Physique générale

C30131 Ecole Normale Supérieure de Cachan
61 avenue du président Wilson
94230 CACHAN
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Concours d’admission en 3ème année
PHYSIQUE APPLIQUÉE
Session 2010
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Épreuve de
PHYSIQUE GÉNÉRALE
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Durée : 4 heures
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Calculatrice électronique de poche – y compris programmable, alphanumérique ou à écran graphique – à
fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre
1999.
L’usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est
rigoureusement interdit.
Dans le cas où le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale très lisiblement dans
sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence.
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Ce sujet comporte quatre parties indépendantes entre elles. La première partie traite du problème de la
propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique non magnétique. La seconde partie
aborde le problème de la réflection sous incidence normale d’une onde électromagnétique à l’interface entre un
milieu diélectrique et un métal. La troisième partie vise à établir une description classique, via la permittivité
diélectrique complexe, d’un matériau semi-conducteur possédant des états excitoniques. Enfin, la quatrième
partie introduit la notion de régime de couplage fort en cavité Fabry-Pérot en se basant sur les résultats établis
dans les parties II et III.
Par convention, les nombres à priori complexes devront être soulignés. À tout vecteur ~ A(t) à dépendance tem-
porelle sinusoïdale de pulsation ω, on associe le vecteur complexe ~ A(t) = ~ A0exp(−iωt) tel que ~ A(t) = Re{~ A(t)}.
Dans tout le problème, on note e la charge élémentaire, m la masse d’un électron, ε0la permittivité diélectrique
du vide, µ0la perméabilité magnétique du vide, c la célérité de la lumière dans le vide, ~la constante de
Planck réduite et i le nombre complexe tel que i2=−1. Pour les applications numériques, on prendra :
•e=1,60.10−19 C,
•m=9,11.10−31 kg,
•ε0= 8,85.10−12 F.m−1,
•µ0= 4π.10−7H.m−1,
•c=3,00.108m.s−1,
•~= 1,05.10−34 J.s.
PARTIE I : Propagation d’une onde électromagnétique
dans un milieu diélectrique non magnétique
I-1 Équations de Maxwell dans un milieu diélectrique non magnétique
Les charges électriques dans les milieux matériels peuvent être répertoriées selon deux catégories :
– les charges libres qui sont susceptibles de se déplacer (sous l’action de champs appliqués) dans l’ensemble
du matériau, sur des distances très grandes devant les dimensions atomiques,
– les charges liées qui sont liées aux atomes ou aux molécules. Elles peuvent se déplacer (sous l’action
de champs appliqués) légèrement autour de leur position d’équilibre, sur des distances de l’ordre des
dimensions atomiques.
a- Dans un milieu diélectrique (l’air, l’eau, le verre par exemple), l’action d’un champ électrique engendre
l’apparition de dipôles électriques à l’échelle atomique1. Expliquer pourquoi.
b- Pour décrire la réponse d’un milieu diélectrique à une excitation électrique, on introduit le vecteur-
polarisation ~ P(M,t) défini au point M à l’instant t par :
~
P(M,t) = d~p
dτ,
où dτest un volume mésoscopique autour du point M considéré et d~pest la somme des moments dipolaires des
dipôles électriques contenus dans dτà l’instant t. Rappeler la définition de l’échelle mésoscopique et donner
un ordre de grandeur possible pour dτ.
c- On note ~ jli´ees(M,t) le vecteur densité de courant au point M à l’instant t associé aux charges liées. En
considérant les différents porteurs de charges liés (que vous pourrez repérer par l’indice k) présents dans le
volume dτétablir la relation :
~
jli´ees(M,t) = ∂~
P(M,t)
∂t.
d- En admettant que ρli´ees(M,t) la densité volumique de charges liées en M à t vérifie :
ρli´ees(M,t) = −div ~ P(M,t),
1On dit que le milieu se polarise.
1

montrer que, dans un milieu diélectrique non magnétique2, les équations de Maxwell prennent la forme :
div ~ D = ρlibres div ~ B=0 −→ rot~ E = −∂~
B
∂t
−→
rot~ B = µ0~ jlibres +∂~
D
∂t,
avec ~ E(respectivement ~ B) le champ électrique (respectivement magnétique), ρlibres la densité volumique de
charges libres et~ jlibres le vecteur densité de courant associé aux charges libres. Donner l’expression du vecteur
déplacement électrique ~ Den fonction de ε0,~ Eet ~ P.
I-2 Permittivité diélectrique relative complexe d’un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope
a- Un milieu diélectrique est dit linéaire et isotrope lorsque ~ Pet ~ Esont reliés par une équation différen-
tielle temporelle linéaire à coefficients constants. Pourquoi est-il judicieux d’étudier un tel milieu en réponse
sinusoïdale, en utilisant la notation complexe ?
b- Justifier que, pour un milieu diélectrique linéaire, isotrope et homogène, il existe un nombre complexe
χ(ω)(ωest la pulsation du champ électrique), appelé susceptibilité diélectrique complexe, vérifiant :
~
P(M,t) = ε0χ(ω)~ E(M,t).
c- Établir la relation existant entre χ(ω)et la permittivité diélectrique relative complexe εr(ω)vérifiant :
~
D(M,t) = ε0εr(ω)~ E(M,t).
I-3 Propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu diélectrique non magnétique parfaitement isolant,
linéaire, homogène et isotrope
Dans la suite, on appellera Mun tel milieu. Un milieu est dit parfaitement isolant si les densités de charges
et de courants libres sont nulles en tout point et à chaque instant : ρlibres = 0 et ~ jlibres =~ 0. Nous nous
intéressons ici à la propagation, dans Mde permittivité diélectrique relative complexe εr(ω), d’une onde
électromagnétique plane progressive harmonique décrite en notation complexe par les champs électrique
~
E(M,t) = ~ E0(M)exp(−iωt) et magnétique ~ B(M,t) = ~ B0(M)exp(−iωt), en un point M du milieu et à l’ins-
tant t.
a- Établir les équations de propagation des champs complexes ~ E(M,t) et ~ B(M,t) dans M(équations
découplées vérifiées séparément par ~ E(M,t) et ~ B(M,t)).
b- En déduire, en précisant la forme choisie pour les fonctions ~ E0(M) et ~ B0(M), la relation de dispersion
dans M(on introduira un vecteur d’onde ~ kà priori complexe).
c- L’indice complexe du milieu n(ω)est défini comme étant le nombre complexe dont la partie réelle
est positive et qui vérifie n(ω)2=εr(ω). On pose n(ω) = n0(ω) + i n00(ω), donner l’interprétation physique de
n0(ω)et de n00(ω). Caractériser les zones du spectre où Mest transparent.
d- Quelle est la structure de l’onde électromagnétique dans le milieu ? ~ E(M,t) et ~ B(M,t) sont-ils néces-
sairement en phase ?
PARTIE II : Réflexion d’une onde électromagnétique
sur un métal
II-1 Le modèle de Drude
La conduction électrique dans les métaux est assurée par les électrons de conduction libres de se déplacer sur
des distances très grandes devant les dimensions atomiques. Dans le cadre du modèle de Drude, l’action du
milieu matériel sur les électrons de conduction est décrite par une force de frottement visqueux : les électrons
contenus dans le volume élémentaire dτsont soumis à la force −α~vdτavec αun coefficient positif et ~vla
2Un milieu est dit non magnétique si du point de vue magnétique ce milieu se comporte comme le vide :
l’application d’un champ magnétique n’engendre pas l’apparition de moments magnétiques microscopiques.
2

vitesse de dérive3de ces électrons. On notera n la densité volumique d’électrons de conduction dans le métal
considéré.
a- Le métal est soumis à un champ électrique ~ E. Montrer que la vitesse de dérive ~vest solution de :
d~v
dt +~v τ=−e~
E
m.
Donner l’expression de τ.
b- À t=0, le champ électrique est supprimé brusquement. Résoudre l’équation différentielle précédente
pour t≥0et donner l’interprétation physique de τ.
c- Le champ électrique appliqué ~ Eest maintenant constant. Donner l’expression de la vitesse de dérive en
fonction de ~ E, e, τet m. Retrouver la loi d’ohm locale et donner l’expression de la conductivité électrique σ0
du métal considéré.
d- Dans le cas du cuivre, σ0= 58.106S.m−1et n = 84.1027 m−3. Calculer la valeur de τpour le cuivre.
e- On se place maintenant dans le cas d’un champ électrique sinusoïdal de pulsation ω. On rappelle que la
notation complexe associée à ce champ électrique est ~ E = ~ E0exp(−iωt). Établir l’expression de la conductivité
électrique complexe en fonction de σ0,τet ω.
II-2 Permittivité diélectrique complexe du métal
Pour simplifier on ne tiendra pas compte de l’influence des charges liées sur les caractères diélectrique et
magnétique du métal.
a- Montrer que dans un métal la forme complexe de l’équation de Maxwell-Ampère peut s’écrire sous la
forme : −→
rot ~ B = −iωµ0ε0εrm~ E
où εrm est la permittivité diélectrique relative complexe du métal dont on donnera l’expression en fonction de
ω,σ0,τet ε0.
b- Montrer également que l’équation de Maxwell-Gauss peut s’écrire :
div ε0εrm~ E = 0.
c- Montrer que εrm peut se mettre sous la forme :
εrm = 1 −ω2
p
ω2
1
1 + i(ωτ)−1
où ωpest la pulsation plasma du métal. Donner l’expression de ωpen fonction de n, e, m et ε0. Comparer sa
valeur à 1/τ dans le cas du cuivre (nous admettrons dans la suite que ceci reste valable quel que soit le métal
considéré).
II-3 Réflexion d’une onde électromagnétique sur un métal
On considère maintenant l’interface entre un milieu diélectrique et un métal. Cette interface est confondue
avec le plan (xOy) d’un repère cartésien (O,~ex,~ey,~ez), le métal occupe l’espace correspondant à z<0 (cf
figure n˚1). La permittivité diélectrique relative du milieu diélectrique εrd est supposée réelle et indépendante
de la pulsation ω. Soit une onde électromagnétique monochromatique plane tombant normalement sur le métal.
En notation complexe, cette onde incidente s’écrit : ~ Ei=~ Ei0 exp[−i(ωt+ndω
cz)] avec ndl’indice optique du
milieu diélectrique défini comme étant le nombre positif vérifiant la relation n2
d=εrd.
3Par définition, la vitesse de dérive est la moyenne vectorielle des vecteurs vitesses des différents électrons
contenus dans dτ.
3

Figure no1 : Représentation schématique de l’interface métal-diélectrique
a- Donner les expressions des vecteurs d’onde des ondes incidente, réfléchie et transmise notés respective-
ment ~ ki,~ kret ~ kt. On introduira nml’indice optique complexe du métal (c’est-à-dire le nombre complexe dont
la partie réelle est positive et qui vérifie n2
m=εrm).
b- Exprimer ~ Eret ~ Etles champs électriques complexes associés respectivement aux ondes réfléchie et
transmise. On introduira pour cela les coefficients de réflexion ret de transmission ten amplitude relativement
au champ électrique.
c- Donner les expressions de ~ Bi,~ Bret ~ Btles champs magnétiques complexes associés respectivement aux
ondes incidente, réfléchie et transmise.
d- On admet la continuité des champs électrique et magnétique à la traversée de l’interface. En déduire
que :
r = nd−nm
nd+ nm
et t = 2nd
nd+ nm
.
e- On pose nm= nm,r+ i nm,iet pour cette question seulement on se place dans le cas où ω << 1/τ.
α- Donner les expressions approchées de nm,ret nm,ien fonction ω,ε0et σ0.
β- Montrer alors que ~ ktpeut se mettre sous la forme :
~
kt=−1+i
δ~ez,
et donner l’expression de δen fonction de ω,µ0et σ0. Pour ω= 1012 rad.s−1, faire l’application numérique
dans le cas du cuivre.
γ- Donner alors l’expression du champ électrique de l’onde transmise. Commenter.
δ- Établir une approximation des coefficients ret t. Commenter.
f- Pour cette question, on se place dans le cas où ω >> 1/τ.
α- Donner l’expression approchée de εrm en fonction de ωet ωp.
β- Expliciter nm,ret tlorsque ω < ωp. Donner également leurs expressions approchées dans le cas où ω << ωp.
Commenter.
γ- Expliciter nm,ret tlorsque ω > ωp. Commenter.
II-4 Propagation dans une cavité Fabry-Pérot métallique
On considère toujours l’interface milieu diélectrique/métal représentée schématiquement sur la figure n˚1.
L’onde électromagnétique incidente est maintenant polarisée rectilignement selon l’axe (Oy) et sa direction
de propagation est toujours contenue dans le plan (xOz) mais forme un angle non nul avec l’axe (Oz). Le
champ électrique complexe associé à cette onde incidente s’écrit alors : ~ Ei= Ei0~eyexp[−i(ωt−kd,xx+kd,zz)].
On suppose aussi que la pulsation ωde l’onde incidente est telle que r' −1sous incidence normale et on
admet que ceci reste valable même si la direction de propagation forme un angle non nul avec la normale à
l’interface.
a- Donner l’expression du champ électrique dans le milieu diélectrique. Commenter.
b- On remplit l’espace correspondant à z≥L(avec L>0) avec un métal identique au premier (cf fi-
gure n˚2). L’ensemble métal/diélectrique/métal constitue une cavité Fabry-pérot métallique. Quelle condition
doit satisfaire kd,zpour que l’onde incidente précédente puisse se propager dans le milieu diélectrique ? En
déduire, en fonction de p un entier, L et kd,x, l’expression de la norme des vecteurs d’onde associés aux ondes
électromagnétiques pouvant se propager dans la cavité.
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