Première S Devoir à la maison n°4

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Devoir à la maison n°4
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Exercice 1 = 39p.53
Question de cours
Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0; + ∞[
Application:
Démontrer que, pour tout nombre réel x de [0 ; + ∞ [, x² + 1 ≥ 2x
Exercice 2 = 41p.53
On se propose de comparer:
A = 1,000 0002 et B = 1,000 000 4
1a. Calculer B avec la calculatrice. Qu’obtient-on ?
soit A
1b. vérifier qu’il existe un nombre réel a tel que: A = 1 + a
2 et B = 1 + a
2. On note f et g les fonctions définies sur [0 ; + ∞[ par:
f(x) =1 + x
2 et g(x) = 1 + x
a) Pour tout nombre réel x de [0 ; +∞ [, comparer (f(x))² et g(x))²
b) En déduire que, pour tout nombre réel x de [0; + ∞ [, g(x) ≤ f(x).
3. a) Les nombres A et B sont-ils égaux ? Lequel des deux est le plus grand ?

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b) Expliquer le résultat donné par la calculatrice.
Exercice 3 = 77p.61
Une distance minimale
Dans un repère, P est la parabole d’équation: y = x².
On note A le point de coordonnées (0 ; 1) et M le point de P d’abscisse x.
On se propose de trouver les positions éventuelles de M sur P pour lesquelles la distance AM
est minimale.
1. Construire la figure avec un logiciel de géométrie et conjecturer les positions cherchées.

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2. Démontrer que AM² = x
4
- x² + 1.
3. f est la fonction définie sur R par f(x) = x
4
- x² + 1.
a) Vérifier que pour tout nombre réel x, f(x) =
x² - 1
2
² +3
4
un calcul direct donne le résultat
f(x) =
x² - 1
2
² +3
4
f(x) = x
4
– x² + 1
4 + 3 4
f(x) = x
4
– x² + 1
b) Etudier le sens de variation de la fonction f sur R et dresser son tableau de variation.
Comme f(x) = 
x² - 1
2
² +3
4, il faut faire considérer 4 cas :
x < - 1
2 - 1 2 <x <0 0 <x < 1 2 x > 1 2
1
er
cas : x < - 1
2
Soit a ≤ b ≤ - 1
2 alors la fonction carré étant décroissante sur R-,

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a² ≥ b² ≥ 
- 1
2 ² soit a² - 1
2 ≥ b² - 1 2 ≥ 0
La fonction carré étant croissante sur R+, 
a² - 1
2
²≥ 
b² - 1
2
²≥ 0
D’où 
a² - 1
2
²+ 3
4 ≥
b² - 1
2
²+ 3
4≥ 0+ 3 4 soit f(a) ≥ f(b) ≥ 3 4 ce qui prouve que f est décroissante
sur cet intervalle.
2ème cas : x > 1
2
de même on montre que f est croissante sur cet intervalle
3
ème
cas : - 1
2 <x <0 on montre que f est croissante sur cet intervalle
4
ème
cas : 0 <x < 1
2 on montre que f est croissante sur cet intervalle
Tableau de variation :
4. a) En utilisant le fait que AM est minimale si, et seulement si, AM² est minimale,
déterminer les positions de M pour lesquelles AM² est minimale.
b) Calculer cette distance minimale.
De AM² = 3
4 il vient AM = 3 2 ≈ 0,866