Yves IV - Lycée Polyvalent de Taaone Devoir surveillé n 1_corrige Classe TS 2 (corrigé le 09-09-2013) Exercice 1 Question de cours : Soient deux événements A et B: Démontrer que si A et B sont indépendants, alors A et B le sont aussi. (Voir le cours). Partie A 1) Le grossiste a deux fournisseurs et il y a dans chaque boîte des traces de pesticides ou non. On a donc : 2) a) On a : P B \ S = P (B) PB S = 0; 2 0; 8 = 0; 16 . b) D’près la formule des probabilités totales , on a : P S = P A \ S + P B \ S = P (A) PA S + P (B) PB S = 0; 8 3) On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. 0; 9 + 0; 2 0; 8 = 0; 88 Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ? La probabilité cherchée est PS (B) = P (B\S) P (S) : Or P (B \ S) = P (B) PB (S) = 0; 2 0; 2 = 0; 04 et P (S) = 1 P S = 1 0; 88 = 0; 12: 4 1 Donc PS (B) = 0;04 0;12 = 12 = 3 ' 0; 333 . Partie B On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides. 1) On a vu que la probabilité de tirer une boîte de façon aléatoire dans le stock du grossiste sans trouver de pesticides est égale à 0,88. Ici on répète de façon indépendante 10 fois une épreuve à deux issues (épreuve de Bernoulli) : - boîte sans trace de pesticide de probabilité p = 0; 88: - boîte avec trace de pesticide de probabilité q = 1 p = 1 0; 88 = 0; 12: La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0; 88: 10 0 10 2) La probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides est égale à P (X = 10) = 10 ' 0; 28 . 10 p q = 0:88 3) La probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides est égale à : P (X P (X 8) = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) 10 8 2 10 9 1 10 10 0 = p q + p q + p q 8 9 10 10 10 10 = 0; 888 0; 122 + 0; 889 0; 121 + 0; 8810 8 9 10 ' 0; 233043 + 0; 379774 + 0; 278501 ' 0; 891318: 0; 120 8) ' 0; 89 . Exercice 2 Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent de l’horticulteur h1 , 25% de l’horticulteur h2 et le reste de l’horticulteur h3 . Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l’horticulteur h1 comporte 80% de conifères alors que celle de l’horticulteur h2 n’en comporte que 50% et celle de l’horticulteur h3 seulement 30%. 1) Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants : H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h1 » , Lycée Polyvalent de Taaone LPT Page: 1/3 Yves IV - Lycée Polyvalent de Taaone H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h2 » , H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h3 » , C : « l’arbre choisi est un conifère » , F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu » . a) 0:4 b) La probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur h3 est P (H3 \ C) = P (H3 ) 0:3 = 0; 12 . c) D’après la formule des probabilités totales , on a : P (C) = P (H1 \ C) + P (H2 \ C) + P (H3 \ C) = P (H1 ) 0; 25 0; 5 + 0; 4 0; 3 = 0; 525 . PH1 (C) + P (H2 ) PH2 (C) + P (H3 ) 0;8 1 \C) d) La probabilité cherchée est égale à PC (H1 ) = P (H = 0;35 P (C) 0;525 ' 0:533 . 2) a) On a vu que la probabilité de tirer un conifère est égale à 0; 525. Ici on répète de façon indépendante 10 fois une épreuve à deux issues (épreuve de Bernoulli) : - choix d’un conifère de probabilité p = 0; 525: - choix d’un arbre feuillu de probabilité q = 1 p = 1 0; 525 = 0; 475: La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0; 525: b) La probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères est égale à P (X = 5) = 0; 4755 ' 0; 243 . PH3 (C) = PH3 (C) = 0; 35 10 5 p5 q 5 = 10 5 0; 8 + 0; 5255 c) La probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus est égale à P (X P (X 8) = 1 = 1 10 9 1 10 10 0 p q + p q 9 10 (P (X = 9) + P (X = 10)) = 1 10 0; 5259 9 8) ' 0; 984 . 0; 4751 + 10 0; 52510 10 0; 4750 1 et telle que pour tout entier naturel n, 2 3un un+1 = 1 + 2un Exercice 3 On considère la suite (un ) dé…nie par u0 = 3uo 1) a) On a : u1 = = 1 + 2uo 3 1 2 1 1+2 2 1 b) Au rang 0 : On a bien u0 = > 0: 2 = 3 2 2 = 3 4 et u2 = 3 3u1 = 1 + 2u1 1+2 3 4 3 4 = 9 4 10 4 = Supposons que pour un entier naturel n; un > 0: Alors : 3un > 0 et 1 + 2un > 0: Ensuite 9 10 . 3un > 0 et un+1 > 0: 1 + 2un Donc pour tout entier naturel n, un > 0 . 2) On admet que pour tout entier naturel n, un < 1. Lycée Polyvalent de Taaone LPT Page: 2/3 Yves IV - Lycée Polyvalent de Taaone Pour tout entier naturel n, on a : un+1 3un = ; puis 1 + 2un Comme un < 1; on a : 1 + 2un < 1 + 2 un+1 un 3 = . 1 + 2un 1; soit 1 + 2un < 3; ou encore 3 > 1: Donc 1 + 2un un+1 un > 1; puis un+1 > un : Par conséquent la suite (un ) est croissante . 3) Soit (vn ) la suite dé…nie, pour tout entier naturel n, par vn = un . un 1 a) Pour tout entier naturel n, on a : vn+1 un+1 = = 1 un+1 3un 3un 3un 3un 1 + 2un 1 + 2un 1 + 2un = = = = 3vn 3un 1 + 2un 3un 1 un 1 un 1 1 + 2un 1 + 2un 1 + 2un uo Donc la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme vo = = 1 uo 1 2 1 b) Comme (vn ) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme vo = 1; on a vn = vo 3n c) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = n 3 +1 Pour tout entier naturel n, on a : un vn = 1 un vn (1 un ) = un vn donc un = vn un = un vn = vn un + un vn = un = un (vn + 1) vn vn + 1 1 =1. 2 qn = 1 3n = 3n : 3n . 3n + 1 Exercice 4 Soient deux suites (un ) et (vn ) dé…nies par : uo = 1 ; v0 = 2 , un+1 = 3un + 2vn et vn+1 = 2un + 3vn pour tout n 2 N: 1) On a : u1 = 3uo + 2vo = 3 1 + 2 2 = 7; v1 = 2uo + 3vo = 2 1 + 3 2 = 8; u2 = 3u1 + 2v1 = 3 7 + 2 8 = 37; v2 = 2u1 + 3v1 = 2 7 + 3 8 = 38: vo uo = 2 1 = 1 , v1 u1 = 8 7 = 1 et v2 u2 = 38 37 = 1 : 2) Pour tout entier naturel n, on a : vn+1 un+1 = (2un + 3vn ) (3un + 2vn ) = 2un + 3vn Donc la suite de terme général vn un est constante . 3un 2vn = vn 3) D’après la question précédente, pour tout entier naturel n, on a : vn un = vo uo = 1 (car la suite (vn Donc pour tout n 2 N , on a : vn = un + 1 et un+1 = 3un + 2vn = 3un + 2 (un + 1) = 5un + 2 : un : un ) est constante). 4) a) Déterminer le réel pour que la suite de terme général xn = un + ; soit une suite géométrique. D’abord : xo = uo + = 1 + ; x1 = u1 + = 7 + ; x2 = u2 + = 37 + : Comme la suite (xn ) est géométrique, on a : x2 x1 = x1 xo 37 + 7+ = 7+ 1+ 2 (37 + ) (1 + ) = (7 + ) 37 + 37 + + 24 Donc = 1 2 2 = 49 + 14 + = 12 2 . b) Pour tout entier naturel n, on a : xn+1 = un+1 + 12 = 5un + 2 + 12 = 5un + 25 = 5 un + Donc (xn ) est une suite géométrique de raison q = 5 et de premier terme xo = 1 + 12 = 32 : Par conséquent pour tout entier naturel n, on a : xn = xo q n = 3 2 5n 1 2 +1= 3 2 5n + 1 2 Lycée Polyvalent de Taaone 3 2 5n , puis un = xn 1 2 = = 5xn : 3 2 5n 1 2 et vn = un + 1 = . LPT Page: 3/3