introduction aux probabilites

L3 INTRODUCTION AUX PROBABILITES
Rappels de L2
« Nous devons à la faiblesse de l'esprit humain (l'ignorance des différentes causes qui concourent à la production des événements),
une des théories les plus délicates et les plus ingénieuses desMathématiques, à savoir la science des hasards ou des probabilités»
Essai philosophique sur les probabilités.
Pierre Simon Laplace 1814.
I DE LA STATISTIQUE AUX PROBABILITÉS OU LE DOUBLE VISAGE DU
PROBABLE
La plupart de nos croyances ne sont pas certaines mais seulement probables.C'est un rapport de probabilité et non de certitude, qui
prévaut entre la plupart de nos prémisses et de nos conclusions.
Nous sommes certains qu'une pièce lancée en l'air retombera (loi de la. gravitation), mais nous sommes incapables de prédire si elle
retombera côté pile ou côté face. Nous mettons sur le compte du hasard un tel événement mais le hasard n'est qu'un euphémisme de
notre ignorance.
Le statisticien utilise pour instrument de mesure la fréquence relative. Ainsi après avoir lancé la pièce 100 fois, si les résultats
obtenus sont 43 pile et 57 fois face la fréquence d'apparition de pile est de 43 /1 00 et celle de face 57 / 100, cette fréquence observée
étant la "probabilité" expérimentale.
La théorie de la probabilité vise à mesurer la relation de probabilité en lui assignant une valeur numérique.
Quand un événement ne peut arriver (événement impossible}, on lui attribue la probabilité 0 , quand on est sûr qu'il se réalisera, on
lui attribue la probabilité 1(événement certain).
Toute probabilité comprise entre ces extrêmes est exprimable par une fraction comprise entre 0 et 1. Reprenons l'exemple de pile ou
face. Si on joue 1000 fois, puis 10000 fois, etc. On va observer que les fréquences de pile et de face se rapprochent de 0,5.
Pour le probabiliste, si la pièce n'est pas truquée, les évènements PILE et FACE sont équiprobables (même probabilité), car il n'y a
pas lieu de s'attendre à l'un plutôt qu'à l'autre. On notera : P {pile} = P {Face}= 1/2, cette probabilité étant la probabilité théorique.
La probabilité peut être considérée comme la limite de la fréquence relative quand le nombre d'expériences réalisées tend vers
l'inni. Citons, la loi des grands nombres, que l'on peut énoncer grossièrement : « Il est très peu probable que si l'on fait un nombre
sufsamment grand d'expériences, la fréquence d'un événement s'écarte notablement de sa probabilité ». (Ars Conjectandi » Bernoulli
Jacques ).
II ASPECT HISTORIQUE
la théorie des probabilités est une science issue des gobelets à dés. Au 1 7 ème siècle, le Chevalier de Méré, appelé le philosophe
du jeu, désirait avoir des renseignements sur la question des mises,au jeu de dés. Il interrogea l'un des meilleurs mathématiciens, Blaise
Pascal lequel écrivit à un mathématicien encore plus célèbre, le conseiller municipal du parlement de Toulouse : Pierre de Fermat; la
correspondance qu'ils échangèrent permit à la théorie des probabilités de voir le jour. En 1665, fut publié le traité posthume de Pascal
sur les nombres gurés, notés C. Quelques années plus tard, l'étude mathématique des risques se présente d'une autre façon : en 1693
était publiée, à Londres, la 1ère table de vie de Halley (1656-1742, lequel a prédit en 1705 le retour pour 1758 de la comète ...), destinée
à déterminer le prix des rentes viagères. L'assurance maritime était déjà une forme importante de la spéculation nancière, à l'époque
où le commerce maritime prenait de l'extension dans l'Europe du Moyen Age. Dans ses débuts, l'assurance était un jeu au sens le plus
strict du mot, et aux foires du Moyen-Age, les marchands qui avaient des capitaux, gageaient sur un enfant à naître ou sur la probabilité
de mort d'une personne, véritables prémisses de l'assurance vie. Puis l'intérêt manifesté à l'égard des probabilités s'accrût, encouragé
par les recherches de mathématiciens tels que W. Leibniz, Jacques Bernoulli, A.de Moivre, L.Euler, Condorcet (applications de l'analyse
aux décisions rendues à la pluralité des voix- 1785) et surtout Laplace (1ère théorie analytique des probabilités en 1812, suivi de l'Essai
philosophique sur la probabilité en 1814) et Poisson, son illustre élève .D'Alembert, dans un article sur la probabilité publié dans la
célèbre Encyclopédie prégurait l'interprétation statistique, en suggérant qu'on puisse évaluer approximativement les probabilités en
réalisant des expériences. Buffon, le grand naturaliste du 19ème siècle, réalisa de nombreuses expériences, dont la plus connue est le
problème de l'aiguille. Une surface plane est rayée de lignes parallèles équidistantes d'une distance H.
H
= L
Buffon laisse tomber une aiguille de longueur L (L <H), sur la surface rayée. Il désigne comme favorable. le cas où l'aiguille tombe
sur une ligne et démontre que la possibilité d'un succès est: P= 2L=H:
En 1901, le mathématicien italien Lazzerini lança l'aiguille 3408 fois et donna pour pi la valeur de 3 ,1415929, soit avec une erreur
inférieure à 3107
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2INTRODUCTION AUX PROBABILITES
Enn citons l'un des plus ardents problèmes posés par la probabilité, celui de la diminution progressive de la probabilité d'un
événement passé, à mesure que la durée de la tradition augmente (J.M. Keynes Traité de la probabilité – 1921). La solution la plus
célèbre est celle proposée par CRAIG (géomètre écossais vers 1650), dans ses Theologiae christianae principia mathematica, publiés en
1699. Il prouve que les doutes éveillés par une histoire varient en raison du double du temps écoulé depuis la naissance de cette histoire
; il en conclut que la foi dans les évangiles, autant qu'elle a dépendu de la tradition orale s'est éteinte en 888, et autant qu'elle repose
sur la tradition écrite, expirerait en 31 50.
Pour nir nous citerons plus récemment les grands mathématiciens auxquels doit beaucoup la théorie moderne des probabilités
: Andrei Markov (1856-1922} mathématicien russe, élève de Tchebeychev (1821-1894), Andrei Kolmogorov (né en 1903} et Emile
BOREL mathématicien français (1871-1956).
Concluons en laissant la parole à E. Borel qui nous indique avec la loi unique du hasard, comment nous comporter vis à vis
d'événements pratiquement impossibles ou pratiquement certains : Les évènements dont les probabilités sont sufsamment faibles ne
se produisent jamais, ou du moins, l'homme doit agir en toutes circonstances comme s'ils étaient impossibles, bien que les événements
rares se produisent.
Borel utilise un exemple désormais célèbre : vous avez isolé avec sa machine à écrire une dactylographe durant plusieurs mois et
vous lui avez demandé de taper des lettres au hasard; elle ignore l'allemand et pourtant, trois mois plus tard, vous avez la surprise de
constater qu'elle a tapé le texte des œuvres complètes de Gœthe ! Cet événement a une probabilité faible mais non nulle ! jl précise qu'un
événement dont la probabilité est inférieure ou égale à 106doit être, en pratique, considéré comme impossible à l'échelle humaine.
Un événement de probabilité comprise entre 1030 et 1020 est pratiquement impossible à l'échelle terrestre et de même un événement
de probabilité comprise entre10300et 10200 doit être considéré comme impossible à l'échelle de l'univers.
III VOCABULAIRE DES ENSEMBLES
On considère une expérience aléatoires et l'univers des cas possibles . On rappelle qu'un événement Aest une partie de ;et que
l'on note : A.
La Réunion (OU) : A[BLe complémentaire : A
A∩Β
L'intersection (ET) : A\BLa différence symétrique : AB
1. Intersection : A\B:x2A\B,x2Aet x2B: f1; 3; 5g\f4; 5g=f5g
2. Evénement contraire de A, noté A: si l'expérience aléatoire consiste à lancer un dé honnête, alors =[j1; 6j]et si Adésigne
l'événement : le résultat est pair, A=f1; 3; 5g:Les événements Aet Asont disjoints ou incompatibles, car ils ne peuvent se réaliser
simultanément : A\A=?:
3. La réunion : A[B:x2A[B,x2Aou x2Bpar exemple : f1; 3; 5g[f2; 5g=f1; 3; 5; 2g
4. La différence symétrique : AB=A\B[A\B= (A[B)nA\B: ce sont les éléments qui appartiennent à Aou à B
mais pas aux deux ; si une entreprise est équipée de deux photocopieurs, et que l'on note respectivement A1et A2les événements le
photocopieur 1 est en panne et le photocopieur 2 est en panne, on va s'intéresser à A1A2, c'est à dire :"un des photocopieurs est
en panne, mais l'autre marche".
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5. Propriétés (à compléter) et à justier :
A\B=
A[B=
6. Partition : La notion de partition de l'univers est fondamentale en probabilité . On dira que des événements Aiforment une partition
de si et seulement si la réunion des Aiest et si les Aisont deux à deux disjoints : (i=n
[
i=1Ai= 
Ai\Aj=?:si i6=j
IV MESURE DE PROBABILITE
1. MESURE DE PROBABILITE
On appelle mesure de probabilité dénie sur un univers ;toute application de P() dans [0; 1] qui vérie les propriétés suivantes :
P() = 1 et P(?) = 0
P(A[B) = P(A) + P(B),A\B=;:Axiome de Kolmogorov
En clair, on reconnait une propriété fondamentale du calcul d'aire : pour calculer l'aire d'une réunion de deux domaines, on ne peut
additionner les aires que si les domaines sont disjoints car sinon l'intersection est comptée deux fois.
2. Propriétés :
a. Cas général : on a dans tous les cas :
Formule de Poincaré :P(A[B) = P(A) + P(B)P(A\B)
si A\B=;;on retombe sur l'axiome de Kolmogorov.
b. P(A) = 1 P(A)et de même : P(A) = 1 P(A)
3. Cas d'une probabilité uniforme:
a. Dénition 1: On dit que des événements sont equiprobables, si et seulement si : P(A) = P(B):
b. Dénition 2: On dit que la probabilité est uniforme, si tous les événements élémentaires sont équiprobables. Exemples : jeu de
pile ou face avec une pièce non truquée : P(pile) = P(face) = 1
2:jeu de dés non truqués, avec une probabilité de 1 6pour
chaque face.
c. Si la probabilité est uniforme, on calcule P(A)par la formule suivante :
P(A) = CardA
Card=nombre de cas favorables nombre de cas possibles
V Rappel : LES FORMULES de DENOMBREMENT
Applications quelconques Factorielle Arrangements : Ordre Combinaisons :
nuplets
Il y a pnapplications de
Endans Fp
n! = n(n1) ::: 21
Convention :0!=1
Ap
n=n!
(np)!
n(n1) (n2) ::: (np+ 1)
| {z }
P FACTEURS
n
p=n!
p! (np)!
n
p=Ap
n
p!
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4INTRODUCTION AUX PROBABILITES
VI Calculatrices Texas Instrument
Les fonctions de dénombrement sont dans le menu MATH :
On a tapé successivement : 10 M AT H P RB 3 5 EN T ER
VII Calculatrices Casio
On accède au menu probabilité dans le MENU RU N par la commande OP T N P RB
VIIIEXERCICES
1. A chaque voyage, un représentant de commerce visite 5des 8villes de sa région. De combien de façons peut-il prévoir son itinéraire
?
2. De combien de façons, une compagnie peut-elle choisir quatre sites, parmi les 10 suceptibles d'accueillir de nouveaux centres de
distribution ?
3. On a constaté que 50% des personnes d'une population vont au cinéma, 20% au théâtre et 14:5% au cinéma et au théâtre.
a. Quelle est la probabilité qu'un individu pris au hasard dans cette population aille au théâtre ou au cinéma?
b. Quelle est la probabilité qu'un individu pris au hasard dans cette population n'aille ni au théâtre, ni au cinéma ?
4. On tire quatre cartes d'un jeu de 52 cartes . Quelle est la probabilité que :
a. Les cartes soient des coeurs ?
b. Les cartes soient de la même couleur ? (rouges ou noires)
c. Les cartes comportent deux rois ou deux as ?
5. Pour être sûr d'avoir au moins un garçon, un couple décide d'avoir cinqs enfants ; si l'on considère les évènements {G} et {F}
équiprobables, quelle est la probabilité du succès de leur stratégie ?
6. Le problème du Prince de Toscane:
Ce problème a été posé à Galilée par ce prince, grand joueur : le prince avait remarqué que le total 9 sortait moins souvent que le
total 1 0 quand on lance trois dés, mais il ne comprenait pas pourquoi car, disait-il, il ya six façons d'obtenir 9 et également six
façons d'obtenir 10.
Pour 9 : 6-2-1, 5-3-1 , 5-2-2 , 4-3-2 , 3-3-3 , 4-4-1 .
Pour 10: 6-3-1 , 6-2-2 , 5-4-1 , 5-3-2,4-4-2, 4-3-3.
Reconstituer la solution de Galilée et déduisez en que ce prince était un très bon observateur .
7. "Il est bien connu, que dans tout groupe constitué de 23 personnes, la probabilité de trouver au moins deux personnes ayant le même
anniversaire dépasse 50%" Extrait du livre qui rend fou (Smulyan) Vrai ou Faux ?
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