de C . Pourquoi ne peut-on pas avoir B(
1J
?
5) Calculer, en chevaux (
(K. : ), la puissance de ce moteur en régime nominal (4500
tours/minute). On rappelle qu’un cycle équivaut à deux tours.
2
io
t
c
re
r
o
C
Licence 2 - UE PHY231 - Durée : 1h30 - Juin 2006
Partie 1 - Thermodynamique
Exercice 1 - Diagramme de Raveau
(
1)a) On applique tout d’abord le premier principe :
Or est une fonction d’état, sa variation est donc nulle sur un cycle :
( (4)
Q2
Moteur
−
W<0
Q1
récepteurs.
. On a donc :
=
Q2
, le cycle est récepteur (il reçoit du travail) et pour
b) Pour
le cycle est moteur (il fournit du travail).
L’équation précédente nous indique donc que la droite ( ( . Elle représente donc la froncorrespond à un travail nul
tière dans le plan ( ) entre les cycles moteurs et les cycles
.
( Q1
Récepteur
(
.
( car l’entropie est une fonc-
W>0
2)a) On utilise l’expression
Dans le cas d’un cycle, on a
tion d’état.
Par définition la création d’entropie est positive (cas irréversible) ou nulle (réversible) :
On peut finalement évaluer l’échange d’entropie :
(
W=0
.
(
"% car les sources sont à température constante.
On en déduit l’inégalité de Clausius :
On a l’égalité pour les cycles réversibles ( ( ) et l’inégalité pour les cycles irréversibles ( b) On déduit de ce qui précède :
).
ce qui définit deux zones dans le diagramme de Raveau : l’une autorisée par le second principe,
l’autre interdite par le second principe, comme indiquée sur la figure 1.
3)a) Fonctionnement : Un réfrigérateur est une machine thermique qui reçoit du travail pour
prélever de la chaleur à la source froide.
Dans ce cas, la source froide est l’intérieur du réfrigérateur (à température ) et la source chaude
la cuisine (à la température ). Le système reçoit du travail ( ) pour prélever de la chaleur
3
=
Q2
In
te
/T1) Q 1
rd
it
pa
rl
Pr
eS
in
ci
ec
pe
on
d
= −(T2
Q2
Moteur
W<0
Q2
−
Q1
Q1
R
Récepteur
W>0
W=0
Figure 1: Diagramme de Raveau récapitulatif.
( ) ) à la source froide. Il fournit par ailleurs de la chaleur à la source chaude ( 5 ).
La zone des réfrigérateurs autorisés par le second principe est indiquée sur la figure 1 (zone R).
( , on trouve :
b)En utilisant le résultat de la question 1)a),
"!$#&% ( F
(5)
D
c) Si de plus le cycle est réversible, on a l’égalité de Clausius :
( ( ( "!$#&%)( Soit :
(réversible)
Si est constante, on constate que l’efficacité diminue lorsque
couteux en énergie de faire fonctionner le réfrigérateur en été.
Application numérique :
4) On a :
"!$#&% (
F $ D D ( 6 ( 0
"!$#&% ( GF
D
Or, d’après l’inégalité de Clausius (cas irréversible) :
( 4
(6)
augmente : il est donc plus
Il vient donc :
GF FD ( ' "!$#&% D
Pour donnée, l’efficacité maximale est :
( ( ! soit :
! ( On constate que le travail minimal reçu n’est pas nul (comme prédit par l’énoncé de Clausius). Le
minimun n’est atteint que pour les transformations réversibles.
5
Exercice 2 - Cycle d’Otto
P
1) De A à B on a une compression, il y a donc augmentation de P
et diminution de V.
De B à C on a une combustion. Il y a donc augmentation de
température. Or la transformation est à volume constant donc il y a
forcément augmentation de P.
La troisième étape est du même type que la première, de plus on
, on connait donc l’abscisse du point D. Quant à
sait que (
son ordonnée, D est au-dessus de A car la dernière étape est un
refroidissement à V constant, donc une baisse de température.
C
B
D
A
V2
2)a) Il suffit d’utiliser la loi des gaz parfaits. On a ainsi:
V1
!#"
> ( (
< On trouve facilement toutes les coordonnées, à l’exemple de pour laquelle on utilise la relation
de Laplace:
I
I
( ( Et ainsi de suite... On obtient finalement:
P (en 87 )
A
B
C
D
"!#
( &"!#
*+$"!#
V (en
1 )
$
$
T (en
%'&
)
%'&
&
)
On vérifie au passage que ces résultats sont cohérents avec le diagramme de la question 1).
2)b)
.? ( ( ( - ,
et .A
( ( E( ( . ,
Les valeurs de .? et .A , nous indiquent qu’il s’agit d’un gaz parfait diatomique.
3)a) Calcul des chaleurs et travaux:
/10 2 : la transformation est adiabatique, on a par conséquent: 3 Concernant le travail, il suffit d’utiliser le premier principe et la loi de Joule. On a en effet:
( ( 54 (4> .? ( > 0 < 6
V
! On en déduit:
2 0
: c’est une transformation isochore, on a donc immédiatemment:
On utilise le même raisonnement que précédemment pour calculer et on trouve:
3 ! Les deux autres transformations se traitent exactement de la même manière, et on trouve au final
les valeurs numériques suivantes:
. . " ) $*+
* $ W(en
" )
$(* &
Q(en
$&
#"%$" &
!
On peut calculer la valeur de
% :
&!
&(' On constate que l’on a bien un cycle moteur, car
% .
3)b) Le rendement nous est donné par la relation:
) * % )
B ( ,+
Or si on regarde les résultats précédents, on voit que ( ( I $ @ . On en déduit
la valeur de B :
(.0/ 21 /43
B(
(
/5 1 / -
76
L’application numérique donne:
&* 3)c) Pour le calcul de la variation d’entropie, on utilise l’expression
, car la transforma(
tion est réversible.
Les transformations AB et CD sont de plus adiabatiques : la variation d’entropie est donc nulle.
8 #9 ;: =<?>
@BADCFE B@ AHGI
Pour les deux transformations isochores, on utilise l’expression :
On a donc :
8 (
0 > 8 (
< KJ (4> .?H8 ( 0< >G " > MM L N On applique cette formule pour les deux transformations considérées :
PO ) ( : -# & $ $
RQRS ( : & 7
(dV=0).
La variation totale d’entropie est nulle, ce qui est normal pour un cycle : S est une fonction d’état.
4) On part de l’expression du rendement de la question 3b) :
B ( Or, d’après les relations de Laplace, on a:
I$
I$
I$
I$
( 4 ( relations qui peuvent aussi s’écrire de la manière suivante:
Rendement
( $-I 4 ( $-I
On remplace dans l’expression de B :
$-I $-I
1
B (
( On peut noter que le rendement est toujours inférieur à 1, quelque
soit le taux de compression .
( , soit en utilisant
Un rendement égal à 1 correspondrait à
le premier principe (
. On aurait alors une machine
convertissant intégralement de la chaleur en travail ce qui est est
interdit par le second principe (énoncé de Kelvin-Planck).
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
%
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Taux de compression
& 6 ( . 0 1 1 " / 1 > 8 . Cela donne donc la puissance
) % ) (=< < 1J 7 C
( . 0 *
5) A 4500 tours/minute correspondent
suivante:
en utilisant la valeur de
0
trouvée en 3)a).
8