DS1 Corrigé

Yves IV - Lycée Polyvalent de Taaone
Devoir surveillé n1_corrige
Classe TS 2 (corrigé le 09-09-2013)
Exercice 1 Question de cours : Soient deux événements Aet B: Démontrer que si Aet Bsont indépendants, alors Aet
Ble sont aussi. (Voir le cours).
Partie A
1) Le grossiste a deux fournisseurs et il y a dans chaque boîte des traces de pesticides ou non. On a donc :
2) a) On a : PB\S=P(B)PBS= 0;20;8 = 0;16 .
b) D’près la formule des probabilités totales , on a :
PS=PA\S+PB\S=P(A)PAS+P(B)PBS= 0;80;9+0;20;8 = 0;88
3) On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
La probabilité cherchée est PS(B) = P(B\S)
P(S):
Or P(B\S) = P(B)PB(S) = 0;20;2 = 0;04 et P(S)=1PS= 1 0;88 = 0;12:
Donc PS(B) = 0;04
0;12 =4 12 =1 3'0;333 .
Partie B
On considère la variable aléatoire Xqui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.
1) On a vu que la probabilité de tirer une boîte de façon aléatoire dans le stock du grossiste sans trouver de pesticides est égale
à 0,88.
Ici on répète de façon indépendante 10 fois une épreuve à deux issues (épreuve de Bernoulli) :
- boîte sans trace de pesticide de probabilité p= 0;88:
- boîte avec trace de pesticide de probabilité q= 1 p= 1 0;88 = 0;12:
La variable Xsuit donc une loi binomiale de paramètres n= 10 et p= 0;88:
2) La probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides est égale à P(X= 10) = 10
10p10q0= 0:8810 '0;28 .
3) La probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides est égale à :
P(X8) = P(X= 8) + P(X= 9) + P(X= 10)
=10
8p8q2+10 9p9q1+10 10p10q0
=10
80;8880;122+10 90;8890;121+10 100;8810 0;120
'0;233043 + 0;379774 + 0;278501 '0;891318:
P(X8) '0;89 .
Exercice 2 Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent
de l’horticulteur h1, 25% de l’horticulteur h2et le reste de l’horticulteur h3. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres :
des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur h1comporte 80% de conifères alors que celle de l’horticulteur h2n’en comporte que 50% et celle
de l’horticulteur h3seulement 30%.
1) Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :
H1: « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h1» ,
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H2: « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h2» ,
H3: « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h3» ,
C: « l’arbre choisi est un conifère » ,
F: « l’arbre choisi est un arbre feuillu » .
a)
b) La probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur h3est P(H3\C) = P(H3)PH3(C) =
0:40:3 = 0;12 .
c) D’après la formule des probabilités totales , on a :
P(C) = P(H1\C) + P(H2\C) + P(H3\C) = P(H1)PH1(C) + P(H2)PH2(C) + P(H3)PH3(C) = 0;35 0;8 +
0;25 0;5+0;40;3 = 0;525 .
d) La probabilité cherchée est égale à PC(H1) = P(H1\C)
P(C)=0;350;8 0;525 '0:533 .
2) a) On a vu que la probabilité de tirer un conifère est égale à 0;525.
Ici on répète de façon indépendante 10 fois une épreuve à deux issues (épreuve de Bernoulli) :
- choix d’un conifère de probabilité p= 0;525:
- choix d’un arbre feuillu de probabilité q= 1 p= 1 0;525 = 0;475:
La variable Xsuit donc une loi binomiale de paramètres n= 10 et p= 0;525:
b) La probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères est égale à P(X= 5) = 10
5p5q5=10 50;5255
0;4755'0;243 .
c) La probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus est égale à
P(X8) = 1 (P(X= 9) + P(X= 10)) = 1 10
9p9q1+10 10p10q0
= 1 10
90;52590;4751+10 100;52510 0;4750
P(X8) '0;984 .
Exercice 3 On considère la suite (un)dé…nie par u0=1
2et telle que pour tout entier naturel n,
un+1 =3un
1+2un
1) a) On a : u1=3uo
1+2uo
=
31
2
1+21
2
=3
2
2=3 4et u2=3u1
1+2u1
=33
4
1+23
4
=9
4
10
4
=9
10 .
b) Au rang 0 : On a bien u0=1
2>0:
Supposons que pour un entier naturel n; un>0:Alors : 3un>0et 1+2un>0:Ensuite 3un
1+2un
>0et un+1 >0:
Donc pour tout entier naturel n,un>0.
2) On admet que pour tout entier naturel n,un<1.
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Pour tout entier naturel n, on a : un+1 =3un
1+2un
;puis un+1
un=3
1+2un
.
Comme un<1;on a : 1+2un<1+21;soit 1+2un<3;ou encore 3
1+2un
>1:Donc un+1
un>1;puis un+1 > un:
Par conséquent la suite (un)est croissante .
3) Soit (vn)la suite dé…nie, pour tout entier naturel n, par vn=un
1un
.
a) Pour tout entier naturel n, on a :
vn+1 =un+1
1un+1
=
3un
1+2un
13un
1+2un
=
3un
1+2un
1+2un3un
1+2un
=
3un
1+2un
1un
1+2un
=3un
1un
= 3vn
Donc la suite (vn)est une suite géométrique de raison q= 3 et de premier terme vo=uo
1uo
=
1
2
11
2
= 1 .
b) Comme (vn)est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme vo= 1;on a vn=voqn= 1 3n= 3n:
c) En déduire que, pour tout entier naturel n,un=3n
3n+ 1
Pour tout entier naturel n, on a :
vn=un
1un
vn(1 un) = un
vnvnun=un
vn=vnun+un
vn=un(vn+ 1)
un=vn
vn+ 1
donc un=3n
3n+ 1 .
Exercice 4 Soient deux suites (un)et (vn)dé…nies par :
uo= 1 ; v0= 2 ,un+1 = 3un+ 2vnet vn+1 = 2un+ 3vnpour tout n2N:
1) On a : u1= 3uo+ 2vo= 3 1+22 = 7; v1= 2uo+ 3vo= 2 1+32 = 8;
u2= 3u1+ 2v1= 3 7+28 = 37; v2= 2u1+ 3v1= 2 7+38 = 38:
vouo= 2 1 = 1 ,v1u1= 8 7 = 1 et v2u2= 38 37 = 1 :
2) Pour tout entier naturel n, on a : vn+1 un+1 = (2un+ 3vn)(3un+ 2vn) = 2un+ 3vn3un2vn=vnun:
Donc la suite de terme général vnunest constante .
3) D’après la question précédente, pour tout entier naturel n, on a : vnun=vouo= 1 (car la suite (vnun)est constante).
Donc pour tout n2N, on a : vn=un+ 1 et un+1 = 3un+ 2vn= 3un+ 2 (un+ 1) = 5un+ 2 :
4) a) Déterminer le réel pour que la suite de terme général xn=un+; soit une suite géométrique.
D’abord : xo=uo+= 1 + ; x1=u1+= 7 + ; x2=u2+= 37 + :
Comme la suite (xn)est géométrique, on a :
x2
x1
=x1
xo
37 + 
7 + =7 +  1 + 
(37 + ) (1 + ) = (7 + )2
37 + 37++2= 49 + 14+2
24= 12
Donc =1
2.
b) Pour tout entier naturel n, on a : xn+1 =un+1 +1
2= 5un+2+1 2= 5un+5 2= 5 un+1 2= 5xn:
Donc (xn)est une suite géométrique de raison q= 5 et de premier terme xo= 1 + 1
2=3 2:
Par conséquent pour tout entier naturel n, on a : xn=xoqn=3
25n, puis un=xn=3 25n1 2et vn=un+ 1 =
3
25n1 2+ 1 = 3 25n+1 2.
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