1 Marchés complets et sans arbitrage

NB : documents et calculatrices autoris´ es Les exercices, sont ` ar
´
esoudre sur le sujet d’examen. Il
est demand´ e de r´ epondre aux questions type QCM, puis, d’argumenter avec pr´ ecision, chacune
des r´ eponses, dans les encadr´ es suivants.
1 March´ es complets et sans arbitrage
Dans un mod` ele ` a trois ´ etats de la nature, on s’int´ eresse ` a diff´ erents march´ es financiers d´ efinis
par les trois actifs XA,XBet XCsuivants dont on pr´ ecise leur prix. Indiquer en cochant les
cases correspondantes les march´ es qui sont complets et sans arbitrage. [Remarque l’´ ecriture
XA=(x, y, z)d´ esigne l’actif risqu´ eAqui d´ elivre xdans l’´ etat de la nature 1, y, dans l’´ etat
de la nature 2 et zdans l’´ etat de la nature 3.]
XA=(1,1,1) pA=2,5XB=(1,1,0) pB=1,5XC=(0,1,1) pC=1
XA=(1,1,1) pA=2,5XB=(1,1,0) pB=2 XC=(0,1,1) pC=1
XA= (10,20,50) pA= 20 XB= (20,50,10) pB= 30 XC= (50,10,20) pC= 40
1

2` A propos du mod` ele de Markowitz
Dans une ´ economie financi` ere ` a trois ´ etats de la nature agr´ eg´ es, on consid` ere trois actifs A,Bet
Cdont les vecteurs de rendement sont les suivants :
RA
+20%
+10%
-10%
1/3
1/3
1/3
RB
0%
+10%
+20%
1/3
1/3
1/3
RC
+20%
+10%
0%
1/3
1/3
1/3
. Parmi ces trois vecteurs de rendement, on peut en trouver deux tels que l’un d’entre-eux domine
l’autre au sens de la dominance stochastique du premier ordre
. . . . . . . Dans un espace ´ ecart-type rendement,
ces trois actifs et l’ensemble des ´ ecarts-types-
rendements des portefeuilles combinant ces 3
actifs pourraient se repr´ esenter ainsi :
Ecart-type
Rendement
B, C
0,1
0,08
A
0,06
0,12
Ensemble des
combinaisons
d’actifs risqu´ es
Portefeuille
`
a variance
minimale
. . . . . . . Dans un espace ´ ecart-type rendement,
ces trois actifs et l’ensemble des ´ ecarts-types-
rendements des portefeuilles combinant ces 3
actifs pourraient se repr´ esenter ainsi :
Ecart-type
Rendement
B, C
0,1
0,08
A
0,06
0,12
Ensemble des
combinaisons
d’actifs risqu´ es
Portefeuille
`
a variance
minimale
. . . . . . . Dans un espace ´ ecart-type rendement,
ces trois actifs et l’ensemble des ´ ecarts-types-
rendements des portefeuilles combinant ces 3
actifs pourraient se repr´ esenter ainsi :
Ecart-type
Rendement
B, C
0,1
0,08
A
0,06
0,12
Ensemble des
combinaisons
d’actifs risqu´ es
. . . . . . . Dans un espace ´ ecart-type rendement,
ces trois actifs et l’ensemble des ´ ecarts-types-
rendements des portefeuilles combinant ces 3
actifs pourraient se repr´ esenter ainsi :
Ecart-type
Rendement
B, C
0,1
0,08
A
0,06
0,12
Ensemble des
combinaisons
d’actifs risqu´ es
. . . . . . . . . . Il existe une combinaison des actifs Bet Cqui permet d’obtenir un actif sans risque.
2
1) OUI RC domine RA
2) c’est cette
troisième solution qui
convient. EN effet, on
remarque qu’avec B
et C on peut obtenir
l’actif sans risque
(cad d’écart type nul)
ce qui écarte les 1ere
et 2e solutions. Par
ailleurs, c’est un actif
de rendement
identique à celui de B
et C, donc de 0,1.
D’où cette solution.
La forme de
l’ensemble des
portefeuilles à
atteindre est alors
standard, cf cours.
3) OUI bien sûr, la moitié
de B et la moité de C
produisent l’actif de
rendemenet 10%

. . . . . . . Si l’on combine les actifs Bet Con obtient des portefeuille dont le rendement esp´ er´ e est
identique, mais dont l’´ ecart-type est plus faible.
3 Equilibre de march´ e avec deux agents averses au risque
R´ epondre aux questions oui/non, puis d´ evelopper toutes les r´ eponses dans l’encadr´ e ci-dessous.
Il y a deux ´ etats de la nature, ´ equiprobables. Tous les investisseurs sont averses au risque et ont la
mˆ eme fonction VNM u(x)=ln(1+x). Les ressources initiale de l’´ economie se r´ esument en une
unit´ e de chacun des deux actifs, dont les paiements contingents aux ´ etat de la nature sont :
a1=(1,1) a2=(2,0)
1) Ces deux actifs rendent le march´ e complet OUI NON
2) Le march´ e est ` a l’´ equilibre si les deux agents poss` edent chacun la moiti´ e des actifs
et que le prix des actifs Arrow-Debreu ´ el´ ementaires sous-jacentsont q⇤
1=3et q⇤ 2=5.OUI NON
3
4) OUI en combinant
deux actifs de même
rendement, on
obtient un actif de
meme rendement.
Maintenant, la
variance de l’actif
combiné (x1,x2) avec
x1+x2=1 se calcule
suivant la formule :
Var(x1B+x2C)=
x1^2 var B + x2^2
Var C + 2x1x2
cov(B,C) . Or B et C
sont non correlés
cov(B,C) <
Var(B)=Var(C)
on en déduit
Var(x1B+x2C)<
(x_1^2+x_2^2+2x_1x
_2) Var(B)=var(B)
On en déduit en
prenant la racine que
l’écart type est plus
faible. Intuitivement,
puisque A et B sont
plutôt anticorellés, en
les combinant, et
puisqu’ils ont le
même rendement, en
les combiant on
obtient un actif de
plus faible variance
OUI
1) N’importe quelle position (X,Y) peut-elle s’obtenir en combinant certaines quantités x1 et x2 des deux
actifs a1 et a2 ? Pour trouver x1 e x2, il faut résoudre les deux conditions suivantes : x1+2x2=X et x1+0=Y
on trouve toujours deux nombres : x1= Y et x2= (X-Y)/2 [remarque quand le nombre est négatif, cela signifie
que l’on vend l’actif correspondant]
2) Si chacun possède la moitié des actif, la position de chacun est de disposer de (1.5,.5). Le marché est à
l’équilibre si le TMS de ces deux agents est égal au rapport des prix.
Or U( A, B) = .5 ln(1+A) +.5 ln (1+B) donc TMS (A,B) = (.5/(1+A)) / (.5/(1+B)) . On en déduit que
TMS (1.5, .5) = (.5/2.5) / (.5/1.5) = (1.5/2.5)=3/5=.6
le rapport des prix q1/q2=3/5=.6
On en déduit donc qu’à ces prix le marché est à l’équilibre lorsque les agents possèdent chacun la moitié
des actifs. Personne, à ce prix, ne désire changer de position.

4 Rendement des actifs
Dans un mod` ele ` a trois ´ etats de la nature, on s’int´ eresse aux trois actifs a1,a2et a3suivants dont
on pr´ ecise leur prix :
a1=(3,1,2) p1=2
a2=(1,2,3) p2=3
a2=(1,2,5) p2=4
1) Calculer les rendements de ces trois actifs
2) Calculer les rendements du portefeuille qui contient en proportion 1/2 du premier actif et
1/2 du second actif. Repr´ esentez a1,a3et ce portefeuille dans l’espace ´ ecart-type du rendement,
esp´ erance de rendement.
5 Partage optimal du risque (r´ ediger 2 questions de cours parmi 3)
1) Pourquoi est-il optimal qu’aucun agent ne soit expos´ e au risque lorsqu’il y a un agent neutre
au risque dans l’´ economie ?
2) Pourquoi tous les agents ne peuvent-ils ˆ etre pleinement assur´ es quand il y a un risque non
diversifiable
3) Quelles sont les diff´ erentes fonctions d’un march´ e financier dans l’´ economie ?
4
1) Le vecteur de rendement de a^1 est ( (3-2)/2 , (1-2)/2 , (2-2) /2 ) = (+50%, -50%, 0) = r^1
Le vecteur de rendement de a^2 est ( (1-3)/3 , (2-3)/3 , (3-3) /3 ) = (-66%, -33%, 0) = r^2
Le vecteur de rendement de a^3 est ( (1-4)/4 , (2-4)/4 , (5-4) /4 ) = (-75%, -50%, +25%) = r^3
2) Le vecteur de rendement du portefeuille combinant .5 a^1 et .5 a^2 est la combinaison linéaire des
vecteurs de rendement correspondant, mais non pas pondérés par .5, .5, mais par la part de chacun des
actifs dans l’évaluation totale. Ici la valeur de.5 a^1 est .5*2=1, la valeur de .5 a^2 est .5*3=1.5
les pondérations sont donc respectivement 1/2.5=4/10=0.4 et 1.5/2.5=6/10=.6
Le vecteur de rendement du portefeuille est donc (.4*50-.6*66, -.4*50-.6*33,0)= ( -20%, -40% , 0) = r^p
Pour la suite de l’exercice, on a besoin des probabilités des différents états pour calculer les espérance
de rendement ansi que pour les écarts type. Comme ils ne sont pas précisés dans l’exercice, on
supposera que les trois états de la nature sont équiprobables
(suite) Les esperances de
rendement sont aisées à
calculer
E(r^1)=0
E(r^2)=-33%
E(r^3)=-33%
E(r^p)=-20%
(fin) On rappelle que
VAR(X) = E(X^2)-
(E(X))^2. On a alors
Var(r^1)=1/6=0,16667
Var(r^2)= 0,0740
Var(r^3)= 0,1805
Var(r^p)=0,0267
et
sigma(r^1)=1/6=0,4082
sigma(r^2)= 0,2722
sigma(r^3)= 0,4249
sigma(r^p)=0,1633
On représente ces 4
actifs dans un repère
sigma E(r) et on
remarque que le 3e est
totalement dominé
1) L’agent neutre au risque prend l’ensemble du risque de l’économie. Il est en effet indifférent entre
n’importe quelle loterie de meme moyenne. Il suffit donc une fois décidé la moyenne qu’il reçoit de lui
donner le risque de toute l’économie, cad le risque agrégé. Cela arrange tous les agents averse au
risque, c’est donc un raisonnement d’optimalité
2) Quand tous les agents sont pleinement assurés, ils obtiennent par définition la même richesse dans
tous les états de la nature, et donc, dans un cas comme cela, la richesse agrégée de l’économie est
constante dans tous les états de la nature, ce qui, par définition est différent d’un cas où il y a un risque
non diversifiable dans l’économie
3) Le marché financier a pour objectif
a) de permettre le partage du risque entre les agents
b) de faire disparaître les arbitrages par la spéculation, rendant une certaine stabilité au marché
c) de permettre de valoriser tous types d’actif, de leur donner une valeur reconnue