Physique Générale MAGNETISME - Laboratoire de Physique des

Physique G´en´erale
MAGNETISME
TRAN Minh Tˆam
Table des mati`eres
La magn´etostatique 171
D´efinition du champ (d’induction) magn´etique . . . . . . . . . . . . 171
Mouvement dans un champ magn´etique . . . . . . . . . . . . . . . 172
Action d’un champ magn´etique sur un fil parcouru par un courant . 178
Action d’un champ magn´etique sur une boucle de courant . . . . . 179
Calcul des champs magn´etiques produits par des courants : la loi
d’Amp`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Applications de la loi d’Amp`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
D´efinition l´egale de l’amp`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Ce qui n’a pas ´et´e trait´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

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La magn´etostatique
D´efinition du champ (d’induction) magn´etique
Nous avons vu que la charge ´electrique cr´e´e un champ ´electrique autour
d’elle, champ qui influe sur les autres charges. On peut ainsi penser qu’il
existe des charges magn´etiques qui, de la mˆeme mani`ere cr´eerait un champ
magn´etique ; bien que ces charges magn´etiques, aussi appel´ees monopˆoles
magn´etiques, soient pr´edits par certaines th´eories, on n’en a jamais d´etect´e !
Il y a deux moyens de produire un champ magn´etique :
1. laisser circuler des charges et cr´eer ainsi un courant,
2. certaines particules comme les ´electrons, les protons, certains atomes (en
particulier les Terres rares), ont un champ magn´etique autour d’eux ; un
effet du `a la Physique Quantique, permet `a ces champs magn´etiques de
s’additionner, donnant lieu `a un champ net autour de la mati`ere : c’est
le cas des aimants permanents ; pour les autres mat´eriaux, les champs
des ´electrons s’annulent et aucun champ net n’en r´esulte.
Exp´erimentalement, nous observons qu’une particules charg´ee en mouve-
ment dans un “champ magn´etique” en subissait une force. Nous pouvons
faire varier la vitesse de la particule, en direction et en module.
Nous observons que, pour une direction particuli`ere de la vitesse, la force
sur la particule est nulle.
Pour toutes les autres directions, nous observons que la force ~ FLest toujours
proportionnelle `a |~v| · sin θ , θ ´etant l’angle entre la direction pr´esente de
la vitesse et celle pour laquelle la force est nulle. Par ailleurs, la direction
de la force est toujours perpendiculaire `a celle de la vitesse.
Ceci rappelle le produit vectoriel. D´efinissons la direction du champ
magn´etique ~ Bpar la direction de la vitesse pour laquelle la force est tou-
jours nulle et le module de ~ Bpar |~ B|=|~
FL|
|q| |~v|quand ~v est perpendicu-
laire `a la direction de ~ Bque nous venons de d´efinir.
-171-

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La magn´etostatique
~
FL=q ~v ∧~ B(Force de Lorentz)
Unit´e de ~ B: L’unit´e de ~
Best le Tesla (T) :
1 Tesla = 1 Newton
(Coulomb)·(m`etre / seconde)= 1 N C·m / s = 1 N A·m
puisque un Coulomb par seconde est ´egal `a un Amp`ere.
Mouvement dans un champ magn´etique
Etudions le mouvement d’une particule de charge qet de masse mentrant
dans une r´egion o`u r`egne un champ magn´etique ~ Buniforme.
vv
v
B
q
θ
FL
+
xy
z
Choisissons la direction de l’axe zselon le champ ~ Bet les axes xet y
d’une mani`ere telle que nous ayons un tri`edre droit. La 2`eme loi de Newton,
appliqu´ee `a ce probl`eme, donne
~
FL=q ~v ∧~ B=q ~v⊥∧~ B=md~v
dt
[Si nous d´ecomposons la vitesse en une composante parall`ele au champ ~ Bet une
composante perpendiculaire, seule cette derni`ere contribue `a cause des propri´et´es
du produit vectoriel.]
La force de Lorentz est donc perpendiculaire `a la fois `a ~v⊥et `a ~ B: elle est
donc dans le plan xy.
1. Selon l’axe z, aucune force ne s’exerce sur la particule : cette derni`ere
aura selon zun mouvement rectiligne uniforme de vitesse ~vk.
-172-

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La magn´etostatique
2. Dans le plan xy (qui contient la composante ~v⊥),
–~ FLest perpendiculaire `a ~v⊥⇒~ F·~v⊥dt =~ F·d~r⊥= 0
[nous avons not´e par ~r⊥la composante dans le plan xy du vecteur position de
la particule]
–~ F·d~r⊥= 0 ⇒∆Ecin = 0 ⇒ |~v⊥|= cst ⇒nous avons
un mouvement circulaire uniforme dans le plan xy [dit autrement : la
projection dans le plan perpendiculaire `a ~ Bdu mouvement de la particule est
un mouvement circulaire uniforme] .
– L’acc´el´eration, dans le plan xy est radiale et vaut ar=v2
⊥
r.
– En utilisant la 2`eme loi de Newton, nous avons
q v⊥B=m v2
⊥
r⇒r=m v⊥ q B (rayon)
– Nous en d´eduisons encore
La p´eriode T=2πr
v⊥
=2πm
qB
et la fr´equence de r´evolution f=1
T=qB 2πm
3. Le mouvement total de la particule se compose donc d’un mouvement
rectiligne uniforme dans la direction de ~ Bet d’un mouvement circulaire
uniforme dans le plan perpendiculaire `a ~ B: le mouvement est h´elico¨ıdal
et la trajectoire une h´elice (cf. figure de gauche ci-apr`es).
Particule Trajectoire
en spirale
FL
FL
FL
B
B
BB
Dans un champ
magnétique non-uniforme
(remarquez la direction de la
force aux extrémités du dessin)
r
v
v
v
h
Dans un champ
magnétique uniforme
θ
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La magn´etostatique
La figure de droite montre la trajectoire d’une particule charg´ee dans un
champ magn´etique non-uniforme. Le resserrement des lignes de champ aux
extr´emit´es montre que le champ y devient intense. Si le module du champ
est suffisamment intense, les particules peuvent ˆetre pi´eg´ees dans cette bou-
teille magn´etique et revenir des extr´emit´es de la zone du champ.
Des ´electrons et protons sont ainsi pi´eg´es dans le champ magn´etique non uniforme de
la Terre et forme la ceinture de van Allen : les particules vont d’un pˆole magn´etique
`a l’autre en spiralant autour des lignes de champ du champ magn´etique terrestre.
De temps en temps, lors des p´eriodes d’activit´e solaire intense, des particules de
plus haute ´energie sont ´eject´es du Soleil, sont captur´ees par le champ ~ Bde la Terre,
suivent en spiralant les lignes de champ et descendent dans la ionosph`ere (elles
le peuvent car elles sont d’´energie plus ´elev´ee que celles qui sont d’ordinaire dans
la ceinture de van Allen) en ionisant les atomes d’oxyg`ene et d’azote de la haute
atmosph`ere, cr´eant ainsi les aurores bor´eales.
Point de contrˆole La figure donne 3 situations dans lesquelles une particule
charg´ee de vitesse ~v se d´eplace dans un champ magn´etique uniforme ~ B. Dans chacune
des situations, donnez la direction de la force de Lorentz ~ FL
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+- -
v
B
BB
v
v
Travail de la force de Lorentz
La force de Lorentz ~ FL=q ~v ∧~ Best perpendiculaire `a la vitesse ~v de
la particule, par cons´equent :
W12 =Z2
1
~
FL·d~r =Z2
1
~
FL·~v dt =
|{z}
~
FL⊥~v
0
Par le Th´eor`eme de l’´energie cin´etique, l’´energie cin´etique d’une particule
charg´ee soumise `a la force de Lorentz demeure constante, le module de sa
vitesse est aussi constant.
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