Algorithmes de couverture et d`augmentation de graphes sous

Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Algorithmes de couverture et d’augmentation de
graphes sous contraintes de distance
Bertrand Estellon
sous la direction de Victor Chepoi et Yann Vaxès
Université de la Méditerranée
Laboratoire d’Informatique Fondamentale de Marseille
Équipe Combinatoire et Recherche Opérationnelle
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Problématique générale
Critères de qualité d’un réseau :
Performance (Délais de transmission)
Fiabilité (Résistance aux pannes)
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Problématique générale
Critères de qualité d’un réseau :
Performance (Délais de transmission)
Fiabilité (Résistance aux pannes)
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Problématique générale
Critères de qualité d’un réseau :
Performance (Délais de transmission)
Fiabilité (Résistance aux pannes)
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Problématique générale
Critères de qualité d’un réseau :
Performance (Délais de transmission)
Fiabilité (Résistance aux pannes)
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Problématique générale
Problèmes d’augmentation.
Ajouter un nombre minimum de liaisons à un réseau existant afin de
satisfaire certains critères de qualité.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problème d’augmentation sous contraintes de diamètre
Diamètre.
Distance.
u
dG (u, v ) = 3
v
dG (u, v ) = nombre minimum
d’arêtes d’un chemin entre u et v .
diam(G ) = distance maximale qui
sépare deux sommets de G .
Problème ADC (Augmentation under Diameter Constraints)
Étant donné un graphe G = (V , E ) et un entier D,
trouver un ensemble d’arêtes E ′ ⊆ V 2 de cardinalité minimale tel que le
graphe augmenté G ′ = (V , E ∪ E ′ ) ait un diamètre au plus D.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problème d’augmentation sous contraintes de diamètre
Diamètre.
Distance.
u
u
diam(G ) = 5
dG (u, v ) = 3
v
dG (u, v ) = nombre minimum
d’arêtes d’un chemin entre u et v .
v
diam(G ) = distance maximale qui
sépare deux sommets de G .
Problème ADC (Augmentation under Diameter Constraints)
Étant donné un graphe G = (V , E ) et un entier D,
trouver un ensemble d’arêtes E ′ ⊆ V 2 de cardinalité minimale tel que le
graphe augmenté G ′ = (V , E ∪ E ′ ) ait un diamètre au plus D.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problème d’augmentation sous contraintes de diamètre
Diamètre.
Distance.
u
u
diam(G ) = 5
dG (u, v ) = 3
v
dG (u, v ) = nombre minimum
d’arêtes d’un chemin entre u et v .
v
diam(G ) = distance maximale qui
sépare deux sommets de G .
Problème ADC (Augmentation under Diameter Constraints)
Étant donné un graphe G = (V , E ) et un entier D,
trouver un ensemble d’arêtes E ′ ⊆ V 2 de cardinalité minimale tel que le
graphe augmenté G ′ = (V , E ∪ E ′ ) ait un diamètre au plus D.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Problème d’augmentation sous contraintes de diamètre
Un exemple.
G
D =2
E′
1
a
OPT = 6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Problème d’augmentation sous contraintes de diamètre
Un exemple.
G
D =2
E′
1
a
OPT = 6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Problème d’augmentation sous contraintes de diamètre
Un exemple.
G
D =2
E′
1
2
3
5
4
6
8
7
9
a
3
2
7
4
OPT = 6
8
9
1
5
10
6
10
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Autres problèmes étudiés
Prise en compte du critère de résistance aux pannes.
Problème A2VP (Augmentation with 2 Vertex-disjoint Paths)
Ajouter un nombre minimum d’arêtes au graphe G de sorte qu’il existe
deux chemins sommets-disjoints de longueur au plus D entre chaque
paire de sommets.
Problème ADCE (Augm. with Diameter Constraints minus one Edge)
Ajouter un nombre minimum d’arêtes au graphe G de sorte que le graphe
augmenté conserve un diamètre ≤ D lorsqu’on lui supprime une arête.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Autres problèmes étudiés
Prise en compte du critère de résistance aux pannes.
Problème A2VP (Augmentation with 2 Vertex-disjoint Paths)
Ajouter un nombre minimum d’arêtes au graphe G de sorte qu’il existe
deux chemins sommets-disjoints de longueur au plus D entre chaque
paire de sommets.
≤D
≤D
Problème ADCE (Augm. with Diameter Constraints minus one Edge)
Ajouter un nombre minimum d’arêtes au graphe G de sorte que le graphe
augmenté conserve un diamètre ≤ D lorsqu’on lui supprime une arête.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Autres problèmes étudiés
Prise en compte du critère de résistance aux pannes.
Problème A2VP (Augmentation with 2 Vertex-disjoint Paths)
Ajouter un nombre minimum d’arêtes au graphe G de sorte qu’il existe
deux chemins sommets-disjoints de longueur au plus D entre chaque
paire de sommets.
≤D
≤D
Problème ADCE (Augm. with Diameter Constraints minus one Edge)
Ajouter un nombre minimum d’arêtes au graphe G de sorte que le graphe
augmenté conserve un diamètre ≤ D lorsqu’on lui supprime une arête.
≤D
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Objectifs
Objectifs :
Obtenir des algorithmes d’approximation ou des algorithmes à
performance garantie pour les problèmes d’augmentation lorsque le
graphe initial appartient à une classe de graphes donnée.
Un algorithme d’approximation avec un facteur α est un algorithme :
qui s’exécute en temps polynomial,
qui retourne des solutions dont le coût est ≤ α · OPT + C .
Classes de graphes étudiées :
Arbres
Graphes de largeur arborescente bornée
Graphes planaires et planaires extérieurs
Graphes δ-hyperboliques
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Objectifs
Objectifs :
Obtenir des algorithmes d’approximation ou des algorithmes à
performance garantie pour les problèmes d’augmentation lorsque le
graphe initial appartient à une classe de graphes donnée.
Un algorithme d’approximation avec un facteur α est un algorithme :
qui s’exécute en temps polynomial,
qui retourne des solutions dont le coût est ≤ α · OPT + C .
Classes de graphes étudiées :
Arbres
Graphes de largeur arborescente bornée
Graphes planaires et planaires extérieurs
Graphes δ-hyperboliques
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Objectifs
Objectifs :
Obtenir des algorithmes d’approximation ou des algorithmes à
performance garantie pour les problèmes d’augmentation lorsque le
graphe initial appartient à une classe de graphes donnée.
Un algorithme d’approximation avec un facteur α est un algorithme :
qui s’exécute en temps polynomial,
qui retourne des solutions dont le coût est ≤ α · OPT + C .
Classes de graphes étudiées :
Arbres
Graphes de largeur arborescente bornée
Graphes planaires et planaires extérieurs
Graphes δ-hyperboliques
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Problèmes de couverture par des boules
La boule BG (c, R) :
c
R
Une boule de rayon R centrée sur c
Problème de la R-couverture minimale
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, couvrir les sommets de S en utilisant un nombre minimum
γG (S, R) de boules de rayon R (centrées sur des sommets de G ).
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Problèmes de couverture par des boules
La boule BG (c, R) :
c
R
Une boule de rayon R centrée sur c
Problème de la R-couverture minimale
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, couvrir les sommets de S en utilisant un nombre minimum
γG (S, R) de boules de rayon R (centrées sur des sommets de G ).
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Problèmes de couverture par des boules
La boule BG (c, R) :
c
R
Une 2-couverture :
1
0
00
11
00
11
11
00 00
11
0
11
0
00
1
1
00
11
10
11
00
00 00
11
00
11
11
00 0
11
0
11
0
1
1
0
1
0
1
0
1
00
0 1
1
0
1
Une boule de rayon R centrée sur c
Problème de la R-couverture minimale
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, couvrir les sommets de S en utilisant un nombre minimum
γG (S, R) de boules de rayon R (centrées sur des sommets de G ).
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Problèmes de couverture par des boules
La boule BG (c, R) :
c
R
Une 2-couverture :
1
0
00
11
00
11
11
00 00
11
0
11
0
00
1
1
00
11
10
11
00
00 00
11
00
11
11
00 0
11
0
11
0
1
1
0
1
0
1
0
1
00
0 1
1
0
1
Une boule de rayon R centrée sur c
Problème de la R-couverture minimale
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, couvrir les sommets de S en utilisant un nombre minimum
γG (S, R) de boules de rayon R (centrées sur des sommets de G ).
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Problèmes de couverture par des boules
La boule BG (c, R) :
c
R
Une 2-couverture :
1
0
00
11
00
11
11
00 00
11
0
11
0
00
1
1
00
11
10
11
00
00 00
11
00
11
11
00 0
11
0
11
0
1
1
0
1
0
1
0
1
00
0 1
1
0
1
Une boule de rayon R centrée sur c
Problème de la R-couverture minimale
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, couvrir les sommets de S en utilisant un nombre minimum
γG (S, R) de boules de rayon R (centrées sur des sommets de G ).
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Augmentations considérés pour le problème ADC
Diamètre pair (D = 2R) :
Rayon R
Rayon R − 1
Diamètre impair (D = 2R + 1) :
Rayon R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Augmentations considérés pour le problème ADC
Diamètre pair (D = 2R) :
Rayon R
Rayon R − 1
E′
Diamètre impair (D = 2R + 1) :
Rayon R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Augmentations considérés pour le problème ADC
Diamètre pair (D = 2R) :
Rayon R
Rayon R − 1
E′
Diamètre impair (D = 2R + 1) :
Rayon R
Rayon R − 1
E′
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Augmentations considérés pour le problème ADC
Admissibilité des solutions lorsque D = 2R est pair.
Longueur du chemin ≤ (R − 1) + 1 + 1 + (R − 1) = 2R = D
Contraintes supplémentaires :
Les sommets non-couverts par les boules de rayon R − 1 doivent être
deux à deux à distance au plus 2R dans le graphe initial.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Augmentations considérés pour le problème ADC
Admissibilité des solutions lorsque D = 2R est pair.
Longueur du chemin ≤ (R − 1) + 1 + 1 + (R − 1) = 2R = D
Contraintes supplémentaires :
Les sommets non-couverts par les boules de rayon R − 1 doivent être
deux à deux à distance au plus 2R dans le graphe initial.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Augmentations considérés pour le problème ADC
Admissibilité des solutions lorsque D = 2R est pair.
Longueur du chemin ≤ (R − 1) + 1 + R = 2R = D
Contraintes supplémentaires :
Les sommets non-couverts par les boules de rayon R − 1 doivent être
deux à deux à distance au plus 2R dans le graphe initial.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Augmentations considérés pour le problème ADC
Admissibilité des solutions lorsque D = 2R est pair.
Longueur du chemin ≤ (R − 1) + (R − 1) ≤ 2R = D
Contraintes supplémentaires :
Les sommets non-couverts par les boules de rayon R − 1 doivent être
deux à deux à distance au plus 2R dans le graphe initial.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Augmentations considérés pour le problème ADC
Admissibilité des solutions lorsque D = 2R est pair.
Longueur du chemin ≤ 2R = D
Contraintes supplémentaires :
Les sommets non-couverts par les boules de rayon R − 1 doivent être
deux à deux à distance au plus 2R dans le graphe initial.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Augmentations considérés pour le problème ADC
Admissibilité des solutions lorsque D = 2R est pair.
Longueur du chemin ≤ 2R = D
Contraintes supplémentaires :
Les sommets non-couverts par les boules de rayon R − 1 doivent être
deux à deux à distance au plus 2R dans le graphe initial.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Élaboration des solutions
Algorithme générique lorsque D = 2R est pair.
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que le sous-ensemble
des sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.

On a un algorithme d’approximation avec un facteur α pour



résoudre le problème PCD.
Si :

On peut couvrir n’importe quel sous-ensemble de sommets


de diamètre ≤ 2R avec β boules de rayon R.
Alors on obtient un algorithme avec un facteur 2αβ pour ADC.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Élaboration des solutions
Algorithme générique lorsque D = 2R est pair.
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que le sous-ensemble
des sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.

On a un algorithme d’approximation avec un facteur α pour



résoudre le problème PCD.
Si :

On peut couvrir n’importe quel sous-ensemble de sommets


de diamètre ≤ 2R avec β boules de rayon R.
Alors on obtient un algorithme avec un facteur 2αβ pour ADC.
Diamètre ≤ 2R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Élaboration des solutions
Algorithme générique lorsque D = 2R est pair.
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que le sous-ensemble
des sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.

On a un algorithme d’approximation avec un facteur α pour



résoudre le problème PCD.
Si :

On peut couvrir n’importe quel sous-ensemble de sommets


de diamètre ≤ 2R avec β boules de rayon R.
Alors on obtient un algorithme avec un facteur 2αβ pour ADC.
Rayon R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Élaboration des solutions
Algorithme générique lorsque D = 2R est pair.
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que le sous-ensemble
des sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.

On a un algorithme d’approximation avec un facteur α pour



résoudre le problème PCD.
Si :

On peut couvrir n’importe quel sous-ensemble de sommets


de diamètre ≤ 2R avec β boules de rayon R.
Alors on obtient un algorithme avec un facteur 2αβ pour ADC.
Rayon R
Rayon R − 1
E′
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Élaboration des solutions
Analyse du facteur d’approximation lorsque D = 2R est pair.
Soit E ∗ une augmentation optimale pour le problème ADC
OPTPCD ≤ 2|E ∗ |
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Élaboration des solutions
Analyse du facteur d’approximation lorsque D = 2R est pair.
Soit E ∗ une augmentation optimale pour le problème ADC
E∗
OPTPCD ≤ 2|E ∗ |
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Élaboration des solutions
Analyse du facteur d’approximation lorsque D = 2R est pair.
Soit E ∗ une augmentation optimale pour le problème ADC
E∗
Rayon R − 1
OPTPCD ≤ 2|E ∗ |
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Élaboration des solutions
Analyse du facteur d’approximation lorsque D = 2R est pair.
Soit E ∗ une augmentation optimale pour le problème ADC
E∗
Rayon R − 1
Diamètre ≤ 2R
OPTPCD ≤ 2|E ∗ |
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Élaboration des solutions
Algorithme générique lorsque D = 2R + 1 est impair.
Problème de la Couverture Mixte
Étant donné un graphe G , deux entiers positifs R1 et R2 et une
fonction f , trouver une couverture de G avec n1 boules de rayon R1
et n2 boules de rayon R2 de façon à minimiser f (n1 , n2 ).
Avec R1 := R − 1, R2 := R et f (n1 , n2 ) :=
n2 (n2 −1)
2
+ n1
Rayon R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Élaboration des solutions
Algorithme générique lorsque D = 2R + 1 est impair.
Problème de la Couverture Mixte
Étant donné un graphe G , deux entiers positifs R1 et R2 et une
fonction f , trouver une couverture de G avec n1 boules de rayon R1
et n2 boules de rayon R2 de façon à minimiser f (n1 , n2 ).
Avec R1 := R − 1, R2 := R et f (n1 , n2 ) :=
n2 (n2 −1)
2
+ n1
Rayon R
Rayon R − 1
E′
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problèmes de packing par des boules
Un sous-ensemble P ⊆ S est un
R-packing de S si dG (u, v ) > 2R
pour tous u, v ∈ P
Problème du R-packing maximum (dual du problème de la R-couverture)
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, trouver un R-packing de S de cardinalité maximale νG (S, R).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problèmes de packing par des boules
Un sous-ensemble P ⊆ S est un
R-packing de S si dG (u, v ) > 2R
pour tous u, v ∈ P
Problème du R-packing maximum (dual du problème de la R-couverture)
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, trouver un R-packing de S de cardinalité maximale νG (S, R).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problèmes de packing par des boules
> 2R
Un sous-ensemble P ⊆ S est un
R-packing de S si dG (u, v ) > 2R
pour tous u, v ∈ P
Problème du R-packing maximum (dual du problème de la R-couverture)
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, trouver un R-packing de S de cardinalité maximale νG (S, R).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problèmes de packing par des boules
> 2R
Un sous-ensemble P ⊆ S est un
R-packing de S si dG (u, v ) > 2R
pour tous u, v ∈ P
Problème du R-packing maximum (dual du problème de la R-couverture)
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, trouver un R-packing de S de cardinalité maximale νG (S, R).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problèmes de packing par des boules
Un 2-packing :
> 2R
Un sous-ensemble P ⊆ S est un
R-packing de S si dG (u, v ) > 2R
pour tous u, v ∈ P
1
0
00
11
00
11
11
00 00
11
0
11
0
00
1
1
00
11
10
11
00
00 00
11
00
11
11
00 0
11
10
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0 0
1
1
⇒ solutions optimales
Problème du R-packing maximum (dual du problème de la R-couverture)
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, trouver un R-packing de S de cardinalité maximale νG (S, R).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problèmes de packing par des boules
Un 2-packing :
> 2R
Un sous-ensemble P ⊆ S est un
R-packing de S si dG (u, v ) > 2R
pour tous u, v ∈ P
1
0
00
11
00
11
11
00 00
11
0
11
0
00
1
1
00
11
10
11
00
00 00
11
00
11
11
00 0
11
10
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0 0
1
1
⇒ solutions optimales
Problème du R-packing maximum (dual du problème de la R-couverture)
Étant donné un graphe G = (V , E ), un sous-ensemble S ⊆ V et un
rayon R, trouver un R-packing de S de cardinalité maximale νG (S, R).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
État de l’art
Sans contrainte sur la topologie du graphe initial :
Problème de la R-couverture minimale :
Aussi difficile à approximer que SET COVER
NP-difficile à approximer avec un facteur sous-logarithmique
N. Alon, D. Moshkovitz, M. Safra (2006)
Problème ADC :
NP-difficile à approximer avec un facteur sous-logarithmique
A.A. Schoone, H.L. Bodlaender, J. van Leeuwen (1987)
Approximable avec facteur O(log2 n)
Y. Dodis, S. Khanna (1999)
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
État de l’art
Sans contrainte sur la topologie du graphe initial :
Problème de la R-couverture minimale :
Aussi difficile à approximer que SET COVER
NP-difficile à approximer avec un facteur sous-logarithmique
N. Alon, D. Moshkovitz, M. Safra (2006)
Problème ADC :
NP-difficile à approximer avec un facteur sous-logarithmique
A.A. Schoone, H.L. Bodlaender, J. van Leeuwen (1987)
Approximable avec facteur O(log2 n)
Y. Dodis, S. Khanna (1999)
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
État de l’art
Si le graphe initial est un arbre :
Problème de la R-couverture minimale :
Algorithme exact et linéaire
γG (S, R) = νG (S, R)
G. J. Chang (1988)
Problème ADC :
Approximable avec un facteur 2 lorsque D est pair
V. Chepoi, Y. Vaxès (2002)
Approximable avec un facteur 8 lorsque D est impair
T. Ishii, S. Yamamoto, H. Nagamochi (2003)
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
État de l’art
Si le graphe initial est un arbre :
Problème de la R-couverture minimale :
Algorithme exact et linéaire
γG (S, R) = νG (S, R)
G. J. Chang (1988)
Problème ADC :
Approximable avec un facteur 2 lorsque D est pair
V. Chepoi, Y. Vaxès (2002)
Approximable avec un facteur 8 lorsque D est impair
T. Ishii, S. Yamamoto, H. Nagamochi (2003)
δ-hyperbolicité
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Résultats de la thèse
Partie I : Arbres et forêts.
Si le graphe initial est un arbre :
Couverture mixte :
Algorithme polynomial exact
Problème ADC :
Facteur 2 + 1/δ lorsque D est impair
Si le graphe initial est une forêt :
NP-difficile à résoudre optimalement
Problème A2VP :
Approximable avec un facteur 6
NP-difficile à résoudre optimalement
Problème ADCE :
Approximable avec un facteur 4
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Résultats de la thèse
Partie I : Arbres et forêts.
Si le graphe initial est un arbre :
Couverture mixte :
Algorithme polynomial exact
Problème ADC :
Facteur 2 + 1/δ lorsque D est impair
Si le graphe initial est une forêt :
NP-difficile à résoudre optimalement
Problème A2VP :
Approximable avec un facteur 6
NP-difficile à résoudre optimalement
Problème ADCE :
Approximable avec un facteur 4
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Résultats de la thèse
Partie II : Graphes généraux.
Graphes de largeur arborescente bornée :
R-couverture :
γG (S, R) ≤ (tw (G ) + 1) · νG (S, R)
Problème PCD :
Facteur 2(tw(G)+1)
Couverture mixte :
Algorithme polynomial exact
Facteur 4(tw (G ) + 1)2 lorsque D est pair
Facteur 2 + (tw (G ) + 1)2 + 1/δ lorsque D est impair
Problème ADC :
Graphes δ-hyperboliques :
R-couverture :
Problème ADC :
γG (S, R + δ) ≤ νG (S, R)
(
Algorithme polynomial qui construit une solution
pour D := 2R +2δ avec un nombre d’arêtes inférieur
à 2 fois celui d’une solution optimale pour D := 2R.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Résultats de la thèse
Partie II : Graphes généraux.
Graphes de largeur arborescente bornée :
R-couverture :
γG (S, R) ≤ (tw (G ) + 1) · νG (S, R)
Problème PCD :
Facteur 2(tw(G)+1)
Couverture mixte :
Algorithme polynomial exact
Facteur 4(tw (G ) + 1)2 lorsque D est pair
Facteur 2 + (tw (G ) + 1)2 + 1/δ lorsque D est impair
Problème ADC :
Graphes δ-hyperboliques :
R-couverture :
Problème ADC :
γG (S, R + δ) ≤ νG (S, R)
(
Algorithme polynomial qui construit une solution
pour D := 2R +2δ avec un nombre d’arêtes inférieur
à 2 fois celui d’une solution optimale pour D := 2R.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Résultats de la thèse
Partie II : Graphes généraux.
Graphes planaires :
R-couverture :
Tout graphe planaire de diamètre ≤ 2R peut être couvert par un
nombre constant de boules de rayon R (réponse à une question de
Gavoille, Peleg, Raspaud et Sopéna)
Plus généralement, νG (S, R) ≤ k implique γG (S, R) ≤ c(k)
Problème ADC :
Facteur O(log |V |) lorsque D est pair
Graphes planaires extérieurs :
R-couverture :
γG (S, R) ≤ 2 · νG (S, R)
Problème PCD :
Algorithme polynomial avec une erreur additive de 7
Couverture mixte :
Algorithme polynomial exact
Facteur 2 lorsque D est pair
Facteur 6 + 1/δ lorsque D est impair
Problème ADC :
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Résultats de la thèse
Partie II : Graphes généraux.
Graphes planaires :
R-couverture :
Tout graphe planaire de diamètre ≤ 2R peut être couvert par un
nombre constant de boules de rayon R (réponse à une question de
Gavoille, Peleg, Raspaud et Sopéna)
Plus généralement, νG (S, R) ≤ k implique γG (S, R) ≤ c(k)
Problème ADC :
Facteur O(log |V |) lorsque D est pair
Graphes planaires extérieurs :
R-couverture :
γG (S, R) ≤ 2 · νG (S, R)
Problème PCD :
Algorithme polynomial avec une erreur additive de 7
Couverture mixte :
Algorithme polynomial exact
Facteur 2 lorsque D est pair
Facteur 6 + 1/δ lorsque D est impair
Problème ADC :
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Définitions
Définition de la largeur arborescente d’un graphe.
N. Robertson et P.D. Seymour (1986)
a
b
f
c
g
d
e
h
Une décomposition arborescente de G = (V , E ) est valide si :
1
2
3
Chaque sommet de G est dans un nœud de l’arbre de décomposition.
Pour chaque arête e ∈ E , un nœud de l’arbre de décomposition
contient les deux extrémités de e.
Pour chaque sommet x ∈ V , les nœuds qui contiennent x induisent
un sous-arbre (connexe) de l’arbre de décomposition.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Définitions
Définition de la largeur arborescente d’un graphe.
N. Robertson et P.D. Seymour (1986)
a
b
f
c
g
d
e
h
Une décomposition arborescente de G = (V , E ) est valide si :
1
2
3
Chaque sommet de G est dans un nœud de l’arbre de décomposition.
Pour chaque arête e ∈ E , un nœud de l’arbre de décomposition
contient les deux extrémités de e.
Pour chaque sommet x ∈ V , les nœuds qui contiennent x induisent
un sous-arbre (connexe) de l’arbre de décomposition.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Définitions
Définition de la largeur arborescente d’un graphe.
N. Robertson et P.D. Seymour (1986)
a
b
f
a
c
c
cb
e
g
d
e
bf
g
b
ce
d
bg
e
e
g
h
h
Une décomposition arborescente de G = (V , E ) est valide si :
1
2
3
Chaque sommet de G est dans un nœud de l’arbre de décomposition.
Pour chaque arête e ∈ E , un nœud de l’arbre de décomposition
contient les deux extrémités de e.
Pour chaque sommet x ∈ V , les nœuds qui contiennent x induisent
un sous-arbre (connexe) de l’arbre de décomposition.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Définitions
Définition de la largeur arborescente d’un graphe.
N. Robertson et P.D. Seymour (1986)
a
b
f
a
c
c
cb
e
g
d
e
bf
g
b
ce
d
bg
e
e
g
h
h
Une décomposition arborescente de G = (V , E ) est valide si :
1
2
3
Chaque sommet de G est dans un nœud de l’arbre de décomposition.
Pour chaque arête e ∈ E , un nœud de l’arbre de décomposition
contient les deux extrémités de e.
Pour chaque sommet x ∈ V , les nœuds qui contiennent x induisent
un sous-arbre (connexe) de l’arbre de décomposition.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Définitions
Définition de la largeur arborescente d’un graphe.
N. Robertson et P.D. Seymour (1986)
a
b
f
a
c
c
cb
e
g
d
e
bf
g
b
ce
d
bg
e
e
g
h
h
Une décomposition arborescente de G = (V , E ) est valide si :
1
2
3
Chaque sommet de G est dans un nœud de l’arbre de décomposition.
Pour chaque arête e ∈ E , un nœud de l’arbre de décomposition
contient les deux extrémités de e.
Pour chaque sommet x ∈ V , les nœuds qui contiennent x induisent
un sous-arbre (connexe) de l’arbre de décomposition.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Définitions
Définition de la largeur arborescente d’un graphe.
N. Robertson et P.D. Seymour (1986)
a
b
f
a
c
c
cb
e
g
d
e
bf
g
b
ce
d
bg
e
e
g
h
h
La largeur d’une décomposition arborescente est égale au plus grand
nombre de sommets présents dans un nœud de l’arbre moins un.
La largeur arborescente tw (G ) d’un graphe G est égale à la largeur
minimale que l’on peut obtenir en considérant toutes les décompositions
arborescentes valides de G .
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Résultats connus
Il existe un algorithme linéaire pour trouver une décomposition
arborescente optimale d’un graphe de largeur arborescente bornée.
H.L. Bodlaender (1996)
Les sommets d’un graphe G de diamètre ≤ 2R peuvent être couverts
par tw (G ) + 1 boules de rayon R.
C. Gavoille, D. Peleg, A. Raspaud et E. Sopena (2001)
Le problème de la R-couverture minimale se résout en temps polynomial
dans un graphe de largeur arborescente bornée.
E.D. Demaine, F.V. Fomin, M. Hajiaghayi et D.M. Thilikos (2003)
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Résultats connus
Il existe un algorithme linéaire pour trouver une décomposition
arborescente optimale d’un graphe de largeur arborescente bornée.
H.L. Bodlaender (1996)
Les sommets d’un graphe G de diamètre ≤ 2R peuvent être couverts
par tw (G ) + 1 boules de rayon R.
C. Gavoille, D. Peleg, A. Raspaud et E. Sopena (2001)
Le problème de la R-couverture minimale se résout en temps polynomial
dans un graphe de largeur arborescente bornée.
E.D. Demaine, F.V. Fomin, M. Hajiaghayi et D.M. Thilikos (2003)
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Résultats connus
Il existe un algorithme linéaire pour trouver une décomposition
arborescente optimale d’un graphe de largeur arborescente bornée.
H.L. Bodlaender (1996)
Les sommets d’un graphe G de diamètre ≤ 2R peuvent être couverts
par tw (G ) + 1 boules de rayon R.
C. Gavoille, D. Peleg, A. Raspaud et E. Sopena (2001)
Le problème de la R-couverture minimale se résout en temps polynomial
dans un graphe de largeur arborescente bornée.
E.D. Demaine, F.V. Fomin, M. Hajiaghayi et D.M. Thilikos (2003)
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que l’ensemble des
sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.
Dans un graphe de largeur arborescente bornée, le problème PCD peut
être approximé avec un facteur 2(tw (G ) + 1).
Principe de l’algorithme :
1
On formule le problème PCD sous la forme d’un PLNE
2
On calcule une solution optimale fractionnaire
3
On détermine l’ensemble S des sommets à couvrir
4
On couvre les sommets de S en utilisant le résultat suivant :
Dans un graphe G = (V , E ) de largeur arborescente bornée, on peut
construire en temps polynomial une R-couverture B et un R-packing P
de S tels que
|B| ≤ (tw (G ) + 1)|P|.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que l’ensemble des
sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.
Dans un graphe de largeur arborescente bornée, le problème PCD peut
être approximé avec un facteur 2(tw (G ) + 1).
Principe de l’algorithme :
1
On formule le problème PCD sous la forme d’un PLNE
2
On calcule une solution optimale fractionnaire
3
On détermine l’ensemble S des sommets à couvrir
4
On couvre les sommets de S en utilisant le résultat suivant :
Dans un graphe G = (V , E ) de largeur arborescente bornée, on peut
construire en temps polynomial une R-couverture B et un R-packing P
de S tels que
|B| ≤ (tw (G ) + 1)|P|.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que l’ensemble des
sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.
Dans un graphe de largeur arborescente bornée, le problème PCD peut
être approximé avec un facteur 2(tw (G ) + 1).
Principe de l’algorithme :
1
On formule le problème PCD sous la forme d’un PLNE
2
On calcule une solution optimale fractionnaire
3
On détermine l’ensemble S des sommets à couvrir
4
On couvre les sommets de S en utilisant le résultat suivant :
Dans un graphe G = (V , E ) de largeur arborescente bornée, on peut
construire en temps polynomial une R-couverture B et un R-packing P
de S tels que
|B| ≤ (tw (G ) + 1)|P|.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que l’ensemble des
sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.
Dans un graphe de largeur arborescente bornée, le problème PCD peut
être approximé avec un facteur 2(tw (G ) + 1).
Principe de l’algorithme :
1
On formule le problème PCD sous la forme d’un PLNE
2
On calcule une solution optimale fractionnaire
3
On détermine l’ensemble S des sommets à couvrir
4
On couvre les sommets de S en utilisant le résultat suivant :
Dans un graphe G = (V , E ) de largeur arborescente bornée, on peut
construire en temps polynomial une R-couverture B et un R-packing P
de S tels que
|B| ≤ (tw (G ) + 1)|P|.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que l’ensemble des
sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.
Dans un graphe de largeur arborescente bornée, le problème PCD peut
être approximé avec un facteur 2(tw (G ) + 1).
Principe de l’algorithme :
1
On formule le problème PCD sous la forme d’un PLNE
2
On calcule une solution optimale fractionnaire
3
On détermine l’ensemble S des sommets à couvrir
4
On couvre les sommets de S en utilisant le résultat suivant :
Dans un graphe G = (V , E ) de largeur arborescente bornée, on peut
construire en temps polynomial une R-couverture B et un R-packing P
de S tels que
|B| ≤ (tw (G ) + 1)|P|.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Problème PCD (Partial Covering under Diameter constraints)
Étant donné un graphe G et un rayon R, couvrir partiellement G avec un
nombre minimum de boules de rayon R − 1 de sorte que l’ensemble des
sommets non couverts soit de diamètre ≤ 2R.
Dans un graphe de largeur arborescente bornée, le problème PCD peut
être approximé avec un facteur 2(tw (G ) + 1).
Principe de l’algorithme :
1
On formule le problème PCD sous la forme d’un PLNE
2
On calcule une solution optimale fractionnaire
3
On détermine l’ensemble S des sommets à couvrir
4
On couvre les sommets de S en utilisant le résultat suivant :
Dans un graphe G = (V , E ) de largeur arborescente bornée, on peut
construire en temps polynomial une R-couverture B et un R-packing P
de S tels que
|B| ≤ (tw (G ) + 1)|P|.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Facteur 4(tw (G ) + 1)2 pour le problème ADC
1
calculer une couverture admissible B du problème PCD avec
l’algorithme facteur 2(tw (G ) + 1).
2
ajouter tw (G ) + 1 boules de rayon R à la couverture B afin de
couvrir tous les sommets de G .
construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
3
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Facteur 4(tw (G ) + 1)2 pour le problème ADC
1
calculer une couverture admissible B du problème PCD avec
l’algorithme facteur 2(tw (G ) + 1).
2
ajouter tw (G ) + 1 boules de rayon R à la couverture B afin de
couvrir tous les sommets de G .
construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
3
Diamètre ≤ 2R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Facteur 4(tw (G ) + 1)2 pour le problème ADC
1
calculer une couverture admissible B du problème PCD avec
l’algorithme facteur 2(tw (G ) + 1).
2
ajouter tw (G ) + 1 boules de rayon R à la couverture B afin de
couvrir tous les sommets de G .
construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
3
Rayon R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre pair (D = 2R)
Facteur 4(tw (G ) + 1)2 pour le problème ADC
1
calculer une couverture admissible B du problème PCD avec
l’algorithme facteur 2(tw (G ) + 1).
2
ajouter tw (G ) + 1 boules de rayon R à la couverture B afin de
couvrir tous les sommets de G .
construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
3
Rayon R
Rayon R − 1
E′
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre impair (D = 2R + 1)
Dans les graphes de largeur arborescente bornée :
Le problème de la couverture mixte est polynomial.
γG (S, R) ≤ (tw (G ) + 1)νG (S, R).
Facteur 2 + (tw (G ) + 1)2 + 1/δ pour le problème ADC
1
2
Construire une couverture mixte optimale B de G pour R1 := R,
R2 := R − 1 et f (n1 , n2 ) := n2 (n2 − 1)/2 + n1 .
Construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre impair (D = 2R + 1)
Dans les graphes de largeur arborescente bornée :
Le problème de la couverture mixte est polynomial.
γG (S, R) ≤ (tw (G ) + 1)νG (S, R).
Facteur 2 + (tw (G ) + 1)2 + 1/δ pour le problème ADC
1
2
Construire une couverture mixte optimale B de G pour R1 := R,
R2 := R − 1 et f (n1 , n2 ) := n2 (n2 − 1)/2 + n1 .
Construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre impair (D = 2R + 1)
Dans les graphes de largeur arborescente bornée :
Le problème de la couverture mixte est polynomial.
γG (S, R) ≤ (tw (G ) + 1)νG (S, R).
Facteur 2 + (tw (G ) + 1)2 + 1/δ pour le problème ADC
1
2
Construire une couverture mixte optimale B de G pour R1 := R,
R2 := R − 1 et f (n1 , n2 ) := n2 (n2 − 1)/2 + n1 .
Construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre impair (D = 2R + 1)
Dans les graphes de largeur arborescente bornée :
Le problème de la couverture mixte est polynomial.
γG (S, R) ≤ (tw (G ) + 1)νG (S, R).
Facteur 2 + (tw (G ) + 1)2 + 1/δ pour le problème ADC
1
2
Construire une couverture mixte optimale B de G pour R1 := R,
R2 := R − 1 et f (n1 , n2 ) := n2 (n2 − 1)/2 + n1 .
Construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre impair (D = 2R + 1)
Dans les graphes de largeur arborescente bornée :
Le problème de la couverture mixte est polynomial.
γG (S, R) ≤ (tw (G ) + 1)νG (S, R).
Facteur 2 + (tw (G ) + 1)2 + 1/δ pour le problème ADC
1
2
Construire une couverture mixte optimale B de G pour R1 := R,
R2 := R − 1 et f (n1 , n2 ) := n2 (n2 − 1)/2 + n1 .
Construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
Rayon R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes de largeur arborescente bornée ⊲ Diamètre impair (D = 2R + 1)
Dans les graphes de largeur arborescente bornée :
Le problème de la couverture mixte est polynomial.
γG (S, R) ≤ (tw (G ) + 1)νG (S, R).
Facteur 2 + (tw (G ) + 1)2 + 1/δ pour le problème ADC
1
2
Construire une couverture mixte optimale B de G pour R1 := R,
R2 := R − 1 et f (n1 , n2 ) := n2 (n2 − 1)/2 + n1 .
Construire une augmentation admissible E ′ à partir de B.
Rayon R
Rayon R − 1
E′
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Conjecture de Gavoille, Peleg, Raspaud et Sopena. Il existe une
constante (universelle) c telle que tout graphe planaire de diamètre 2R
peut être couvert par c boules de rayon R.
C. Gavoille, D. Peleg, A. Raspaud et E. Sopena (2001)
Théorème. Il existe une constante c telle que, dans tout graphe
planaire, tout sous-ensemble de sommets S de diamètre ≤ 2R peut être
couvert par c boules de rayon R.
Résultat utilisé :
La taille d’un transversal minimum d’une famille F est borné par un
entier qui ne dépend que de p et de q si les deux conditions suivantes
sont vérifiées :
la dimension VC duale de F est au plus q − 1,
la famille F vérifie la propriété (p, q) de Hadwiger-Debrunner.
J. Matoušek (2004)
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Conjecture de Gavoille, Peleg, Raspaud et Sopena. Il existe une
constante (universelle) c telle que tout graphe planaire de diamètre 2R
peut être couvert par c boules de rayon R.
C. Gavoille, D. Peleg, A. Raspaud et E. Sopena (2001)
Théorème. Il existe une constante c telle que, dans tout graphe
planaire, tout sous-ensemble de sommets S de diamètre ≤ 2R peut être
couvert par c boules de rayon R.
Résultat utilisé :
La taille d’un transversal minimum d’une famille F est borné par un
entier qui ne dépend que de p et de q si les deux conditions suivantes
sont vérifiées :
la dimension VC duale de F est au plus q − 1,
la famille F vérifie la propriété (p, q) de Hadwiger-Debrunner.
J. Matoušek (2004)
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Conjecture de Gavoille, Peleg, Raspaud et Sopena. Il existe une
constante (universelle) c telle que tout graphe planaire de diamètre 2R
peut être couvert par c boules de rayon R.
C. Gavoille, D. Peleg, A. Raspaud et E. Sopena (2001)
Théorème. Il existe une constante c telle que, dans tout graphe
planaire, tout sous-ensemble de sommets S de diamètre ≤ 2R peut être
couvert par c boules de rayon R.
Résultat utilisé :
La taille d’un transversal minimum d’une famille F est borné par un
entier qui ne dépend que de p et de q si les deux conditions suivantes
sont vérifiées :
la dimension VC duale de F est au plus q − 1,
la famille F vérifie la propriété (p, q) de Hadwiger-Debrunner.
J. Matoušek (2004)
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Conjecture de Gavoille, Peleg, Raspaud et Sopena. Il existe une
constante (universelle) c telle que tout graphe planaire de diamètre 2R
peut être couvert par c boules de rayon R.
C. Gavoille, D. Peleg, A. Raspaud et E. Sopena (2001)
Théorème. Il existe une constante c telle que, dans tout graphe
planaire, tout sous-ensemble de sommets S de diamètre ≤ 2R peut être
couvert par c boules de rayon R.
Résultat utilisé avec B := {BG (s, R) : s ∈ S} :
La taille d’un transversal minimum d’une famille B est borné par un
entier qui ne dépend que de p et de q si les deux conditions suivantes
sont vérifiées :
la dimension VC duale de B est au plus 5 − 1 = 4,
la famille B vérifie la propriété (p, 5) de Hadwiger-Debrunner.
J. Matoušek (2004)
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Dimension de Vapnik-Chervonenkis (VC) :
Un ensemble X est pulvérisé par une famille F si {X ∩ F : F ∈ F } = 2X .
La dimension VC de F = max{|X | : X est pulvérisé par F }.
Dans un graphe planaire, une famille B de boules de rayon R a une
dimension VC au plus 4.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Dimension de Vapnik-Chervonenkis (VC) :
Un ensemble X est pulvérisé par une famille F si {X ∩ F : F ∈ F } = 2X .
La dimension VC de F = max{|X | : X est pulvérisé par F }.
Dans un graphe planaire, une famille B de boules de rayon R a une
dimension VC au plus 4.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Dimension de Vapnik-Chervonenkis (VC) :
Un ensemble X est pulvérisé par une famille F si {X ∩ F : F ∈ F } = 2X .
La dimension VC de F = max{|X | : X est pulvérisé par F }.
Dans un graphe planaire, une famille B de boules de rayon R a une
dimension VC au plus 4.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Dimension de Vapnik-Chervonenkis (VC) :
Un ensemble X est pulvérisé par une famille F si {X ∩ F : F ∈ F } = 2X .
La dimension VC de F = max{|X | : X est pulvérisé par F }.
Dans un graphe planaire, une famille B de boules de rayon R a une
dimension VC au plus 4.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Dimension de Vapnik-Chervonenkis (VC) :
Un ensemble X est pulvérisé par une famille F si {X ∩ F : F ∈ F } = 2X .
La dimension VC de F = max{|X | : X est pulvérisé par F }.
Dans un graphe planaire, une famille B de boules de rayon R a une
dimension VC au plus 4.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Propriété (p, q) de Hadwiger-Debrunner :
Une famille F vérifie la propriété (p, q) si, dans chaque sous-famille de
F composée de p ensembles, q ensembles partagent un élément.
Dans un graphe planaire, une famille B de boules de rayon R qui
s’intersectent deux à deux vérifie la propriété (p, 5) pour un p > 5.
Agarwal et al. (1997), Pach et al. (1996)
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Propriété (p, q) de Hadwiger-Debrunner :
Une famille F vérifie la propriété (p, q) si, dans chaque sous-famille de
F composée de p ensembles, q ensembles partagent un élément.
Dans un graphe planaire, une famille B de boules de rayon R qui
s’intersectent deux à deux vérifie la propriété (p, 5) pour un p > 5.
Agarwal et al. (1997), Pach et al. (1996)
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Propriété (p, q) de Hadwiger-Debrunner :
Une famille F vérifie la propriété (p, q) si, dans chaque sous-famille de
F composée de p ensembles, q ensembles partagent un élément.
Dans un graphe planaire, une famille B de boules de rayon R qui
s’intersectent deux à deux vérifie la propriété (p, 5) pour un p > 5.
Les centres de p boules
Agarwal et al. (1997), Pach et al. (1996)
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes planaires ⊲ Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Propriété (p, q) de Hadwiger-Debrunner :
Une famille F vérifie la propriété (p, q) si, dans chaque sous-famille de
F composée de p ensembles, q ensembles partagent un élément.
Dans un graphe planaire, une famille B de boules de rayon R qui
s’intersectent deux à deux vérifie la propriété (p, 5) pour un p > 5.
avec
p suffisamment
grand
Les centres de p boules
10 paires d’arêtes
qui se croisent deux à deux
Agarwal et al. (1997), Pach et al. (1996)
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes planaires ⊲ Facteur logarithme pour le problème ADC
Conséquence sur le problème ADC lorsque D = 2R est pair.
On a :















un algorithme d’approximation avec un facteur
O(log |V |) pour résoudre le problème PCD
(réduction à SET COVER).
une borne du nombre de boules de rayon R nécessaires
pour couvrir un sous-ensemble de sommets de diamètre
≤ 2R.
Donc, on obtient un algorithme avec un facteur O(log |V |).
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Facteur logarithme pour le problème ADC
Conséquence sur le problème ADC lorsque D = 2R est pair.
On a :















un algorithme d’approximation avec un facteur
O(log |V |) pour résoudre le problème PCD
(réduction à SET COVER).
une borne du nombre de boules de rayon R nécessaires
pour couvrir un sous-ensemble de sommets de diamètre
≤ 2R.
Donc, on obtient un algorithme avec un facteur O(log |V |).
Diamètre ≤ 2R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Facteur logarithme pour le problème ADC
Conséquence sur le problème ADC lorsque D = 2R est pair.
On a :















un algorithme d’approximation avec un facteur
O(log |V |) pour résoudre le problème PCD
(réduction à SET COVER).
une borne du nombre de boules de rayon R nécessaires
pour couvrir un sous-ensemble de sommets de diamètre
≤ 2R.
Donc, on obtient un algorithme avec un facteur O(log |V |).
Rayon R
Rayon R − 1
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes planaires ⊲ Facteur logarithme pour le problème ADC
Conséquence sur le problème ADC lorsque D = 2R est pair.
On a :















un algorithme d’approximation avec un facteur
O(log |V |) pour résoudre le problème PCD
(réduction à SET COVER).
une borne du nombre de boules de rayon R nécessaires
pour couvrir un sous-ensemble de sommets de diamètre
≤ 2R.
Donc, on obtient un algorithme avec un facteur O(log |V |).
Rayon R
Rayon R − 1
E′
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Définitions
Définition des espaces δ-hyperboliques.
M. Gromov (1987)
Un triangle est δ-fin si la distance entre les deux préimages de n’importe
quel point du tripode est inférieure ou égale à δ.
Un espace métrique géodésique est δ-hyperbolique si tous ses triangles
(obtenus à partir de trois géodésiques entre trois points) sont δ-fins.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Définitions
Définition des espaces δ-hyperboliques.
M. Gromov (1987)
Un triangle est δ-fin si la distance entre les deux préimages de n’importe
quel point du tripode est inférieure ou égale à δ.
Un espace métrique géodésique est δ-hyperbolique si tous ses triangles
(obtenus à partir de trois géodésiques entre trois points) sont δ-fins.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Définitions
Définition des espaces δ-hyperboliques.
M. Gromov (1987)
Un triangle est δ-fin si la distance entre les deux préimages de n’importe
quel point du tripode est inférieure ou égale à δ.
Un espace métrique géodésique est δ-hyperbolique si tous ses triangles
(obtenus à partir de trois géodésiques entre trois points) sont δ-fins.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Définitions
Définition des espaces δ-hyperboliques.
M. Gromov (1987)
Un triangle est δ-fin si la distance entre les deux préimages de n’importe
quel point du tripode est inférieure ou égale à δ.
Un espace métrique géodésique est δ-hyperbolique si tous ses triangles
(obtenus à partir de trois géodésiques entre trois points) sont δ-fins.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Définitions
Définition des espaces δ-hyperboliques.
M. Gromov (1987)
Un triangle est δ-fin si la distance entre les deux préimages de n’importe
quel point du tripode est inférieure ou égale à δ.
Un espace métrique géodésique est δ-hyperbolique si tous ses triangles
(obtenus à partir de trois géodésiques entre trois points) sont δ-fins.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Définitions
Définition des espaces δ-hyperboliques.
M. Gromov (1987)
≤δ
≤δ
≤δ
Un triangle est δ-fin si la distance entre les deux préimages de n’importe
quel point du tripode est inférieure ou égale à δ.
Un espace métrique géodésique est δ-hyperbolique si tous ses triangles
(obtenus à partir de trois géodésiques entre trois points) sont δ-fins.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Définitions
Définition des espaces δ-hyperboliques.
M. Gromov (1987)
≤δ
≤δ
≤δ
Un triangle est δ-fin si la distance entre les deux préimages de n’importe
quel point du tripode est inférieure ou égale à δ.
Un espace métrique géodésique est δ-hyperbolique si tous ses triangles
(obtenus à partir de trois géodésiques entre trois points) sont δ-fins.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Définitions
Définition des graphes δ-hyperboliques.
Tout graphe connexe G = (V , E ) peut être transformé en un espace
géodésique (X , d) en remplaçant chaque arête e = (u, v ) ∈ E par un
segment [u, v ] de longueur 1.
Le graphe G est δ-hyperbolique si l’espace métrique (X , d) obtenu à
partir de G est δ-hyperbolique.
Les arbres et les graphes blocs
sont 0-hyperboliques.
Les graphes triangulés
sont 2-hyperboliques.
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Étant donné un graphe δ-hyperbolique G = (V , E ), un sous-ensemble
S ⊆ V et un rayon R > 0, on peut construire en temps polynomial une
(R + δ)-couverture B et un R-packing P de S de même cardinalité.
Sommets de S
(R + δ)-couverture
R-packing
Dans un graphe δ-hyperbolique, un sous-ensemble de sommets de
diamètre 2R peut être couvert par une boule de rayon R + δ.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Étant donné un graphe δ-hyperbolique G = (V , E ), un sous-ensemble
S ⊆ V et un rayon R > 0, on peut construire en temps polynomial une
(R + δ)-couverture B et un R-packing P de S de même cardinalité.
Sommets de S
(R + δ)-couverture
R-packing
Dans un graphe δ-hyperbolique, un sous-ensemble de sommets de
diamètre 2R peut être couvert par une boule de rayon R + δ.
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Dans un graphe δ-hyperbolique G = (V , E ), pour n’importe quel
sous-ensemble S ⊆ V , il existe une boule B de rayon 2R centrée sur un
sommet de S telle que les sommets de B ∩ S peuvent être couverts par
une boule de rayon R + δ.
2R
R +δ
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Construction du R-packing et de la (R + δ)-couverture de S.
Commencer avec un R-packing et une (R + δ)-couverture vide.
Tant que S 6= ∅
1
2
3
Trouver x et c de sorte que BG (x, 2R) ∩ S⊆ BG (c, R + δ).
Ajouter x au packing et BG (c, R + δ) à la couverture.
Retirer de S tous les sommets présents dans BG (c, R + δ).
Sommets de S
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Construction du R-packing et de la (R + δ)-couverture de S.
Commencer avec un R-packing et une (R + δ)-couverture vide.
Tant que S 6= ∅
1
2
3
Trouver x et c de sorte que BG (x, 2R) ∩ S⊆ BG (c, R + δ).
Ajouter x au packing et BG (c, R + δ) à la couverture.
Retirer de S tous les sommets présents dans BG (c, R + δ).
Sommets de S
Rayon 2R
Rayon R + δ
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Construction du R-packing et de la (R + δ)-couverture de S.
Commencer avec un R-packing et une (R + δ)-couverture vide.
Tant que S 6= ∅
1
2
3
Trouver x et c de sorte que BG (x, 2R) ∩ S⊆ BG (c, R + δ).
Ajouter x au packing et BG (c, R + δ) à la couverture.
Retirer de S tous les sommets présents dans BG (c, R + δ).
Sommets de S
Rayon 2R
Rayon R + δ
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Construction du R-packing et de la (R + δ)-couverture de S.
Commencer avec un R-packing et une (R + δ)-couverture vide.
Tant que S 6= ∅
1
2
3
Trouver x et c de sorte que BG (x, 2R) ∩ S⊆ BG (c, R + δ).
Ajouter x au packing et BG (c, R + δ) à la couverture.
Retirer de S tous les sommets présents dans BG (c, R + δ).
Sommets de S
Rayon 2R
Rayon R + δ
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Construction du R-packing et de la (R + δ)-couverture de S.
Commencer avec un R-packing et une (R + δ)-couverture vide.
Tant que S 6= ∅
1
2
3
Trouver x et c de sorte que BG (x, 2R) ∩ S⊆ BG (c, R + δ).
Ajouter x au packing et BG (c, R + δ) à la couverture.
Retirer de S tous les sommets présents dans BG (c, R + δ).
Sommets de S
Rayon R
Rayon R + δ
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Graphes δ-hyperboliques ⊲ Algorithme pour le problème ADC
Conséquence sur le problème ADC.
Étant donné un graphe δ-hyperbolique G = (V , E ) et un entier R ≥ 1,
on peut construire en temps polynomial une augmentation admissible E ′
du problème ADC pour D := 2R + 2δ avec un nombre d’arêtes inférieur
ou égal à 2 fois celui d’une solution optimale pour D := 2R.
Rayon R + δ
Rayon R − 1 + δ
E′
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Plan de l’exposé
1
Méthode
2
État de l’art
3
Résultats
4
Graphe de largeur arborescente bornée
Définitions
Résultats connus
Diamètre pair
Diamètre impair
5
Graphes planaires
Couverture d’un ensemble de sommets de diamètre ≤ 2R
Facteur logarithme pour le problème ADC
6
Graphes δ-hyperboliques
Définitions
Algorithme pour le problème de la R-couverture minimale
Algorithme pour le problème ADC
7
Perspectives
Perspectives
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Perspectives
Lorsque le graphe est planaire :
- Déterminer la constante universelle c.
- Peut-on proposer des algorithmes avec des facteurs constants pour
le problème de la R-couverture minimale et le problème ADC ?
- Montrer l’existence d’une boule de rayon 2R pouvant être couverte
par un nombre constant de boules de rayon R.
- Commencer par considérer les grilles partielles sans trou.
Sans contrainte sur le graphe initial :
- Peut-on approximer le problème ADC avec un facteur O(log |V |).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Perspectives
Lorsque le graphe est planaire :
- Déterminer la constante universelle c.
- Peut-on proposer des algorithmes avec des facteurs constants pour
le problème de la R-couverture minimale et le problème ADC ?
- Montrer l’existence d’une boule de rayon 2R pouvant être couverte
par un nombre constant de boules de rayon R.
- Commencer par considérer les grilles partielles sans trou.
Sans contrainte sur le graphe initial :
- Peut-on approximer le problème ADC avec un facteur O(log |V |).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Perspectives
Lorsque le graphe est planaire :
- Déterminer la constante universelle c.
- Peut-on proposer des algorithmes avec des facteurs constants pour
le problème de la R-couverture minimale et le problème ADC ?
- Montrer l’existence d’une boule de rayon 2R pouvant être couverte
par un nombre constant de boules de rayon R.
- Commencer par considérer les grilles partielles sans trou.
Sans contrainte sur le graphe initial :
- Peut-on approximer le problème ADC avec un facteur O(log |V |).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Perspectives
Lorsque le graphe est planaire :
- Déterminer la constante universelle c.
- Peut-on proposer des algorithmes avec des facteurs constants pour
le problème de la R-couverture minimale et le problème ADC ?
- Montrer l’existence d’une boule de rayon 2R pouvant être couverte
par un nombre constant de boules de rayon R.
- Commencer par considérer les grilles partielles sans trou.
Sans contrainte sur le graphe initial :
- Peut-on approximer le problème ADC avec un facteur O(log |V |).
Problématique
Méthode
État de l’art
Résultats
Largeur arborescente
Graphes planaires
δ-hyperbolicité
Perspectives
Perspectives
Lorsque le graphe est planaire :
- Déterminer la constante universelle c.
- Peut-on proposer des algorithmes avec des facteurs constants pour
le problème de la R-couverture minimale et le problème ADC ?
- Montrer l’existence d’une boule de rayon 2R pouvant être couverte
par un nombre constant de boules de rayon R.
- Commencer par considérer les grilles partielles sans trou.
Sans contrainte sur le graphe initial :
- Peut-on approximer le problème ADC avec un facteur O(log |V |).