Première S Devoir à la maison n°4

Première S
Devoir à la maison n°4
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Exercice 1 = 39p.53
Question de cours
Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0; + ∞[
Application:
Démontrer que, pour tout nombre réel x de [0 ; + ∞ [,
x² + 1 ≥ 2x
Exercice 2 = 41p.53
On se propose de comparer:
A = 1,000 0002 et B = 1,000 000 4
1a. Calculer B avec la calculatrice. Qu’obtient-on ?
soit A
1b. vérifier qu’il existe un nombre réel a tel que: A = 1 +
a
et B = 1 + a
2
2. On note f et g les fonctions définies sur [0 ; + ∞[ par:
x
f(x) =1 + et g(x) = 1 + x
2
a) Pour tout nombre réel x de [0 ; +∞ [, comparer (f(x))² et g(x))²
b) En déduire que, pour tout nombre réel x de [0; + ∞ [, g(x) ≤ f(x).
3. a) Les nombres A et B sont-ils égaux ? Lequel des deux est le plus grand ?
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b) Expliquer le résultat donné par la calculatrice.
Exercice 3 = 77p.61
Une distance minimale
Dans un repère, P est la parabole d’équation: y = x².
On note A le point de coordonnées (0 ; 1) et M le point de P d’abscisse x.
On se propose de trouver les positions éventuelles de M sur P pour lesquelles la distance AM
est minimale.
1. Construire la figure avec un logiciel de géométrie et conjecturer les positions cherchées.
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2. Démontrer que AM² = x4- x² + 1.
3. f est la fonction définie sur R par f(x) = x4- x² + 1.
1² 3

a) Vérifier que pour tout nombre réel x, f(x) =x² - 2 +

 4
un calcul direct donne le résultat
1² 3

f(x) =x² - 2 +

 4
1 3
f(x) = x4 – x² + +
4 4
4
f(x) = x – x² + 1
b) Etudier le sens de variation de la fonction f sur R et dresser son tableau de variation.
1² 3

Comme f(x) = x² - 2 + , il faut faire considérer 4 cas :

 4
1
1
1
1
x<<x <0 0 <x <
x>
2
2
2
2
1
2
1
Soit a ≤ b ≤ alors la fonction carré étant décroissante sur R-,
2
1er cas : x < -
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 1 ²
1
1
 soit a² - ≥ b² - ≥ 0
a² ≥ b² ≥ 2
2
 2 
1² 
1²

La fonction carré étant croissante sur R+, a² - 2 ≥ b² - 2 ≥ 0

 

3
3
a² - 1² 3 b² - 1² 3
D’où 
2 + 4 ≥
2 + 4≥ 0+ 4 soit f(a) ≥ f(b) ≥ 4 ce qui prouve que f est décroissante

sur cet intervalle.
1
2
de même on montre que f est croissante sur cet intervalle
2ème cas : x >
1
<x <0 on montre que f est croissante sur cet intervalle
2
1
cas : 0 <x <
on montre que f est croissante sur cet intervalle
2
3ème cas : 4ème
Tableau de variation :
4. a) En utilisant le fait que AM est minimale si, et seulement si, AM² est minimale,
déterminer les positions de M pour lesquelles AM² est minimale.
b) Calculer cette distance minimale.
De AM² =
3
3
il vient AM =
≈ 0,866
4
2