LES GAZ, PARTIE E :

Chapitre VII, Les gaz, partie E page 1/10
LES GAZ, PARTIE E :
Atmosphère isotherme
Nous commençons par quelques données expérimentales sur l’atmosphère afin de situer le
problème. Ensuite, munis de la loi fondamentale de l’Hydrostatique et de l’équation d’état des gaz
parfaits, nous allons définir puis étudier le modèle de l’atmosphère isotherme.
A. Données sur l’atmosphère
La description de l’atmosphère la découpe par la pensée en quatre couches principales en
partant du sol. Voir figure 1.
- La troposphère ou basse atmosphère : Elle a une épaisseur d’une dizaine de kilomètres (8 km
aux pôles, 17 km { l’équateur). Elle contient les trois quarts environ de la masse de l’atmosphère.
La plupart des nuages s’y forment. La température y décroît de +15 °C { -56 °C environ. Ces
valeurs sont des moyennes car la température dépend de la situation géographique, de la saison
et de la météo. C’est dans cette couche que s’est développée la vie.
- La couche intermédiaire, de quelques kilomètres d’épaisseur, limite entre la troposphère et la
couche suivante s’appelle la tropopause. La température y est pratiquement constante.
- La stratosphère : Elle s’étend au-dessus de la tropopause jusqu’{ une cinquantaine de
kilomètres d’altitude. La température y est croissante jusqu’{ une température proche de 0°C.
C’est l’absorption du rayonnement solaire par l’ozone O3 présent dans cette couche qui
provoque cette augmentation de température.
- La couche intermédiaire, de quelques kilomètres d’épaisseur, limite entre la stratosphère et la
couche suivante s’appelle la stratopause. La température y est à peu près constante.
- La mésosphère : Elle s’étend au-dessus de la stratopause jusqu’{ une altitude d’environ quatre-
vingts kilomètres. La température y diminue jusqu’{ une température d’environ -90 °C.
- La couche intermédiaire, de quelques kilomètres d’épaisseur, limite entre la mésosphère et la
couche suivante s’appelle la mésopause. La température y est { peu près constante.
-La thermosphère ou haute atmosphère : Elle s’étend au-delà de la mésopause. Il est difficile de
fixer une limite { l’atmosphère ; Cependant on peut la situer entre 500 et 800 km d’altitude. L’air
y est très raréfié, à une altitude d’environ 300 km la pression n’est déjà plus que de 10-8 hPa.
(Cette pression est celle du vide que l’on peut obtenir en laboratoire.) La température s’y élève
notablement ; Elle atteint environ 500 °C { 500 km d’altitude ; Elle dépend de l’activité solaire.
Les aurores polaires se produisent { 800 km d’altitude environ.
La représentation graphique ci-après, tracée { l’aide d’Excel®, donne les variations de la
température de l’atmosphère terrestre avec l’altitude. Elles sont, comme nous venons de le voir,
assez complexes. La photographie du Mont Everest fixe visuellement l’échelle verticale.

Chapitre VII, Les gaz, partie E page 2/10
Le découpage en couches est indiqué et les pressions sont données à droite de la figure. La
pression atmosphérique décroît rapidement du sol jusqu’{ l’espace interplanétaire.
Figure 1 : Les couches atmosphériques et leur température.
Nous allons maintenant étudier le modèle d’atmosphère le plus simple, celui de l’atmosphère
isotherme. Nous commencerons par décrire et discuter le modèle. Puis nous le traduirons en une
équation que nous résoudrons. La solution sera ensuite illustrée par une représentation
graphique, des valeurs numériques et la notion de hauteur caractéristique. Nous en déduirons
enfin la masse volumique et la densité particulaire en fonction de l’altitude.
0
20
40
60
80
100
120
-100 -80 -60 -40 -20 020 40 60 80 100
Altitude en km
Température en °C
Thermosphère
Troposphère
Stratosphère
Mésosphère
1000 hPa
100 hPa
1 hPa
0,01 hPa
0,0001 hPa

Chapitre VII, Les gaz, partie E page 3/10
B. Le modèle de l’atmosphère isotherme
1. Les hypothèses et leur discussion
a) Les hypothèses
Nous étudions l’équilibre d’une colonne d’air considéré comme un gaz parfait constituée de
molécules identiques de masse m, de masse moléculaire molaire M, en équilibre dans le champ
de pesanteur terrestre g considéré comme uniforme et de température uniforme T.
z
molécules identiques de masse m
formant un gaz parfait
de température uniforme T
soumis à la pesanteur uniforme g
colonne d'air
g
Figure 2 : Le modèle simple de l’atmosphère isotherme.
b) Discussion des hypothèses :
- L’air est en fait un mélange formé d’environ 79% de diazote et 21% de dioxygène ; nous
simplifions la situation en considérant des molécules identiques de masse moléculaire molaire :
11
79 21
28 32 g.mol 29 g.mol
100 100
M
Cette valeur peut aussi être calculée à partir de la masse volumique1 de l’air et du volume
molaire des gaz parfaits tous deux pris dans les mêmes conditions de température et de
pression, par exemple normales :
11
001,293.22,4g.mol 29g.mol m
MV
- Les plus fortes pressions se trouvent au sol et sont de l’ordre de la pression atmosphérique
normale. Ce sont donc des pressions relativement faibles et le modèle du gaz parfait est valable
compte tenu de la précision générale du modèle d’atmosphère.
1 Voir la notion de masse volumique dans le chapitre IV, § A.

Chapitre VII, Les gaz, partie E page 4/10
- Dans une colonne d’air de largeur limitée, le caractère radial du champ de pesanteur est
négligeable. Mais il dépend de l’altitude ; nous simplifions la situation en le considérant comme
uniforme. Ce choix est valable lorsqu’on étudie l’atmosphère sur des hauteurs faibles devant le
rayon terrestre.
Lorsque l’altitude est faible devant le rayon terrestre, nous pouvons utiliser l’expression2 :
( ) (0) 1 2 z g z g R
Avec g0 ≈ 9,81 N.kg-1, R ≈ 6400 km et z= 10 km, nous obtenons :
11
10
( ) 9,81 1 2 N.kg 9,78 N.kg
6400
gz
Ceci correspond à une erreur par défaut de 0,3 %- donc très faible par rapport à la précision
globale du modèle- lorsque nous considérons le champ de pesanteur g comme uniforme :
( ) (0) 10
2 2 0,3%
(0) 6400
g z g z
gR
- Nous considérons la température comme uniforme. En réalité ce n’est le cas que dans la
tropopause, la stratopause et la mésopause. Mais ce modèle a d’autres intérêts. C’est celui qui
conduit aux calculs les plus simples3 et il donne ainsi une première idée de la loi de décroissance
de la pression avec l’altitude. De plus il va nous permettre d’introduire le facteur de Boltzmann,
premier aspect de la statistique de Maxwell-Boltzmann.
Nous allons appliquer la loi fondamentale de l’Hydrostatique, l’équation d’état des gaz parfaits et
tenir compte du caractère uniforme du champ de pesanteur et de la température. (Ces quatre
points de la démonstration forment les parties a., b., c., d. du paragraphe 2.)
2. Equation différentielle donnant la pression en fonction de l’altitude
a) Loi fondamentale de l’Hydrostatique
La loi fondamentale de l’Hydrostatique4 s’écrit :
( ) ( ) ( )dp z z g z dz
b) Champ de pesanteur uniforme
Nous considérons l’intensité de la pesanteur comme uniforme donc g(z) = constante = g. Donc la
loi fondamentale de l’Hydrostatique se récrit :
( ) ( )dp z z gdz
2 Voir complément VII.1, approximation du champ de pesanteur uniforme.
3 Voir dans les exercices de niveau B des modèles avec variation de la température.
4 Voir la loi fondamentale de l’Hydrostatique dans le chapitre II, § C.3.

Chapitre VII, Les gaz, partie E page 5/10
c) Equation d’état des gaz parfaits
dV
z
volume élémentaire dV
contenant une quantité de gaz dn(z)
de masse d(masse(z))
Figure 3 : Le volume élémentaire et la notion de masse volumique locale.
La masse volumique dépend de la pression et de la température. Elle est donc définie localement
dans un volume élémentaire dV entourant un point d’altitude z. Ce volume contient une masse
élémentaire d(masse(z)) et une quantité de gaz élémentaire dn(z).
La masse volumique s’écrit donc :
(masse( )) ( )
() d z Mdn z zdV dV
D’après l’équation d’état des gaz parfaits, nous pouvons écrire pour le volume élémentaire dV :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
()
p z dV dn z R T z
dn z p z
dV RT z
En remplaçant dans l’expression de la masse volumique, nous obtenons :
( ) ( )
() ()
Mdn z Mp z
zdV RT z
d) Température uniforme
Et nous étudions l’atmosphère isotherme donc T(z) = constante = T. Donc nous pouvons en tenir
compte dans la masse volumique et la remplacer dans la loi fondamentale de l’Hydrostatique :
()
()
()
()
Mp z
zRT
Mp z
dp z gdz
RT