DS1 Corrigé

Yves IV - Lycée Polyvalent de Taaone
Devoir surveillé n 1_corrige
Classe TS 2 (corrigé le 09-09-2013)
Exercice 1 Question de cours : Soient deux événements A et B: Démontrer que si A et B sont indépendants, alors A et
B le sont aussi. (Voir le cours).
Partie A
1) Le grossiste a deux fournisseurs et il y a dans chaque boîte des traces de pesticides ou non. On a donc :
2) a) On a : P B \ S = P (B) PB S = 0; 2 0; 8 = 0; 16 .
b) D’près la formule des probabilités totales , on a :
P S = P A \ S + P B \ S = P (A) PA S + P (B) PB S = 0; 8
3) On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
0; 9 + 0; 2
0; 8 = 0; 88
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
La probabilité cherchée est PS (B) =
P (B\S)
P (S) :
Or P (B \ S) = P (B) PB (S) = 0; 2 0; 2 = 0; 04 et P (S) = 1 P S = 1 0; 88 = 0; 12:
4
1
Donc PS (B) = 0;04
0;12 = 12 = 3 ' 0; 333 .
Partie B
On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.
1) On a vu que la probabilité de tirer une boîte de façon aléatoire dans le stock du grossiste sans trouver de pesticides est égale
à 0,88.
Ici on répète de façon indépendante 10 fois une épreuve à deux issues (épreuve de Bernoulli) :
- boîte sans trace de pesticide de probabilité p = 0; 88:
- boîte avec trace de pesticide de probabilité q = 1 p = 1 0; 88 = 0; 12:
La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0; 88:
10 0
10
2) La probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides est égale à P (X = 10) = 10
' 0; 28 .
10 p q = 0:88
3) La probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides est égale à :
P (X
P (X
8)
= P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10)
10 8 2
10 9 1
10 10 0
=
p q +
p q +
p q
8
9
10
10
10
10
=
0; 888 0; 122 +
0; 889 0; 121 +
0; 8810
8
9
10
' 0; 233043 + 0; 379774 + 0; 278501 ' 0; 891318:
0; 120
8) ' 0; 89 .
Exercice 2 Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent
de l’horticulteur h1 , 25% de l’horticulteur h2 et le reste de l’horticulteur h3 . Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres :
des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur h1 comporte 80% de conifères alors que celle de l’horticulteur h2 n’en comporte que 50% et celle
de l’horticulteur h3 seulement 30%.
1) Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :
H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h1 » ,
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H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h2 » ,
H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h3 » ,
C : « l’arbre choisi est un conifère » ,
F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu » .
a)
0:4
b) La probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur h3 est P (H3 \ C) = P (H3 )
0:3 = 0; 12 .
c) D’après la formule des probabilités totales , on a :
P (C) = P (H1 \ C) + P (H2 \ C) + P (H3 \ C) = P (H1 )
0; 25 0; 5 + 0; 4 0; 3 = 0; 525 .
PH1 (C) + P (H2 )
PH2 (C) + P (H3 )
0;8
1 \C)
d) La probabilité cherchée est égale à PC (H1 ) = P (H
= 0;35
P (C)
0;525 ' 0:533 .
2) a) On a vu que la probabilité de tirer un conifère est égale à 0; 525.
Ici on répète de façon indépendante 10 fois une épreuve à deux issues (épreuve de Bernoulli) :
- choix d’un conifère de probabilité p = 0; 525:
- choix d’un arbre feuillu de probabilité q = 1 p = 1 0; 525 = 0; 475:
La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0; 525:
b) La probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères est égale à P (X = 5) =
0; 4755 ' 0; 243 .
PH3 (C) =
PH3 (C) = 0; 35
10
5
p5 q 5 =
10
5
0; 8 +
0; 5255
c) La probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus est égale à
P (X
P (X
8)
=
1
=
1
10 9 1
10 10 0
p q +
p q
9
10
(P (X = 9) + P (X = 10)) = 1
10
0; 5259
9
8) ' 0; 984 .
0; 4751 +
10
0; 52510
10
0; 4750
1
et telle que pour tout entier naturel n,
2
3un
un+1 =
1 + 2un
Exercice 3 On considère la suite (un ) dé…nie par u0 =
3uo
1) a) On a : u1 =
=
1 + 2uo
3
1
2
1
1+2
2
1
b) Au rang 0 : On a bien u0 = > 0:
2
=
3
2
2
=
3
4
et u2 =
3
3u1
=
1 + 2u1
1+2
3
4
3
4
=
9
4
10
4
=
Supposons que pour un entier naturel n; un > 0: Alors : 3un > 0 et 1 + 2un > 0: Ensuite
9
10
.
3un
> 0 et un+1 > 0:
1 + 2un
Donc pour tout entier naturel n, un > 0 .
2) On admet que pour tout entier naturel n, un < 1.
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Pour tout entier naturel n, on a : un+1
3un
=
; puis
1 + 2un
Comme un < 1; on a : 1 + 2un < 1 + 2
un+1
un
3
=
.
1 + 2un
1; soit 1 + 2un < 3; ou encore
3
> 1: Donc
1 + 2un
un+1
un
> 1; puis un+1 > un :
Par conséquent la suite (un ) est croissante .
3) Soit (vn ) la suite dé…nie, pour tout entier naturel n, par vn =
un
.
un
1
a) Pour tout entier naturel n, on a :
vn+1
un+1
=
=
1 un+1
3un
3un
3un
3un
1 + 2un
1 + 2un
1 + 2un
=
=
=
= 3vn
3un
1 + 2un 3un
1 un
1 un
1
1 + 2un
1 + 2un
1 + 2un
uo
Donc la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme vo =
=
1 uo
1
2
1
b) Comme (vn ) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme vo = 1; on a vn = vo
3n
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = n
3 +1
Pour tout entier naturel n, on a :
un
vn =
1 un
vn (1 un ) = un
vn
donc un =
vn un
=
un
vn
=
vn un + un
vn
=
un
=
un (vn + 1)
vn
vn + 1
1 =1.
2
qn = 1
3n = 3n :
3n
.
3n + 1
Exercice 4 Soient deux suites (un ) et (vn ) dé…nies par :
uo = 1
;
v0 = 2
,
un+1 = 3un + 2vn
et
vn+1 = 2un + 3vn
pour tout n 2 N:
1) On a : u1 = 3uo + 2vo = 3 1 + 2 2 = 7; v1 = 2uo + 3vo = 2 1 + 3 2 = 8;
u2 = 3u1 + 2v1 = 3 7 + 2 8 = 37; v2 = 2u1 + 3v1 = 2 7 + 3 8 = 38:
vo uo = 2 1 = 1 , v1 u1 = 8 7 = 1 et v2 u2 = 38 37 = 1 :
2) Pour tout entier naturel n, on a : vn+1 un+1 = (2un + 3vn ) (3un + 2vn ) = 2un + 3vn
Donc la suite de terme général vn un est constante .
3un
2vn = vn
3) D’après la question précédente, pour tout entier naturel n, on a : vn un = vo uo = 1 (car la suite (vn
Donc pour tout n 2 N , on a : vn = un + 1 et un+1 = 3un + 2vn = 3un + 2 (un + 1) = 5un + 2 :
un :
un ) est constante).
4) a) Déterminer le réel pour que la suite de terme général xn = un + ; soit une suite géométrique.
D’abord : xo = uo + = 1 + ; x1 = u1 + = 7 + ; x2 = u2 + = 37 + :
Comme la suite (xn ) est géométrique, on a :
x2
x1
=
x1
xo
37 +
7+
=
7+
1+
2
(37 + ) (1 + ) = (7 + )
37 + 37 +
+
24
Donc
=
1
2
2
=
49 + 14 +
=
12
2
.
b) Pour tout entier naturel n, on a : xn+1 = un+1 + 12 = 5un + 2 + 12 = 5un + 25 = 5 un +
Donc (xn ) est une suite géométrique de raison q = 5 et de premier terme xo = 1 + 12 = 32 :
Par conséquent pour tout entier naturel n, on a : xn = xo q n =
3
2
5n
1
2
+1=
3
2
5n +
1
2
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3
2
5n , puis un = xn
1
2
=
= 5xn :
3
2
5n
1
2
et vn = un + 1 =
.
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