MECANIQUE QUANTIQUE Premi`ere partie : Notions de base

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
Facult´e des Sciences Appliqu´ees
MECANIQUE QUANTIQUE
Premi`ere partie : Notions de base
D. Baye
2012

Chapitre 1
Particule dans un potentiel central
1.1 Introduction
1.1.1 Equation de Schr¨odinger
Dans ce chapitre, nous allons revoir et approfondir un probl`eme important de la
m´ecanique quantique ´etudi´e au chapitre 6 de PQS. Consid´erons une particule de masse
mplong´ee dans un puits de potentiel V(r) `a sym´etrie sph´erique. Ce type de potentiel
est appel´e un potentiel central. Il ne d´epend que de la norme r=||r|| de la coordonn´ee
rqui caract´erise la position de la particule.
Nous nous limitons ici `a l’´etude des solutions stationnaires du probl`eme, fournies
par l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps
Hψ =Eψ, (1.1)
o`u Eet ψsont respectivement l’´energie et la fonction d’onde de la particule. L’op´erateur
hamiltonien se d´ecompose comme en m´ecanique classique en
H=T+V, (1.2)
o`u Vest ici un potentiel central. L’op´erateur d’´energie cin´etique Ts’´ecrit aussi comme
en m´ecanique classique sous la forme
T=p2
2m,(1.3)
o`u pest l’impulsion de la particule. Cependant, en m´ecanique quantique, l’impulsion
est un op´erateur diff´erentiel
p=−i¯h∇,(1.4)
o`u ¯hest la constante de Planck 1.
Les ´equations (1.1) `a (1.4) permettent de r´e´ecrire l’´equation de Schr¨odinger sous la
forme −¯h2
2m∆ + V(r)ψ(r) = Eψ(r).(1.5)
1. En fait, c’est h= 2π¯hqui est la constante introduite par Planck mais, comme nous n’utiliserons
que ¯h, nous pouvons l’appeler constante de Planck sans risque d’ambigu¨ıt´e.
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Nous nous int´eressons aux solutions de cette ´equation qui v´erifient certaines conditions
impos´ees par les postulats de la m´ecanique quantique. D’un point de vue math´ema-
tique, nous pouvons d´ej`a remarquer que les fonctions d’onde ψdoivent ˆetre telles que
∆ψexiste en tout point de l’espace.
1.1.2 Choix d’un syst`eme d’unit´es
Avant de tenter de r´esoudre l’´equation de Schr¨odinger (1.5), nous allons simplifier
son ´ecriture en choisissant un syst`eme d’unit´es appropri´ees au probl`eme ´etudi´e. Nous
avons le droit de choisir quatre unit´es principales : trois unit´es ind´ependantes de type
m´ecanique et une de type ´electrique. Rien ne nous oblige `a choisir les unit´es principales
traditionnelles, longueur, masse, temps et intensit´e de courant. Nous choisissons au
contraire les unit´es en fonction du probl`eme ´etudi´e.
La premi`ere unit´e que nous choisissons est la constante de Planck ¯h. Cette unit´e a les
dimensions d’une “action” qui correspond au produit d’une ´energie par un temps. Les
moments cin´etiques par exemple ont les mˆemes dimensions qu’une action [´eq. (1.13)].
Nous ´ecrivons ce choix sous la forme
¯h= 1.(1.6)
L’´equation (1.6) exprime que la grandeur physique ¯hprend la valeur 1 dans le syst`eme
d’unit´es choisi. L’unit´e d’action est donc la valeur de ¯h, c’est-`a-dire 1.055 ×10−34 J s
dans un syst`eme d’unit´es plus familier.
Une deuxi`eme unit´e fondamentale que nous d´efinissons est l’unit´e de masse. On
utilise souvent la masse mde la particule comme unit´e. Ici, `a titre d’exemple, nous
choisissons
2m= 1.(1.7)
L’´equation (1.7) exprime que l’unit´e de masse est le double de la masse de la particule.
La masse de la particule est donc 1/2, c’est-`a-dire une demi unit´e de masse.
La derni`ere unit´e m´ecanique est souvent choisie en fonction du potentiel V. Comme
nous ne souhaitons pas pr´eciser ce potentiel, nous allons supposer qu’il s’agit d’une
longueur acaract´eristique de ce potentiel. Nous ´ecrivons donc
a= 1.(1.8)
Si le probl`eme comporte des aspects ´electromagn´etiques, nous pouvons d´efinir une
quatri`eme unit´e. On choisit souvent la charge edu proton (ou la valeur absolue de la
charge de l’´electron),
e= 1.(1.9)
Remarquons que (1.6) et (1.9) sont des unit´es universelles. Elles correspondent `a des
constantes physiques fondamentales de la nature. Les unit´es (1.7) et (1.8) sont parti-
culi`eres au probl`eme ´etudi´e. Il est possible de choisir un syst`eme d’unit´es ne comportant
que des constantes physiques fondamentales.
Apr`es le choix des quatre unit´es principales, toutes les autres unit´es sont fix´ees. Il
est utile d’en d´eduire l’expression de quelques unit´es d´eriv´ees
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´energie : ¯h2/2ma2,
temps : 2ma2/¯h,
vitesse : ¯h/2ma,
impulsion : ¯h/a.
On v´erifie facilement que ces diverses grandeurs ont bien les dimensions annonc´ees
et qu’elles valent 1 dans le syst`eme d’unit´es choisi. Cette derni`ere propri´et´e permet
d’affirmer que nous avons bien les unit´es des diff´erentes grandeurs mentionn´ees.
Dans le syst`eme d’unit´es (1.6) `a (1.8), l’´equation de Schr¨odinger (1.5) s’´ecrit
[−∆ + V(r)]ψ(r) = Eψ(r).(1.10)
Bien entendu, la coordonn´ee rest `a pr´esent exprim´ee en unit´es a.
1.2 Equation de Schr¨odinger en coordonn´ees sph´e-
riques
1.2.1 Op´erateurs r,pet Len coordonn´ees sph´eriques
Remarquons d’abord que rjoue deux rˆoles diff´erents dans l’´equation de Schr¨odinger
(1.10). Dans la fonction d’onde ψ(r), rest un vecteur traditionnel repr´esentant une
position possible de la particule. Dans le potentiel V(r) (ou V(r)), c’est un op´erateur
multiplicatif. Nous reviendrons plus longuement sur ces deux aspects de ret sur la
relation qui existe entre eux au chapitre 2.
O
θr
r
ϕ
y
x
z
Figure 1.1 – Coordonn´ees sph´eriques.
Soient r1,r2,r3les composantes cart´esiennes de r(que nous ´ecrirons le plus souvent
x, y, z). Comme le potentiel poss`ede la sym´etrie sph´erique, le syst`eme de coordonn´ees
cart´esiennes ne permet pas de r´esoudre l’´equation de Schr¨odinger par la m´ethode de
s´eparation des variables. Nous allons donc utiliser un syst`eme de coordonn´ees en rela-
tion avec la sym´etrie du potentiel (voir la figure 1.1). Pour d´ecrire le vecteur r, nous
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utilisons les coordonn´ees r,θ,ϕ. La coordonn´ee radiale rest la norme de r. La colati-
tude θest l’angle entre un axe de r´ef´erence zet la direction de r(0 ≤θ≤π). L’angle
azimutal ϕest l’angle entre le plan contenant les axes xet zet le plan contenant ret
l’axe z(0 ≤ϕ < 2π). Nous noterons souvent le couple (θ, ϕ) de fa¸con compacte avec
la notation Ω.
Dans un syst`eme d’unit´es o`u ¯h= 1, l’impulsion (1.11) s’´ecrit
p=−i∇.(1.11)
En coordonn´ees cart´esiennes, les composantes p1,p2,p3de psont px=−i∂/∂x,py=
−i∂/∂y, et pz=−i∂/∂z. Avec les composantes de r, ces composantes v´erifient les
relations de commutation canoniques
[rj, pk] = iδjk,(1.12)
o`u [A, B] = AB −BA est le commutateur de Aet B. Lorsque leurs indices diff`erent, les
composantes rjet pkcommutent. Par contre, rjet pjne commutent pas. Leur commu-
tateur prend la valeur particuli`ere i. Ce sont des op´erateurs conjugu´es canoniquement.
Comme en m´ecanique classique, les op´erateurs ret ppermettent de d´efinir l’op´era-
teur de moment cin´etique orbital
L=r×p.(1.13)
Les composantes de cet op´erateur poss`edent des propri´et´es de commutation remar-
quables sur lesquelles nous reviendrons au chapitre 6. Nous allons ici nous int´eresser `a
la relation qui existe entre p2et L2.
1.2.2 Impulsion radiale
Consid´erons la grandeur classique appel´ee impulsion radiale, r−1
cl rcl ·pcl. C’est la
composante de l’impulsion classique pcl suivant la direction de la coordonn´ee classique
rcl. Par la r`egle de correspondance (§3.3), on peut d´efinir l’op´erateur d’impulsion radiale
pr=1
21 rr·p+p·r1 r.(1.14)
qui correspond `a l’expression classique sym´etris´ee. Nous verrons au chapitre 2 que
l’op´erateur prest bien hermitique mais qu’il n’est pas une observable (§2.4.3). L’impul-
sion radiale n’est donc pas une grandeur mesurable (§3.2.4) !
En coordonn´ees sph´eriques, cet op´erateur prend la forme plus simple (annexe 1A)
pr=−i1
r
∂
∂r r. (1.15)
Il est conjugu´e canoniquement `a la coordonn´ee radiale r,
[r, pr] = i. (1.16)
En effet, si fest une fonction d´erivable quelconque, on a
[r, pr]f=−i∂
∂r (rf) + i1 r
∂
∂r (r2f) = if.
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