1cinétique des systèmes matériels nouveau

CINÉTIQUE DES SYSTÈMES MATÉRIELS
La cinématique concerne les positions, vitesses et accélérations de systèmes matériels.
cinématique : géométrie + temps (purement mathématique)
La cinétique se construit à partir de la cinématique en rajoutant la notion de masse ; son objet est l’étude des mouvements
de systèmes matériels, indépendamment des causes qui les produisent.
cinétique : cinématique + masse
La dynamique, elle, a pour objet l’étude des mouvements en liaison avec leurs causes.
dynamique : cinétique + forces (cas particulier ou référentiel particulier : statique)
I.
Rappels
1.
Référentiel
Position, mouvement, vitesse, accélération étant des notions relatives, quand on étudie un système matériel, on doit
préciser « par rapport à quoi » se fait l’étude : on doit préciser « la référence » . Tout solide indéformable peut servir de
référence : tout solide indéformable peut constituer le référentiel d’étude.
référentiel =solide
Un référentiel est décrit mathématiquement par 1 point et 3 droites fixes du solide se coupant en ce point, le tout
constituant un repère cartésien du référentiel. Il existe une infinité de repères cartésiens associés à un solide donné. Par
abus de langage, on identifie souvent les notions de référentiel et de repère cartésien.
référentiel ={repères cartésiens associés à un solide, de type Oxyz}
Une fois le référentiel d’étude précisé (noté ℜ), et un repère cartésien associé choisi, on peut définir, pour le point matériel
M étudié :
par rapport au référentiel ℜ
sa position à chaque instant. On la caractérise indifféremment :
par trois réels appelés coordonnées de M. Selon les besoins, on peut utiliser :
♦
♦
♦
les coordonnées cartésiennes (x,y,z) (projections sur Ox, sur Oy, sur Oz)
les coordonnées cylindriques (ρ,θ,z)
les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ)
r
par son vecteur position r = OM . Ce vecteur peut se décomposer sur différentes bases de projection :
r
r
r
r r r
r
r
♦ sur la base cartésienne ( u x , u y , u z ) : r =x u x + y u y + z u z . Les composantes de r se confondent alors
♦
♦
(et dans ce cas seulement) avec les coordonnées cartésiennes.
r
r r r
r
r
sur la base locale cylindriques (u ρ , u θ , u z ) : r = ρ u ρ + z u z
r
r r r
r
sur la base locale sphérique (u r , u θ , u ϕ ) r =r u r
Cinétique des systèmes matériels (méca 1)
1
sa trajectoire, ensemble des positions occupées par le point matériel M au cours du temps. Quand on connaît la
∩
trajectoire, on peut définir une quatrième façon de repérer la position du point à l’instant t : s= AM mesure de l’arc
algébrique (origine A, trajectoire orientée).
 dOM 
r
 . Ce vecteur vitesse de M par rapport à ℜ peut se décomposer sur
sa vitesse. Elle définie par v(M) / ℜ = 
 dt 

/ℜ
r
les 3 bases définies ci-dessus (on peut faire 3 décompositions d’un vecteur unique v (M)/ℜ ) :
r
r
r
r
♦ sur la base cartésienne : v(M) / ℜ = x& u x + y& u y + z& u z
r
r
r
r
♦ sur la base locale cylindrique : v(M) / ℜ = ρ& u ρ + ρθ& u θ + z& u z
♦
♦
sur la base locale sphérique (connaissance des composantes non exigée)
on peut également écrire, puisque la vitesse d’un point matériel est tangente à sa
r
r
r
r
trajectoire : v(M) / ℜ = v τ = s& τ où v est la vitesse algébrique sur la trajectoire et τ est un vecteur unitaire
local, tangent à la trajectoire au point M occupé par le point matériel à l’instant considéré.
 d 2 OM 
r
 . Ce vecteur accélération de M par rapport à ℜ peut se
son accélération définie par a (M ) / ℜ = 
 dt 2 

/ℜ
r
décomposer sur les 3 bases définies ci-dessus (on peut faire 3 décompositions d’un vecteur unique a (M)/ℜ ) :
r
r
r
r
♦ sur la base cartésienne : a (M ) / ℜ = &x&u x + &y&u y + &z&u z
r
r
r
r
&& − ρθ& 2 )u ρ + (2ρ& θ& + ρ&θ&)u θ + &z&u z
♦ sur la base locale cylindrique : a (M) / ℜ = (ρ
♦
♦
2.
sur la base locale sphérique (cette décomposition n’est pas à connaître).
r r r
sur le trièdre de Fresnet (base locale également) ( τ, n , b) : hors programme.
Changement de référentiel
Connaissant le mouvement du point matériel M par rapport au référentiel ℜ, on peut décrire le mouvement du point M par
rapport à un autre référentiel ℜ’ à condition de connaître le mouvement de ℜ’ par rapport à ℜ.
On va décrire deux mouvements relatifs particuliers (les seuls au programme) et rappeler les formules de composition
des vitesses et des accélérations.
a)
Mouvements relatifs particuliers de deux référentiels
α) ℜ’ est en translation par rapport à ℜ
Soit (Oxyz) un repère cartésien de ℜ, O’x’y’z’ un repère cartésien de ℜ’.
ℜ’ est en translation par rapport à ℜ si et seulement si toute droite liée à ℜ’ reste parallèle à elle-même au cours du temps.
z
z’
z’
z’
y’
O’
y’
O’
z’
y’
O’
O
y’
y
O’
x’
x
x’
x’
x’
Conséquences : tous les points liés à ℜ’ ont même vecteur vitesse dans ℜ (à un instant t quelconque). (cf sup pour démo)
Cinétique des systèmes matériels (méca 1)
2
Si ℜ’ est en translation par rapport à ℜ, pour tout point M’ lié à ℜ’ :
r
r
v ( M ' ∈ ℜ ' ) / ℜ = v( O ' ) / ℜ
Il s’agit bien de vecteurs vitesse (de points de ℜ’) par rapport à ℜ. (La vitesse par rapport à ℜ’ d’un point lié à ℜ’ est
nulle!).
Les trajectoires de tous les points liés à ℜ’ sont superposables. On parle de :
translation rectiligne si ces trajectoires sont des droites (forcément parallèles) .
translation elliptique si les trajectoires sont des ellipses.
translation circulaire si ces trajectoires sont des cercles.
Remarque : le mot translation caractérise le mouvement d’un référentiel (d’un solide) par rapport à un autre. Il ne peut en
aucun cas s’employer pour le mouvement d’un point.
β) ℜ’ est en rotation autour d’un axe fixe de ℜ
Prenons cet axe fixe de ℜ comme axe Oz. Les points de
cette droite sont fixes aussi dans ℜ’ : prenons cet axe
comme axe O’z’ et O’ confondu avec O.
Oz≡O’z’
y’
Posons θ=(Ox,Ox’) (orienté par le sens positif associé à
Oz).
On appelle vitesse angulaire instantanée de rotation de ℜ’
par rapport à ℜ, la grandeur algébrique :
ω=
y
O≡O’
x
θ
x’
dθ
dt
r
r
dθ r
uz
et vecteur rotation instantané de ℜ’ par rapport à ℜ, le vecteur ω ℜ' / ℜ = ωu z =
dt
La vitesse par rapport à ℜ d’un point M’ lié à ℜ’ s’écrit alors :
Si ℜ’ est en rotation autour d’un axe fixe de ℜ, pour tout point M’ lié à ℜ’ :
r
r
r
v(M' ∈ ℜ' ) / ℜ = ω ∧ OM ' = ω ∧ HM ' où H est le projeté orthogonal de M’ sur l’axe
b)
Point coïncidant
Soit M un point matériel (dont on veut étudier le mouvement soit par rapport à ℜ, soit par rapport à ℜ’).
On appelle point coïncidant de M dans ℜ’ à l’instant t, Mcℜ’, le point « abstrait » de même position que M à l’instant t,
mais de vitesse nulle dans ℜ’ à l’instant t :
position M cℜ ' ≡ M
r
M cℜ ' 
r
vitesse v(M cℜ ' ) / ℜ' = 0
c)
Composition des vitesses
On montre que la vitesse de M par rapport au référentiel ℜ est la somme de sa vitesse par rapport au référentiel ℜ’ et de ce
qu’on appelle sa vitesse d’entraînement (par ℜ’); cette vitesse d’entraînement est par définition la vitesse du point
coïncidant de M dans ℜ’ à l’instant t, Mcℜ’.
Cinétique des systèmes matériels (méca 1)
3
r
r
r
v( M ) / ℜ = v( M ) / ℜ ' + v e ( M )
avec
r
r
v e ( M ) = v ( M cℜ ' ) / ℜ
α) Cas particulier où ℜ’ est en translation par rapport à ℜ
Tous les points liés à ℜ’ ont alors même vitesse. La vitesse d’entraînement, i.e. la vitesse du point coïncidant du point
matériel, est égale à la vitesse du point O’ origine du repère cartésien associé à ℜ’. (La vitesse d’entraînement d’un point
matériel M est indépendante de sa position).
La loi de composition des vitesses s’écrit donc dans ce cas particulier :
Cas où ℜ’ est en translation par rapport à ℜ
r
r
r
v ( M ) / ℜ = v ( M ) / ℜ ' + v ( O' ) / ℜ
β) ℜ’ est en rotation autour d’un axe fixe de ℜ
D’après la définition même de ce mouvement relatif de ℜ’ par rapport à ℜ, le point coïncidant décrit une trajectoire
circulaire de centre H, projeté de M sur l’axe de rotation à l’instant t.
La vitesse d’entraînement est :
r
r
v e = ω ℜ '/ ℜ ∧ HM
La loi de composition des vitesses s’écrit :
Cas où ℜ’ est en rotation autour d’un axe fixe de ℜ
d)
r
r
r
v(M) / ℜ = v(M ) / ℜ ' + ω ℜ' / ℜ ∧ HM
Composition des accélérations
On montre que la loi de composition des accélérations s’écrit :
r
r
r
r
a ( M ) / ℜ = a ( M ) / ℜ' + a e ( M ) + a c ( M )
r
r
a e (M ) = a (M cℜ ' ) / ℜ accélération d' entraînement
avec r
r
r
a c (M ) = 2ω ℜ '/ ℜ ∧ v(M ) / ℜ ' accélération complémentaire ou " de Coriolis"
α) Cas particulier où ℜ’ est en translation par rapport à ℜ
Le vecteur vitesse instantanée de rotation de ℜ’ par rapport à ℜ est alors nul, l’accélération de Coriolis est donc nulle.
Par ailleurs, tous les points liés à ℜ’ ont même accélération. L’accélération d’entraînement, i.e. l’accélération du point
coïncidant du point matériel, est donc égale à l’accélération du point O’ origine du repère cartésien associé à ℜ’.
(L’accélération d’entraînement d’un point matériel M est indépendante de sa position).
r
r
r
r
a e ( M ) = a (O ' ) / ℜ ; a c ( M ) = 0
La loi de composition des accélérations s’écrit :
Cas où ℜ’ est en translation par rapport à ℜ
r
r
r
a ( M ) / ℜ = a ( M ) / ℜ ' + a (O ' ) / ℜ
β) ℜ’ est en rotation autour d’un axe fixe de ℜ
Le point coïncidant décrit une trajectoire circulaire de centre H, projeté de M sur l’axe de rotation à l’instant t.
L’accélération d’entraînement s’écrit (attention : ce n’est pas la dérivée de la vitesse d’entraînement) :
r
r
r
r
a e = − ρθ& 2 u ρ + ρ&θ&u θ = −ω 2 HM + &θ&u z ∧ HM
r
r
dω
2
a e = −ω HM +
∧ HM
dt
:
r
cas courant d’un mouvement d’entraînement uniforme ( θ& = cst = ω ): a e = − ω 2 HM
Cinétique des systèmes matériels (méca 1)
4
II.
Éléments cinétiques
Soit ℜ le référentiel d’étude, dans lequel en l’absence de précision, toutes les grandeurs seront définies.
Le système étudié est soit
r
ri le vecteur position de Mi à
•
Un ensemble discret de n points matériels Mi, de masse mi. On le notera Sd. Soit
r
r
l’instant t, v i son vecteur vitesse, a i son vecteur accélération.
•
Une distribution continue de matière que l’on peut décomposer en portions élémentaires assimilables à des points
r
r
matériels M, de masse dm(M). On le notera Sc. Soit r (M), le vecteur position d’une telle portion élémentaire, v (M)
r
son vecteur vitesse, a (M) son vecteur accélération.
Centre de masse (centre d’inertie, barycentre)
1.
Soit O un point quelconque. Le centre de masse G du système est défini par :
n
∑ m OM
i
OG =
i
i =1
pour un ensemble discret de points matériels Sd
n
∑
mi
i =1
∫ OMdm(M)
OG =
M∈S
∫
pour une distribution continue de matière Sc
dm(M )
M∈S
Notons m la masse totale du système {Mi}, c’est la somme des masses des points matériels qui le constituent :
n
m = ∑ mi pour un ensemble discret de points matériels
i =1
m=
dm = ρ(M )dV(M ) pour une distribution volumique (masse volumique ρ(M))

dm(M ) avec dm = σ(M )dS(M ) pour une distribution surfacique (masse surfacique σ(M))
M∈S
dm = λ(M )dl(M) pour une distribution linéique (masse linéique λ(M))

∫
Remarques :
n
•
D’après sa définition, G vérifie aussi : mOG =
∑
n
mi OM i =
i =1
n
soit :
∑ m GM
i
i =1
i
r
= 0 ou
∫
∑
n
mi (OG + GM i ) = mOG +
i =1
∑ m GM
i
i
i =1
r
GMdm(M ) = 0 pour une distribution continue de matière.
M∈S
ceci peut constituer la définition du CDM. Elle a l’avantage d’être intrinsèque (ne fait pas intervenir de point O).
•
Le centre d’inertie possède la propriété d’associativité : le centre d’inertie d’un système constitué de plusieurs soussystèmes est le barycentre des centres d’inertie de chacun des sous-systèmes affectés des masses de chacun.
•
Lorsqu’un système est homogène et présente un élément de symétrie, le centre d’inertie se trouve sur cet élément.
Exemple : Soit Oz un axe de symétrie de la distribution. On groupe les points matériels par couples de même masse
(Mi,Mi’), avec Mi’ symétrique de Mi par rapport à Oz. Le vecteur m i OM i + m i OM i ' est selon Oz. En ajoutant les
contributions de tous les points matériels, on déduit que le vecteur m OG est selon Oz : G est sur l’axe Oz.
Cinétique des systèmes matériels (méca 1)
5
Quantité de mouvement totale ou résultante cinétique
2.
a)
Définition
La quantité de mouvement totale (ou résultante cinétique) d’un système S, dans le référentiel ℜ, est par définition la
somme vectorielle des quantités de mouvement dans ℜ de tous les points matériels constituant le système :
r
p=
n
∑
r
pi =
i =1
r
p=
∫
M∈S
n
∑m v
r
i
i
r
pour un système discret de points matériels d’un système {Mi} ( p en kg.m.s-1)
i =1
r
r
r
dp(M ) avec dp(M ) = dm(M ).v(M ) quantité de mouvement de l’élément de masse dm(M) centré sur M
pour une distribution continue de matière
Remarque : La notation est ici simplifiée, il faudrait écrire « /ℜ ».
b)
Propriété
Soit O un point fixe du référentiel d’analyse ℜ. La quantité de mouvement totale du système s’écrit :
r
p=
n
∑
r
mi vi =
i =1
n
∑m
i =1
i
dOM i
=
dt

d


n
∑ m OM
i
i =1
dt
i




=
d (mOG )
dOG
=m
dt
dt
r
r
p = mv(G )
La résultante cinétique d’un système matériel est égale à la quantité de mouvement d’une particule fictive unique
placée au centre de masse et affectée de la masse totale.
Remarque : la démonstration se fait de la même façon pour une distribution continue de masse.
M2
M1
z
Mn
(ℜ*)
G
Mi
ri
O
vi
y
(ℜ)
x
3.
Référentiel barycentrique (ou du centre de masse)
On appelle référentiel barycentrique ℜ* (associé au référentiel ℜ), d’un système matériel S, le référentiel en translation
par rapport à ℜ, dans lequel le centre de masse de S, G, est fixe.
Par définition, la vitesse de G dans le référentiel barycentrique est nulle : G est donc fixe dans ℜ*. On le prend donc en
général comme origine des repères cartésiens associés à ℜ*.
Affectons d’une étoile * les grandeurs cinétiques calculées dans le référentiel barycentrique. D’après la définition de ℜ*:
r
r
r
r
v(G )* = 0 et p* = 0
Cinétique des systèmes matériels (méca 1)
6
Moment cinétique en un point
4.
r
r
On appelle de façon générale « moment en A d’un vecteur u associé à un point matériel M » : AM ∧ u (M )
a)
Définition
r
r
Rappel : Le moment cinétique en A (pt géométrique) d’un point matériel unique M de masse m est : L A = AM ∧ mv(M ) .
Il a une direction perpendiculaire à sa vitesse et perpendiculaire au vecteur AM , sa norme est d’autant plus grande que sa
vitesse est grande, que le point M est loin de A, que l’angle entre la vitesse de M et le vecteur AM est voisin de 90° :
d’autant plus grande que « M tourne bien autour de A ».
Le moment cinétique d’un système matériel, calculé en un point A (point géométrique quelconque), est par définition la
somme des moments cinétiques en A de tous les points qui le constituent :
r
LA =
n
∑
n
r
L Ai =
∑ AM
i =1
r
LA =
∫
i
r
r
∧ m i v i pour un système discret de points matériels Sd ( L A en kg.m2.s-1)
i =1
r
dL A =
r
pour une distribution continue de masse Sc ( L A en kg.m2.s-1)
r
∫ AM ∧ dm(M)v(M)
M∈S
M∈S
b)
Propriété
Soit B un autre point « mathématique » quelconque. Le moment cinétique total en B s’écrit :
r
LB =
n
∑
r
BM i ∧ m i v i =
i =1

r
(BA + AM i ) ∧ m i v i = 

i =1

n
∑
n
∑
i =1

r 
AM i ∧ m i v i  + BA ∧




r 
n
∑ m v 
i
i =1
i

On déduit la relation suivante entre les moments cinétiques de S dans un même référentiel ℜ, mais calculés en deux points
différents A et B:
r
r
r
Dans un référentiel ℜ donné, quelconque L B = L A + BA ∧ p
r
r
Remarque 1: p et L A sont les éléments de réduction en A d’un torseur appelé « torseur cinétique du système S »
r
p 
{C A } =  r  . La relation ci-dessus s’appelle relation de transfert.
L A 
Remarque 2 : Ce type de relation est vérifiée dans tout référentiel ℜ quelconque. Dans le référentiel barycentrique ℜ* du
r
r
système associé au référentiel ℜ, elle s’écrit, puisque la quantité de mouvement y est nulle L*B = L*A : le moment cinétique
barycentrique est indépendant du point mathématique où on le calcule. Il est souvent simple de le calculer en G.
r
r
r
Moment cinétique barycentrique : L* = L*G = L*A (A quelconque)
c)
Théorème de Koenig
Il donne la relation entre les moments cinétiques de S dans 2 référentiels différents : ℜ et ℜ* (référentiel barycentrique
associé).
r
r
r
Pour le démontrer, on utilise la loi de composition des vitesses v i = v i * + v ei et la définition de ℜ* : ℜ* étant en
translation par rapport à ℜ, la vitesse d’entraînement de tous les points matériels est la même : c’est la vitesse de G dans
ℜ.
r
LA =
n
∑ AM
i =1
i
r
∧ mi vi =
∑ (AG + GM )∧ m (v
n
r
i
i
*
i
r
+ v(G )
i =1
Cinétique des systèmes matériels (méca 1)
7
)
) ∑
∑(
n
r
 n
 n
 n
r
 r
r 
r  
L A = AG ∧ 
m i v i *  + AG ∧ 
m i  v(G ) + 
GM i ∧ m i v i *  + 
m i GM i  ∧ v(G )





  i =1
1
i =1
1
1i =4
 i =4
14
43
4
24
3
442
4443 1
44244
3
r142
r
r
m
L*
O (déf de ℜ*)
0 (déf de G)
∑
∑
r
r*
r
Théorème de Koenig relatif au moment cinétique : L A = L + AG ∧ mv(G )
Le moment cinétique en A d’un système matériel S dans un référentiel ℜ est la somme de son moment cinétique
barycentrique et du moment cinétique en A d’une particule fictive placée en G affectée de la vitesse de G et de la
masse totale de S.
r
r*
Remarque Si on applique ce théorème aux moments cinétiques calculés en G (A≡G), on obtient : L G / ℜ = L
Le moment cinétique calculé en G dans un référentiel ℜ, est égal au moment cinétique dans le référentiel barycentrique du
système.
d)
Moment cinétique par rapport à un axe
r
Le moment cinétique par rapport à un axe ∆ orienté (vecteur unitaire u ∆ ) d’un système matériel, est la projection sur cet
axe du moment cinétique en un point A de ∆. Il caractérise « l’intensité » de la rotation autour de ∆.
r r
r
L ∆ = L A .u ∆ avec A∈∆ et u ∆ vecteur unitaire de ∆
On peut vérifier facilement qu’il est indépendant du point A de ∆ choisi. En effet, soit B un autre point de ∆. D’après la
relation entre moments calculés dans un même référentiel mais en deux points différents :
r r
r r
r r
r r
r
r
L B .u ∆ = L A .u ∆ + BA ∧ p .u ∆ = L A .u ∆ ( (BA ∧ p) ⊥ BA donc ⊥ u ∆ ).
(
5.
)
Énergie cinétique
a)
Définition
L’énergie cinétique d’un système matériel est la somme des énergies cinétiques de chacun des points qui le constituent:
n
n
1

E c = ∑ E ci = ∑  m i v i2  pour un système discret de points matériels (Ec en joule J)

i =1
i =1  2
Ec =
∫ dE
M∈S
b)
c
=
1
∫ 2 dm(M)v
2
(M ) pour une distribution continue de matière
M∈S
Théorème de Koenig
Il donne la relation entre les énergies cinétiques dans ℜ et dans ℜ*, référentiel barycentrique associé. Pour le démontrer,
r
r
on utilise la loi de composition des vitesses et la définition de ℜ* (en translation par rapport à ℜ et tel que p *= 0 ) :
n
Ec =
∑
i =1
r
r
1
m i ( v *i + v(G )) 2 =
2
n
 n
2
r  r
1
1
m i v *i +
m i v (G ) 2 + 
m i v *i  • v(G )


2
2
i =142
i =144244
1
1
4 43
4 1
3 1i =42
43
r
(1/ 2)mv ( G ) 2
E c*
0
n
∑
∑
∑
*
Théorème de Koenig relatif à l’énergie cinétique : E c = E c +
E c = E *c +
1
mv(G ) 2
2
1
mv(G ) 2
2
L’énergie cinétique d’un système S de points matériels, dans un référentiel ℜ donné, est la somme de son énergie
cinétique barycentrique et de l’énergie cinétique d’une particule fictive placée en G, affecté de la masse totale de S
et de la vitesse de G.
Cinétique des systèmes matériels (méca 1)
8