Etude du mouvement d`un syst`eme soumis `a une force centrale

Etude du mouvement d’un syst`eme soumis `a
une force centrale. Application `a la force de
gravitation
MPSI
26 aoˆut 2008

Table des mati`eres
1 Force centrale 3
1.1 Momentcin´etique......................... 3
1.2 Th´eor`eme du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Application du th´eor`eme du moment cin´etique `a une force
centrale .............................. 4
2 Approche qualitative de la nature de la trajectoire d’un point
materiel soumis `a une force centrale 5
2.1 Constante des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Vitessear´eolaire.......................... 5
2.3 ´ Energie m´ecanique d’un syst`eme soumis `a une force centrale . 6
2.4 Trajectoire dans un champ newtonien . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Etude du mouvement d’un point materiel dans une force
centrale d’origine gravitationnelle 7
3.1 FormuledeBinet ......................... 7
3.2 Force explicite de la trajectoire d’apr`es les formules de Binet . 7
3.3 Energie m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Trajectoire elliptique 9
4.1 Trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Trajectoire elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2.1 Propri´et´es......................... 9
4.2.2 Troisi`eme loi de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.3 Relation avec la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Trajectoire parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 Satellisation, orbite g´eostationnaire . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4.1 Orbite de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1

4.4.2 ´ Energie de satellisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2

Chapitre 1
Force centrale
Soit M(m) point materiel de masse m, observ´e dans un r´eferentiel R ga-
lil´een d’origine O.
Soit −→ Fune force agisant sur M(m).
D´efinition 1 On dit que −→ Fest une force centrale si et seulement si `a tous
instants la force −→ Fest port´ee par le vecteur −−→ OM.
Une force centrale poss`ede un support passant par un point fixe, ici O, appel´e
centre de force.
1.1 Moment cin´etique
Suppposons que la vitesse d’un point M(m) dans R soit −→ V(M)R.
D´efinition 2 On appele moment cin´etique de M, par rapport `a O, not´ee
−→
L(O)R, la grandeur vectorielle d´efinie par :
−→
L(O)R=−−→ OM ∧−→ p(M)R
avec : −→
p(M)R=m.−→ V(M)R
L’unit´e du moment cin´etique est : kg.m2.s−1
1.2 Th´eor`eme du moment cin´etique
Supposons que M(m) soit soumis `a l’ensemble des forces r´esultantes Σ−→ F
dans le r´eferentiel R galil´een.
3

On obtient le th´eor`eme du moment cin´etique, aussi not´ee T.M.C. :
d−→
L(O)R
dt !R
=−−→ OM ∧Σ−→ F= Σ−→ M(O)
avec : −→
M(O) = −−→ OM ∧−→ F
Le moment de la force −→ F, par rapport au point fixe O.
1.3 Application du th´eor`eme du moment ci-
n´etique `a une force centrale
Soit M(m) un point materiel soumis seulement `a la force centrale −→ F=
F(r).−→ urdans R galil´een. On obtient :
d−→
L(O)R
dt !R
=−−→ OM ∧−→ F=−→ 0
Donc : −→
L(O)R=−−→ OM ∧−→ p(M)R=−→ cte
Sachant que −→ L(O)Rest une constante, on en d´eduit que la trajectoire est
plane, que le plan passe par le centre de force et qu’il contient −−→ OM et −→ V(M)R
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